第五章四邊形

第25講菱形的性質(zhì)與判定

口題型14根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題

模擬基礎(chǔ)練口題型15與菱形有關(guān)的新定義問題

口題型16與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題

口題型01利用菱形的性質(zhì)求角度

口題型17與菱形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題

口題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長

口題型18與菱形有關(guān)的最值問題

口題型03利用菱形的性質(zhì)求周長

口題型19含60°角的菱形

口題型04利用菱形的性質(zhì)求面積

口題型20菱形與函數(shù)綜合

口題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)

口題型21與菱形有關(guān)的存在性問題

口題型06利用菱形的性質(zhì)證明

口題型22與菱形有關(guān)的材料閱讀類問題

口題型07菱形的折疊問題

口題型08添加一個(gè)條件使四邊形是菱形重難創(chuàng)新練

口題型09證明四邊形是菱形

口題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度

口題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長真題實(shí)戰(zhàn)練

口題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求周長

口題型13根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積

模擬基礎(chǔ)練?

□題型01利用菱形的性質(zhì)求角度

1.（2024.廣東.模擬預(yù)測）如圖所示，在菱形4BCD中，以點(diǎn)B為圓心，一定長為半徑畫弧分別交BC,BD于

點(diǎn)、M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于|MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,連接BP并延長交CD于點(diǎn)

Q.若NC=40°,則NDQB=°.

2.（2024.重慶?模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABC。中，ZB的垂直平分線交對角線AC于點(diǎn)F,點(diǎn)E為垂足，連接。尸.若

ABAD=a,貝為（）

B.-aC.180°--aD.180。-2a

3.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)E為菱形力BCD中ZB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE,DE=DA,將菱形沿DE折疊,

點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)廠恰好落在BC邊上，則N&的度數(shù)為.

4.（2024?黑龍江哈爾濱?二模）如圖，已知四邊形4BCD為菱形，以4B為直徑作。。，過點(diǎn)4作。。的切線交

CD于點(diǎn)E.若乙4BC=50。，貝!UC4E的度數(shù)為.

/—D

□題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長

5.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）如圖，在菱形4BCD中，/-ABC=120°,點(diǎn)M和N分別是4B和力。上一點(diǎn),

沿MN將AAMN折疊，點(diǎn)A恰好落在邊BC的中點(diǎn)E上.若=4,貝MM的長為（）

MB

A.2.4B.2.8C.3D.3.2

6.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E,F分另U在邊BC,CD上，AAEF=90°,^AFE=ZD,

7.（2024.山東臨沂.模擬預(yù)測）菱形是日常生活中常見的圖形，如伸縮衣架（如圖1）等，為兼顧美觀性和

實(shí)用性，活動(dòng)角a的取值范圍宜為60。120。（如圖2）,亮亮選購了折疊后如圖3所示的伸縮衣架，則

其拉伸長度4B的適宜范圍最接近（）

優(yōu)COO|3

圖1圖2圖3

A.30<XB<45B.45<XB<45V3

C.45<AB<30V3D.30<AB<45V3

8.（2024?山西?模擬預(yù)測）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，^ABC=60°,,對角線4C,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)

￡是。8的中點(diǎn)，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接EF交AC于點(diǎn)G,則線段GF的長為—

AD

□題型03利用菱形的性質(zhì)求周長

9.（2024?云南曲靖?一模）菱形力BCD的一條對角線長為8,邊4B的長是方程/―7x+10=0的一個(gè)根，則

菱形4BCD的周長為（）

A.16B.20C.16或20D.32

10.（2024?貴州黔東南?一模）如圖，菱形4BCC中,NB=60。，E,F分別是BC,CO的中點(diǎn),連接4E,EF,

AF,AAEF的周長為3舊cm,則菱形4BCD的周長為（）

C.4V3cmD.8cm

11.（2024.江蘇南京?三模）如圖，菱形ABC。的頂點(diǎn)B,C,。在。。上，且48與。。相切，若。。的半徑為

12.（2024.四川樂山.二模）如圖，菱形的周長為24cm,相鄰兩個(gè)的內(nèi)角度數(shù)之比為1:2,則較長的對角線長

度是（）

A.6cmB.6V3cmC.12百cmD.12cm

□題型04利用菱形的性質(zhì)求面積

13.（2024?江西吉安?模擬預(yù)測）已知菱形4BCD的邊長是5,兩條對角線AC、BD交于點(diǎn)O,且A。、B。的長

分別是關(guān)于x的方程/+（2m-l）x+m2+3=0的兩根.

⑴求功的值;

（2）求菱形48CD的面積.

14.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，已知菱形4BCC的周長為40,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,且4。+B。=14,

則該菱形的面積等于（）

B

A.24B.56C.96D.48

15.（2024?黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測）已知：菱形4BCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC=8,BD=6,將線

段4。繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在菱形2BCD的邊上，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，連接BP,CP,則ABCP的面積

為.

16.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）將矩形4BCD和菱形4FDE按如圖放置，若圖中矩形面積是菱形面積的2倍,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.4EAF=60°B.AB=AFC.AD=2ABD.AB=EF

□題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)

17.（2024?山西?模擬預(yù)測）如圖，O是菱形ABCD的對角線BD的中點(diǎn)，以。為原點(diǎn)，建立如圖平面直角坐

標(biāo)系，若4D||x軸，AD=8,乙4=60。，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

A.（5V3,5）B.（5V3,-5）C.（4,2遍）D.（6,-273）

18.（2024?山東臨沂?三模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形。4BC的頂點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-2?0）,乙4OC=60°.將

菱形。ABC沿x軸向右平移1個(gè)單位長度，再沿y軸向下平移1個(gè)單位長度，得到菱形。‘4B'C',其中點(diǎn)》的

坐標(biāo)為（）

A.(1-3A/3,2)B.(-2V3,V3)C.(-3,⑹D.(-3,3-⑹

19.(23-24八年級下?山西臨汾?階段練習(xí))如圖，反比例函數(shù)y=：(k40)的圖象與正比例函數(shù)y=的圖

象相交于點(diǎn)4(a,2),D.

(1)<2=,k=,點(diǎn)D坐標(biāo)為.

(2)不等式」>的解集是_____.

x3

(3)已知AB||x軸，以48,2。為邊作菱形4BCD,求菱形4BCD的面積.

20.(2024?山東濟(jì)寧.二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B在第一象限，點(diǎn)C在久軸正半軸上，且2C與

OB互相垂直平分，D為垂足，連接。4AB,BC.反比例函數(shù)y=其％>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，與04相交于E.若

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4),則點(diǎn)E的坐標(biāo)是()

B.QV3,;V3）

D.（宿萍）

□題型06利用菱形的性質(zhì)證明

21.(2024?貴州?模擬預(yù)測)如圖，在菱形2BCD中，4EJ.CD交CD于點(diǎn)E,延長4E交BC的延長線于點(diǎn)F,且

E為4F的中點(diǎn)，連接AC,BE.

⑴求證：AC=CD；

(2)求煞的值.

BE

22.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測）如圖所示，菱形4BCD的對角線4c和8。交于點(diǎn)0,分別過點(diǎn)C、。作

DEWAC,CE和DE交于點(diǎn)E.

（1）求證：四邊形ODEC是矩形；

⑵當(dāng)N4DB=60°,AD=2魚時(shí)，求生的值.

AE

23.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）如圖，在菱形4BCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,以點(diǎn)C為圓心，BC長

為半徑畫弧交BC的延長線于點(diǎn)E,連接DE.

(2)若4B=4,^ABC=60°,求48DE的周長和面積.

口題型07菱形的折疊問題

24.（2024.廣東?模擬預(yù)測）如圖，在菱形48CD中，乙4=60°,AB=6,E是4B上一點(diǎn)，把四邊形ADCE沿

CE折疊后得到四邊形4?CE,CD'1CD,則BE的長為（）

A.|B.3C.6-3V3D.3百-3

25.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，在菱形4BCD中，^ABC=120°,將菱形折疊，使點(diǎn)4恰好落在對角線BD上

的點(diǎn)G處（不與B,D重合），折痕為EF,若DG=2,BG=4,則點(diǎn)E到BD的距離為.

D.C

G(A')

AEB

26.（2024?海南海口?模擬預(yù)測）如圖，在菱形4BCD中，乙4BC=60°,點(diǎn)尸是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接2P,WAABP

沿著2P折疊，得到AAEP,連接DE,若NB4P=16。，貝此4。5=；若點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，AB=4,則

CF的最小值為.

27.（2023?河南信陽?模擬預(yù)測）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上開展了“菱形折疊”研究活動(dòng).

第一步：每人制作內(nèi)角不同，邊長都為2的菱形若干個(gè)，四個(gè)頂點(diǎn)為4B,C,D（為保持一致，活動(dòng)中,

小組內(nèi)制作圖形各點(diǎn)名稱命名規(guī)則相同）；

第二步：對折找到一條對角線BD并展開；

第三步：將邊48折疊到對角線8。所在直線上，頂點(diǎn)4的落點(diǎn)為F,所得折痕與邊4。交于點(diǎn)E；

（1）小組長在研究大家測得的數(shù)據(jù)后仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)可以通過乙4的度數(shù)，計(jì)算得到NFED和NFDE的度數(shù).如

圖①，若一位同學(xué)制作的菱形中乙4=30°,請你給出此時(shí)NFDE和4FED的度數(shù)：kFDE=°,

乙FED=°；

（2）若乙4<60。，請?zhí)骄恳?的度數(shù)為多少時(shí)，ADEF為等腰三角形，并說明理由；

（3）請直接寫出△DEF為直角三角形時(shí)。F的長.

□題型08添加一個(gè)條件使四邊形是菱形

28.（2024?甘肅蘭州?模擬預(yù)測）如圖，在團(tuán)4BCD中（4D>AB）,“BC為銳角，將△ABC沿對角線AC方向

平移，得到夕C，，連接和LD,在不添加任何輔助線的前提下，要使四邊形49C勿是菱形，只需添

加的一個(gè)條件是

29.（2024?湖南?模擬預(yù)測）已知四邊形4BCD的對角線BD垂直平分對角線AC于點(diǎn)。，要使四邊形48CD為菱

形,則可添加的條件是.（添加一個(gè)條件即可，不添加其他的點(diǎn)和線）.

30.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形4BCD的對角線相交于點(diǎn)O,過O的直線分別交AD、BC于

點(diǎn)、M、N.

(1)求證：OM=ON

（2）連接BM,DN.請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形BNDM為菱形.（不需要說明理由）

31.（2024湖北武漢.模擬預(yù)測）如圖，BE是△ABC的角平分線，點(diǎn)。在48上，且DE||BC.

（1）求證：DB=DE；

（2）在BC上取一點(diǎn)F,連接EF,添加一個(gè)條件，使四邊形BDEF為菱形，直接寫出這個(gè)條件.

口題型09證明四邊形是菱形

32.（2024?廣東?模擬預(yù)測）如圖，4D是AABC的角平分線，過點(diǎn)。分別作AC和AB的平行線，交4B于點(diǎn)E,

交AC于點(diǎn)尺試判斷四邊形4EDF的形狀，并給出證明.

33.（2024湖北黃岡?模擬預(yù)測）如圖，在忸4BCD中，AELBC,垂足為E,AF1CD,垂足為F,BD與AE,

AF分別相交于點(diǎn)G,H,AG=AH.求證：四邊形4BCD是菱形.

34.（2022九年級.上海?專題練習(xí)）如圖，在矩形48CD中，點(diǎn)E是邊CD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、。不重合）,

過點(diǎn)4作交邊CB的延長線于點(diǎn)尸，連接EF交邊4B于點(diǎn)G,連接4C.

（1）求證：△AEFSADAC；

（2）如果FE平分連接CG,求證：四邊形4GCE為菱形.

35.（2024.湖南?二模）如圖，3,是團(tuán)OBCQ的對角線,在△（BC和ACDB中,DE,BF分別是邊4B,CO的中

線，EF1BD.

（1）求證：四邊形DEBF是菱形；

（2）求證：AABD是直角三角形.

□題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度

36.（2024.河南南陽?二模）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。0,E為BC延長線上一點(diǎn)，連接。D,0B,若。0I8C,

且。。=BC,貝叱8。。的度數(shù)是（）

A.60°B.115°C.130°D.120°

37.（2024?陜西榆林?二模）如圖，在。。中，作正方形ABCD和等邊ACDE,其中點(diǎn)4、B、E三點(diǎn)在。。上,

則劣弧施所對的圓心角為（）

A.135°B.150°C.120°D.105°

38.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在對角線BD上，點(diǎn)F在邊BC上,

連接4E,EF,DE=BF,BE=BC.

（1）如圖①，求證△4ED三ZXEFB；

（2）如圖②，若28=4。，AE手ED,過點(diǎn)C作CHII&E交BE于點(diǎn)H,在不添加任何輔助線的情況下，請直接

寫出圖②中四個(gè)角（NB4E除外），使寫出的每個(gè)角都與NB4E相等.

□題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長

39.（2023?廣東深圳?三模）如圖，在4BCD中，以點(diǎn)。為圓心，的長為半徑作弧交4。于點(diǎn)G,分別以點(diǎn)C,

G為圓心，大于的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)E,作射線DE交BC于點(diǎn)F,交CG于點(diǎn)。，若AB=13,GC=24,

則DF的長為（）

AG：D

A.10C.12D.6.5

40.（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測）如圖，在AaBC中，AB=6,BC=4,點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在邊4B上，將4BDE

沿直線OE翻折，點(diǎn)B恰好落在邊AC上的點(diǎn)尸處，若DF||AB,則CD的長為（）

A

B.2C.2.4D.3

41.(2024?湖南長沙?模擬預(yù)測)如圖，在四邊形4BCD中，AB||DC,AB=AD,對角線AC,BD交于點(diǎn)0,

AC平分AB4D,過點(diǎn)C作CELAB交AB的延長線于點(diǎn)E,連接。E.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若4B=V5,BD=2,求。E,CE的長.

42.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)如圖，在平行四邊形2BCD中，。是對角線力C,BD的交點(diǎn)，延長邊CD到

點(diǎn)足使DF=DC,過點(diǎn)/作EFII4C,交。D的延長線于點(diǎn)E,連接。F,EC.

圖1圖2

(1)求證：AODC王4EDF；

(2)連接4F,若。。=DC且ABEC=45。，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中長度為&04的

所有線段.

□題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求周長

43.(2024?湖南長沙?模擬預(yù)測)如圖，矩形2BC0的對角線AC,80相交于點(diǎn)O,DE\\AC,CE\\BD.

(1)求證：四邊形OCED是菱形;

(2)若BC=3,。4=苧，求四邊形。CED的面積和周長.

44.(2024?山東青島.二模)如圖，四邊形4BCD是正方形，BEWDF,分別交對角線4C于點(diǎn)E,F,連接ED,

BF.

⑴求證：四邊形BEDF是菱形:

(2)若4E=2,CE=6,求菱形BEDF的周長和面積.

45.(2024?江西撫州?一模)如圖1,△4BC是。。的內(nèi)接三角形，AB=AC,是△ABC的一個(gè)外角，AE

(1)求證：4E是。。的切線；

(2)如圖2,過點(diǎn)C作。。的切線交4E于點(diǎn)F,若AF=BC.

①請判斷四邊形ABCF的形狀，并說明理由；

②當(dāng)4B=2時(shí)，求圖中陰影部分的周長.

□題型13根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積

46.(2024?吉林長春?一模)如圖，矩形4E8。的對角線48、0E交于點(diǎn)R延長4。到點(diǎn)C,使。C=。4延

長B。至U點(diǎn)。，使0D=0B,連接2。、DC、BC.

(1)求證:四邊形4BCD是菱形.

(2)若。E=20,/.BCD=60°,則菱形48C。的面積為

47.(2024?江西南昌?模擬預(yù)測)定理證明：

(1)如圖1,PA,PB是。。的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B,求證：PA=PB-,

定理應(yīng)用：

(2)如圖2,△ABC是。。的內(nèi)接等腰三角形，AB=AC=2,z￡>=60°,DC是。。的切線，若04IIBC,

求四邊形4BCD的面積.

48.(2024.貴州貴陽?一模)如圖，在RtAABC中，乙4cB=90°,ZX5C=60。，。為4B的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作DE||BC,

5.DE=BC,連接CD,BE.

A

(1)請你選擇一位同學(xué)的說法，并進(jìn)行證明；

(2)若BC=2,連接AE,EC,求AAEC的面積.

49.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)在△ABC中，4B=AC,點(diǎn)M在B4的延長線上，點(diǎn)N在BC的延長線上,

平分Z.G4M,CD||AB.

圖1圖2

（D如圖1,求證：四邊形是平行四邊形；

（2）如圖2,當(dāng)N4BC=60。時(shí)，連接BD,交AC于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作DE1BD,交BN于點(diǎn)E,在不添加任何輔

助線的情況下，請直接寫出圖中與△CDE面積相等的4個(gè)三角形.

□題型14根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題

50.（2024?內(nèi)蒙古?二模）如圖.在菱形4BCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)E,延長BC至！J點(diǎn)F,使CF=BC,連

接AF,DF,4F分另IJ交CD,BD于點(diǎn)G,0,則下列結(jié)論：①四邊形4CFD是平行四邊形@BD2+FD2=

2

BF@BD=4OE@SAGE0=^ShAD0.其中正確的結(jié)論是_______（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

4

BCF

51.（2024?福建福州?模擬預(yù)測）如圖，在菱形4BCD中,乙4=60。，點(diǎn)M,N是邊ZD,AB上任意兩點(diǎn)，將菱形

ABCD^MNM，點(diǎn)4恰巧落在對角線BD上的點(diǎn)E處，下列結(jié)論：

①AMEDFENB；②若NDME=15。，貝UNENB=105。；③若菱形邊長為4,M是4D的中點(diǎn)，連接MC,

則MC=2g；④若DE:BE=2:5,則AM:AN=3:4,其中正確結(jié)論是.

eNB

52.（2024?天津河西?二模）已知菱形ABC。，AB=10cm,乙4=60。，點(diǎn)、E,F,G,H分別在菱形4BCD的

四條邊上，AH=AE=CG=CF.連接EF,FG,GH,HE.有下列結(jié)論：①四邊形EFG”是矩形；②4E長

有兩個(gè)不同的值，使得四邊形EFGH的面積都為10cm2；③四邊形EFGH面積的最大值為25次cm2.其中，

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

B

A.0B.1C.2D.3

53.（2024.山東棗莊?二模）如圖，0aBe是平行四邊形，對角線。B在y軸正半軸上，位于第一象限的點(diǎn)2和

第二象限的點(diǎn)C分別在雙曲線y=5和y="的一個(gè)分支上，分別過點(diǎn)兒C作久軸的垂線段，垂足分別為點(diǎn)

M和點(diǎn)N,給出如下四個(gè)結(jié)論：①翳=圜；②陰影部分的面積是|（|句+|句）；③當(dāng)乙4"=90。時(shí)，

也|=隹1；④若。ABC是菱形，則燈+@=0；以上結(jié)論正確的是（）

A.①③B.①②④C.②③④D.①④

54.（2024.全國.模擬預(yù)測）如圖，在菱形2BCD中，^BAD=120°,對角線4C,BD交于點(diǎn)。，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上

（不與點(diǎn)C重合），連接AP,4P的垂直平分線交4P于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接FP,CE,OE,現(xiàn)有以下結(jié)論：

①點(diǎn)4E之間的距離為定值；@FP=2FE；③器的值可以是:；④NEOF=30。或150。.其中正確的

BC3

是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

口題型15與菱形有關(guān)的新定義問題

55.（2024?山東荷澤?一模）將菱形的兩個(gè)相鄰的內(nèi)角記為血。和嗔血>n），定義:為菱形的“接近度”，則當(dāng)“接

近度”為時(shí)，這個(gè)菱形就是正方形.

56.（2023?江蘇鹽城?一模）定義：若四邊形中某個(gè)頂點(diǎn)與其它三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，則這個(gè)四邊形叫做等距

四邊形，這個(gè)頂點(diǎn)叫做這個(gè)四邊形的等距點(diǎn).

I___

圖1圖2圖3

（1）判斷：一個(gè)內(nèi)角為60。的菱形等距四邊形.（填“是”或“不是”）

（2）如圖2,在5x5的網(wǎng)格圖中有4、B兩點(diǎn)，請?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找出C、。兩個(gè)格點(diǎn)，使得以

4B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形以4為等距點(diǎn)的“等距四邊形”，畫出相應(yīng)的“等距四邊形”（互不全等），并寫出

該等距四邊形的端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對角線長.端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對角線長為.

（3）如圖，在海上4B兩處執(zhí)行任務(wù)的兩艘巡邏艇，根據(jù)接到指令4B兩艇同時(shí)出發(fā)，4艇直接回到駐地0,

B艇到C島執(zhí)行某項(xiàng)任務(wù)后回到駐地。（在C島執(zhí)行任務(wù)的時(shí)間忽略不計(jì)），已知4B,C三點(diǎn)到。點(diǎn)的距離

相等，AO||BC,BC=100km,tanX=|,若4艇速度為65km/h,試問B艇的速度是多少時(shí)，才可以和4艇

同時(shí)回到駐地？

57.（2024?湖南長沙?一模）定義：對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”.

⑴若回ABC。是圓的“奇妙四邊形”，貝膽48CD是（填序號(hào)）：

①矩形；②菱形；③正方形

（2）如圖1,已知。。的半徑為R,四邊形4BCD是。。的“奇妙四邊形”.求證：AB2+CD2=47?2；

（3）如圖2,四邊形4BCD是“奇妙四邊形”，尸為圓內(nèi)一點(diǎn)，"PD=Z.BPC=90°,^ADP=4PBC,BD=4,

且AB=何?C.當(dāng)DC的長度最小時(shí)，求箓的值.

58.（2024?四川達(dá)州?一模）數(shù)學(xué)活動(dòng)：某數(shù)學(xué)興趣小組想探究任意四邊形的中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形

的邊、對角線的關(guān)系；

HM

DD

E

定義：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.

［操作］如圖1,點(diǎn)E,RG,X分別是四邊形各邊的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)E,F,G,X得到中點(diǎn)四邊形EFGH.

［猜想］(1)填空：任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是；

［證明］(2)請補(bǔ)全以下求證內(nèi)容，并完善證明過程；

已知：點(diǎn)、E,F,G,X分別是四邊形4BCD各邊的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)E,F,G,H得到中點(diǎn)四邊形EFGH.

求證：.

證明：

［應(yīng)用］(3)如圖2,在四邊形4BCD中，AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)分別為P,Q,M,N,在AB上取一點(diǎn)

E,連接DE,CE,和ABCE恰好是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為2時(shí)，求四邊形MNPQ的周

長.

□題型16與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題

59.(2024?廣東汕尾?模擬預(yù)測)如圖，已知菱形4BC1D1的邊長AB=lcm,^DrAB=60°,連接對角線4Q,

以4G為邊作第二個(gè)菱形使4。24。1=60°.連接4。2，再以4Q為邊作第三個(gè)菱形AC2c3。3，使

Z￡>34C2=60。…按此規(guī)律所作的第〃個(gè)菱形的邊長是.

60.(2024?山東泰安?二模)含60。角的菱形4/1QB2,A2B2C2B3,A3B3C3B4,……，按如圖所示的方式放

置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A2,A3,……，和點(diǎn)Bi，B2,B3,B4,……，分別在直線y=履和無軸

上.已知4(2,0),B2(4,0),根據(jù)所給圖形，可以依次求出點(diǎn)4,&，&3,…，則圖中點(diǎn)4024的坐標(biāo)是()

B.(3X22023,V3x22023)

D.(3x22024,V3x22025)

61.（23-24九年級上.山東青島?期中）如圖，依次連接第一個(gè)矩形各邊上的中點(diǎn)，得到一個(gè)菱形，在依次連

接菱形各邊上的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個(gè)矩形的面積是1,則第"個(gè)矩形的

面積是.

62.（2024?河南鄭州?三模）綜合實(shí)踐

【問題】小張、小王、小袁在《解析與檢測》中發(fā)現(xiàn)這樣一道題：如圖1,在矩形28C。中，。為對角線BD的

中點(diǎn)，UBD=60°,動(dòng)點(diǎn)E在線段08上，動(dòng)點(diǎn)F在線段0。上，點(diǎn)瓦尸同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，分別向終點(diǎn)8,。運(yùn)動(dòng),

且始終保持0E=0F.點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)為位42；點(diǎn)F關(guān)于BC,CD的對稱點(diǎn)為a,尸2,在整個(gè)過程中,

四邊形瓦曷6尸2形狀的變化依次是什么？

【探究】（1）小張覺得在點(diǎn)E,F運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形瓦曷尻&的兩組對邊分別相等，所以四邊形第曷尻尸2

形狀必定為

（2）小王覺得小張說的不全面，于是三人繼續(xù)探索:

①小王看到四邊形第七出尸2的四邊分別經(jīng)過了原矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，并說道：在圖1中，連接DE1和OF2，只

要能說明NE1DF2為180。即可，其余三條邊都可以用這個(gè)方法證明.請你根據(jù)小王的說法，證明邊當(dāng)尸2經(jīng)過

點(diǎn)、D.

②小王發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)民F在點(diǎn)。時(shí)，四邊形E1E26F2為菱形；點(diǎn)瓦尸分別運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B,D時(shí)，四邊形E1E2&F2為菱

形；并猜想點(diǎn)及F在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形場％尻尸2能為矩形.請你利用圖2判段點(diǎn)民尸在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊

形均邑反尸2否能為矩形？若能請找到點(diǎn)尸的位置并證明此時(shí)四邊形E1E2&F2為矩形；若不能，也請說明理由.

【應(yīng)用】（3）經(jīng)過探索，三人得出了四邊形位石20尸2形狀的變化依次是菱形、平行四邊形、矩形、平行四邊

形、菱形的結(jié)論.如圖3,在原題的基礎(chǔ)上，將條件乙4BD=60。變?yōu)锳B=6,AD=8,其余條件不變，小

袁發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)E,F運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形曷與&尸2依然能夠形成矩形和菱形，請你直接分別寫出形成的菱形和矩

形的周長.

□題型17與麥形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題

63.（2024?貴州?模擬預(yù)測）綜合與探究：在四邊形2BCD中，P為對角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E,F分另U在AD,CD

上.

（1）【動(dòng)手操作】

如圖①，若四邊形28CD為正方形，P為對角線4C,8。的交點(diǎn)，E,F分別為AD,CD的中點(diǎn)時(shí)，連接PE,PF,

根據(jù)題意在圖①中畫出PE,PF,則NEPF為度;

⑵【問題探究】

如圖②，四邊形4BCD為菱形，AADC=120°,P為對角線AC,8。的交點(diǎn)，且NEPF=60。，探究線段DE,

DF,4D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）【問題解決】

如圖③，在（2）的條件下，若點(diǎn)P在對角線BD上，菱形4BCD的邊長為8,PA=7,DF=1,求DE的長.

64.（2024?湖南長沙?二模）如圖，在菱形4BCD中，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（且與點(diǎn)B、C不重合），連接4E交

BD于點(diǎn)G.

BEBE

善用圖

(1)若AE1BC,4BAE=18°,求NBGE的度數(shù);

⑵若4G=BG,求證BE?-GE2=AG-GE；

（3）過點(diǎn)G作GM||BC交4B于點(diǎn)M,記.5聞?dòng)訛镾「S四邊形DGEC為52,BC=xBE,|=y

①求證：―+―-—；

JBEADMG

②求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

65.（22-23九年級上?福建三明?期中）如圖1,點(diǎn)。是團(tuán)4BCD的對角線AC,BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)。作。H1AB,

0M1BC,垂足分別為X,M,若0H20M,我們稱2=”是團(tuán)48。。的中心距比.

圖2圖3圖4

⑴如圖2,當(dāng)4=1,求證：EL48C。是菱形；

（2）如圖3,當(dāng)乙4BC=90°,且4B=OB,求團(tuán)4BCD的;I值；

（3：）如圖4,在A4BC中，ZC=90°,AC=BC=6,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā).沿線段BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。自

C出發(fā)，沿線段G4向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，P、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，連結(jié)PQ,以PQ、4Q為

鄰邊作團(tuán)4QPE,若回4QPE的中心距比4=求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

口題型18與菱形有關(guān)的最值問題

66.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知菱形4BCD的面積為12百，E是邊BC上的中點(diǎn)，P是對角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，

連接4E,若力E平分NB4C,則PE+PC的最小值為.

67.（2024?吉林長春?二模）如圖，在菱形4BCD中，AC=16,BD=12,E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E分別作

EF1OC于點(diǎn)F,EG1。。于點(diǎn)G,連接FG.

（1）求證：四邊形OGEF為矩形.

（2）求GF的最小值.

68.（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測）如圖，菱形4BCD的邊長為2,ZDXB=60°,M,N分別是AD,AC上的兩

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（）

A.1B.V2C.V3D.2

69.(2024?江西九江.二模)課本再現(xiàn)

如圖1,四邊形48CD是菱形，^ACD=30°,BD=6.

(1)求AB,4C的長.

應(yīng)用拓展

(2)如圖2,E為4B上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE,將DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到D凡連接EF.

①直接寫出點(diǎn)。到EF距離的最小值；

②如圖3,連接OF,CF,若AOCF的面積為6,求BE的長.

□題型19含60°角的菱形

70.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)如圖，在菱形2BCD中，AE1BC于點(diǎn)E,AF1CD于點(diǎn)/，連接EF.

(1)求證：AE=AF；

(2)若NB=60°,求N4EF的度數(shù).

71.(2024?浙江臺(tái)州?模擬預(yù)測)如圖，四邊形2BCD為菱形，過點(diǎn)。分別作4B,BC的垂線，垂足為E,F.

(1)求證AADE"CDF；

（2）若NED尸=60°,DE=V3,求AB的值.

72.（2024?湖北黃岡?模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形4BCD的頂點(diǎn)A,B,C在坐標(biāo)軸上，若

點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,0）,^BCD=120°,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.(-2,2)B.(-2,V3)C.(遮,2)D.(-3,73)

73.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測）在菱形48CD中，^BAD=120°,E為對角線BD的中點(diǎn)，歹為4。邊上一點(diǎn),

且DF=B.若ADE尸為等腰三角形，則菱形4BCD的邊長為

口題型20菱形與函數(shù)綜合

74.（2024?遼寧大連?二模）如圖1,△ABC中，^ABC=60°,。是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合）,

DEIMB交4C于點(diǎn)E,EFIIBC交4B于點(diǎn)F.設(shè)BD的長為》,四邊形BDEF的面積為y.

A

B

圖1

【初步感知】

（1）經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于x的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖像，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,3）,請根據(jù)圖像信息,

求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

【延伸探究】

（2）①當(dāng)四邊形BDEF的面積為3時(shí)，求BD的長度;

②當(dāng)四邊形BDEF的面積最大時(shí)，求ACDE的面積.

（3）如圖3,當(dāng)四邊形BDEF是菱形時(shí)，求BD的長度.

75.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形04BC為菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,百）.點(diǎn)

M從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位沿x軸向右移動(dòng)，過點(diǎn)M且垂直0a的直線與菱形的兩邊分別交于P,Q兩點(diǎn),

設(shè)AOPQ的面積為S,則S與點(diǎn)M移動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為（）

D.

76.(2024?湖北武漢?三模)如圖1,在菱形4BCD中，AB=4,NB=60。，點(diǎn)尸為CD邊上的動(dòng)點(diǎn).

(1)E為邊40上一點(diǎn)，連接EF,將AOEF沿EF進(jìn)行翻折，點(diǎn)。恰好落在BC邊的中點(diǎn)G處,

①求DE的長；

②tan/GFC=_.

(2)如圖2,延長CD到M,使DM=DF,連接BM與與4F交于點(diǎn)N,連接DN,設(shè)DF=x(x>0),DN=y,

求y關(guān)于％的函數(shù)表達(dá)式.

77.(2024.甘肅平?jīng)?二模)如圖，拋物線y=a/+b久+4與x軸交于點(diǎn)4(2,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C,點(diǎn)。是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，AD=5,連接CD.

(2)請?jiān)趫D1中將線段CD向右平移至點(diǎn)。與點(diǎn)A重合,CD平移后對應(yīng)線段所在直線交拋物線于點(diǎn)E,連接CE,

判斷四邊形4ECD的形狀，并說明理由；

⑶在(2)的條件下，如圖2,連接DE,交y軸于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM1CD于點(diǎn)點(diǎn)N從E點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)，連接CN、MN,求ACMN周長的最小值.

□題型21與菱形有關(guān)的存在性問題

78.(2024?山東泰安?二模)如圖，拋物線y=a/+b尤+4經(jīng)過點(diǎn)4(一2,0),點(diǎn)B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,過

點(diǎn)C作直線CD以軸，與拋物線交于點(diǎn)D,作直線8C,連接4C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)E是拋物線上的點(diǎn)，求滿足NECD+ACAO=90。的點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M在y軸上，且位于點(diǎn)C的上方，點(diǎn)N在直線BC上，點(diǎn)P為直線8C上方拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N使

四邊形CMPN為菱形，如果存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).如果不存在，請說明理由.

79.(23-24九年級上.江蘇蘇州?期末)如圖，已知直線y="+4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線

y=a/+bx+4經(jīng)過A,C兩點(diǎn)，且與無軸的另一個(gè)交點(diǎn)為8,對稱軸為直線x=-1.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)〃是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為加，求四邊形4BCD面積S的最大值及此時(shí)。點(diǎn)的

坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，是否存在點(diǎn)P,Q,使以點(diǎn)A,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是以4C為對角線的

菱形？若存在，請求出P,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

80.(2024?江蘇蘇州?一模)如圖，二次函數(shù)、=一/+6-1)%+小(其中血＞1)的圖像與無軸交于2、B兩

點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,連接AC、BC,點(diǎn)。為△ABC的外心.

⑴填空：點(diǎn)4的坐標(biāo)為^ABC=_°；

(2)記△2CD的面積為Si，AABD的面積為S2，試探究&-S2是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；

(3)若在第一象限內(nèi)的拋物線上存在一點(diǎn)E,使得以B、D、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則巾=_.

81.(2024.河南開封.一模)如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為2(0,次)，C(2,V3),反比例函數(shù)y=

：(x＞0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.

(1)求人的值.

(2)點(diǎn)。在反比例函數(shù)丫=B。＞0)的圖象上，且BD1AC于點(diǎn)E,DE=BE,請說明四邊形4BCD是菱形.

（3）是否存在除點(diǎn)D外可與A,3,C三點(diǎn)共同組成菱形的點(diǎn)P?若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

口題型22與菱形有關(guān)的材料閱讀類問題

82.（2024?山西朔州?模擬預(yù)測）閱讀與思考

下面是小逸同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

作矩形的最大內(nèi)接菱形的方法

頂點(diǎn)在矩形邊上的菱形叫做矩形的內(nèi)接菱形，在實(shí)踐活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)老師提出來一個(gè)問題“如何從一張矩形

紙片中翻作出一個(gè)最大的內(nèi)接菱形”實(shí)踐小組成員經(jīng)過思考后，分別給了3種不同的方法.

方法一：通過折，將矩形紙片橫對折后再豎對折，沿對角線剪一刀將到一個(gè)直角三角形，展開后就是菱形

EHGF（如圖1）.則四邊形EHGF是矩形4BCD的內(nèi)接菱形.

方法二：通過疊，取兩個(gè)大小一樣的矩形紙片，讓兩矩形的長兩兩相交，重疊的部分形成四邊形2ECF.則

四邊形4ECF也是矩形4BCD的內(nèi)接菱形，（如圖2）

方法三：通過尺規(guī)作圖，作矩形4BCD的對角線4C的垂直平分線EF,與4D邊交于點(diǎn)E.與BC邊交于點(diǎn)尸，

連接4F,CE,則四邊形4ECF是矩形4BCD的內(nèi)接菱形.

實(shí)踐小組通過三種方法得到的菱形進(jìn)行分析，討論，計(jì)算，對比，從而得出矩形的最大內(nèi)接菱形.

圖I圖2圖3

任務(wù)：

（1）填空：通過“方法一”能得到的菱形，它的依據(jù)是.

（2）尺規(guī)作圖：請你在圖3中完成日記中的“方法三”的作圖過程，（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（3）若矩形4B=4,BC=10,請你根據(jù)日記中三種方法，計(jì)算此矩形的內(nèi)接菱形的面積最大值為.

83.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）閱讀短文，解決問題.

若平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形的邊上，且有一個(gè)角與三角形的一個(gè)角重合，另一個(gè)頂點(diǎn)在三角形的

這個(gè)重合角的對邊上，我們就稱這個(gè)平行四邊形是該三角形的“相依四邊形例如：如圖1,在平行四邊形

AEFD中，NB4C與ACME重合，點(diǎn)F在BC上，則稱平行四邊形4EFD為△4BC的“相依四邊形”.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,平行四邊形4EFD為AABC的“相依四邊形”，4F平分NB4C,判斷四邊形4EFD的形狀，并進(jìn)行證

明.

⑵在（1）的條件下，如圖2,ZB=90°.

①若AC=6,FC=V6,求四邊形AEFD的周長；

②如圖3,M,N分別是DF,AC的中點(diǎn)，連接MN,若MN=|,求4。2+。尸2的值.

84.（2024?山西晉城?二模）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

利用尺規(guī)在銳角三角形紙片上作菱形在數(shù)學(xué)興趣課上，老師提出一個(gè)問題：利用尺規(guī)在銳角三角形紙片4BC

上作菱形4EDF,且點(diǎn)E,尸分別在BC,AB,4C邊上，同學(xué)們以小組為單位展開了討論.

勤學(xué)小組展示了他們的作法：如圖1,以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，兩弧分別交ZB,4C邊于點(diǎn)G,

H；分別以點(diǎn)G,X為圓心，大于［GH的長為半徑畫弧，在AABC內(nèi)部交于點(diǎn)￡；連接4并延長，交BC邊

于點(diǎn)以點(diǎn)8為圓心，任意長為半徑畫弧，兩弧分別交AB,BC邊于點(diǎn)M,N；以點(diǎn)。為圓心，BN長為

半徑畫弧，交BC邊于點(diǎn)尸；以點(diǎn)尸為圓心，MN長為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)Q；連接OQ并延長，交4C邊于

點(diǎn)B以點(diǎn)A為圓心，4F長為半徑畫弧，交AB邊于點(diǎn)E；連接OE,DF.則四邊形4EDF為菱形.

勤學(xué)小組進(jìn)行了以下證明：

證明：根據(jù)尺規(guī)作圖，得4D平分ABAC,ZFDC=ZB,AE=AF.

：.^BAD=/.CAD,FDWAB.

.\Z-ADF=/-BAD.

??Z-ADF=Z.CAD.

?-AF=DF.（依據(jù)1）

.'.AE=DF.

四邊形4EDF是平行四邊形.（依據(jù)2）

5L-：AE=AF,

四邊形4EDF是菱形.

善思小組也展示了他們的作法：如圖2,以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交4B,AC邊于點(diǎn)R,S；

分別以點(diǎn)R,S為圓心，大于^RS的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)T；連接27并延長，交BC邊于點(diǎn)O；分別以

(1)填出證明過程中的依據(jù).

依據(jù)1:;

依據(jù)2：.

(2)請根據(jù)善思小組的作法，求證：四邊形4EDF是菱形.

(3)如圖3,請