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文檔簡介
新定義題型02壓軸解答題的深度剖析與策略歸納
目錄
01模擬基礎練.....................................................2
題型一:集合新定義................................................2
題型二:函數與導數新定義..........................................5
題型三:立體幾何新定義............................................8
題型四:三角函數新定義...........................................13
題型五:平面向量與解三角形新定義.................................16
題型六:數列新定義...............................................20
題型七:圓錐曲線新定義...........................................22
題型八:概率與統計新定義.........................................27
重難點突破:高等數學背景下新定義.................................31
02重難創新練....................................................35
題型一:集合新定義
1.設〃(〃22)為正整數,集合U={1,2,3,-.,川,集合A={4,G…4}(〃2。*,〃三力為U的一個非空子集,
記S(A)=q''+q"+qm,其中422.
(1)若〃=2,q=3,求S(A)的取值的集合;
(2)證明:S(A)的所有可能取值個數為2"-1;
(3)是否存在4,使得S(A)的所有可能取值從小到大排列成等差數列,若存在,求4;若不存在,說明理
由.
【解析】(1)當〃=2時,4={1}或4={2},A={1,2},
31=3,3、9,31+32=12,S(A)的可能取值為3,9,12,
5(A)的取值集合為{3,9,12}.
(2)設集合4={%,人,4},4產"",%,嗎},4與&中相同的元素不予考慮,
其中.<力2<<£,m1Vm2<<m.,
彳段設,〉加"貝1」/"+4叫++4嗎+/T,
/.S(4)一§(A/)=+q'2++g*_(,仍+++q嗎)>一(7+q?+++q%T)
fi?(1一日)(q_2)q%+q
=q----------=-----------,
\-qq-1
qN2,
.(q2)/+q>0,即S(4)WS(A)
q-i
??.不存在兩個不同的子集4,A,使得S(4)=S(AJ,
S(A)的所有可能取值個數為U的非空子集個數,為2"-1.
(3)q3>q+q2,
?4q2,q+/為S(A)的所有可能取值中最小的三個,
2/=q+q+q2,解得q=2;
當q=2時,易知S(A)為偶數,
且S(A)最大值為2i+2?++2"=2研1-2,最小值為2,
由(2)可知S(A)的所有可能取值個數為2"-1,
區間[2,2向-2]中偶數個數恰為2"-1,
S(A)的所有可能取值集合為{2,4,6,,2用-2},
.該集合中任何一項2〃均能寫成24+2。++2,”形式,進而可構成首項為2,公差為2的等差數列,
存在q=2,使得S(A)的所有可能取值從小到大排列成等差數列.
2.設〃為給定的正整數,稱有序數組(4,%「應乂4€{0,1},7=1,2,...,〃)是--二進數組.九是由加個互
不相同的"-二進數組構成的集合,對于S”,.”中的任意兩個元素£=(4法…,%)和分=(%%,1%),稱
〃%£)=是%£-特征值.記Sm,“的所有a,p-特征值中出現次數最多的數值為M(Sm,?).
1=1
⑴設與,4={(q,a2,/,a4)k+%+a3+a4<3},求機和的值;
⑵若對任意均有〃%尸)=0,求機的最大值;
⑶若m=2",證明:M(Sm,n)=等,其中因表示不超過x的最大整數.
【解析】(1)此時
5m4={(0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1))
,故7"=11.
s”的所有a,£-特征值為
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,
0,0,1,0,0,1,0,0,1,1,0,
0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,1,
0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,1,
0,1,1,0,0,2,1,1,1,1,0,
0,1,0,1,0,1,2,1,1,0,1,
0,1,0,0,1,1,1,2,0,1,1,
0,0,1,1,0,1,1,0,2,1,1,
0,0,1,0,1,1,0,1,1,2,1,
0,0,0,1,1,0,1,1,1,1,2.
以上共121個,其中有63個0,52個1,6個2,所以=
(2)由于對任意%=1,2,...,〃,Sg,不能出現兩個第%位為1的數組以刀(否則〃a,0>O).
所以Sm,中每個數組包含1的數目之和不超過n.
由于不包含1的數組至多有一個(0,0,0,...,0,0),故S”“中至少有加―1個包含至少一個1的數組.
所以鼠中每個數組包含1的數目之和不小于m-1.
以上二者結合,即可得到1,故機K〃+l.
當黑/=\^al,a2,a3,...,an)\al+a2+a3+...+an<1}時,對任意S處,中的兩個不同元素a,£,均有/(a,")=0.
所以加的最大值是“+1.
(3)由于所有的"-二進數組恰有2"個,故S,"."必定是包含全部"一二進數組的集合.
對/e{0,1,2,,設T。)為使得“%⑶=/的有序對(以尸)的數量,其中a/eSm,“.
那么在這種情況下,見尸的同為1的那/個分量位置有C:=瑞二種選擇.
確定這些位置后,其它的分量不能同為1,那么每個位置有三種可能,所以剩余分量有種選擇.
這就得到7(/)=薩4,從而%?=
〃一3
n
n-37(/+1)匕一141n-3
故當‘〈工時,有與廣而丁干山;當心干時’有
n-3
T(/+l)…,”丁7
T⑴3(/+i)3m'
M__q_i_2
從而當/取到大于下的最小整數,也就是/=—時,T0取得最大值.
n+2
所以M(%.)=
~T~
題型二:函數與導數新定義
3.羅爾定理是高等代數中微積分的三大定理之一,它與導數和函數的零點有關,是由法國數學家米歇
爾?羅爾于1691年提出的.它的表達如下:如果函數網元)滿足在閉區間[?;貎冗B續,在開區間“內可
導,且尸(。)=/伍),那么在區間(。,6)內至少存在一點已使得為尸⑴的導函數).若函數
f(x)=sinx,
7〃sin為一sin
(1)證明:當0<西<9<《r時,存在唯z一使得cosj=—七一
2%-%
(2)當xNO時,ax2-l+f'(x)>0,求。的取值范圍;
,、7171rsin〃“口-sina,、
(3)若等比數列{叫滿足4=/%=","=一―一'記數列圾}的前〃項和為叫試比較工與
216an+\an
冗
“-土2的大小,并說明理由.
6
廠/、sinx,-sinx
【解析】(1)令/(x)=smx--------!---------0,
/>,_.sinXj-sinx2_x{sinx2-x2sinx1
!-X2X_x2
l.sinx-sin_石sinx2-x2sinx1
F(x2)=sinx2-------------------則/(國)=/(尤2),
國-x2再-x2
由羅爾定理可知,*x)在&,々)內至少存在一點九使F(O=。.
又因為尸(x)=cosX_sm:::n%在,《上單調遞減,
所以少(x)存在唯苫,使得/皤)=0,即cos[=sm羽[Sin/.
(2)令8(%)=加-1+cosx,XG[0,+OO),
則gf(x)=2ax-sinx,xG[0,+OO),
令力(x)=g'(x)=2ar—sinx,則//(x)=2a-cosx,
當a2;時,即2a21時,/(x)=2a-cosx之。在[0,+oo)上恒成立,
故M%)在[。,”)上單調遞增,
因為可0)=0,所以//(力20在[0,+0))上恒成立,
所以g(x)在[0,y)上單調遞增,故g(x)Ng(O)=O,即加-l+r(x)?。恒成立.
當時,即2a<1時,則存在唯一%,使得〃(為)=2々—cosx(,=0,
且函數磯可在上單調遞增,
當xe(O,Xo)時,/i,(x)<0,即g'Q)在(0,毛)上單調遞減,
所以g'(x)<g'(O)=。,即g(x)在(0,飛)上單調遞減,
所以當無?0,%)時,g(x)<g⑼=0,不符合題意.
綜上所述,實數。的取值范圍為;,+sj.
(3)因為4=[,%=三,所以公比q國=:,則%='
216\a,2"2(2)X
.兀.兀
sin—;—sin—
sin。,+|一sina.2〃+i2〃
所以2=
71兀
尸一吩
由(1)可知存在當/)使得4=cos',
由(2)可知當a=g時,cos尤21-當且僅當%=0時等號成立,
所以〃,=34>1一聲,
_22_2_2
二匚【、兀兀兀兀
所以1S0〃=14+1%++%1>11--+1--+l1—-7++11z-r
nLz.nrr0//-yZn+l
7l2Tl21
=n----1---x->n-----
664"6
兀2
即S>n~—
"6
4.已知定義域為O的函數y=/(x),其導函數為y=/'(x),若點(如%)在導函數y=r(x)圖象上,且
滿足r(%)"'(%)2。,則稱/為函數y=/(x)的一個"類數",函數y=/(x)的所有“T類數”構成的集
合稱為“T類集”.
⑴若/(x)=sinx,分別判斷叁和;是否為函數y=/(尤)的“T類數”,并說明理由;
⑵設>=/'(x)的圖象在R上連續不斷,集合知=卜"'("=0}.記函數y=/⑺的“T類集”為集合S,若
SuR,求證:M蠱;
(3)已知〃尤)=-LCOS(S+9)?>0),若函數y=/(尤)的“T類集”為R時夕的取值構成集合A,求當
CD
A時0的最大值.
【解析】(1)/''(x)=cosx,,yo=/13=0,r(%)=cos0=l,
???(伍)"'(%)=/])((0)=020,.《是函數/(司=5出的“7類數”;
r(x)=cosx.〔M=/[彳]=一*J'(yj=cos-孝>0,
)?尸(%)<0,??.寧不是函數/⑺=sinx的“T類數”.
(2)因為函數y=〃x)的“T類集”為集合S,且SuR,
所以存在%eR,使得%=尸(飛)且/'(x°)?/'(%)<0,
若%=%,則/(%>/(%)=[/(%)了20,所以%,%,
因為函數y=/'(x)的圖象是連續不斷的,
不妨設%<%,由零點存在定理知,必存在再?%,%)使得/'(%)=0,
所以y=/'(x)存在零點,即“蠱.
(3)/(尤)=-cos((y%+^)((y>0),貝!J/'(%)=sin(ox+°).
CD
先證明CD<Tlz
因為函數/(x)=-'COS(s+夕)3>0)的“T類集”為R,
3
所以對任意X。eR,
令%=/'(%),則%?/'(%)NO,
因為函數/'("=$:111(5+0)(0>0)的值域為[-1,1],
所以當為?0』時,必有r(%)wo,
即(X)=sin(妙+同N。(刃>。)對于X£(。,U恒成立,
T2
所以函數^=/'("的最小正周期T應有:21-0,即T=」7r“,則①<兀.
2①
再證明OeA,此時明(x)=sin(0x),對于任意%=9皿0%).
當%=/'(飛)《°』時,0<ay0<a)<n,則1f(%)目0,1]/(飛)",(%)20;
當%=/&”[—1,0]時,-n<-?<^0<0,則〃為閆-1,0]/伉)/(%)20,
所以°=0時函數/(%)=―LCOS(?X+°)3>0)的“T類集"為R,即OeA.
我們不難發現,上述過程中令。=兀也成立.因此,。的最大值是兀.
題型三:立體幾何新定義
5.我們規定:在四面體尸-ABC中,取其異面的兩條棱的中點連線稱為尸-ABC的一條“內棱”,三條內棱
兩兩垂直的四面體稱為“垂棱四面體”.
(1)如左圖,在四面體尸-ABC中,M?=l,2,…,6)分別為所在棱的中點,證明:P-ABC的三條內棱交于
-*點.
⑵同左圖,若尸-ABC為垂棱四面體,監%=2,%跖=4,M5M6=6,求直線尸8與平面ABC所成角的正
弦值.
2
(3)如右圖,在空間直角坐標系中,xQy平面內有橢圓C:/+乙=1,耳為其下焦點,經過耳的直線
2
y=Ax+相與。交于A、5兩點,。為%0y平面下方一點,若夕-為垂棱四面體,則其外接球表面積S是
化的函數S㈤,求S仕)的定義域與最小值.
【解析】(1)如圖,連接3M4,"1"3,"1"4,"3〃2,"4"2,
p
B
由題可知,平行且等于;PB,M2M4平行且等于gp8
所以M1M3平行且等于M2M4
所以四邊形3M2M4為平行四邊形,
所以對角線“1加2加3〃4=。,。為線段/1加2中點;
同理加1〃2(MM=O,。為線段中點;
故P-ABC的三條內棱交于一點。.
(2)由(1)可知,四邊形M1M3M2M4為平行四邊形,
若尸-ABC為垂棱四面體,則四邊形為菱形,
即MM=MtM4
顯然
PB=2MXM3,AC=2MlMt
故尸3=AC
同理尸A=SC,PC=AB
如圖,將該三棱錐補全為一個長方體,并建立空間直角坐標系8-孫2,
C
T
因為
MXM2=2,M3M4=4,M5M6=6
所以有A(4,6,0),3(0,0,0),C(0,6,2),尸(4,0,2)
所以BP=(4,0,2),R4=(4,6,0),BC=(0,6,2)
設平面ABC的一個法向量為“=(X,y,z)
BAri-014x+6y=0
易知101
BCn=016y+2z=0
令y=-2,解得x=3,z=6
所以“=(3,-2,6)
BPn2412小
吉處DZ匕*而A后田缶昉估為
旦我rD?與十間AnACC歷作用削66止TF5幺恒力
網?同回x735
(3)由(2)易知將P-ABO補成長方體,設長寬高分別設為a、b>c,
則外接球半徑為該長方體的體對角線長的一半即:R=^a2+b2+c2,
則:S=4TTR2=;r[a2+b2+c2)
顯然AB?=/+/,=匕2+02,a。?=/+,2,所以$=g(AB?++a。?)萬
設4(%,%),3(孫%)
因為直線y=履+機過橢圓焦點與
所以MJ=-1
2
22L=]
聯立2"得(2+r)*2一2區一1=0
y=kx—1
顯然A>0
2k
122+k?
由韋達定理可知,
1
1-2+k2
4
…二一。
得
2-2k2
所以AB?=(%]_/)+(%—%),AO?=%;+
+x
所以s=51a-/J+(%一%/+『+y;2+y;卜
整理得S=[(西+%2『+(%+—3%/
-。101+13公+10
侍S二——I-----5--------無
k4+4k2+4
。小10/+13公+10
所以S(左)=——---7---------n
I'/+34/+4
由于.*ABO為某長方體的三個頂點由余弦定理可知A、B、。均為銳角
顯然ABO中角A、3均為銳角,
所以只需角。銳角,即:OAOB>0
12-2k2
得“逮2+%%>°=一
r五屈
解得上e
V)
(J2也)
?\104"+13k~+10附士、”I_JA4j
由S(幻=-7-----s--------71的定乂域為tke
1'/+4廿+4一7萬
7
10(^+4^+4)-27r-309/+1。
S(A)―/+4-+4兀_10兀_3r+必2+4元
所以當最大時,$㈤"-3^!^兀最小
29
不妨令f=9/+10e10,y
9一+10_81f_81
所以^+4^+4—產+16/+64——64+16
t
因為"9公+10€10,4)
然2+1081
由對勾函數性質可知,當‘=1。時’西際二尸[有最大值
此時左=0
,,10犬+13/+10m―吉45
故5(左)=——7-----5-----兀的1v取l小值為二兀.
'7父+442+42
6.離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標.設尸為多面體M的一個頂點,定義多面體M在點P處的離散曲
率為0,=1一1-(/9尸。2+/。2尸。3+-+/。"/。*+/以尸。|),其中26=1,2,,人,k23)為多面體知的所
271
有與點尸相鄰的頂點,且平面QTQz,平面&PQ,…,平面21P2和平面Q/Qi為多面體M的所有以尸
為公共點的面.如圖,在三棱錐尸-ABC中.
p
(1)求三棱錐尸-ABC在各個頂點處的離散曲率的和;
3
(2)若PAL平面ABC,ACA.BC,AC=8C=2,三棱錐尸―ABC在頂點C處的離散曲率為g.
8
①求點A到平面PBC的距離;
②點。在棱PB上,直線CQ與平面A5C所成角的余弦值為叵,求8。的長度.
6
【解析】(1)根據離散曲率的定義得①p=l—,-(NAP3+ZB尸C+NAPC)
2兀
①A=1---(NPAB+ZBAC+ZPAC),
2兀'
①B=1-上(NPBA+ZABC+NPBC),
“2兀
①c=1---(ZPCA+ZBCA+ZPCB),
27r'
所以①p+①A+①§+①C=4一一—X4TI=2.
一’2兀
(2)①因為24,平面ABC,3Cu平面ABC,所以P4J_3C,
又AC_L3C,ACcPA=A,AC,P4u平面PAC,所以8C_L平面PAC,
7T
又尸Cu平面PAC,所以5CLPC,BPZBCP=-,
2
又①c=1---(ZPCA+ZBCA+ZPCB),
1271\
即1=1一;(/PCA+g+g],所以/PG4=T,
82兀122)4
過點A作A",PC于點因為平面PAC,AMu平面PAC,
所以,
又BCcPC=C,8cpeu平面尸CB,所以AM_L平面尸CB,
所以點A到平面PCB的距離為線段AM的長,
在RtACM中AM=ACsin/PCA=2x^=0,
2
即點A到平面PBC的距離為友;
②過點Q作QGHPA交A3于點G,連接CG,
因為PAL平面ABC,所以。G,平面ABC,
所以NGCQ為直線C。與平面ABC所成的角,
依題意可得叢=2,AB=^22+22=272,PB=^22+(2A/2)2=2A/3-
所以sin/P8A=C^=且,cosZPBA=—=—,
PB3PB3
設BQ=x(?!从萕2豆),QG=BQsinNPBA=與x.BG=BQcosNPBA=與x,
在■BCG中,CG=VBC2+BG2-2BC-BGcosZCBG=^4+|x2-^^x,
XcosZGCQ=—,所以sinNGCQ=Jl一cos?NGCQ=逅
66
sin/GCQ
所以tan/GCQ=
cosZGCQ5
所以tanNGCQ=^=T解得片半或.一華(舍去),故BQT
CCT
題型四:三角函數新定義
7.人臉識別技術在各行各業的應用改變著人類的生活,所謂人臉識別,就是利用計算機分析人臉視頻或
者圖像,并從中提取出有效的識別信息,最終判別對象的身份,在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度
主要應用距離的測試,常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點A(x”yJ,
3(々,%),則曼哈頓距離為:〃(43)=|3一司+|%-%|,余弦相似度為:
cos(A,B}=,%-x1%+[/_x]%,余弦距離為1-cos(A,3)
也;+才依+貢商+>收+式
⑴若A(T,2),,求A,B之間的曼哈頓距離d(A3)和余弦距離;
12
⑵已知M(sina,cosa),N(sin/7,cos/),Q(sin/7,-cos/),若cos(M,N)=§,cos(M,2)=—,求
tanatan(3的值
⑶已知0<。<尸<1,M(5cosa,5sina)、N(13cos尸,13sin£),P(5cos(a+/?),5sin(a+/?)),若
cos(M,P)=—,cos(Af,?7)=—,求“、尸之間的曼哈頓距離.
1365
3414
【解析】(1)6?(A,B)=-l--+2--=y,
COS(AB)=^X|+AX|=^,故余弦距離等于1_8$(4,3)=1-骼;
、八sinasinBcosacos£
(2)cos(M,N)=/=+j——■J廠
Vsin2a+cos2a{si/0+cos2Pvsin2a+cos2ay/sin2)3+cos2f3
=sinasin'+cosacos=—;
sinasin/3+cosa-cos0
cos(M,。)二
Vsin26z+cos2a^/sin2y0+cos2Pvsin2or+cos2a^/sin2y0+cos2y0
=sinasin尸一cosacosP=~^
「31,八sinasinQc
故sinasin尸=一,cosacosB=-----,貝|tanatanp=--------------=-3.
1010cosacosP
(3)因為J(5sina『+(5cosa『=5,J[5sin(a+⑶丁+[5cos(a+⑶丁=5,
匚匚…5cosa5cos(a+夕)5sina5sin(a+/7)八5
所以cos(Af,P)=--------x----------------+--------x---------------=cos/7=—.
v7555513
因為0<夕<曰,所以sin/?=J1-cos?分二.
因為J(13sina)2+(13cosa『=13,
“…、八5cosa13cos85sina13sin/7/小63
所以cos(M,N)=---x—萬匕+--一x一百匕=cos(a—尸尸花.
TTTT
因為0V6Z<夕<2,貝{J——<6Z—<0,
所以sin(tz_/?)=_Jl_cos2(a_/)=一^|.
3
因為cosa=cos(o-尸+尸)=cos(a-6)cos尸一sin(a-;0)sin用,
sina=hcos2a=1,所以A/(3,4).
33
因為cos(cr+y0)=cosacosj3-sinasin/3=--,
sin(a+尸)=sinacos尸+coscrsin^=-
65
所以「哈勃
33L5672476
因為3-+4——=——+——二
1313131313
所以M、P之間的曼哈頓距離是
8.設“次多項式£(r)=<V"+a“_/T+,+為/HO),若其滿足C(cosx)=cos7zx,則稱這些多
項式匕⑺為切比雪夫多項式.例如:由cos,=cos。,可得切比雪夫多項式《(x)=x,由
cos29=2cos2(9-1,可得切比雪夫多項式6(x)=2x?-1.
⑴若切比雪夫多項式6(力=以3+云2+5+〃,求實數a,b,c,d的值;
⑵對于正整數〃22時,是否有Pn+i{x)=2x-Pn(”-哈⑺成立?
⑶已知函數/(力=8/-6x-1在區間(-1,1)上有3個不同的零點,分別記為A,龍2,項,證明:
芯+/+%=0.
【解析】(1)依題意,
鳥(cos6)=cos3。=cos(2。+。)=cos29cos9一sin2。sin0
=^2cos2^-l)cos^-2sin2Ocos。
=2cos30-cos^-2(1-cos29)cos0=4cos30-3cos6,
因止匕A(x)=4d—3x,即ar3+bx1+cx+d=4x3-3x,
貝ija=4,Z?=d=0,c=-3;
(2)&|(x)=2xf(x)-加(x)成立.
只需考慮和差化積式cos(幾+l)9+cos(〃一l)9=2cos〃夕cos?,
首先有如下兩個式子:
Pn+X(cos夕)=cos(〃夕+夕)=cosndcos0-sinndsin3,
Pn_1(cos9)=cos(ji0-O^=cosnOcos6+sin/sin0,
兩式相加得,尺T(cos9)+Pn+X(cos6)=2coscos0=2Pn(cos6)cos0,
將cose替換為X,所以對于正整數心2時,心](%)=2]七(力—尺_](力;
(3)函數〃力=8X3—6x-1在區間(-1,1)上有3個不同的零點不々,又3,
即方程4三一3x二:在區間(-1,1)上有3個不同的實根,
令%=80夕招£(0,兀),由(1)知cos36=;,
而3。?0,3兀),則36=m或36=弓或30=g,
十日715兀7兀
十是石=cos—,x2=cos—,x3=cos—,
yr5TT77r7T(47r9TTA
貝IjF+%2+%3=COS—+COS—+COS—=COS1COS—+COS—I,
,.4K2K/3兀兀、(3兀兀、cTt7i7i
而cos-----1-cos——=cos-----F—+cos--------=2cos—cos—=cos—,
99I99)(99)399
所以芯+x2+x3=0.
題型五:平面向量與解三角形新定義
9.對平面向量加,n-定義運算:卜zx"卜時卜卜in。,其中同,”分別表示機,"的模長,6是相與"
的夾角.在VABC中,已知,8義4。=4形,AB-AC=4.
(1)是否存在滿足條件的VABC,使得2|A@+|AC|=6?若存在,求的值;若不存在,請說明理由;
??,?DBxDA
(2)若2|AB|+|Aq=8,。是線段AC上一點,豆近BD=gD,求--------
CBxCD
【解析】(1)\ABxAC\=4A/3,二|AB||AC|sinNB4C=4』.
ABAC=4,■■\AB\\AC\cosZBAC=4,tan/BAC=相,
又ABACe(0,7i),ABAC=1,
■■■\AB\\AC|=8.
2|A3I+IAC|N2j21ABl14cl=2?=8,
???當且僅當21ABi=|AC|=4時,21ABi+|AC|有最小值8.
因此,不存在滿足條件的VABC,使得21ABi+|AC|=6.
(2)由(1)知,當2|A3I+IAC|=8時,\AB\=2,\AC\=4.
解法一:在VASC中,ZBAC=y,由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-ABxBC,
3c=2指,ZABC=^.
在△ABD中,ZBAC=-|,J2BD=^AD,
sinABACV3
由正弦定理得,—
ADsinZABD
sinZAB£)=—,BD>AD,
2
jrjr
ZABD=-ZDBC=-.
4f4
16
CBxCD3
\\ICB||CDIsinZDCBSACBDL\BC\\BD\sinZDBC2指x也
解法二:
BDsinABAC百
在△Afi。中,ZBAC=1,應BD=#>AD,由正弦定理得,
ADsinZABD0
兀
sinZABD=—,BD>AD,ZABD=-
24
5兀
ZBDA=—
12
AD2
ADAB
又>/2回也+1,A。=2(6-1).
sinZABD-sinZBDA'
22[22J
CO=2(3-我.
|£)BxZM|=|£>8||ZM|sinZADB_|AD|_2(石-1)_@
\CBxCD\~\CB\\CD\sinZDCB~SACBD-|。|-2(3-石)-3
10.射影幾何學中,中心投影是指光從一點向四周散射而形成的投影,如圖,光從。點出發,平面內四個
點E,F,G,H經過中心投影之后的投影點分別為A氏C〃.對于四個有序點4瓦C。,若CA=2CB,
DA=RDB,定義比值苫=,叫做這四個有序點的交比,記作(ABCD).
11m
(1)當x=T時,稱4坨。,£>為調和點列,若加+不用=而,求"7的值;
ACAZJAn
⑵①證明:(EFGH)=(ABCD);
②己知(E尸G?)=m,點8為線段AD的中點,|AC|=6QW=3,向彳黑=|,求|。4|,|OC|.
【解析】(1)由x=—l<0知:兩點分屬線段內外分點,
不妨設AB=AC+CB,AB=AD-BD,
AB,CBAB?BD
貝nI——=1+一=1—
ACAC"ADAD
CB_BDABAB
由x=—1矢口——+——=2,
:ACADACAD
112「
------1---------,即〃2=2.
ACADAB
(2)①在AOC,AOD,BOC,30。中,
CA_SA_《aOCsin/CAC_Odsin/AOC
CBS-BOC--OBOCsinZBOCOB^ZBOC
2
DA_Sa。。_'OAODsinN/Or)_
DBSBOD--OBODsinZBOD°B.sin/BOD
2
CA
貝萩8)=嘉=OAsin/AOCOBsin/AODsin/AOC-sin/BOD
DAOB-sin/30COA-sin^AODsin/BOC?sin/AOD
DB
在jEOG.EOH,..FOG,、FOH中,
9-OEOGsinZEOG
GE_、EOG_2._OEsinZEOG
GFq1OFsmZFOG'
》尸OG—,OFOG,sin/尸OG
2
9-OEOHsmZEOH
HE_3EOH_2_OEsinNEOH
q1
HFdFOH—OFOHsinNFOHOFsinZFOH'
2
GE
OE
z\_~GF_'Sin/EOGOF?sin/尸OH_sin/EOG?smZFOH
人,)GEOFsin^FOGOEsinZEOHsmZFOG-sin^EOH
HF
又ZEOG=ZAOC,ZFOH=/BOD,/FOG=/BOC,ZEOH=ZAOD,
.sin/AOCsin/38_sin/EOGsin/FOH
"smZBOCsmZAOD-sinZFOGsinZEOH'
即(£R")=(ABCD);
CA
@(ABCD)=(EFGH)=-f=gp^—=-,
一、7v72DA2CBDA2
麗
又點B為線段AD的中點,即當=1,則^=3,
DA2Cn
又AC=3,貝ljAB=2,BC=1,
設OA.—x,OC=y,且OB=-\/3,
由^45。=兀一/(28??芍篶osZABO+cosZ.CBO-0,
即2?+(6)1T+(6)_y2_0,整理可得:r+2y2=15;
2x2x62xlx5/3
AB_x
在VA05中,由正弦定理得:
sin/AOBsin/ABO
OBy
在.5。。中,由正弦定理得,
sin/5cosin/CBO
且sinZABO=sinZCBO,
,xABsin^BCO_32「
貝|J—二=v3,即x=y/3y,
ysinZAOBOB~2
x=x=3x=—3..廣
由<^y得.,或V「(舍),BP|O4|=3,\OC\=y/3.
x2+2y2=15J=卮j=-W
題型六:數列新定義
11.已知數列{叫,定義S(z;/)=4+4+1++%,其中3JeN*且,。
⑴若%=2九一1,求5(1,3)和S(4,6);
⑵若。"=2”,證明:對于Vi,j,",veN*且,<j,u<v,i^u,都有S(i,/)XS(w,v);
(3)對于左=3,4,L,〃,設q={M4=4%++\an,\e{O,l),S(l,左一1)(瓦WS(1陽}.若正項數列
{%}為遞增數列,求證:[中至少有兩個不同的元素,且£中最大元素與最小元素之比小于2.
【解析】(1)由題意,因為。“=2〃-1,
所以S(1,3)=%+(!,+%=1+3+5=9,
S(4,6)=%+。5+4=7+9+11=27.
(2)不妨假設,<“,由題意,因為?!?2”,
則3億力=2'+2.++2,=2,(1+2++2q’
S(M,V)=2"+2"包++T=2'(2"-'+T-M+.+2"').
其中,1+2+.+2尸為奇數,2"-'+2"川++2"-'為偶數,
所以S(i,/)wS(",v).
(3)易知£中至少包含兩個元素4+%+--+%和%+/++ak-2+ak-
設”中的最大元素為最小元素為,%,
若%>Q]+%++a1,貝lj祖左=Q女且M卜<ax+a2+-+ak,
也二^q+%++%=]+%+/++/一1<2
、Jmkakakak
a
若以W%+%+,+%_i,貝lj祖%>q+%++k-\且M卜?q+%++W?
〃
貝I]—M,’1——+%?---+--+--%-"=i.+----------a-,K--------<2-.
JTI^q+a[++,—]q+出++%-1
綜上所述,7;中最大元素與最小元素之比小于2.
12.若數列{%}的首項q=1,對任意的〃eN+,都有%(左為常數,且丘N*),則稱{%}
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