專題18直角三角形的核心知識點精講

O復習目標O

1.了解直角三角形的概念；

2.證明并掌握直角三角形的性質定理：直角三角形的兩個銳角互余（無需證明）；直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半；

3.掌握直角三角形的判定定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形；

4.掌握勾股定理；會運用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形；

5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜邊和一組直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；

O考點植理O

考點1:直角三角形的性質與判定

1.兩銳角之和等于90°

2.斜邊上的中線等于斜邊的一半

3.30°角所對的直角邊等于斜邊的一半

1,若有一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角等于30°

性質（應用時需先證明）

2.勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,則

2122

a+b=c

直

角1.有一個角為90°的三角形時直角三角形

2.有兩個角的和時90°的三角形是直角三角形

1,一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形

角判定2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為a,b,c若滿足

形

a+b2=c，那么這個三角形為直角三角形。

S」ab=J'其中'是底邊常，hs是底邊上的高

一仗

面積公式

b

考點2：勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別

為a,b,斜邊長為c,那么/+/=。2.

直角邊

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a,b,c,滿足/+62=02,那么這個三角形是直角三

角形.

（3）勾股數：像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數。

勾股數滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數

0刃典例引領

【題型1：直角三角形的性質與判定】

【典例1】（2024?山東濟寧?中考真題）如圖，菱形4BCD的對角線AC,BD相交于點O,E是AB的中點，連

接。E.若。E=3,則菱形的邊長為（）

A.6B.8C.10D.12

即時檢測

1.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，力B是。。的直徑，點C在48的延長線上，CD與O。相切于點。，若

ZC=20°,貝I]NG4D=°,

2.（2024?山東青島?中考真題）如圖，菱形4BCD中，8C=10,面積為60,對角線NC與8。相交于點O,

過點/作AE1BC,交邊BC于點E,連接E。，則E。=.

3.（2024?山東東營?中考真題）如圖，△ABC內接于。。，4B是O。的直徑，點E在。。上，點C是質的中

點，AE1CD,垂足為點。，DC的延長線交的延長線于點足

⑴求證：CD是。。的切線；

（2）若CD=百，N4BC=60。，求線段4F的長.

河典例引領

【題型2：勾股定理及逆定理】

【典例2】（2024?四川巴中?中考真題）"今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊?問:

水深幾何？"這是我國數學史上的“葭生池中”問題.即4C=5,DC=1,BD=BA,則BC=（）

A.8B.10C.12D.13

即時檢測

1.（2024?遼寧?中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形40BC的頂點4在%軸負半軸上，頂點B在直

線y=/上，若點B的橫坐標是8,為點C的坐標為（）

4

A.(—1,6)B.(—2,6)C.(-3,6)D.(-16)

2.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，將矩形紙片力BCD沿邊EF折疊，使點。在邊BC中點M處.若

AB=4,BC=6,則CF=

3.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，在中，ZXCB=90°,AC=6,BC=4,。是邊力C的中點，E

是邊BC上一點，連接8。、DE.將△CDE沿OE翻折，點C落在8D上的點尸處，則CE=

【題型3：勾股定理與弦圖、拼圖】

【典例3】（2023?內蒙古?中考真題）如圖是源于我國漢代數學家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與

一個小正方形拼成的一個大正方形.若小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小

的銳角為a,則cosa的值為（）

R44

A-IB-wD-5

即時檢測

1.（2023,江蘇揚州?中考真題）我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創制了一幅“勾股圓方圖"，后人稱之為"趙

爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成.如圖，直角三角形的直角邊長為a、b,

斜邊長為c,若b-a=4,c=20,則每個直角三角形的面積為

o好題沖關o

名碼基礎過關

1.（24-25八年級上?吉林四平?期末）如圖，RtAXBC=RtADB￡,若乙4=30。，貝!UE的度數為（）

A.60°B.45°C.35°D.30°

2.（24-25八年級上?河南鄭州?期中）如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結，然

后將繩子拉到離旗桿底端5m處,發現此時繩子底端距離打結處約1m.如果設旗桿的高度為xm,那么

根據題意可列方程（）

A.(%-1)2+52=X2B.(x+I)2+52=%2

C.x2+52=(x-1)2D.x2+52=(x+I)2

3.（24-25八年級上?四川?期中）一架長5m的梯子，如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子的底端離墻1.4m,如果

梯子的頂端下滑0.8m,那么他的底部滑行了（）

A.0.8mB.ImC.1.2mD.1.6m

4.（20-21八年級上?全國?課后作業）如圖，長方體的長為15cm,寬為10cm,高為20cm,點B與點C的距

離為5cm,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點2爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是

（）

A.25cmB.20cmC.24cmD.10V5cm

5.（24-25八年級上?河北保定?階段練習）如圖，以數軸上的原點為圓心，。8長為半徑畫圓弧，交數軸正半

軸的點4處，則點Z所表示的數為（)

'B

-10121X

A.V9C.V6D.V5

6.（24-25八年級上?河北保定?階段練習）下圖是由正方形和直角三角形拼組成的，若正方形4,3的面積分

別為9,4,則正方形C的面積是（

A.5B.V5D.V13

7.（2024?安徽安慶?二模）如圖，在長方形2BCD中，DC=6,在DC上存在一點及沿直線AE把△ADE折疊,

使點。恰好落在8c邊上，設此點為尸，若△4BF的面積為24,貝UCE的長度為（）

A.3.5B.1C.2D.3

8.（24-25九年級上?江蘇宿遷,期末）如圖，是。。的直徑，AC是。。的弦，AB=2,^BAC=30°,若

點。在O。上，且=60°,則CD長為

9.（24-25八年級上?上海?期末）在平面直角坐標系中，點4的坐標為（0,5），點P坐標為（3,0），則線段AP=

10.（24-25八年級上?吉林長春?期末）如圖，將等腰直角三角尺一條直角邊放在數軸上，頂點B和C對應的數

分別為0和1,再將三角尺繞頂點B逆時針旋轉，使得斜邊與數軸重合，則頂點4在數軸上對應的數

是.

11.（24-25八年級上?福建廈門?期中）如圖,在/XABC中,AB=BC,zX5C=120°,過點B作BD1BC,交

AC于點D,若AD=1,貝必C的長度為.

12.（24-25八年級上,陜西?期中）如圖，在Rt△力BC中，NACB=90。,乙4=30。，2B=8,BC=4,若點。

在直線48上，且NBCD=30。，貝的長為.

13.（24-25八年級上?遼寧鞍山?期中）如圖,4（0,3），B（2,0）,4C=AB,AC1AB,則點C的坐標為.

14.（24-25八年級上?河北保定?階段練習）數學興趣小組發現，系在旗桿頂端的繩子垂到地面時多出了3米,

把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點A處（如圖12所示），測得繩子底端/與旗桿根部C

之間的距離為9米，設旗桿BC的高度為x米.

⑵求旗桿的高度8C；

⑶珍珍在繩子底端又接上了長5米的繩子（接頭處忽略不計），把繩子拉直，若要拼接后繩子的底端恰

好接觸地面的點。處，求珍珍應從/處向東走多少米？

15.（2024?廣東汕頭?一模）如圖，△4BC和aDCE都是等腰直角三角形，AACB=ADCE=90°,AC=BC,

DC=EC,連接他BE.

B

（1）求證：△ACD三△BCE；

（2）直接寫出AD和BE的位置關系.

鉗能力提升

1.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，菱形ZBCD中，點。是BD的中點，AM1BC,垂足為M,AM

交BD于點N,OM=2,BD=8,則MN的長為（）

A?近B.誓C.善D.等

2.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，矩形2BCD中，AB=百，BC=1,動點、E,尸分別從點/,C同時出

發，以每秒1個單位長度的速度沿ZB,CD向終點3,。運動，過點￡,下作直線/,過點/作直線/的

垂線，垂足為G,貝必G的最大值為（）

A.V3B-TC.2D.1

3.（2024?西藏?中考真題）如圖，在RtaABC中，ZC=9O°,AC=12,BC=5,點尸是邊上任意一點,

過點P作PD14C,PELBC,垂足分別為點。，E,連接DE,貝UOE的最小值是（）

4.（2024?廣西?中考真題）如圖，邊長為5的正方形ABCD,E,F,G,〃分別為各邊中點，連接4G,BH,

CE,DF,交點分別為M,N,P,Q,那么四邊形MNPQ的面積為（）

A.1B.2C.5D.10

5.（24-25九年級上?重慶榮昌?期中）如圖，在正方形力BCD中，E,尸分別為BC,CD邊上的點，4F與OE交

于點M,N為2E的中點，連接MN,若48=4,CE=DF,CF=3DF,則MN的長度為.

6.（24-25九年級上?廣東汕頭?期中）如圖，△ABC中，N4CB=90。，BC=8,AC=6,將△ABC繞點B逆

時針旋轉得△4BC',若點C'在48上，連接24,貝|44’的長為.

7.（24-25九年級上?陜西咸陽?階段練習）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖"的示意圖，它是由四個全等的直

角三角形圍成的，若正方形ABCD的面積為25,正方形EFGH的面積為1,則tan/ABF的值為.

8.（2024?四川內江?中考真題）如圖，在△ABC中，乙4BC=60。，BC=8,E是BC邊上一點，且BE=2,點

/是△力BC的內心,B/的延長線交4c于點D,P是8。上一動點，連接PE、PC,則PE+PC的最小值為.

9.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，把矩形紙片4BCD沿對角線BD折疊，使點C落在點￡處，BE與AD交

于點尸，若48=6,BC=8,貝hosNABF的值是.

10.（2022?吉林長春?模擬預測）問題引入：如圖①，ABWCD,AB>CD,NABD=90。，E是線段AC

的中點，連接。E并延長交4B于點R連接BE.貝UBE與DE之間的數量關系是；

問題延伸：如圖②，在正方形4BCD和正方形BEFG中，點/、B、￡在同一條直線上，點G在BC上，P

是線段DF的中點，連接PC、PG.

圖①圖②

（1）判斷PC與PG之間的數量關系，并說明理由;

(2)連接CF,若4B=3,PC=VL貝/產的長為.

11.（2024?河北,模擬預測）如圖1,嘉嘉用四個全等的直角三角形拼接了一個"趙爽弦圖"，其中大正方形4BCD

的面積為25,小正方形EFGH的面積為1.

圖1圖2圖3

(1)如圖2,連接DG,CF,BE,4H得到一個風車圖案(陰影部分)，則風車圖案的周長為

(2)如圖3,連接4C,交BG于點尸，交DE于點、M,貝1JS^FP—SMGP=

12.(2024?廣東?模擬預測)綜合與實踐

【提出問題】唐朝詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句"白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，"中隱含著

一個有趣的數學問題一一將軍飲馬問題.如圖1,將軍從山腳下的點4出發，到達河岸點P飲馬后再回到

點B宿營，請問怎樣走才能使總路程最短？

【分析問題】

如圖1,取點力關于河岸線的對稱點4,連接AP,A'P,當4,P,B三點共線時，點P為飲馬的地方，

PA+PB=A'B,此時所走的路程就是最短的.

【解決問題】

(1)當4,P,B三點共線時路程最短的依據是」

【遷移應用】

(2)如圖2,A,8兩個村莊在河岸CD的同側，兩村到河岸C。的距離分別為AC=1千米，BD=3千米,

(CD=3千米，現要在河岸CD上建一水廠P,從P處向4B鋪設管道以輸送自來水，使得鋪設所需的管

道長度和最少.

①請在河岸CD上作出水廠P的位置，并寫出作圖過程；

②若鋪設水管的工程費用為20000元/千米，求出鋪設水管最節省的總費用.

真題感知

1.(2024?內蒙古包頭?中考真題)如圖，在菱形ABCD中，N力BC=60。，AB=6,AC是一條對角線，E是AC

上一點，過點E作EF14B,垂足為F,連接DE.若CE=4F,則DE的長為

2.（2024?新疆,中考真題）如圖，在RtZ\2BC中，NC=90。,乙4=30。,43=8.若點。在直線48上（不與點

A,8重合），且NBCD=30。，貝必。的長為.

3.（2024?四川?中考真題）如圖，Rta/IBC中，NC=90。，AC=8,BC=4,折疊△ABC,使點/與點8重

合，折痕DE與2B交于點。，與力C交于點E,則CE的長為.

4.（2024?陜西?中考真題）如圖，在△4BC中，AB=AC,￡是邊4B上一點，連接CE,在BC右側作8尸||4C,

且BF=2E,連接CF.若4C=13,BC=10,則四邊形EBFC的面積為.

5.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40。和50。，其三邊上分別有一個

正方形.執行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40。和50。的直角三角形，再分別以所得

到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形.圖②是1次操作后的圖形.圖③是重復上述步驟若干次后

得到的圖形，人們把它稱為"畢達哥拉斯樹".若圖①中的直角三角形斜邊長為2,則10次操作后圖形

中所有正方形的面積和為.

圖①圖②圖③

6.（2024?遼寧?中考真題）如圖1,在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪