專題05一次方程（組）及其應(yīng)用的核心知識點精講

o復(fù)習(xí)目標(biāo)O

1、掌握等式的基本性質(zhì)掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組.

2、能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.

3、經(jīng)歷用一次方程組解應(yīng)用題的過程，提高分析問題和解決問題的能力

O考點植理O

性質(zhì)1:等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等;

典例引領(lǐng)

【題型1:等式的性質(zhì)】

【典例1】（2024?貴州?中考真題）小紅學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入

▲"三種物體，如圖所示，天平都保持平衡.若設(shè)"■"與"/的質(zhì)量分別為X,外則下列關(guān)系式正

確的是（）

7K~1

甲乙

A.x=yB.x=2yC.x=4yD.x=5y

【答案】C

【分析】本題考查等式的性質(zhì)，設(shè)"▲"的質(zhì)量為。，根據(jù)題意列出等式x+y=y+2a,x+a=x+2y,

然后化簡代入即可解題.

【詳解】解：設(shè)"▲"的質(zhì)量為

由甲圖可得x+y=y+2a,即久=2a,

由乙圖可得x+a=x+2y,即a=2y,

???%=4y,

故選c.

即時檢溫

1.（2022?青海?中考真題）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）

A.若/=?，則a=6B.若ac=6c,貝！|a=b

C.若（/=后，則a=6D.若一|久=6,則久=-2

【答案】A

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，一次判斷各個選項，即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：A、若沁,則a=b,故A正確，符合題意；

B、若ac=be,且cHO,則。=8，故B不正確，不符合題意；

C、若。2=廬，貝！］同=網(wǎng)，故C不正確,不符合題意；

D、若一孑=6,貝=故D不正確，不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：等式兩邊同時乘或除以一個不為0的數(shù)，等

式仍成立.

2.（2022?山東濱州?中考真題）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流I跟導(dǎo)體兩端的電壓U,導(dǎo)體的電阻火之間有以

下關(guān)系：/=■去分母得/R=U,那么其變形的依據(jù)是（）

A.等式的性質(zhì)1B.等式的性質(zhì)2C.分式的基本性質(zhì)D.不等式的性質(zhì)2

【答案】B

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)2可得答案.

【詳解】解：/=■去分母得/R=U,其變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2,

故選：B.

【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)2：等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為零的數(shù)，等式仍然成立.

典例引領(lǐng)

【題型2：一次方程（組）的相關(guān)概念】

【典例2】（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）點P?y）在直線y=-y+4上，坐標(biāo)?y）是二元一次方程

5久-6y=33的解，則點P的位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的特征，解二元一次方程組等知識，聯(lián)立方程組12=二3久,

（5x—6y=33

求出點尸的坐標(biāo)即可判斷.

【詳解】解：聯(lián)立方程組,

（5x—6y=33

｛x=6

二產(chǎn)的坐標(biāo)為（6,—｛），

???點尸在第四象限，

故選:D.

&⑦即時檢測

1.（2024?海南,中考真題）若代數(shù)式X-3的值為5,則x等于（）

A.8B.-8C.2D.-2

【答案】A

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，根據(jù)題意可知％-3=5,解方程即可得到答案.

【詳解】解：?.?代數(shù)式X-3的值為5,

/.%—3=5,

解得x=8,

故選：A.

2.（2023?浙江衢州?中考真題）下列各組數(shù)滿足方程2x+3y=8的是（）

人｛；聶B.仁二C.（-I1D,［；=1

【答案】A

【分析】代入的值，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：當(dāng)時，方程左邊=2xl+3x2=8,方程左邊=方程右邊，故A符合題意；

當(dāng)時，方程左邊=2x2+3X1=7,方程左邊H方程右邊，故B不符合題意；

當(dāng)｛，三時，方程左邊=2X（—1）+3X2=4,方程左邊7方程右邊，故C不符合題意；

當(dāng)時，方程左邊=2X2+3X4=16,方程左邊H方程右邊，故D不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程兩邊的值相等的兩位未知數(shù)是二元一次

方程的解，是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?四川眉山?中考真題）已知關(guān)于的二元一次方程組｛%；；：盥tg1的解滿足=%則加的

值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】將方程組的兩個方程相減，可得到"-，=巾+3,代入久-37=4,即可解答.

【詳解】解:⑶真媒疆，

①一②得2%—2y=2m+6,

???x—y=m+3,

代入％-y=4,可得m+3=4,

解得m=1,

故選：B.

【點睛】本題考查了根據(jù)解的情況求參數(shù)，熟練利用加減法整理代入是解題的關(guān)鍵.

典例引領(lǐng)

【題型3：一次方程（組）的解法】

【典例】（2024?浙江?中考真題）解方程組：｛?帛宅二?10

［答案］卜=）

ly=-4

【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用①x3+②得，10尤=5,解得x=9,再把x=9代入①求

出y=-4即可.

【詳解】解：「嚀爽%②

①x3+②得，10%=5

解得V，

把x=9代入①得1—y=5,

解得y=-4

..卜=9

（y=-4

*弓即時檢測

1.（2024?江蘇蘇州?中考真題）解方程組：管之；；，

【答案】｛泮

【分析】本題考查的是解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握加減消元法求解.根據(jù)加減消元法解二

元一次方程組即可.

【詳解】解：｛宗3關(guān)翦

①一②得，4y=4,解得，y=l.

將y=1代入①得x=3.

???方程組的解是

2.（2023?浙江衢州?中考真題）小紅在解方程等=個+1時，第一步出現(xiàn)了錯誤：

：：解：2x7x=（4x-l）+l,：：

⑴請在相應(yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯誤處；

（2）寫出你的解答過程.

【答案】⑴劃線見解析

（2）%=|,過程見解析

【分析】（1）根據(jù)解一元一次方程去分母的過程，即可解答；

（2）根據(jù)解一元一次方程的步驟，計算即可.

【詳解】（1）解：劃線如圖所示：

：：解：2X7X=（4X-1）H,

(2)解：與=彳+1,

2x7%=4x—1+6,

2x7x-4x=-1+6,

10%=5,

1

久，

【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟知解方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

.日典例引領(lǐng)

【題型4：一次方程（組）的應(yīng)用】

【典例4】（2024?山東濟南?中考真題）近年來光伏建筑一體化廣受關(guān)注.某社區(qū)擬修建48兩種光伏車

棚.已知修建2個/種光伏車棚和1個8種光伏車棚共需投資8萬元，修建5個/種光伏車棚和3個

B種光伏車棚共需投資21萬元.

⑴求修建每個4種，B種光伏車棚分別需投資多少萬元？

（2）若修建43兩種光伏車棚共20個，要求修建的/種光伏車棚的數(shù)量不少于修建的2種光伏車棚數(shù)

量的2倍，問修建多少個4種光伏車棚時，可使投資總額最少？最少投資總額為多少萬元？

【答案】⑴修建一個4種光伏車棚需投資3萬元，修建一個B種光伏車棚需投資2萬元

⑵修建4種光伏車棚14個時，投資總額最少，最少投資總額為54萬元

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根

據(jù)等量關(guān)系列出方程，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式.

（1）設(shè)修建一個4種光伏車棚需投資%萬元，修建一個B種光伏車棚需投資y萬元，根據(jù)修建2個/種

光伏車棚和1個B種光伏車棚共需投資8萬元，修建5個力種光伏車棚和3個B種光伏車棚共需投資

21萬元列出方程組，解方程組即可；

（2）設(shè)修建4種光伏車棚小個，則修建B種光伏車棚（20-巾）個，修建4種和B種光伏車棚共投資卬萬元,

先根據(jù)修建的4種光伏車棚的數(shù)量不少于修建的8種光伏車棚數(shù)量的2倍，列出不等式，求出力的范

圍，然后少關(guān)于機的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果即可.

【詳解】（1）解：設(shè)修建一個4種光伏車棚需投資x萬元，修建一個B種光伏車棚需投資y萬元，根據(jù)題

意，得1江與二學(xué)「

解得｛；：!

答：修建一個4種光伏車棚需投資3萬元，修建一個B種光伏車棚需投資2萬元.

（2）解：設(shè)修建4種光伏車棚加個，則修建B種光伏車棚（20-機）個，修建4種和B種光伏車棚共投資W

萬元，根據(jù)題意，得血之2（20-機），

解得TH>y,

W=3m+2(20—m)=m+40,

???l>0,

”隨M的增大而增大，

當(dāng)m=14時，勿取得最小值，此時0=14+40=54（萬元），

答：修建a種光伏車棚14個時，投資總額最少，最少投資總額為54萬元.

00）即時檢測

1.（2024?海南?中考真題）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗.某商店售賣某品牌瘦肉粽和五花

【答案】促銷活動前每個瘦肉粽的售價為15元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價10元.

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用.設(shè)促銷活動前每個瘦肉粽的售價為萬元，則促銷活動前每個

五花肉粽的售價（久-5）元，根據(jù)題意列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)促銷活動前每個瘦肉粽的售價為久元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價（久-5）元，

依題意得0.8x[10%+5（%-5）]=160,

解得x=15,

X—5=10,

答：促銷活動前每個瘦肉粽的售價為15元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價10元.

2.（2024?江蘇徐州?中考真題）中國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中有一道問題；"今有甲、乙懷錢，各不

知其數(shù).甲得乙十錢，多乙余錢五倍.乙得甲十錢，適等.問甲、乙懷錢各幾何？"問題大意：甲、乙

兩人各有錢幣干枚.若乙給甲10枚錢，此時甲的錢幣數(shù)比乙的錢幣數(shù)多出5倍，即甲的錢幣數(shù)是乙錢

幣數(shù)的6倍；若甲給乙10枚錢，此時兩人的錢幣數(shù)相等.問甲、乙原來各有多少枚錢幣？請用二元一

次方程組解答上述問題.

【答案】甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解決本題的關(guān)鍵.

設(shè)甲有錢x枚，乙有錢y枚，根據(jù)"甲得乙十錢，多乙余錢五倍.乙得甲十錢，適等”列出方程組，求解

即可.

【詳解】解：設(shè)甲有錢x枚，乙有錢了枚，由題意，得

[X+10=6（y-10）

Ix-10=y+10'

解這個方程組，得《：工

答：甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣.

3.（2024?江蘇南通?中考真題）某快遞企業(yè)為提高工作效率，擬購買/、2兩種型號智能機器人進(jìn)行快遞分

揀.

相關(guān)信息如下:

信息一

/型機器人臺數(shù)2型機器人臺數(shù)總費用(單位：萬元)

13260

32360

信息二

.)

A型機器人每臺每天可

分揀快遞22萬件；

B型機器人每天每天可

分揀快遞18萬件。

/

⑴求/、8兩種型號智能機器人的單價；

(2)現(xiàn)該企業(yè)準(zhǔn)備用不超過700萬元購買/、B兩種型號智能機器人共10臺.則該企業(yè)選擇哪種購買方

案，能使每天分揀快遞的件數(shù)最多？

【答案】(1)/型智能機器人的單價為80萬元，2型智能機器人的單價為60萬元

(2)選擇購買4型智能機器人5臺，購買8型智能機器人5臺

【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，掌握二元一次方程組，一元一

次不等式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)/型智能機器人的單價為尤萬元，3型智能機器人的單價為y萬元，根據(jù)題意列出方程組，計

算結(jié)果即可；

(2)設(shè)購買/型智能機器人。臺，則購買3型智能機器人(10-a)臺，先求出。的取值范圍，再得出

每天分揀快遞的件數(shù)=22a+18(io-a)=4a+180,當(dāng)a取得最大值時，每天分揀快遞的件數(shù)最多.

【詳解】(1)解：設(shè)/型智能機器人的單價為x萬元，8型智能機器人的單價為y萬元，

(x+3y=260

13%+2y=360

解得度霏,

答：/型智能機器人的單價為80萬元，8型智能機器人的單價為60萬元；

(2)解：設(shè)購買/型智能機器人。臺，則購買2型智能機器人(10-a)臺，

.??80a+60(10—砌4700,

.,.a<5,

r每天分揀快遞的件數(shù)=22a+18(io-a)=4a+180,

.?.當(dāng)a=5時，每天分揀快遞的件數(shù)最多為4x5+180=200萬件,

???選擇購買月型智能機器人5臺，購買8型智能機器人5臺.

o好題沖關(guān)o

.弓基礎(chǔ)過關(guān)

1.（2024?山東濰坊?模擬預(yù)測）已知等式3a=26+5,則下列等式中成立的是（）

A.3ac=26c+5B.3a-5=2bC.a=^b+15D.3a+l=2b+6

【答案】BD

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐個判斷即可.本題考查了等式的性質(zhì)，能熟記等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵,

注意：等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)或式子，等式仍成立；等式的性質(zhì)2：等式的

兩邊都乘同一個數(shù)或式子，等式仍成立，等式的兩邊都除以同一個不等于0的數(shù)或式子，等式仍成立.

【詳解】解：A.3a=2b+5,

等式兩邊都乘c,得3ac=2bc+5c,故本選項不符合題意；

B.1??3a=2b+5,

.??等式兩邊都減去5,得3a-5=26,故本選項符合題意；

C.3a=2b+5,

.??等式兩邊都除以3,得a=|b+*故本選項不符合題意；

D.3a=26+5,

二等式兩邊都加1,得3a+l=2b+6,故本選項符合題意

故選：BD.

2.（2024?甘肅蘭州,模擬預(yù)測）下列等式是四位同學(xué)解方程占-三=1過程中去分母的一步，其中正確的是

（）

A.x—2x=1B.x—2x=—1C.%+2%=x—1D.x—2x=x—1

【答案】c

【分析】本題考查解一元一次方程，把等式兩邊分別乘以X-1即可求解.

【詳解】解：三=1，

去分母得，x+2x=x-1,

故選：C.

3.（2024?四川攀枝花?模擬預(yù)測）下列各數(shù)中，是方程2x-l=3x+l的解的是（）

A.x=2B.x=-2C.x=1D.x=1和-2

【答案】B

【分析】本題考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解題關(guān)鍵.依次移項、合并同類

項、系數(shù)化1解方程即可.

【詳解】解：2x-l=3x+l,

移項得：2比-3%=1+1,

合并同類項得：-久=2,

系數(shù)化L得x=-2,

故選：B.

4.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）在解方程x+1=4久+8時，經(jīng)過移項后的式子為（）

x+l7

A.3x=-7B.-T-=C.%=--D.%=4%+7

O4x3

【答案】A

【分析】該題主要考查了一元一次方程的解法，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的解法.

根據(jù)一元一次方程的解法：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為一的方法解答即可.

【詳解】解：x+1-4x+8,

移項得萬-4%=8-1,

化簡得3%=-7,

故選：A.

5.（2024?甘肅金昌?模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中有這樣一道題："今有程傳委輸，空車日行七十里，重車日行

五十里.今載太倉粟輸上林，五日三返.問：太倉去上林幾何？"其大意為：駕馬車在驛站間運送貨物,

空車一日行70里，重車一日行50里，現(xiàn)在從太倉運谷子到上林，5日往返3次.問：太倉距上林多少

里？設(shè)太倉距上林x里，則根據(jù)題意可列方程為（）

%X5xX5

A-而+而=WB.而一而=§

xx3xx3

C—————D—+—=—

J5070570丁505

【答案】A

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題

的關(guān)鍵.

設(shè)太倉到上林的距離為x里，利用時間=路程+速度，結(jié)合5日往返3次，即可得出關(guān)于x的方程.

【詳解】解：設(shè)太倉到上林的距離為x里，

依題意得：京+京=|；

故選：A.

6.（2024?山東棗莊?一模）已知x,y滿足方程組｛對:，則無論機取何值，x,y恒有關(guān)系式是（）

A.%+y=1B.x+y=—1C.x+y=9D.x—y=9

【答案】C

【分析】本題考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，能理解二元一次方程組的解的定義是

解此題的關(guān)鍵.把②代入①，得：%+y-5=4,整理后即可得出答案.

【詳解】解：町對席，

把②代入①，得：%+y-5=4,

即久+y=9,

故選：C.

7.（2024?貴州貴陽?一模）把1-9這9個數(shù)填入3x3方格中，使每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都

相等，這樣便構(gòu)成了一個三階幻方，它源于我國古代的洛書.如圖是僅可以看到部分?jǐn)?shù)值的三階幻方,

則其中x+y的值為（）

【答案】B

【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用.根據(jù)每行、每條對角線上的三個數(shù)之和都相等，列出二元

一次方程，即可解決問題.

【詳解】解：由題意得：無+5+y=3+5+7,

x+y—10,

故選：B

8.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測）古秤是一種人類智慧的產(chǎn)物，也是華夏文明的瑰寶之一.如圖，我們可以用

秤蛇到秤紐（秤桿上手提的部分）的水平距離得出秤鉤上所掛物體的重量，稱重時，若秤鉤所掛物重

為x（斤），秤蛇到秤紐的水平距離為y（cm＞下表中為若干次稱重時所記錄的一些數(shù)據(jù)：

%（斤）

y（厘米）

當(dāng)x為11斤時，對應(yīng)的水平距離y為（

秤布

A.3cmB.3.25cmC.3.5cmD.3.75cm

【答案】B

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解二元一次方程組等

知識點，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

觀察表格數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)y與X之間存在一次函數(shù)關(guān)系，故借助表格數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法求出y關(guān)于X的

函數(shù)關(guān)系式，然后將久=11代入函數(shù)解析式，求出對應(yīng)的函數(shù)值即可.

【詳解】解：觀察表格數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)y與%之間存在一次函數(shù)關(guān)系，故設(shè)y=kx+b,

將點（2,1）與（6,2）分別代入，得喘胃:瑞,

②-①，得：4k=1,

系數(shù)化為1,得：k=0.25,

將k=0.25代入①，得：2x0.25+6=1,

移項，得：6=1—2x0.25,

合并同類項，得：fa=0.5,

y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=0.25%+0.5,

將x=11代入上述解析式，得：y=0.25x11+0.5=3.25,

即當(dāng)x為11斤時，對應(yīng)的水平距離y為3.25cm,

故選：B.

9.（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測）小明恰用20元買筆記本和中性筆，一個筆記本2元，一個中性筆3元（兩種

都要至少買一件），那么他有幾種購買的方案（）

A.4種B.3種C.2種D.1種

【答案】B

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用.熟練掌握二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

設(shè)買筆記本x個，中性筆y個，且1WXW8,1<y<6,x,y為正整數(shù)，依題意得，2久+3y=20,即

%=10-^,然后求解作答即可.

【詳解】解：設(shè)買筆記本%個，中性筆y個，且1<y<6,%,y為正整數(shù)，

依題意得，2久+3y=20,

解得，%=卓=10號，

.?.當(dāng)y=2時，x=7；

當(dāng)y=4時，x=4；

當(dāng)y=6時，x=1；

綜上所述，共有3種購買的方案，

故選：B.

10.（2024?貴州貴陽?二模）已知關(guān)于%的方程2%-租=。的解是％=-3,則根的值為.

【答案】-6

【分析】把方程的解代入原方程，方程左右兩邊相等得到關(guān)于m的方程，解方程即可.本題考查了一元

一次方程的解，解題的關(guān)鍵是知道使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

【詳解】解：把％=—3代入方程中得：

2X（—3）—771=0,

m=-6,

故答案為：-6.

11.（2024?貴州貴陽?二模）某車間有20名工人，每人每天可以生產(chǎn)600個螺母或900個螺絲.一個螺絲需

要配兩個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺絲與螺母剛好配套，設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺母，根據(jù)題意可列方程

【答案】600%=2X900（20-%）

【分析】本題考查了列一元一次方程，設(shè)安排x名工人生產(chǎn)螺母，則（20-x）名工人生產(chǎn)螺絲，根據(jù)題意

列方程即可.掌握列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立等量關(guān)系.

【詳解】解:設(shè)安排萬名工人生產(chǎn)螺母，則（20-嗎名工人生產(chǎn)螺絲，

由題意得600久=2X900（20-%）,

故答案為：600x=2X900（20-%）.

12.（2024?廣西?模擬預(yù)測）點4（—犯2爪+1）在函數(shù)丫=一比+1的圖象上，則租=.

【答案】0

【分析】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，解一元一次方程，先根據(jù)點4（-成2爪+1）在函數(shù)y=-久+1

的圖象上，即可得出-（—機）+1=2爪+1,然后解一元一次方程即可得出機的值.

【詳解】解：點力（一山,2巾+1）在函數(shù)y=-x+i的圖象上，

???一（—771）+1=2?7l+1,

解得：771=0,

故答案為：0.

13.（2024?山西?模擬預(yù)測）如圖，8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，設(shè)每塊小長方形地磚的長為

xcm,寬為ycm,可列方程組：.

L口耒,（x+y=40

【分析】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的

關(guān)鍵.設(shè)每塊小長方形地磚的長為％cm,寬為ycm,由圖示可得等量關(guān)系：①2個長=1個長+3個寬,

②一個長+一個寬=40cm,列出方程組，解方程組即可.

【詳解】解：設(shè)每塊小長方形地磚的長為％cm,寬為ycm,由題意得：

（2x=x+3y

t%+y=40'

故答案為：｛雷二帝.

14.（2024?貴州?模擬預(yù)測）北京時間2024年4月26日5時04分，神舟十八號航天員乘組順利進(jìn)駐中國空

間站與神舟十七號航天員乘組太空會師，載人飛船發(fā)射取得了圓滿成功！小星和小紅都是航天愛好者,

他們計劃購買甲、乙兩種飛船模型收藏.下面是兩位同學(xué)的對話：

*lf小星:我買了1件甲種飛船］j小紅:我買了2件甲種飛船|XRk

4模型和1件乙種飛船模型，I|模型和3件乙種飛船模型，/J**5

禹［共花了40元.J［共花了95元.

⑴求甲、乙兩種飛船模型每件的售價分別為多少元？

（2）若小星計劃正好用200元零花錢購買以上兩種飛船模型，且每種都有購買，請通過計算說明有多少

種購買方案.

【答案】（1）甲種飛船模型每件進(jìn)價25元，乙種飛船模型每件進(jìn)價15元

（2）有2種購買方案：①購進(jìn)5件甲種飛船模型和5件乙種飛船模型；②購進(jìn)2件甲種飛船模型和10

件乙種飛船模型

【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用及二元一次方程的正整數(shù)解的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系列

出二元一次方程（組）是解題關(guān)鍵.

（1）設(shè)甲種飛船模型每件進(jìn)價x元，乙種飛船模型每件進(jìn)價y元，根據(jù)1件甲種飛船模型和1件乙種

飛船模型的售價共計40元，2件甲種飛船模型和3件乙種飛船模型的售價共計95元，建立二元一次方

程組，解之即可；

（2）設(shè)購進(jìn)。件甲種飛船模型和6件乙種飛船模型，根據(jù)總價=單價X數(shù)量，得到關(guān)于0、6的二元

一次方程，結(jié)合。、6是正整數(shù)即可得所有購買方案.

【詳解】（1）解：設(shè)甲種飛船模型每件的售價為x元，乙種飛船模型每件的售價為y元，

根據(jù)題意得法：匯累5，

解得

答：甲種飛船模型每件的售價為25元，乙種飛船模型每件售價為15元；

（2）解：設(shè)購買a件甲種飛船模型和b件乙種飛船模型，

根據(jù)題意得25a+15b=200,

:a=8一—b,

???a,b均為正整數(shù)，

當(dāng)6=5時，a=5；

當(dāng)b=10時，a=2,

.,.有2種購買方案如下：

①購買5件甲種飛船模型和5件乙種飛船模型；

②購買2件甲種飛船模型和10件乙種飛船模型.

能力提升

1.（2024?山東東營?模擬預(yù)測）聰聰買一套4本裝的《西游記》和1本《童活故事》共用去84元.如果1本《童

話故事》的價錢是1本《西游記》的3倍，這本童話故事是（）.

A.12元B.21元C.36元D.42元

【答案】c

【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)1本《西游記》的價錢是x元，則1本《童話故事》的價錢是

3x元，根據(jù)"買一套4本裝的《西游記》和1本《童活故事》共用去84元”列出方程求解后可得結(jié)論.正

確理解題意，找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:設(shè)1本《西游記》的價錢是x元，貝以本《童話故事》的價錢是3x元，

依題意，得：4%+3%=84,

解得：%=12,

3x=3x12=36（元），

??.這本童話故事是36元.

故選：C.

2.（2024,湖南?模擬預(yù)測）在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)"中指出："割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至

于不可割，則與圓周合體而無所失矣"，這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化的思想，

比如在1+]+/+或+/+…中，"…”代表按規(guī)律不斷求和，設(shè)1+J+尚+g+2+“=則有

22/2，22/2，2，

1iliiill

x=l+-x,解得％=2,故1+5+豆+石+—=2.類似地至+亳+京H—的結(jié)果為（）

1964

A-iB-8C.gD.-

【答案】A

【分析】本題主要考查解一元一次方程和數(shù)字的變化規(guī)律，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去

1111111

括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為L設(shè)1+城+域+京+…=心知1+5+域+e+…=1+5

（1+白+=+吃據(jù)此可得x=l+9再進(jìn)一步求解可得.

\32343673

【詳解】解：設(shè)1+/+城+/+...=居

貝U1+/+/+捻+“,=1+/（1+/+蛾+/+…1

1

?,?X=1

解得O

1119

???1+至+裒+3+…=7

1111

二7+亞+袤+”,=7

故選:A

3.（2024?河北?模擬預(yù)測）如圖1和圖2,天平兩邊托盤中相同形狀的物體質(zhì)量相同，且兩架天平均保持平衡,

若1個“□”與幾個"的質(zhì)量相等，貝切的值為（）

\rmAA/xmcTTi/VYYIAA/\/

△△

和圖2

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是正確找出等量關(guān)系.設(shè)1個“□”的質(zhì)量為K，1個"△"

的質(zhì)量為y,1個"。”的質(zhì)量為z,再根據(jù)題意列出方程組即可求解.

【詳解】解：設(shè)1個"□"的質(zhì)量為x,1個"△"的質(zhì)量為y,1個"。"的質(zhì)量為z,

3x+2y=2x+3z

根據(jù)題意可得:2y+3z=x+2z'

整理得：｛X+2y=3z(l

2y+z=x@

①一②得：x=2z,

即1個"口"與2個"o”的質(zhì)量相等,

故選：B.

4.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）從甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡每小時走3km,平

路每小時走4km,下坡每小時走5km,那么從甲地到乙地需要54min,從乙地到甲地需42min.則從甲

到乙地的全程是（）

A.186kmB.90kmC.96kmD.3.1km

【答案】D

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用.設(shè)從甲地到乙地的上坡長為%km,平路長為ykm,根據(jù)時

間等于路程除以速度建立方程組，解方程組求出久，y的值，由此即可得.

【詳解】解：設(shè)從甲地到乙地的上坡長為xkm,平路長為ykm,則從乙地到甲地的下坡長為xkm,平路

長為ykm,

Xy54

+

-----

3460

%y-42

由題意得:+

---

546O-

解得碇邪，

則甲地到乙地全程是x+y=1.5+1.6=3.1（km），

故選：D.

5.（2024?江蘇揚州?三模）設(shè)Gtigg，…，。2024是從-L0,3這三個數(shù)中取值的一列數(shù)，若與+&2+a3H---F

2333

ct.2024=13,a：+城+a|4—+a2024=59,則aj+a2+a3+…+a2024=（）

A.154B.155C.156D.157

【答案】D

【分析】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律和二元一次方程組的應(yīng)用，熟練掌握上述知識點是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，設(shè)這一列數(shù)中有久個一1,y個3,可列｛(_：馬與丫59，即可求出久與y的值，再將其代

3

入a；+a|+a|+a|024=(—l)^+33y中計算即可.

【詳解】解：設(shè)這一列數(shù)中有%個一1,y個3,

——％+3y=13

可，」1(—1)2%+32y=59，

解得:

,,,a；+a：+a|+■-■+城024

=(-l)3x+33y

=-5+27x6

=157,

故選：D.

6.(24-25七年級上?重慶?階段練習(xí))下午四點多，小李潛心鉆研桃李杯的思維題，開始時時針與分針的夾

角是65。，結(jié)束時發(fā)現(xiàn)時間還不到當(dāng)天下午五點，且時針與分針的夾角還是65。，小李鉆研了分鐘.

【答案】23夕等

【分析】本題考查應(yīng)用類問題，鐘表時針與分針的夾角.在鐘表問題中，常利用時針與分針轉(zhuǎn)動的度

數(shù)關(guān)系：分針每分鐘走360。+6。=6。，時針每分鐘走360。+12+60=0.5。，并且利用起點時間時針

和分針的位置關(guān)系建立方程求解.

【詳解】解：分針每分鐘走360。+60=6。，時針每分鐘走360。+12+60=0.5。，

四點整時，時針和分針之間的夾角是4x(360°+12)=120°,

設(shè)小李開始鉆研時是4點x分，則由題意可得：(120+0.5x)-6尤=65,解得比=10,

即：下午4點10分時，小李開始鉆研，

7

設(shè)結(jié)束時是4點y分，則由題意可得：6%一(120+0.5y)=65,解得y=33五，

即：下午4點33看分時，小李結(jié)束鉆研，

???小李鉆研了335—10=23,分，

故答案為：23A.

7.(2024?廣東?模擬預(yù)測)關(guān)于x,j的方程組｛黑:就二端的解滿足<2,則n的取值范圍是.

【答案】n>-2

【分析】本題考查的是二元一次方程組與一元一次不等式的應(yīng)用，掌握整體求未知數(shù)的方法是解本題

的關(guān)鍵.①-②得久-丫=-2n-2,根據(jù)x-yW2得出關(guān)于〃的不等式求解.

【詳解】解：卜黑6M索%),

①一②，^x-y=-2n-2,

'：x—y<2,

**?—271—2<2,

.,.n>—2.

故答案為：九2一2.

8.（2024?廣東廣州?中考真題）定義新運算：。?6=｛_9工［陡>°6,例如：-204=（-2）2-4=0,

203=-2+3=1.若久01=—z，貝此的值為.

【答案】—9或3

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確新運算的定義.根

據(jù)新定義運算法則列出方程求解即可.

【詳解】解：:a0b=｛

I—a十u,CLx>U,

3

而x（8）1=4-

??.①當(dāng)XWO時，則有%2-1=-%

解得，%=-p

②當(dāng)x>0時，-x+l=-*

解得，x=3

綜上所述，X的值是-J或

故答案為：-j或

9.（2024?江蘇宿遷?中考真題）若關(guān)于X、>的二元一次方程組｛暇｝J二，的解是｛二32，則關(guān)于-）的

方程組｛戈士.二或；/的解是-

【答案】｛J二

【分析】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，把｛J=一2,代入=%,得到

廖展整體代入｛對君二棄空中，得到方程組圖±2"5比翹，加減消元法解方程組

即可.

【詳解】解：把｛J=芻代入晦與二3得：｛言箕3

fax+2y=2a+b

.tcx-2y=2c+d'

Ja%+2y=2a+3a—2,lnfax+2y=5a—2（D

"c%—2y=2c+3c+2'':lc%—2y=5c+2②'

①+②‘得：（a+c）%=5（口+c），

???方程組｛叫二J二」有解，

?,-a+cH0,

/.%=5,

把％=5代入①，得：5a+2y=5。-2,解得：y=-l；

???方程組的解集為：｛J=-1;

故答案為：

10.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲

槽、乙槽、丙槽.有大小質(zhì)地完全相同的三個小球，每個小球標(biāo)有從1至9中選取的一個數(shù)字，且每

個小球所標(biāo)數(shù)字互不相同.作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入

不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分?jǐn)?shù)為落入該小孔

槽小球上所標(biāo)的數(shù)字），完成第一次操作.再重復(fù)以上操作兩次.已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分

之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是—

（從"甲槽"、"乙槽"、"丙槽"中選填）.

【答案】乙槽

【分析】設(shè)第一次操作乙得x分，第二次操作乙得了分，第三次操作乙得z分，根據(jù)題意，得

x+y+z=10,當(dāng)y=z=l時，x最大，為8,根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故

第二次操作最小的是乙槽.

本題考查了方程的應(yīng)用，特殊解，熟練掌握整數(shù)解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】設(shè)第一次操作乙得X分，第二次操作乙得〉分，第三次操作乙得Z分，根據(jù)題意，得

x+y+z^lO,當(dāng)y=z=l時，x最大,為8,根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故

第二次操作計分最低的是乙槽.

故答案為：乙槽.

◎■真題感知

1.（2024?江蘇宿遷?中考真題）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺：若將繩四折測之,

繩多一尺.繩長、井深各幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把

繩四折來量，井外余繩一尺.繩長、井深各幾尺？若設(shè)繩長為x尺，則可列方程為（）

1,1Y1X1X

A.-x-4=-x-lB.TX+4=-x-l

3434

1111

C.-x—4=-%+1D.-%+4=-%+1

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元一次方程組的實際應(yīng)用，利用井的深度不變建立方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)繩長為x尺，列方程為$-4=%—1,

故選A.

2.（2024?江蘇無錫?中考真題）《九章算術(shù)》中有一道“鳧雁相逢"問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海

飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天.如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經(jīng)

過多少天相遇？設(shè)經(jīng)過X天相遇，則下列方程正確的是（）

A.yx+=1B.=1C.9x+7%=1D.9x—7%=1

【答案】A

【分析】本題考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)題意可得野鴨的速度為義，大雁的速度為:設(shè)經(jīng)過

x天相遇，則相遇時野鴨的路程+大雁的路程=總路程，據(jù)此即可列出方程.

【詳解】解：設(shè)經(jīng)過“天相遇，

可列方程為：夫+白=1,

故選：A.

3.（2024?山東日照?中考真題）我國明代數(shù)學(xué)家程大位編撰的《算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿"問題："一條竿

子一條索，索比竿子長一托，折回索子來量竿，卻比竿子短一托，問索、竿各長幾何？"譯文為："有一

根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長5尺；若將繩對折后再去量竿，則繩比竿短