專題11選擇壓軸題

1.（2023?北京）數(shù)列｛%｝滿足a,-]=；4-6）3+6,下列說法正確的是（）

A.若q=3,則｛%｝是遞減數(shù)列，BM&R,使得"〉機(jī)時(shí)，an>M

B.若q=5,則｛4｝是遞增數(shù)列，BM?6,使得〃時(shí)，an<M

C.若％=7,則｛%｝是遞減數(shù)列，使得〃>"2時(shí)，an>M

D.若4=9,則｛4｝是遞增數(shù)列，BM&R,使得〃>〃7時(shí)，an<M

【答案】B

2

【詳解】對原式進(jìn)行變形，得an+l-an=[:（an-6）-l]（an-6）,

當(dāng)4=3,則出一4<0，出<3，設(shè)為<3（aeZ,Z..2）,貝U%[-4<-3,所以｛4｝是遞減數(shù)列,

當(dāng)〃f+oo,Q“->-oo,A錯(cuò)誤，同理可證明。錯(cuò)誤，

當(dāng)％=5,貝|%—%>。，即%>5,又因?yàn)椋ǎ?-6）3<0,所以5V%<6，

假設(shè)5<歿<6（左GZ,左..2）,則為即以+i>5,又因?yàn)椋唬ǎァ?）3<0,所以5VW+1V6,

所以當(dāng)W3+8,an—>6,B正確，

對于C,當(dāng)q=7,代入進(jìn)去很明顯不是遞減數(shù)列，C錯(cuò)誤，

故選：B.

2.（2022?北京）在AABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P為AABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且尸C=l,

則麗?麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【詳解】在AABC中，AC=3,3C=4,ZC=90°,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖:

則4(3,0)，2(0,4),C(0,0),

設(shè)P(x,y)，

因?yàn)镻C=1,

所以尤2+丫2=1,

又麗=(3-尤,-y),PB=(-x,4-j),

所以PA-PB=-x(3-x)-y(4-y)=x2+y2-3x-4y=-3x-4y+l,

T^x-cos0,y=sin0,

__kQ

所以PA-PB=—(3cos+4sin^)+1=—5sin(^+^?)+1,其中tan(p=—，

4

當(dāng)sin(6+e)=l時(shí)，麗?麗有最小值為-4,

當(dāng)sin(e+°)=—l時(shí)，西?麗有最大值為6,

所以西.麗e[-4,6],

故選：D.

3.(2021?北京)已知｛4｝是各項(xiàng)為整數(shù)的遞增數(shù)列，且取.3,若苗+g+生+…+4=1。0，則”的最大值

為()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【詳解】數(shù)列｛%｝是遞增的整數(shù)數(shù)列，

要取最大，遞增幅度盡可能為小的整數(shù)，

假設(shè)遞增的幅度為1,

Gj=3,

an=n+2,

?.(3+n+2)n5n+n2

則S=-------------=---，

n22

當(dāng)〃=10時(shí)，4O=12,Sl0=75,

lOO-Slo=25>izlo=12,即“可繼續(xù)增大，”=10非最大值，

當(dāng)〃=12時(shí)，%2=14，S12=102,

?1-100-S12=100-102<0,不滿足題意，

即〃=11為最大值.

故選：C.

4.（2020?北京）2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日（萬Day）.歷史上，求圓周率萬的方法有多種，

與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾?卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)”充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)

接正6〃邊形的周長和外切正6〃邊形（各邊均與圓相切的正6〃邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2萬

的近似值.按照阿爾?卡西的方法，萬的近似值的表達(dá)式是（）

30°30°30°30°

A.3n（sin------1-tan----）B.6n（sin------1-tan----）

nnnn

c.60。60。、c//.60。60。、

C-?3H（SID------Ftan----）D.on（sin------Ftan----）

nnnn

【答案】A

【詳解】如圖，設(shè)內(nèi)接正6〃邊形的邊長為。，外切正6〃邊形的邊長為人

田再。.360°..30°

口」行a=2sin------=2sin-----，

12nn

ehc6na+6nb,..30°30°、

貝J271x------------=6msin-------1-tan----),

2nn

日noz.30°30°、

Jix3n(sin------Ftan----)，

nn

故選：A.

5.（2023?朝陽區(qū)一模）已知項(xiàng)數(shù)為左（左eN*）的等差數(shù)列｛%｝滿足q=1,:*<a&=2,3,k）.若

%+出+…+。&=8,則%的最大值是（）

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

.*ciy—1,""—i<=2,3,k）,

.\l+(n-2)d<4[1+(n-l)d],

-3

:.d>

3〃一23k—2

，?q+/+…+/=8,

?+處為=8,

2

16—2%

解得d=

k(k-V)

16-2k-3

------->------

k(k-I)3k-2

化為3左2—49左+32<0,

49?017

令f(k)=3k2-49k+32=3(k-y)2一一—,

上.9時(shí)，函數(shù)/(4)單調(diào)遞增，

而/(15)=—28<0,/(16)=16>0,

則人的最大值是15.

故選：B.

6.（2023?西城區(qū)一模）〃名學(xué)生參加某次測試，測試由加道題組成.若一道題至少有2〃名學(xué)生未解出來，

3

則稱此題為難題；若一名學(xué)生至少解出了3機(jī)道題，則該生本次測試成績合格.如果這次測試至少有女”名

33

學(xué)生成績合格，且測試中至少有g(shù)m道題為難題，那么相”的最小值為（）

A.6B.9C.18D.27

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意可知-m^N\

33

不妨設(shè)〃=3N],m=3N2,（N],N2&N,）,

mn=9N1N、,

若求加7的最小值，只需MM最小值即可，

即〃=3,m=3,

此時(shí)即有3名學(xué)生不妨設(shè)為2名學(xué)生成績合格，這兩名學(xué)生至少做了4道題，

可設(shè)甲同學(xué)可得至少有2名學(xué)生成績合格，這兩名學(xué)生至少做出了4道題，

可設(shè)甲同學(xué)做出了A,3兩道題，乙同學(xué)做出了3,C兩道題，丙同學(xué)做出了0道題,

此時(shí)合格的學(xué)生為甲乙，即有2〃名學(xué)生成績合格，

3

A,B,C三道題目中有A,C兩道題，有2〃名學(xué)生求解出來，即滿足測試中有2根道題為難題，

33

:.n=3,/%=3符合題意，

mn的最小值為9.

故選：B.

7.（2023?東城區(qū)一模）恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的三

大成就.其中對數(shù)的發(fā)明，曾被十八世紀(jì)法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯評價(jià)為“用縮短計(jì)算時(shí)間延長了天文學(xué)家

的壽命”.已知正整數(shù)N的70次方是一個(gè)83位數(shù)，由下面表格中部分對數(shù)的近似值（精確到0.001）,可得

N的值為（）

M2371113

IgM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【詳解】由題可知1082<N10<1083,

/gio82<IgN10<ZglO83,即82V70lgN<83,

1.171<ZgAT<1.185,

/gl4=Zg2+Zg7=0.301+0.845=1.155<1.171,

lgl6=4/g2=4x0.301=12.04>1.185,

:.N=15.

故選：C.

8.（2023?豐臺(tái)區(qū)一模）如圖，在直三棱柱中，AC±BC,AC=2,BC=1,44]=2,點(diǎn)。

在棱AC上，點(diǎn)E在棱8月上，給出下列三個(gè)結(jié)論：

①三棱錐E-ABD的體積的最大值為2；

3

?A}D+DB的最小值為0+,；

③點(diǎn)。到直線GE的距離的最小值為竽.

其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【詳解】在直三棱柱A3C-4月G中3瓦，平面ABC,

對于①：因?yàn)辄c(diǎn)E在棱B耳上2月=44,=2,所以BEe[O,2],又為=^8后?5.，

又AC_L3C,AC=2,BC=1,點(diǎn)。在棱AC上，所以ADe[O,2],SL.SAnDnLnJ=-ADBC=-ADe[0.1]<

17

所以％.,=§BE?邑的》,,不，當(dāng)且僅當(dāng)。在C點(diǎn)、E在用點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故①正確；

對于②：如圖將AABC翻折到與矩形ACG4共面時(shí)連接42交AC于點(diǎn)D,此時(shí)其。+03取得最小值，

因?yàn)锳G=CG=2,BC=1,所以BG=3,所以1cl,+物=店,

即4。+08的最小值為四，故②錯(cuò)誤;

對于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)。(a,0,0),oe[0,2],￡(0,1,c),ce[0,2],G(0,0,2),

所以甲=(a,0,-2),QE=(0,l,c-2),

則點(diǎn)。到直線"距離7不『一（卷號(hào)—卜小+4一百言

當(dāng)c=2時(shí)d=y/a2+4..2，

當(dāng)時(shí)[5則一「，，？

0,,c<20<(C-2)2,,4,1,—^―1+0V

2

4(c-2)2(C-2)'"41+------5

(c-2)2r

所以當(dāng)"^取最大值5且八°時(shí)加=曰=半,

即當(dāng)Z）在C點(diǎn)后在3點(diǎn)時(shí)點(diǎn)。到直線GE的距離的最小值為?，故③正確；

故選：C.

9.（2023?順義區(qū)二模）2022年足球世界杯在卡塔爾舉行，32支參賽隊(duì)通過抽簽分為八個(gè)小組.每個(gè)小組

分別有4支球隊(duì)，共打6場比賽，每支球隊(duì)都必須和同組其他3支球隊(duì)進(jìn)行且只進(jìn)行一場比賽.小組賽積

分規(guī)則為：勝1場積3分，平1場積1分，負(fù)1場積0分，每個(gè)小組積分前兩名的球隊(duì)出線.若小組賽結(jié)

束后，同一小組的甲、乙兩支球隊(duì)分別積6分和5分，貝心）

A.甲、乙兩隊(duì)一定都出線

B.甲隊(duì)一定出線，乙隊(duì)可能未出線

C.甲、乙兩隊(duì)都可能未出線

D.甲、乙兩支球隊(duì)至少有一支未出線

【答案】A

【詳解】設(shè)同一組的另兩支球隊(duì)分別為丙、丁，

因?yàn)槊恐蜿?duì)要進(jìn)行三場比賽，甲、乙兩支球隊(duì)分別積6分和5分，

所以甲球隊(duì)二勝一負(fù)，乙球隊(duì)一勝二平，

顯然乙球隊(duì)與丙、丁兩支球隊(duì)平，勝甲，

甲球隊(duì)勝丙、丁，

此時(shí)丙丁兩隊(duì)一負(fù)一平，積分1分，

若丙勝丁，最后丙得4分，丁得1分，

若丙與丁平，最后丙丁都得2分，

若丁勝丙，最后丙得1分，丁得4分.

因?yàn)槊總€(gè)小組積分前兩名的球隊(duì)出線，

所以甲、乙兩隊(duì)一定都出線.

故選：A.

10.(2023?石景山區(qū)一模)已知正方體ABC￡>-ABIG2的棱長為2，點(diǎn)尸為正方形ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn)，給出下列三個(gè)命題：

①若點(diǎn)尸總滿足PR±DQ,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是一條直線；

②若點(diǎn)P到直線BB、與到平面CDDG的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線；

③若點(diǎn)尸到直線DD.的距離與到點(diǎn)C的距離之和為2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓.

其中正確的命題個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

①連接CR,AtB,由正方體的性質(zhì)可得平面ABC?,

而平面ABCD]n平面ABCD=BC,

.?.點(diǎn)P的軌跡是一條直線3C,因此①正確；

②設(shè)P(x,y,0),2(2,0,0),?.?點(diǎn)尸到直線8片與到平面CDRG的距離相等，

，"2)2+心f,化為尸-#+彳，

動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是拋物線，因此②正確；

③設(shè)尸(x,y,0),C(2,2,0),D(O,2,0),

P到直線DD1的距離與到點(diǎn)C的距離之和為2,

"x?+(y_2)2+7(x-2)2+(y-2)2=2,化為y=2(璘左2).

，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段CD,因此③不正確.

綜上只有①②正確，

故選：C.

11.（2023?東城區(qū)二模）設(shè)a=,6=1.01,C=歷1.01,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

【答案】A

【詳解】令y(x)=/-(x+i),則r(x)="-i,

當(dāng)x>0時(shí),r(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(0.01)=e°m-001>f(0)=0,BPe001>1.01,

11—Y

令g(x)=/ra;-x,貝！Jg'(x)=——1=-----，

xx

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，所以g(1.01)=/〃L01—L01<g(1)=-1<0,即次L01VL01,

所以a>b>c.

故選：A.

12.(2023?海淀區(qū)二模)已知?jiǎng)又本€/與圓O:尤②+必=4交于A,6兩點(diǎn)，且NAOB=120。.若/與圓

(%-2)2+/=25相交所得的弦長為f,貝卜的最大值與最小值之差為()

A.10-4A/6B.1C.4A/6-8D.2

【答案】D

【詳解】由題意可知圓(x-2)2+y2=25的圓心(2,0)在圓=4上，

則當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過圓心，即點(diǎn)A或3與圓心(2,0)重合時(shí)，如圖1,

此時(shí)弦長t取得最大值，且最大值為=2x5=10；

設(shè)線段4?的中點(diǎn)為C,

在AAOB中，由。4=03=2,且NAOB=120。，則OC=1,

則動(dòng)直線/在圓V+丁=1上做切線運(yùn)動(dòng),

所以當(dāng)動(dòng)直線/與X軸垂直，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,0)時(shí)，如圖2,

此時(shí)弦長t取得最小值，且最小值為%“=2x752-32=8,

所以f的最大值與最小值之差為2.

故選：D.

13.(2023?西城區(qū)二模)在坐標(biāo)平面內(nèi)，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn).點(diǎn)尸從原點(diǎn)出發(fā)，在坐標(biāo)平

面內(nèi)跳躍行進(jìn)，每次跳躍的長度都是5且落在整點(diǎn)處.則點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)Q(33,33)所跳躍次數(shù)的最小值是(

)

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【詳解】每次跳躍的路徑對應(yīng)的向量為

ax=(3,4),bx=(4,3),cx=(5,0),4=(0,5),a2=(—3,—4),b2=(—4,—3),c2=(—5,0),=(0,-5),

因?yàn)榍筇S次數(shù)的最小值，則只取7=(3,4),方=(4,3),q=(5,0),彳=(0,5),

設(shè)對應(yīng)的跳躍次數(shù)分別為a,b,c,d,其中a,byc,deN,

可得OQ=aq+仍i+cq+d[=(3Q+4〃+5C,4a+3b+5d)=(33,33),

+4b+5。=33一,口

則,c,一一，兩式相力口可得7(a+q+5(c+d)=66,

4〃+3Z?+5d=33

a+b=S或［a+b=3

因?yàn)镼+5,c+dGN，則

c+d=2\c+d=9

當(dāng);時(shí)，則次數(shù)為8+2=。

當(dāng)::時(shí)，則次數(shù)為3+9=12；

綜上所述：次數(shù)最小值為10.

故選：B.

14.(2023?朝陽區(qū)二模)已知函數(shù)/(無)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=4-2T.若關(guān)于x的方程

/(/?(尤))=機(jī)有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-co,-3]J[3,+oo)B.[-3,0)5。，3]

C.(-4,-3]|J[3,4)D.(-oo,-4)0(4,+oo)

【答案】C

【詳解】由題設(shè)F(0)=0,若x>0,則/(%)=-/(-幻=-(4-2")=2"-4,

4一2一,,尤<0

所以/(x)=<0,x=0,值域?yàn)镠,函數(shù)圖象如下：

2x-4,x>0

當(dāng)/(x)e(-co,-3]時(shí)，只有一個(gè)尤e(-oo,-log?7]與之對應(yīng)；

當(dāng)/(x)e(-3,0)時(shí)，有兩個(gè)對應(yīng)自變量，

記為西，%2(^<x2),則一log?7<玉<—2<0<%<2；

當(dāng)/(幻=0時(shí)，有三個(gè)對應(yīng)自變量且x={-2,0,2)；

當(dāng)/?(x)e(0,3)時(shí)，有兩個(gè)對應(yīng)自變量，

記為無3，*4(三<%)，貝！I—2<馬<0<2<.<log27；

當(dāng)/'(x)e[3,+co)時(shí)，有一個(gè)xe[log?7,+<?)與之對應(yīng)；

令t=f(x),則/'?)=機(jī)，要使/■(/■(?)=加有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，

若/⑺=機(jī)有三個(gè)解，貝b=/(x)e{-2,0,2},此時(shí)x有7個(gè)解，不滿足;

若/⑺=機(jī)有兩個(gè)解%，芍且％</2，此時(shí)乙=/(尤)和弓=，(x)各有一個(gè)解，

結(jié)合圖象知，不存在這樣的f,故不存在對應(yīng)的機(jī)；

若加）=機(jī)有一個(gè)解小則t（,=/（x）有兩個(gè)解，此時(shí)代（-3,-log27]J[log27,3）,

所以對應(yīng)的機(jī)e(-4,-3][J[3,4),

綜上，7716（-4,-3]|J[3,4）.

故選：C.

15.（2023?海淀區(qū)一模）劉老師沿著某公園的環(huán)形跑道（周長大于1初。按逆時(shí)針方向跑步，他從起點(diǎn)出發(fā)，

并用軟件記錄了運(yùn)動(dòng)軌跡,他每跑1切?，軟件會(huì)在運(yùn)動(dòng)軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù).已知?jiǎng)⒗蠋煿才芰薾初1,

恰好回到起點(diǎn)，前5A〃的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為（）

【答案】B

【詳解】設(shè)公園的環(huán)形道的周長為f,劉老師總共跑的圈數(shù)為尤，（xeN*）,

\<t<2

則由題意,所以

3"432

4%>5

所以2〈工<3,因?yàn)椤?11,所以竺<x=U<生，又xeN*,所以無=8,

3t43t4

即劉老師總共跑的圈數(shù)為8.

故選：B.

16.（2023?豐臺(tái)區(qū)二模）已知A,B,C是單位圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AS?數(shù)的最小值是（）

A.0B.--C.-1D.-2

2

【答案】B

【詳解】以的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)A(Q,Z?),B(m,n),C(—m,n),

貝!Ja2+b2=1,m2+n2=1,

_,__b"

故AB?AC=(m—a,n—b)'(—m—a,n—b)=a2—m2+n2—2nb+b2=2n2—2bn=2(〃—)2-----，

22

當(dāng)”時(shí)，荏?衣=2(〃-分-弦取得最小值，最小值為-上，

2222

"1

由于1,1],故當(dāng)b=±l時(shí)，-了最小，故最小值為-

此時(shí)〃=±!,滿足要求.

2

故選：B.

17.（2023?房山區(qū)一模）如圖，已知正方體ABCD-A4G2,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.與三條直線AB,CG，2A所成的角都相等的直線有且僅有一條

B.與三條直線AB,CG，所成的角都相等的平面有且僅有一個(gè)

C.到三條直線AB,cq,D,A的距離都相等的點(diǎn)恰有兩個(gè)

D.到三條直線AB,cc,,24的距離都相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)

【答案】D

【詳解】.D^HAD,CCt//A4j,

AG與三直線直線至，eq,2A所成的角都相等，

與直線AG平行的直線均與三直線直線4?,CG，AA所成的角都相等，故有無數(shù)條，故A錯(cuò)誤;

平面與三直線直線至，CG，0A所成的角都相等，

而與平面A耳2平行的平面均與直線AB,CG，2A所成的角都相等，故5錯(cuò)誤；

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DA為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則尸(a,a,a),A(1,0,0),8(1,1,0),

.-.PA=(a-l,a,a),AB=(0,1,0),

22222

P到直線AB的距離d=\PA\\-y/l-cos<PA,AB>=J(a-l)+2a-<(…：+R=J(a-l)+a,

v(?-1)+2a

同理可得P到直線CQ和2A的距離為J（a-l）2+a2,

故。片上的點(diǎn)到三條直線AB,CG，RA的距離相等，

故有無數(shù)個(gè)點(diǎn)到三條直線至，cq,2a的距離相等，故C錯(cuò)誤，。正確.

故選：D.

18.（2023?平谷區(qū)一模）基本再生數(shù)以與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)

感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用

指數(shù)模型：/?）="描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間f（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R。，T近

似滿足%=1+4.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出4=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)

感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為（）（歷2。0.69）

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【詳解】把4=3.28,7=6代入&=l+rT,可得r=0.38,7（f）=e0M,,

當(dāng)f=O時(shí)，/（0）=1,則

兩邊取對數(shù)得0.38，=歷2,解得，=匕。1.8.

0.38

故選：B.

19.（2023?通州區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)5,C滿足|而|=|走|=血，OBOC=0,

A為線段5。中點(diǎn)，尸為圓（％-3>+（y-4尸=4任意一點(diǎn)，則|Q|的取值范圍是（)

A.[2,8]B.[3,8]C.[2,7]D.[3,7]

【答案】A

【詳解】由麗?詼=0,則瓦

又|彷|=|0|=應(yīng)，且A為線段3c中點(diǎn)，則|汝|=1,

所以A為圓。：/+y2=1任意一點(diǎn)，

設(shè)圓(x-3)2+(y-4)2=4的圓心為M,則I的'1=5,

又|討j=5〉l+2,所以圓。與圓M相離，

所以|Q|的幾何意義為圓。與圓Af這兩圓上的點(diǎn)之間的距離，

所以1行晨,=1麗川+1.1+1旃1=5+1+2=8，|55|,而=|西|-|而|-|礪|=5-1-2=2,

所以I而I的取值范圍為[2,8].

圖1圖2

故選：A.

20.(2023?海淀區(qū)校級(jí)模擬)函數(shù)/(x)=x,ga)=f-x+3.若存在玉,七,…,七e[O,：],使得

.fa)+/(%2)+—+/(%〃T)+g(%〃)=g(%i)+g(X2)+—+g(%〃T)+.f(%〃)，則〃的最大值為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【詳解】函數(shù)/(兀)=%,g(x)=x2-x+3.

/(芭)+/(%)+…+/(%〃—i)+g(Z)=g(玉)+g(%2)+…+g(%—D+/(%〃)，

艮|3為％]+%+?…+龍；一%+3=%；—%+3+%；—%2+3+...+—xn_x+3+xnj

彳上為％；—2xn+3=片—2%+3+%；—2%2+3+...+%；_]—2xn-1+3,

設(shè)/z(x)=r-2x+3,可得存在%,％2,…,%￡[04],

使得h(xn)=/z(玉)+h(x2)+...+力?.J，

由h（x）在X=1處取得最小值2,在％=2處取得最大值—，

24

57

即有彳斶?）二"（石）+%（%2）+…+"（工_1）2（“一1）,

即為4國，可得”的最大值為8.

8

故選：D.

21.（2023?昌平區(qū)二模）某市一個(gè)經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)的公路路線圖如圖所示，粗線是大公路，細(xì)線是小公路，七

個(gè)公司A，4，A4,4，4分布在大公路兩側(cè)，有一些小公路與大公路相連.現(xiàn)要在大公路上

設(shè)一快遞中轉(zhuǎn)站，中轉(zhuǎn)站到各公司（沿公路走）的距離總和越小越好，則這個(gè)中轉(zhuǎn)站最好設(shè)在（）

C.路口ED.路口F

【答案】B

【詳解】觀察圖形知,A，4，4，A4,a，4，4七個(gè)公司要到中轉(zhuǎn)站，先都必須沿小公路走到小公

路與大公路的連接點(diǎn),

令4到3、a至Uc、4到。、4到。4至！］E、4到E、4至U尸的小公路距離總和為d,BC=《，CD=心,

DE=d3,EF=d4>

路口C為中轉(zhuǎn)站時(shí)，

距離總、和Sc=d+4+d]+d、+(&+&)+(4+d])+(d4+4+&)=d+4+5d,+34+,

路口D為中轉(zhuǎn)站時(shí)，距禺總和SD=d+(4+dj+d[+&+&+(d4+&)=d+4+2do+34+dd,

路口E為中轉(zhuǎn)站時(shí),距后總和SE=d+(d、+d]+&)+(d[+4)+&+dy+d&=d+4+2</2+4d3+，

路口F為中轉(zhuǎn)站時(shí)，

距曷息和Sp=d+(4+d[+&+&)+3。+&+dj+2(4+%)+2d4=d+4+2d?+4d3+5d&,

顯然Sc>S0,SF>SE>SD,所以這個(gè)中轉(zhuǎn)站最好設(shè)在路口。.

故選：B.

22.（2023?延慶區(qū)一模）數(shù)列｛%｝中，氏=log“+i（〃+2）（〃eN*）,定義：使q?丹,…為整數(shù)的數(shù)-左?*）

叫做期盼數(shù)，則區(qū)間口，2023］內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

【答案】D

【詳解】因?yàn)?=log〃+i(〃+2)(〃￡N*),

印、1_.八c、歷3歷4ln(k+2)ln(k+2)

所以.?出,=nlog3-1log4…5log女］(k+2)=--------------------------=-----------

k231+1ln2加3ln(k+l)ln2

設(shè)/=歷(左+2),則上+2=2',

ln2

所以k+2為2的整數(shù)次事，

因?yàn)槎藁?023,

所以整改+22025,

故滿足條件的無+2=4,8,16,32,64,128,256,512,1024,

故則區(qū)間［1,2023］內(nèi)的所有期盼數(shù)的和為

4-2+8-2+16-2+32-2+64-2+128-2+256-2+512-2+1024-2=2026.

故選：D.

23.(2023?海淀區(qū)校級(jí)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，已知A(l,0),3(-1,0),設(shè)動(dòng)點(diǎn)C滿足NACB..U,

2

動(dòng)點(diǎn)P滿足貝的最大值為()

反I1

A.1B.-——-C.V2D.2

2

【答案】C

【詳解】因?yàn)锳(l,0),B(-l,0),設(shè)動(dòng)點(diǎn)C滿足ZAC8.?,

2

所以點(diǎn)C在圓尤2+=1內(nèi)部和圓周上，

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)尸滿足X4J_PC,

所以點(diǎn)尸的軌跡是以AC為直徑的圓,

如圖，延長AC交圓f+丁=1于點(diǎn)。，設(shè)AC的中點(diǎn)為AD的中點(diǎn)為N,

貝1J|M4|=|〃P|,ONLAD,

若點(diǎn)C在圓上時(shí)，M,N兩點(diǎn)重合，C、。兩點(diǎn)重合，

若點(diǎn)C在圓內(nèi)時(shí)，貝"MA|<|A7V|,

所以1MAi,,|AN|,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C圓上時(shí)，取等號(hào)，

則|OP|,,|OM|+|MPROM|+|A"|,當(dāng)且僅當(dāng)O,M,P三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，

因?yàn)閨37|+||ON|+|MN|+|AAf|=|ON|+|AN|,當(dāng)且僅當(dāng)〃，N重合時(shí)，取等號(hào),

因?yàn)椋琌NLAD,所以|ON『+|A7V|2=|Q4|2=1,

所以|ON|+|AN|,,12（|ON|2+|AN『）=0,

當(dāng)且僅當(dāng)|ON|=|AN|=\-時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)ODLAO,

所以|。尸|”忘，當(dāng)且僅當(dāng)O,M,P三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在圓/+9=1與y軸的交點(diǎn)處時(shí)，取等號(hào)，

所以|。尸|的最大值為血.

故選：C.

24.（2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）現(xiàn)有10名象棋選手進(jìn)行單循環(huán)賽（即每兩名選手比賽一場）.規(guī)定兩人對局

勝者得2分，平局各得1分，負(fù)者得0分，并按總得分由高到低進(jìn)行排序.比賽結(jié)束后，10名選手的得分

各不相同，且第二名的得分是最后五名選手得分之和的：.則第二名選手的得分是（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】B

【詳解】每個(gè)隊(duì)需要進(jìn)行9場比賽，則全勝的隊(duì)得9*2=18分，

而最后五隊(duì)之間賽10場，至少共得10x2=20分，

所以第二名選手的得分是20*弓=16分.

5

故選：B.

25.（2023?北京模擬）《九章算術(shù)?商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，

一為鱉腌.陽馬居二，鱉腌居一，不易之率也.意思是：如圖，沿正方體對角面人耳。截正方體可得兩個(gè)

塹堵，再沿平面瓦截塹堵可得一個(gè)陽馬（四棱錐D-A4GA）,一個(gè)鱉麻（三棱錐。-4GO,若P為

線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，平面C過點(diǎn)P,8,平面口，設(shè)正方體棱長為1,PD=x,a與圖中的鱉席截面面積

為S,則點(diǎn)尸從點(diǎn)。移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）

【答案】B

【詳解】如圖,

設(shè)a「pG=N,aQOBj=M,

■：CDYa,:.CD±PN,則ADPN為等腰直角三角形，則PN=x,

DQ=A/2,

B￡±平面DCC、,用G-L￡?C,,

?.?。€?_1平面尸肱7,DC_L平面B[C]C,平面尸MN//平面C4G，

而平面0G4c平面PMN=MN,平面r>c,B,c平面c4cl=G4，

:.MN//B\G，可得MV_L￡）G，則

MN_DN

由r>P=PN=x,得DN=^x,

B'GDCy

DN-Bg

即MV二=x，

-DC；-

:.S=^PN-MN=^x\(^)ic1).

則S關(guān)于X的函數(shù)圖象大致是B.

故選：B.

26.（2023?東城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知正方體AB8-A4CQ的棱長為1,E,尸分別是棱AD,耳￡上

的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AE=x,B}F=y,若棱。R與平面班F有公共點(diǎn)，則x+y的取值范圍是（)

133

A.[0,1]B.[-,-]C.[1,2]D.[-,2]

【答案】C

【詳解】由題意，若x=y=l,則棱與平面詆交于點(diǎn)。，符合題意；

若x=l,y=0,則棱。2與平面3EF交于線段DR,符合題意.

故選：C.

27.（2023?大興區(qū)模擬）如圖，正方體的棱長為2,點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)尸在側(cè)

面8CC內(nèi)的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).若。OLOP,則△QGP面積的最大值為（）

【答案】C

【詳解】由正方體的性質(zhì)可知，當(dāng)尸位于點(diǎn)C時(shí)，Dp^OC,滿足題意，

當(dāng)點(diǎn)尸位于BBX中點(diǎn)耳時(shí)，DDX=2,DO=BO=?,BP\==2夜,

貝！JODl=J4+2=?OP\=y/I+l=區(qū)DR=A/8+T=3,

所以+。昂=2阜，故on，，

又。6「|。。=。，所以。平面”c,故點(diǎn)p的軌跡在線段6c上，

由￡[="=有，可得NCQ4為銳角，而CG=2<J^,

所以點(diǎn)尸到棱￡2的最大值為行,

所以△2G尸面積的最大值為]X2X?=占.

故選：C.

28.（2023?北京模擬）17世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股

定理，另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角

形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為36。的等腰

三角形（另一種是頂角為108。的等腰三角形）.例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖

所示，在其中一個(gè)黃金AABC中，些=好二1.根據(jù)這些信息，可得sinl6740=（）

2

B.

75+14+-\[5

A.D.

4848

【答案】C

-BCA/5-1

【詳解】由題意可得:ZACB=72°,且COS/ACB=2

AC4

21A/5+1

2

所以cos144°=2cos72°-l=2x—1二-----------------

4

V5+1

所以sin1674°=sin234°=sin(144°+90°)=cos144°=-

4

故選：C.

12

29.（2023?門頭溝區(qū)一模）已知數(shù)列伍/滿足q=1,%+1~an

①數(shù)列｛。〃｝每一項(xiàng)。“都滿足0<凡,,1（〃GN*）

②數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和5“<2；

7

③數(shù)列｛4｝每一項(xiàng)%都滿足為,,上成立;

n+1

④數(shù)列｛an｝每一項(xiàng)an都滿足an..§）向（/eN*）.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①③④D.①②④

【答案】C

【詳解】數(shù)列｛%｝滿足％=1,

可得0<%,,1,故①正確;

11331939

由電七二，4—二-，a=------x—=-----

2884A8264128

可得S4=l+；339279c+后不段、口

H----1------=------>2,故②車日慶;

8128128

由“—%，，性可得T=l。，用，1）.

即-^-￡(1,2],

4+1

又除=/一限,兩邊同除以為見”可得2=2(_L-L)

2an+l%+|an

a.11CL11

3=2(-----------),2=2(---------),

4%%a2a2q

累加可得〃<2(—!—-1)?2n,

%+i

i9

即有---p，an+l<---'

n+1n+2

7

當(dāng)九二1時(shí)，%,,---=1,故③正確;

“1+1

由〃且?guī)?3時(shí)，2/7-2n=(l+l)n-2n=l+H+C^+...+Cf1+l-2H>0可得2〃<2",

nn

則工>d）i,故④正確.

n2

故選：C.

30.（2023?通州區(qū)模擬）如表是某生活超市2021年第四季度各區(qū)域營業(yè)收入占比和凈利潤占比統(tǒng)計(jì)表:

生鮮區(qū)熟食區(qū)乳制品區(qū)日用品區(qū)其它區(qū)

營業(yè)收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%

凈利潤占比65.8%-4.3%16.5%20.2%1.8%

該生活超市本季度的總營業(yè)利潤率為32.5%（營業(yè)利潤率是凈利潤占營業(yè)收入的

百分比），給出下列四個(gè)結(jié)論：

①本季度此生活超市營業(yè)收入最低的是熟食區(qū)；

②本季度此生活超市的營業(yè)凈利潤超過一半來自生鮮區(qū)；

③本季度此生活超市營業(yè)利潤率最高的是日用品區(qū)；

④本季度此生活超市生鮮區(qū)的營業(yè)利潤率超過40%.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.②④C.②③D.②③④

【答案】D

【詳解】由題中數(shù)據(jù)知，其它類營業(yè)收入占比4.7%,為最低的，故①錯(cuò)；

生鮮區(qū)的凈利潤占比65.8%>50%,故②正確；

生鮮區(qū)的營業(yè)利潤率為更出x32.5%=44%>40%,故④正確；

48.6%

熟食區(qū)的營業(yè)利潤率為Wl%x32.5%<0；

15.8%

乳制品區(qū)的營業(yè)利潤率為竺堊x32.5%=26.68%；

20.1%

其他區(qū)的營業(yè)利潤率為—x32.5%=12.45%；

4.7%

日用品區(qū)為J—X32.5%=60.787%,最高，故③正確.

10.8%

故選：D.

f（X）

31.（2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）給定函數(shù)/⑴，若數(shù)列｛初｝滿足x"x-，,,門、，則稱數(shù)列｛初｝為函數(shù)