中考數學：答題技巧與模板構建

專題08新函數圖象與性質探究（學案原卷版）

題型解讀|模型構建|通關試練

衛二題型他速

新函數問題

函數與幾何結合問題

新函數圖象與性質探究

函數實際應用問題

了解和掌握新函數的圖象和性質出題形式和考試方向；學會運用新函數的相關性質進行研究;

了解和掌握含絕對值的新函數、分段函數及與函數結合的實際應用是本專題知識點的關

鍵.新函數圖象與性質的探究題型既考查學生對于函數圖象與性質的理解，又考查學生對實

際問題和幾何圖形的分析能力以及作圖能力，新函數圖象與性質的探究題大致可歸納為3

種類型：（1）函數圖象的變形；（2）實際情景中新函數圖象與性質的探究；（3）與幾何結合

的新函數的圖象與性質.本專題主要對新函數圖象探究題型進行總結，對其解法進行歸納總

結，所選題型為近幾年期末考試中的常考題型.

模型01新函數問題

通過對以往函數的學習，在所學函數的基礎上構建新的函數形式，對對應變量的函數關系進

行有關函數圖象及性質的探究及運用.考查學生對函數圖象、函數性質以及與函數圖象結合

的相關知識的綜合掌握和運用，充分體現了數學與圖形結合的密切聯系，屬于中考的一種常

考題型.

模型02函數與幾何結合問題

函數與幾何結合的模型，主要是為了研究幾何中角度、線段長度或則圖形面積等通過常規方

式不容易求解對應數量時，我們借助函數模型進行探究.在解題中抽象出對應變量的函數關

系進行有關函數圖象及性質的探究及運用，綜合考查學生對幾何有關圖形性質、定理知識以

及函數的圖象等知識的綜合掌握和運用能力.

模型03函數實際應用問題

函數的實際應用問題中通過對實際情景問題中抽象出對應變量的函數關系進行有關函數圖

象及性質的探究及運用.考查學生對幾何有關圖形性質、定理知識以及函數的圖象等知識的

綜合掌握和運用，充分體現了數學與實際生活的密切聯系，屬于中考的一種常考題型.

一結?牌型㈱建

模型01新函數問題

考I向I預I測

新函數問題該題型近年主要以解答題型出現，解決這類問題的關鍵是對初中階段學習的一次

函數、反比例函數、二次函數的定義圖象和性質充分了解，然后結合幾類函數的圖形和性質

特點進行演變分析.在所學函數的基礎上構建新的函數形式，對對應變量的函數關系進行有

關函數圖象及性質的探究及運用.答I題I技I巧

第一步：觀察新函數特點（表達式特點、圖象特點），結合所學基本函數特征進行分析；

第二步：確定函數圖象（注意列表、描點、）；

第三步：結合函數性質進行研究（對稱性、增減性、最值）；

第四步：對對應變量的函數關系進行有關函數圖象及性質的探究及運用；

［題型王＜5'1

例1.（2023?廣西）

2

1.中考新考法：注重過程性學習，某數學小組在研究函數＞=——；+2時，對函數的圖象

x+1

進行了探究，探究過程如下:

_35_

X-4-3-2123

~2~2~22

8242

y346-21

332

(1)①X與y的幾組對應值如下表，請補全表格；

②在上圖平面直角坐標系中，描出上表中各組對應值為坐標的點，并根據描出的點畫出該函

數的圖象；

(2)我們知道，函數y=a(x-/z)2+k(a^0,h>0,k>0)的圖象是由二次函數y=ax?的圖象向

右平移九個單位，再向上平移七個單位得到的.類似地，請直接寫出將>的圖象經過怎

x

2

樣的平移可以得到y=——；+2的圖象；

x+1

1?

(3)若一次函數丁=-彳尤+2的圖象與函數>=——；+2的圖象交于43兩點，連接。4、0B,

求，AOB的面積.

模型02函數與幾何結合問題

考I向I預I測

函數與幾何結合問題主要是借助函數模型進行探究幾何問題，對實際幾何問題中抽象出對應

變量的函數關系進行有關函數圖象及性質的探究及運用.該題型在考試中主要以解答題的形

式出現，具有一定的難度，除了考查學生對幾何有關圖形性質、定理知識外，對函數的圖象

與性質等也需要真正理解，充分體現了數學與實際生活的密切聯系，屬于中考的一種常考題

型.

答I題I技I巧

第一步：理解題意，找到實際情境的數學模型;

第二步：從學過的基礎函數入手，建立函數關系；

第三步：利用函數的性質，從特殊到一般的探究學習；

第四步：按照題意設計靈活運用所學知識逐次解決問題；

］或型守傷I

例1.（2023?湖南）

2.【教材再現工北師大版九年級上冊數學教材第122頁第21題：“怎樣把一塊三角形的木

板加工成一個面積最大的正方形桌面？”某小組同學對此展開了思考.

2

（1）若木板的形狀是如圖（甲）所示的直角三角形，SAASC=1.5m,AB=1.5m,根據“相

似三角形對應的高的比等于相似比”可以求得此時正方形DEFG的邊長是.

【問題解決】：若木板是面積仍然為ism?的銳角三角形ABC,按照如圖（乙）所示的方式

加工，記所得的正方形。麼G的面積為S,如何求S的最大值呢？某學習小組做了如下思考:

13

設DE=x,AC=a,AC邊上的圖9=〃，則5\和=一。〃，.由得：

2a

縹=罷，從而可以求得了=工】，若要內接正方形面積S最大，即就是求x的最大值，

BHACa+h

因為S=1.5為定值，因此只需要分母最小即可.

（2）小組同學借鑒研究函數的經驗，令尸。+/2=。+—=。+二（。＞0）.探索函數＞=。+—

aaa

a

A.當。＞1時，y隨。的增大而增大.

B.該函數的圖象可能與坐標軸相交.

C.該函數圖象關于直線y=a對稱.

D.當該函數取最小值時，所對應的自變量。的取值范圍在1?2之間.

模型03函數實際應用問題

考I向I預I測

函數實際應用問題通過對實際情景問題中抽象出對應變量的函數關系進行有關函數圖象及

性質的探究及運用.考查學生對幾何有關圖形性質、定理知識以及函數的圖象等知識的綜合

掌握和運用，充分體現了數學與實際生活的密切聯系，屬于中考的一種常考題型.

答I題I技I巧

第一步：理解題意，找到實際情境的數學模型；

第二步：從學過的基礎函數入手，建立函數關系；

第三步：利用函數的性質，從特殊到一般的探究學習；

第四步：按照題意設計靈活運用所學知識逐次解決問題；

［題型學你

例1.（2023?四川）

3.趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈

圓弧形，跨度約為37m,拱高約為7m,則趙州橋主橋拱半徑R約為（)

A.20mB.28mC.35mD.40m

例2.（2023?山東）

4.【問題背景】“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具.綜合實踐小組準備用甲、乙

兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節流閥（控制水的流速大小）的軟管制作簡易計時裝置.

?節流閥

乙

【實驗操作】綜合實踐小組設計了如下的實驗:先在甲容器里加滿水,此時水面高度為30cm,

開始放水后每隔lOmin觀察一次甲容器中的水面高度

流水時間t/min010203040

水面高度h/cm（觀察值）302928.12725.8

任務1：分別計算表中每隔lOmin水面高度觀察值的變化量.

【建立模型】小組討論發現：＞=0,力=30”是初始狀態下的準確數據，水面高度值的變化

不均勻

任務2：利用1=0時，h=30；t=10時，h=29,求出//關于f的函數解析式；

【反思優化】經檢驗，發現有兩組表中觀察值不滿足任務2中求出的函數解析式,存在偏差，

減少偏差.通過查閱資料后知道：，為表中數據時，根據解析式求出所對應的函數值與表中

觀察值偏差的平方和記為卬；w越小，偏差就越小；

任務3：（1）計算任務2得到的函數解析式的w值；

（2）請確定經過（0,30）的一次函數解析式的w值，使得w的值最小；

【設計刻度】得到優化的函數解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設計刻度，通過刻

度直接讀取時間.

任務4：請你簡要寫出時間刻度的設計方案.

真理?強牝鈿緣

（2023?南京）

5.如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面寬4米時，拱頂（拱橋洞的最高點）離

水面2米，水面下降1米時，水面的寬度為一米.

（2023?湖北）

6.在2024年中考體育考試前，小康對自己某次實心球的訓練錄像進行了分析，發現實心球

飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，實心球的飛行高度y（單位：米）與飛行的水

平距離X（單位：米）之間具有函數關系>=-白/+=%+=,則小康這次實心球訓練的成

1682

績為米.

（2023?上海）

7.平面直角坐標系中，在x軸上，且到一條拋物線的頂點及該拋物線與y軸的交點的距離

之和最小的點，稱為這條拋物線與x軸的“親密點”，那么拋物線y=2/+4x+5與x軸的“親密

點”的坐標是.

（2023?內蒙古）

8.有一座拋物線型拱橋，在正常水位時，水面AB寬20米，拱橋的最高點0到水面AB的

距離是4米，如圖建立直角坐標平面如果水面上升了1米，那么此時水面的寬度是—

米.（結果保留根號）

（2023?陜西）

9.小明根據學習函數的經驗，對函數y=—1+1的圖象與性質進行了探究.下面是小明的

探究過程，請補充完整：

⑴函數的自變量尤的取值范圍是」

x-1

(3)在如圖所示的平面直角坐標系中，描全上表中以各對對應值為坐標的點，并畫出該函數

的圖象(注：圖中小正方形網格的邊長為1).

13

(4)結合函數的圖象，解決問題：當函數值一=+1>=時，x的取值范圍是:

x-12

(2023?廣東)

10.如圖1,平行四邊形A3CD中，AB=3,BC=5,連接AC,ABAC=90°,動點P以每

秒1個單位的速度從點C出發沿折線CfAfO運動，設點尸運動時間為尤秒，的

面積為％,

圖1圖2

(1)請直接寫出％關于尤的函數表達式，并注明自變量X的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數圖象，并寫出該函數的一條性質；

4一

(3)%=?的函數圖象如圖2所示，當%2%時請直接寫出x的取值范圍.(結果保留一位小

x

數，誤差小于0.2)

(2023?河北)

11.【生活情境】

為美化校園環境，某學校根據地形情況，要對景觀帶中一個長AD=4m,寬AB=lm的長方

形水池ABCD進行加長改造(如圖①，改造后的水池ABMW仍為長方形，以下簡稱水池1),

同時，再建造一個周長為12m的矩形水池EFGH(如圖②，以下簡稱水池2).

水池2

水池?1

J-------------------------------------------

圖①圖②

【建立模型】

如果設水池ABCD的邊AD加長長度DM為x(m)(x>0),加長后水池1的總面積為

則%關于x的函數解析式為：％=x+4(x>0)；設水池2的邊麻的長為x(m)(O<尤<6),

2

面積為力(m?),則為關于x的函數解析式為：y2=-x+6x(O<x<6),上述兩個函數在同

一平面直角坐標系中的圖像如圖③.

【問題解決】

(1)若水池2的面積隨EF長度的增加而減小，則所長度的取值范圍是(可省略單

位),水池2面積的最大值是_________m2;

(2)在圖③字母標注的點中，表示兩個水池面積相等的點是，此時的x(m)值是

(3)當水池1的面積大于水池2的面積時，Mm)的取值范圍是；

(4)在l<x<4范圍內，求兩個水池面積差的最大值和此時x的值；

(5)假設水池A3CD的邊AO的長度為6(m),其他條件不變(這個加長改造后的新水池簡稱

水池3),則水池3的總面積Mn?)關于x(m)(x>0)的函數解析式為：y3=x+b(x>0).若

水池3與水池2的面積相等時，x(m)有唯一值，求匕的值.

(2023?山西)

12.小明在課余時間，找了幾副度數不同的近視鏡，讓鏡片正對著太陽光，并上下移動鏡片，

直到地上的光斑最小.此時他測量了鏡片到光斑的距離，得到如下數據：

鏡片度數w度400625800m

鏡片到光斑的距離尤/相0.250.160.1250.10

(x表示鏡片到光斑的距離，y表示鏡片的度數)

為了進一步研究鏡片度數y與鏡片到光斑的距離無間的關系，小明借助計算機繪制了表示變

量間關系的圖象，并給出了它們的關系式，如圖：

(l)m的值是;

(2)小亮的眼鏡是近視200度，用小亮的眼鏡做實驗的話，請寫出其鏡片到光斑的距離，并

解釋你是怎樣得出這一結論的；

(3)根據圖表中的信息，發現隨著x的逐漸變大，y的變化趨勢是；

(4)你來預測一下，如果是一副平光鏡(近視度數為0),會不會有光斑存在？(直接寫結論，

無需解釋)

(2023?河南)

13.跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋

物線的一部分(如圖中實線部分所示)，落地點在著陸坡(如圖中虛線部分所示)上，著陸

坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高.2022

年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度。4為66m,基準點K到起跳臺的水平距離為

75m,高度為"為定值).設運動員從起跳點A起跳后的高度y(m)與水平距離x(m)之

間的函數關系為y=ax1+bx+c(a^t0).

(l)c的值為；

1Q

(2)①若運動員落地點恰好到達K點，且此時“=-而/=木，求基準點K的高度/?；

②若4=時，運動員落地點要超過K點，則6的取值范圍為；

(3)若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m,試判斷他的落地點能否超

過K點，并說明理由.

（2023?江蘇）

14.乒乓球被譽為中國國球.2023年的世界乒乓球錦標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠

軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術分析是分不開的.如圖，是乒乓球臺的截面

示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為28.75cm的高度，將乒乓球向正前

方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分.乒乓球到球臺的豎直高度記

為y（單位：cm）,乒乓球運行的水平距離記為x（單位：cm）,測得如下數據：

水平距離x/cm0105090130170230

豎直高度y/cm28.7533454945330

圖①圖②

（1）①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是_cm,當乒乓球落在對面球臺上時，到

起始點的水平距離是_cm.

②求滿足條件的拋物線解析式；

（2）技術分析：如果只上下調整擊球高度。4,乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒

乓球既能過網，又能落在對面球臺上，需要計算出。4的取值范圍，以利于有針對性的訓

練.如圖②.乒乓球臺長為274cm,球網高CD為15.25cm.現在已經計算出乒乓球恰

好過網的擊球離度OA的值約為1.27cm.請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時,

擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計）.

支女?或型逼美

15.如圖，將水以勻速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面圓柱體的容器中，請找

出容器內水的高度和時間r變化關系的圖象（）

16.如圖1,水鐘在中國又叫做“刻漏”，在小學科學課制作《我們的水鐘》時，學生制作了

如圖2所示的簡易水鐘：瓶子內部盛一定量的水，不考慮水量變化對壓力的影響，水從瓶蓋

的小孔均勻漏出，瓶身上有刻度，學生可根據瓶中水面的位置計算時間.若將此簡易水鐘的

瓶子近似看作圓柱，用無表示漏水時間，y表示水面到瓶蓋的高度，下列圖象適合表示y與

x之間關系的是（）

17.如圖①，底面積為30cm2的空圓柱容器內水平放置著由兩個實心圓柱組成的“幾何體”,

現向容器內勻速注水，注滿為止，在注水過程中，水面高度"（cm）與注水時間上）之間的關

系如圖②.若“幾何體”的下方圓柱的底面積為15cm2,求“幾何體”上方圓柱體的底面積為（）

A.24B.12C.18D.21

18.【探究】在“動點與函數”的活動課上，老師提出了如下問題：如圖1,在矩形ABCD中,

CD=4,AD=3,連接AC,動點E從點A出發以每秒1個單位長度的速度沿AfC->3方

向運動，當點E運動到點B時停止運動.設運動時間x秒，"E的面積為y,請直接寫出

y關于*的函數表達式以及自變量》的取值范圍.

m\圖2

【嘗試】小邕學習函數時，常常利用“數形結合”的數學思想，因此在這道題的基礎上，他想

在平面直角坐標系中（圖2）畫出這個函數的圖象，請你按照小邕的思路畫出圖象，并結合

函數圖象寫出函數V的性質（寫出一條即可）.

【應用】進一步思考：結合函數圖象，寫出.ABE的面積為4時x的值.

19.如圖1,一輛灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口H離地面豎直高度為//=1.2米.建立如圖

2所示的平面直角坐標系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象,

把綠化帶橫截面抽象為矩形DEW,其水平寬度DE=1.8米，豎直高度EF=1.1米，若下邊

緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離

為2米，高出噴水口0.4米，灌溉車到綠化帶的距離。。為d米.

(1)求上邊緣拋物線的函數解析式；

(2)下邊緣拋物線與無軸交點B的坐標為；

(3)若d=2.2米，則灌溉車行駛時噴出的水能否澆灌到整個綠化帶？請說明理由.

20.在跳繩時，繩甩到最高處的形狀可近似看作拋物線，如圖，已知甲、乙兩名學生拿繩的

手間距為6米，距地面均為1米，繩的最高點距離地面的高度為4米，以水平地面為x軸,

垂直于地面且過繩子最高點的直線為〉軸，建立平面直角坐標系，如圖.

(1)求拋物線的函數表達式;

(2)身高為1.57米的小明此時進入跳繩，他站直時繩子剛好通過他的頭頂，小明與甲的水平

距離小于小明與乙的水平距離，求小明離甲的水平距離.

21.綜合與實踐.

【問題情境】“漏壺”是一種古代計時器，在社會實踐活動中，某小組同學根據“漏壺”的原理

制作了如圖(“)所示的液體漏壺，該漏壺是由一個圓錐和一個圓柱組成的，中間連通，液

體可以從圓錐容器中勻速漏到圓柱容器中，實驗開始時圓柱容器中已有一部分液體.

(a)(b)

【實驗觀察】下表是實驗記錄的圓柱容器液面高度》(cm)與時間x(h)的數據:

【結論應用】(2)如果本次實驗記錄的開始時間是上午9：00,那么當圓柱容器液面高度達

到12cm時是幾點？

22.閱讀與思考

請仔細閱讀材料，并完成相應的任務.

利用數學知識求電阻的阻值

數學和物理的關系十分密切，數學是表達物理概念、定律簡明而準確的語言，同時，數學為

物理提供了計量、計算的工具和方法.

例如：已知兩個電阻用和4串聯后的總電阻為7。，并聯后的總電阻為g。，求這兩個電阻

的阻值各是多少.

根據串聯電路中電阻之間的關系，得用+與=7,①

根據并聯電路中電阻之間的關系，得高+丁=力^=1②

把①代入②，得4尺=6③

以上問題也可以通過以下兩種數學方法求解.

方法1：設舄的阻值為X,則&的阻值為7-工根據③可將問題轉化為x(7-x)=6是否有正

數解的問題.

方法2：設兩個電阻的阻值分別為x和y,則根據③，得x+y=7,根據③，得孫=6.所以同

時滿足要求的正數X和y的值可以看成反比例函數y=g的圖象與一次函數y=-x+7的圖

X

象在第一象限內的交點坐標(x,y).

任務：

12

(1)已知兩個電阻耳和&串聯后的總電阻為10Q,并聯后的總電阻為，請你借助“方法1”,

求這兩個電阻的阻值各是多少.

(2)是否存在兩個電阻凡和4,使串聯后的總電阻為40,并聯后的總電阻為？

小明借助“方法2”解答如下：

假設存在，設這兩個電阻的阻值分別為x和V,

根據①，得先+》=.

根據③，得個=.

在如圖所示的直角坐標系中，小明分別畫出了滿足條件的反比例函數y=g和一次函數

X

y=-x+4的圖象.

觀察圖象可知，(填“存在”或“不存在”)滿足條件的兩個電阻.

23.鷹眼系統能夠追蹤、記錄和預測球的軌跡，如圖分別為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統

預測畫面(如圖1)和截面示意圖(如圖2),攻球員位于點。，守門員位于點A,的延

長線與球門線交于點且點A,B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線.已

知。B=28"z,AB=8m,足球飛行的水平速度為157Ms,水平