42第8章幾何中的最值問題之和長度有關的最值之多線段的最值

一、單選題

1.如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2,AE=4,P是AC上一動點，則PB+PE的最小值

A.6B.275C.8D.2^/13

2.如圖，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB

的最小值為（）

A.4B.2小C.472D.4G

3.如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，點E、P分別是邊BC、上的動點，且BE=CF,連接8尸、DE,

則BF+DE的最小值為（）

A.V12B.V20c.V48D.V80

4.如圖，在菱形A3CD中，ZA=60°,AB=3,QA,03的半徑分別為2和1,P,E，R分別

是CD邊、0A和0B上的動點，則尸E+PF的最小值是（）

c

B.2C.3D.3A/3

5.如圖，等邊△ABC中，于。，AO=3.5cm,點P、Q分別為A3、A。上的兩個定點且5尸=AQ=2cm,

在上有一動點E使PE+QE最短，貝UPE+QE的最小值為()

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

6.如圖，在銳角AABC中，AB=AC=10,S“BC=25,NBAC的平分線交BC于點。，點M,N分別是A。

和AB上的動點，則8M+MN的最小值是()

C.5D.6

二、填空題

7.如圖所示，R3ABC中，AC=BC=4,A。平分/BAC,點E在邊AB上，且AE=1,點尸是線段A。上的

一個動點，則PE+PB的最小值等于

8.如圖，正方形ABCD的面積為16,E為AD的中點，R為對角線3。上的一個動點，連接AF、EF,

則線段”+石廠的最小值是

9.如圖，0加，0乂，已知邊長為2的正446。，兩頂點人,2分別在射線OM、ON上滑動，當NQ43=23°

時，ZNBC=,滑動過程中，連結0C,則線段0C長度的取值范圍是.

10.如圖，在矩形A8C。中，AB=4,AO=5,連接AC,。是AC的中點，M是上一點，且〃。=1,P

是BC上一動點，則PM-P。的最大值為

11.如圖，等腰三角形ABC的底邊3c長為4,面積是18,腰AC的垂直平分線"分別交AC,A6邊

于E,尸點.若點。為3c邊的中點，點G為線段所上一動點，則ACDG周長的最小值為

12.如圖，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是/BAC的平分線.若E是AC上一點且BEJ_AC,

P是AD的動點，則PC+PE的最小值是.

D

三、解答題

13.如下右圖所示.(1)作出AA3C關于丁軸對稱的圖形AA]4C；(2)在％軸上確定一點p,使得QA+PC

最小.

14.如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網格中，點A、B、C在小正方形的頂點上，

(1)AABC的面積為；

(2)在圖中畫出與AABC關于直線1成軸對稱的△AiBiCi；

(3)利用網格線在直線1上求作一點P,使得PA+PC最小.請在直線1上標出點P位置,PA+PC最小為

個單位.

k

15.如圖，直角△ABC中，NC=90°,AC=2,BC=4,AC平行于無軸，A、B兩點在反比例函數y=—(x

x

>0)的圖象上.延長CA交y軸于點D,AD=1.

(1)求反比例函數的解析式;

（2）在y軸上是否存在點P,使△出8的周長最小，若存在，直接寫出此時的周長；若不存在，說

明理由.

16.如圖，在邊長為2cm的正方形ABC。中，。為BC邊的中點，P為對角線AC上的一個動點，連接

PQ,求APB。周長的最小值.

17.如圖，一次函數y=-x+6的圖像與正比例函數y=2x的圖像交于點A.

（1）求點A的坐標；

（2）已知點B在直線y=-x+6上，且橫坐標為5,在x軸上確定點P,使PA+PB的值最小，求出此時

P點坐標，并直接寫出PA+PB的最小值.

18.如圖，在心A43C中，NACB=90°,BC=AC=2,。為AB中點，E,尸分別是AC,3c上的

動點，且滿足N￡DF=90°.

（1）求證：DE=DF；

（2）求四邊形CEDE的面積;

（3）求ACM周長的最小值（結果保留根號）.

19.A3兩個小鎮在河流/的同側，它們到河流的距離AC=4千米，5￡>=8千米，且CD=5千米，現要

在河邊修建一自來水廠，向A,8兩鎮供水，鋪設水管的費用為每千米3萬元.

B

cn1

（1）請你在河岸上選擇水廠的位置使鋪設水管的費用最少（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）最低費用為多少？

20.如圖，在正方形網格中，點A、B、C、M、N都在格點上.

（1）作AABC關于直線MN對稱的圖形△ABC".

（2）若網格中最小正方形的邊長為1,求AABC的面積.

（3）點P在直線MN上，當PA+PC最小時，P點在什么位置，在圖中標出P點.

（4）求出第三問中PA+PC的最小值

21.已知在平面直角坐標系中，A（4,0）,B（0,3）,以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰直角三角形

ABC,AB=AC,ZBAC=90°.

（1）在圖（1）中，求點C坐標；

（2）在圖（2）中，動點P從原點出發，以每秒2個單位長度的速度向x軸正方向運動，設點P的運動時間

為t,APAC的面積為S,求S與t的關系式，并寫出t的取值范圍.

（3）在（2）問條件下，若PB+PC的值最小時，求P點坐標及t的值.

22.如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，△AOB的頂點均在格點上，點A、8的坐標分別是A(3,2),

B(1,3),ZVIOB關于y軸對稱的圖形為△4021.

(1)畫出△4。修并寫出點Bi的坐標為；

(2)寫出△AOS的面積為；

(3)點P在x軸上，使B4+P2的值最小，畫出p點

(4)在(3)的條件下，求出+P8的的最小值.

23.如圖，在平行四邊形A3CD中，AB=2,AD=1,ZB=6Q°,將平行四邊形A3CD沿過點A的直線/

折疊，使點。落到AB邊上的點O'處，折痕交CD邊于點E.

(1)求證：四邊形3CE。'是菱形；

(2)若點尸是直線/上的一個動點，請作出使尸ZT+P3為最小值的點尸，并計算PD4PB.

24.如圖，在AA3C中，已知=AB的垂直平分線交A3于點N,交AC于點四，連接MB

(2)若=AMBC的周長是18cm

①求3C的長度；

②若點P為直線MN上一點，請你直接寫出AP5C周長的最小值

42第8章幾何中的最值問題之和長度有關的最值之多線段的最值

一、單選題

1.如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2,AE=4,P是AC上一動點，貝|PB+PE的最小值

A.6B.275C.8D.2^/13

【答案】D

【分析】由正方形的性質得出B、D關于AC對稱，根據兩點之間線段最短可知，連接DE,交AC于P,

連接BP,則此時PB+PE的值最小，進而利用勾股定理求出即可.

【解答】解：如圖，連接DE,交AC于P,連接BP,則此時PB+PE的值最小，

:四邊形ABCD是正方形，

；.B、D關于AC對稱，

；.PB=PD,

PB+PE=PD+PE=DE.

VBE=2,AE=4,

；.AD=AB=6,

；.DE="+62=25,

故PB+PE的最小值是2岳.

【點評】本題考查軸對稱一最短路線問題，其中涉及正方形的性質、勾股定理等知識，是重要考點，難度

較易，掌握相關知識是解題關鍵

2.如圖，正方形ABCD中，A3=4，E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，則PE+PB

的最小值為（）

D

A.4B.275C.472D.4G

【答案】B

【分析】由正方形的中心對稱性質，可得PE+PB的最小值即是DE的值，再由勾股定理解題計算即可.

【解答】連接DE,交AC于點P,連接BD,

???點B與點D關于AC對稱，

DE的長即為？E+PB的最小值，

-,-AB=4,E是BC的中點，

CE=2，

在Rt^CDE中，

DE=slCD2+CE2=742+22=2A/5

PE+PB的最小值是2石.

故選：B.

【點評】本題考查兩點對稱的性質、兩點間的距離、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關

知識是解題關鍵.

3.如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，點E、尸分別是邊BC、C。上的動點，且BE=CR連接2尸、

DE,則BE+OE的最小值為（）

A.V12B.720C.V48D.780

【答案】D

【分析】連接AE,利用△ABE0dBCF轉化線段BF得到BF+DE=AE+DE,則通過作A點關于BC對

稱點H,連接DH交BC于E點，利用勾股定理求出DH長即可.

【解答】解：解：連接AE,如圖1,

四邊形ABCD是正方形，

；.AB=BC,ZABE=ZBCF=90°.

又BE=CF,

AABE^ABCF(SAS).

所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值.

作點A關于BC的對稱點H點，如圖2,

連接BH,則A、B、H三點共線，

連接DH,DH與BC的交點即為所求的E點.

根據對稱性可知AE=HE,

所以AE+DE=DH.

在RtAADH中，DH2=AH2+AD2=82+42=80

，DH=4逐

.?.BF+DE最小值為4班

【點評】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、最短距離問題，一般求兩條線段最短

距離問題，都轉化為一條線段.

4.如圖，在菱形A3CD中，ZA=60°,AB=3,?A,的半徑分別為2和1,P,E，F分

別是C￡＞邊、0A和上的動點，則尸石+尸尸的最小值是()

A.3方-3B.2C.3D.373

【答案】C

【分析】利用菱形的性質及相切兩圓的性質得出P與D重合時PE+尸尸的最小值，進而求解即可.

【解答】解：作點A關于直線CD的對稱點A、連接BD,DAS

???四邊形ABCD是菱形，

；.AB=AD,

,/ZBAD=60°,

AABD是等邊三角形，

ZADB=60°,

VZBDC=ZADB=60°,

ZADN=60°,

ZA,DN=60°,

AZADB+ZADA=180°,

AASD,B在一條直線上，

由此可得：當點P和點D重合，E點在AD上，F點在BD上，此時尸E+PF最小，

:在菱形ABCD中，ZA=60°,

；.AB=AD,

則AABD為等邊三角形，

；.BD=AB=AD=3,

OA,OB的半徑分別為2和1,

.*.PE=1,DF=2,

，PE+PF的最小值為3.

故選C.

【點評】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質，點與圓的位置關系等知識.根據題意得出點P位置

是解題的關鍵.

5.如圖，等邊AABC中，BZUAC于。，AD=3.5cm,點P、。分別為A3、上的兩個定點且8P=AQ=2cm,

在3。上有一動點E使尸E+QE最短，則尸E+QE的最小值為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】C

【分析】作點Q關于BD的對稱點Q，，連接PQ咬BD于E,連接QE,此時PE+EQ的值最小.最小值

PE+PQ=PE+EQ，=PQ'

【解答】解：如圖，???△ABC是等邊三角形，

ABA=BC,

VBD1AC,

AD=DC=3.5cm,

作點Q關于BD的對稱點Q\連接PQ，交BD于E,連接QE,此時PE+EQ的值最小.最小值為

PE+PQ=PE+EQ'=PQ',

*.*AQ=2cm,AD=DC=3.5cm,

???QD=DQ，=1.5(cm),

CQ—BP=2(cm),

???AP=AQ，=5(cm),

ZA=60°,

.?.△APQ，是等邊三角形，

；.PQ'=PA=5(cm),

-,.PE+QE的最小值為5cm.

故選：C.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質和判定，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解

決最短問題.

6.如圖，在銳角△ABC中，AB=AC=1Q,S^ABC=25,NBAC的平分線交BC于點D,點N分別是

和AB上的動點，則8M+MN的最小值是()

24

A.4B.——C.5D.6

5

【答案】C

【分析】根據AD是NBAC的平分線，AB=AC可得出確定出點B關于AD的對稱點為點C,根據垂線段最

短，過點C作CNXAB于N交AD于M,根據軸對稱確定最短路線問題，點M即為使BM+MN最小的點，

CN=BM+MN,利用三角形的面積求出CN,從而得解.

【解答】解：如圖，：AD是NBAC的平分線，AB=AC,

點B關于AD的對稱點為點C,

過點C作CN±AB于N交AD于M,

由軸對稱確定最短路線問題，點M即為使BM+MN最小的點，CN=BM+MN,

VAB=10,SAABC=25,

1

二—xlO?CN=25,

2

解得CN=5,

即BM+MN的最小值是5.

故選：C.

【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂線段最短的性質，等腰三角形的性質，凡是涉及最短距

離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點.

二、填空題

7.如圖所示，RtZ\ABC中，AC=BC=4,AD平分NA4C,點E在邊A8上，且AE=1,點P是線段4。上的

一個動點，則PE+P8的最小值等于.

【答案】5

【分析】作E關于AD的對稱點E,連接2E'交于尸，于是得至UPE+PB的最小值=BE,根據勾股定理即

可得到結論.

【解答】解：作E關于的對稱點￡,連接交AO于尸，

則此時PE+PB有最小值，PE+PB的最小值=8￡,

：.AE'=AE=1,

'：AC=BC=4,

:.CE'=3,

:出e73?BC?=5,

：.PE+PB的最小值=5,

【點評】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及勾股定理等知識，根據已知得出對應點P位置是

解題關鍵.

8.如圖，正方形ABC。的面積為16,￡為AZ）的中點，F為對角線8￡＞上的一個動點，連接A/、EF,

則線段AR+石廠的最小值是.

【答案】2乖

【分析】連接CF,當點E,F,C在同一直線上時，AF+FE的最小值為CE長，根據勾股定理計算即可.

【解答】解：：四邊形ABCD為正方形，

.?.A關于BD的對稱點為C,

貝ljAF=CF,

，線段AF+石廠的最小值為線段CF+EF的最小值，

當點E,F,C在同一直線上時，AF+FE的最小值為CE長，

正方形ABCD的面積為16,

；.AD=CD=4,

?；E為AD中點，

；.DE=2,

二在RtZ\CED中，

CE=VDE2+CD2=275，

則線段AF+EF的最小值是2行，

故答案為：2?

【點評】本題考查的是軸對稱，最短路線問題，根據正方形的性質作得出A關于BD的對稱點C是解答此

題的關鍵.

9.如圖，，ON,已知邊長為2的正AABC,兩頂點A,B分別在射線OM、ON上滑動，當ZOAB=23°

時，NNBC=,滑動過程中，連結OC,則線段OC長度的取值范圍是.

【答案】53。2<OC<l+73

【分析】根據三角形內角和為180。，等邊三角形各內角為60。，根據NOAB=23。，即可求得NNBC的度數；

取AB的中點D,連接OD及DC,根據三角形的邊角關系得到OC小于等于OD+DC,只有當0、D及C

共線時，OC取得最大值，最大值為OD+CD,由等邊三角形的邊長為2,根據D為AB中點，得到BD為1,

根據三線合一得到CD垂直于AB,在直角三角形BCD中，根據勾股定理求出CD的長，在直角三角形AOB

中，OD為斜邊AB上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由

AB的長求出OD的長，進而求出DC+OD,即為OC的最大值，當4ABC的邊與OM和ON共線時，OD

最小，且為2,即可得出OC的長度范圍.

【解答】解：等邊三角形各內角為60。，

VZNBC=180°-ZABC-ZABO,ZABO=90°-ZOAB,NOAB=23°,

ZNBC=53°；

取AB中點D,連OD,DC,有OCWOD+DC,

當O、D、C共線時，OC有最大值，最大值是OD+CD.

ABC為等邊三角形，D為中點，

，BD=1,BC=2,根據勾股定理得：CD=G，

又AAOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點，

1

.?.OD=-AB=1,

2

.,.OD+CD=l+73，即OC的最大值為1+石，

當AABC的邊與OM和ON共線時，OD最小，且為2,

二線段OC的取值范圍是：2<OC<1+百，

故答案為：53°；2<OC<1+V3.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理，其中

找出OC最大時的長為CD+OD是解本題的關鍵.

10.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AD=5,連接AC,。是AC的中點，/是上一點，且P

是BC上一動點，則PM-PO的最大值為.

3/D

0\k

BPC

【答案】-

2

【分析】連接MO并延長交BC于P,則此時，PM-PO的值最大，且PM-PO的最大值=OM,根據全等三

角形的性質得到AM=CP=4,OM=OP,求得PB=1,過M作MNLBC于N,得到四邊形MNCD是矩形,

得到MN=CD,CN=DM,根據勾股定理即可得到結論.

【解答】?..在矩形A8C。中，AO=5,MD=1,

：.AM=AD-DM=5-1=4,

連接MO并延長交BC于P,

則此時，尸河-尸0的值最大，且尸尸。的最大值=OM,

VAM//CP.

：.ZMAO=ZPCOf

VZAOM=ZCOPfAO=CO,

：.AAOM^^COP(ASA),

???AM=C尸=4,OM=OPf

:.PB=5-4=1,

過M作MALLBC于N,

???四邊形MNCO是矩形，

:?MN=CD=AB=4,CN=DM=\,

：.PN=5-1-1=3,

???MP=7M^2+/W2=^42+32=5,

【點評】本題考查軸對稱-最短路線問題，矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，正確的作出

輔助線是解題的關鍵.

11.如圖，等腰三角形ABC的底邊3c長為4,面積是18,腰AC的垂直平分線跖分別交AC,A5邊

于區廠點.若點。為3C邊的中點，點G為線段所上一動點，則△CDG周長的最小值為.

c,

B

【答案】11

【分析】連接AD,AG,由于^ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故ADLBC,再根據三角形的

面積公式求出AD的長,再根據EF是線段AC的垂直平分線可知，點A關于直線EF的對稱點為點C,GA=GC,

推出GC+DG=GA+DG>AD,故AD的長為BG+GD的最小值，由此即可得出結論.

【解答】解：連接AD,AG.

「△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

.".ADXBC,

SAABC=—BC-AD=—x4xAD=18,解得AD=9,

22

VEF是線段AC的垂直平分線，

...點A關于直線EF的對稱點為點C,GA=GC,

GC+DG=GA+DG>AD,

AAD的長為CG+GD的最小值，

.?.△CDM的周長最短=(CG+GD)+CD=AD+—BC=9+—x4=9+2=l1.

22

故答案為：11.

【點評】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵.

12.如圖，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是NBAC的平分線.若E是AC上一點且BE

±AC,P是AD的動點，則PC+PE的最小值是.

一小48

【答案】y

【分析】連接PB,根據三線合一得出PB=PC,將求PC+PE的值最小，轉化為PB+PE的值最小，易知BE

的長即為所求，再根據面積相等即可求出BE的值，從而得出答案.

【解答】解：連接PB,

AB=AC=10,AD是/BAC的平分線，

.?.AD為BC的垂直平分線，

.,.PB=PC.

要是PC+PE的值最小，即PB+PE的值最小，只有點P、B、E在一條直線上時，PB+PE的值，即BE的長

即為所求.

AB=AC=10,BC=12,AD=8,BE±AC,

xBCxAD=—xACxBE,

22

gp-xl2x8=-xlOxBE,

22

48

解得：BE=《.

48

「.PC+PE的最小值是

48

故答案為：—■

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，將求PC+PE的值轉化為求BE的值是解題的關鍵.

三、解答題

13.如下右圖所示.（1）作出AA3C關于V軸對稱的圖形兒4,與。1；（2）在x軸上確定一點P,使得QA+PC

最小.

【答案】（1）如圖所示△A4G；（2）如圖所示點P.

【分析】（1）根據軸對稱的性質作圖即可；

（2）最短路徑問題，找其中一個點的對稱點，和另一個點連接起來即可.

【解答】（1）如圖所不；

（2）如圖所示，過A點作關于x軸的對稱點A2,連接A2c與x軸交于點P,此時P4+PC最小.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的作法，最短路徑問題，熟練掌握對稱的性質是解題的關鍵.

14.如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網格中，點A、B、C在小正方形的頂點上，

（1）AABC的面積為:

(2)在圖中畫出與4ABC關于直線1成軸對稱的△AiBiCi；

(3)利用網格線在直線1上求作一點P,使得PA+PC最小.請在直線1上標出點P位置,PA+PC最小為

個單位.

【答案】(1)4；(2)見解析；(3)734;

【分析】①根據割補法求解可得；

②分別作出點A,B,C關于直線1的對稱點，再順次連接即可得；

③連接ACi,與直線1的交點即為所求.

【解答】解：(1)ZXABC的面積為3x3—工X1X3-LX2X2.LX1X3=4,

222

故答案為：4.

(2)如圖，△AiBiCi即為所求.

(3)點P如圖所示，

PA+PC=PA+PCi=CiA

根據兩點之間線段最短原理可得PA+PC最小為CiA的長

根據勾股定理得CIA=752+32=用■

【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，軸對稱確定最短路線問題，熟練掌握網格結構準確找出對應點

的位置，熟記軸對稱的性質是解題的關鍵.

k

15.如圖，直角△A3C中，ZC=90°,AC=2,BC=4,AC平行于x軸，A、B兩點在反比例函數y=—(%

x

>0)的圖象上.延長CA交y軸于點。，AD=l.

(1)求反比例函數的解析式；

(2)在y軸上是否存在點P,使的周長最小，若存在，直接寫出此時的周長；若不存在，說

明理由.

A

【答案】(1)y=—(x>0);(2)存在.AR4B的周長的最小值為2逐+4起.

x

【分析】(1)設A(1,k),則B(3,k-4),利用反比例函數圖象上點的坐標特征得到3(k-4)=k,解得

k=6,從而得到反比例函數的解析式；

(2)先計算出AB=2百，作A點關于y軸的對稱點A，，連接BA，交y軸于P點，連接PA,如圖，則A，

(-1,6),PA=PA\利用兩點之間線段最短可判斷此時PA+PB的值最小，^PAB的周長最小，然后計算出

BA\從而得到APAB的周長的最小值.

【解答】(1)VZC=90°,AC平行于X軸，

軸，

VAD=1,AC=2,BC=4,

二設A(1,k),則B(3,k-4),

點在反比例函數y=月(x>0)的圖象上，

x

.*.3(4-4)=k,解得。=6,

，反比例函數的解析式為y=9(x>0)；

(2)存在.

VA(1,6),B(3,2),

-'-AB=J(l—3、+(6-2>=2后,

作A點關于y軸的對稱點4，連接54'交y軸于P點，連接力，如圖，4(-1,6),

則PA=PA',

：.PA+PB=PA'+PB=BA',

此時B4+P2的值最小，的周長最小,

BA'=J(3+If+(2-6)2=472

△B4B的周長的最小值=AB+BA'=2逐+4e?

【點評】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式，做此類題，先設出含有待定系數的反比例函數解

析式>=幺（k為常數，原0）,然后把一組對應值代入求出k,從而得到反比例函數解析式.也考查了最短

x

路徑問題.

16.如圖，在邊長為2cm的正方形ABCZ）中，。為BC邊的中點，P為對角線AC上的一個動點，連接尸8,

PQ,求△PB。周長的最小值.

【答案】1+石.

【分析】

由于點B與點D關于AC對稱，所以如果連接DQ,交AC于點P,由最短路徑問題模型知，此時APBQ的

周長最小，APBQ的周長=BP+PQ+BQ=DQ+BQ.在Rt^CDQ中，由勾股定理先計算出DQ的長度，再得

出結果.

【解答】

解：連接DQ,交AC于點P,連接PB、BD,BD交AC于O.

?/四邊形ABCD是正方形，

.\AC±BD,BO=OD,CD=2cm,

.??點B與點D關于AC對稱，

；.BP=DP,

BP+PQ=DP+PQ=DQ.

在Rt^CDQ中，由勾股定理，得QD=J。h+c02=也2+F=6

.?.△PBQ的周長的最小值為：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=J?+1(cm).

【點評】本圖主要考查了正方形的性質，軸對稱-最短路徑問題，同時也考查了勾股定理得應用.是常考的基

本題.

17.如圖，一次函數y=-x+6的圖像與正比例函數y=2x的圖像交于點A.

(1)求點A的坐標；

(2)已知點B在直線y=-x+6上，且橫坐標為5,在x軸上確定點P,使PA+PB的值最小，求出此

時P點坐標，并直接寫出PA+PB的最小值.

2?

【答案】(1)點A的坐標(2,4)；(2)P點坐標為(彳，0),PA+PB的最小值為國.

【分析】(1)把兩個函數關系式聯立成方程組求解，即可求得交點A的坐標；

(2)作點B關于x軸的對稱點C,連接AC交x軸于P,連接PB,此時PA+PB的值最小，利用兩點之間的距

離公式計算即可求得最小值.

【解答】⑴解方程組4°,

、y=2x

.?.點A的坐標為(2,4)；

(2)?.?點B在直線y=—x+6上，且橫坐標為5,

.,.點B的坐標為(5,1),

作8點關于x軸對稱點C,

則點C的坐標為(5,-1),

連接AC交x軸于P,連接PB,此時PA+PB的值最小，

設直線AC的表達式為y=kx+b,

2k+b=4

將點A、C的坐標(2,4)、(5,-1)代入，得：〈一，，

5k+b=-l

k,=—5

3

解得：上

b=—

[3

522

直線AC的表達式為y=——x+—,

33

令y=0,則％=彳，

22

???尸點坐標為（彳，0）,

/.PA+PB的最小值=AC=J（5—2『+（—1—4）2=用.

【點評】本題考查了軸對稱-最短問題，一次函數的交點問題，一次函數的應用，兩點間距離公式等知識，

解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題.

18.如圖，在心AA3C中，NACB=90°,BC=AC=2,。為A3中點，E，P分別是AC,3c上的

動點，且滿足NEDF=90°.

（1）求證：DE=DF；

（2）求四邊形CEDE的面積；

（3）求AC印周長的最小值（結果保留根號）.

【答案】（1）見解析；（2）1；（3）2+6

【分析】（1）連結CD,由等腰直角三角形的性質和角的和差可得：ZCDE=ZBDF,由全等三角形的判定

可得aDEC絲ZkDFB,進而由全等三角形的性質求證結論；

（2）利用分割法將四邊形CFDE分成兩部分，即ADEC和aCDF,由（1）可知ADEC絲△DFB,進而可

知四邊形CFDE的面積等于ABCD,根據三角形的面積公式代入數據即可求解；

（3）由（1）可知CE=FB,石D=ED,繼而可得CE+CF=BC=2,根據等腰直角三角形可得EF=?DF，

根據題意可知當EDLCB時，FD最小,繼而求得ACEF周長的最小值.

【解答】（1）證明：連結CD

vZACB=9Q°,BC=AC,。為AB的中點

:.CD=CB,NCD8=90°，ZACD=ZB=45°.

?.?ZEDF=90°,

.-.ZCDE=ZBDF.

在ADEC與ADFB中,

ZEDC=ZBDF

CD=BD

ZECD=ZB

ADECsADFB(ASA).

:.ED=FD-.

D

E

B

（2）解：由（1）知：ADEC=ADFB

一S四邊形CFDE=S^cED+SKCFD=M3BF+\CFD=^ACBD=]MBC

^AABC=2,

…S四邊形CFDE=1

（3）由（1）知：ADEC=M）FB,

:.EC=FB

:.EC+CF^FB+CF=2

由（1）知：ED=FD，

-.?ZEDF=90°,

EF=y[2FD

當EDLCB時，FD最小,此時歷最小為行，從而ACFE周長的最小值為2+夜.

【點評】本題主要考查等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積公式和周

長，解題的關鍵是熟練掌握等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定和性質.

19.A,8兩個小鎮在河流/的同側，它們到河流的距離AC=4千米，3￡>=8千米，且CD=5千米，現要

在河邊修建一自來水廠，向A,3兩鎮供水，鋪設水管的費用為每千米3萬元.

B

CD1

（1）請你在河岸上選擇水廠的位置M，使鋪設水管的費用最少（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）最低費用為多少？

【答案】（1）詳見解析；（2）39萬元

【分析】（1）根據題意，要使鋪設水管的費用最少，則自來水廠與A、3兩個小鎮的距離和最小，所以作

出點A關于直線/的對稱點E，連接班，則座與直線/的交點即是水廠的位置

（2）首先根據勾股定理，求出BE的長度是多少，即可判斷出鋪設水管的長度最短是多少；然后根據總價=

單價x數量，用每千米的費用乘以鋪設的水管的長度，求出最低費用為多少即可.

【解答】解：（1）根據分析，水廠的位置“為：

圖1

（2）如圖2,在直角三角形5石尸中，

EF=CD=5（千米），

BF=BD+DF=8+4=12（千米），

BE=NEF+BF?=J52+12?=13（千米）,

二鋪設水管長度的最小值為13千米，

二?鋪設水管所需費用的最小值為：

13x3=39（萬元）.

答：最低費用為39萬元.

【點評】（1）此題主要考查了軸對稱-最短路線問題，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：凡是涉及

最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合所學軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線

的對稱點.

（2）此題還考查了直角三角形的性質和應用，以及勾股定理的應用，要熟練掌握.

（3）此題還考查了總價、單價、數量的關系：總價=單價x數量，單價=總價:數量，數量=總價+單價,

要熟練掌握.

20.如圖，在正方形網格中，點A、B、C、M、N都在格點上.

（1）作AABC關于直線MN對稱的圖形△A'B'C.

（2）若網格中最小正方形的邊長為1,求AABC的面積.

（3）點P在直線MN上，當PA+PC最小時，P點在什么位置，在圖中標出P點.

（4）求出第三問中PA+PC的最小值

【答案】(1)見解析；(2)3；(3)見解析；(4)2^/13.

【分析】(1)根據軸對稱的性質即可作AABC關于直線MN對稱的圖形△ABC；

(2)根據網格中最小正方形的邊長為1,即可求AABC的面積；

(3)根據兩點之間線段最短，作點A關于MN的對稱點A，，連接AC交直線MN于點P,此時△PAC周

長最小；

(4)PA+PC的最小值即為A9,運用勾股定理求解即可.

(2)4ABC的面積為：—x3x2=3；

2

(3)因為點A關于MN的對稱點為A，，連接AC交直線MN于點P,此時APAC周長最小.

所以點P即為所求.

(4)PA+PC的最小值即為AC,

由勾股定理得，AfC=762+42=2A/13-

故PA+PC的最小值為：2曲,

【點評】本題考查了作圖-軸對稱變換，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質和兩點之間線段最短.

21.已知在平面直角坐標系中，A(4,0),B(0,3),以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰直角三角形

ABC,AB=AC,ZBAC=90°.

(1)在圖(1)中，求點C坐標；

(2)在圖(2)中，動點P從原點出發，以每秒2個單位長度的速度向x軸正方向運動，設點P的運動時

間為t,△PAC的面積為S,求S與t的關系式，并寫出t的取值范圍.

(3)在(2)問條件下，若PB+PC的值最小時，求P點坐標及t的值.

【答案】(1)C(7,4)；(2)S=8-4r(O<r<2),S=4t-8(t>2)；(3)P(3,0),t=1.5

【分析】（1）過點C作CH，x軸于點H,利用AAS證得aAOB名ZM2DA,從而得到AD、CD,就可得到

點C的坐標；

（2）分兩種情況①當點P在OA上時，②當點P在OA延長線上時，再利用三角形的面積公式即可

（3）找點B關于x軸的對稱點E,連接CE與x軸交于點P,則PB+PC的值最小，求出CE的解析式，可

得點P的坐標，再根據OP=2t即可得出t的值.

【解答】證明：（1）過點C作CDJ_x軸于D,

???NADO90。

■:ZBAD=ZBAC+ZCAD=ZOBA+ZBOA

ZBOA=ZBAC=90°

???ZCAD=ZOBA

VZBOA=ZADC=90°,AB=CA

???AABO^ACAD(AAS)

.\OA=DCOB=AD

VA(4,0),B(0,3)

???OA=4,OB=3

ADC=4AD=3

.*.OD=7

JC(7,4)

(2)OP=2t

①當點P在OA上時，AP=4-2t

AP-CD(42)4/、

S=---==84(0<t<2)

②當點P在OA延長線上時，AP=2t-4

°AP-CD(2^-4)-4

S=----------=-----------=4b8(%>2)

22v7

(3)點B關于x軸的對稱點E坐標為(0,-3),連接EC交x軸于點P

設BE解析式為y=kx+b,

17左+/?=4

〈；

b=-3

k=l

b=-3

直線CE解析式為y=x-3

當y=0時，x=3

：.P(3,0)

2t=3

t=1.5

【點評】本題考查了待定系數法求一次函數解析式、利用軸對稱的性質求最短路徑，全等三角形的性質與

判定，解答本題的關鍵是數形結合思想及待定系數法的應用，難度一般.

22.如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，△AOB的頂點均在格點上，點48的坐標分別是A(3,2),

B(1,3),ZVIOB關于y軸對稱的圖形為△403.

(1)畫出△4081并寫出點31的坐標為；

(2)寫出△4021的面積為；

(3)點P在x軸上，使B4+PB的值最小，畫出p點

(4)在(3)的條件下，求出+PB的的最小值.

【答案】(1)ZVliOBi見解析，(-1,3)；(2)3.5；(3)P點的位置見解析圖；(4)J河.

【分析】(1)根據網格結構找出點A、B關于y軸的對稱點Ai、Bi的位置，再與。順次連接即可，然后根

據平面直角坐標系寫出點Bi的坐標；

(2)利用三角形所在的矩形的面積減去四周三個小直角三角形的面積列式計算即可得解；

(3)找出點A關于x軸的對稱點A］立置，連接A，B,根據軸對稱確定最短路線問題與x軸的交點即為所求

的點P;

(4)借助網格，利用勾股定理即可求得A，B即為用+四的的最小值.

222

=9-1-3-1.5

=9-5.5

=3.5；

故答案