浙江省麗水市2025屆高三上期末考試數學試題

第I卷(選擇題)

一、單選題本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設集合U=夫，若集合M=｛x[—l<x<3｝,N=(x\x>0｝,則集合｛久I—1<%WO｝=()

A.(CuN)CMB.(Ci/M)CNC.Cy(MUN)D.Cy(MnN)

2.復數z=為虛數單位，a6R)在復平面上對應的點不可能在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知點。(0,0),向量刀=(一1,2),向量麗=(2,4),且而=2而，則|而|=()

A.|B.回C.|D.學

4.若n是數據3,1,2,2,3,9,10,3的第75百分位數，則二項式(2口+《廣的展開式的常數項是()

A.240B.90C.12D.5376

5.圓臺上、下底面積分別為兀、4兀，側面積為6兀，這個圓臺的體積是()

A.縛EB.c.邛^D.2聞

6.記S”為數列｛斯｝的前n項和，7n為數列｛S"的前兀項和，且數列｛Sn｝是一個首項不等于公差的等差數列，則

下列結論正確的是()

A.｛a,J和常｝均是等差數列B.?｝是等差數列，｛勺｝不是等差數列

。｛即｝不是等差數列，｛個｝是等差數列D.｛與｝和｛個｝均不是等差數列

7.已知函數f。)=cos(a%+0)(3〉0),若存在常數V0),使得/(%+m)=恒成立，則實數3的

最小值是()

A57T「加"3"?

A.彳B.2C.—D.71

8.已知函數/(%)及其導函數(0)的定義域均為R,記g(%)=/'(%),若f(l一％)為偶函數，g(2—%)為奇函數,

則下列結論一定正確的是()

A.-0)=0B.g(x+2)為偶函數C.解)=/(|)D.g(｝=g(—|)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.每年4月23日為“世界讀書日”，某學校于四月份開展“書香潤澤校園，閱讀提升思想”主題活動，為檢

驗活動效果，學校收集當年二至六月的借閱數據如下表：

第1頁，共17頁

二月三月四月五月六月

月份代碼X12345

月借閱量y(百冊)4.95.15.55.75.8

根據上表，可得y關于x的經驗回歸方程為￡=0.24X+2,則下列結論正確的是()

A.a=4.68

B.借閱量4.9,5.1,5,5,5.7,5.8的下四分位數為5.7

C.y與工的線性相關系數r>0

D.七月的借閱量一定不少于6.12百冊

10.如圖所示，在平面直角坐標系中，以“軸非負半軸為始邊的銳角a與鈍角￡的終邊與單位圓分別交于4B

兩點.若點4的橫坐標為M，點B的縱坐標為竽，則下列結論正確的是()

A.tan/?=-4避B.sin(a+/?)=宇

C.tan(/?—a)=避D.cos(2a—/?)=77

14

11.平面直角坐標系中，定義d(M,N)=max{|久1一萬2|,眄一、2|}為兩點Ng,㈤的“切比雪夫距離”

;又設點P及直線I上任意一點Q,稱d(P,Q)的最小值為點P到直線珀勺“切比雪夫距離”，記作d(P,Z).則下列結

論正確的是()

A.當M(2,l),N(—l,2)時，d(M,N)=3

B.當M(2,l),1:2久一y+3=0時，=2

C.對任意三點4B,C,d(4,B)+d(8,C)>d(A,C)恒成立

D.動點P(x,y)與定點尸(配,處)滿足d(P,F)=2的軌跡圍成的面積是16

第n卷(非選擇題)

第2頁，共17頁

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知隨機變量X服從正態分布N(l,02),且P(X>1.5)=0.12,則P(1<X<1.5)=.

13.在△ABC中，內角4B,C的對邊分別是a,b,c,滿足sinB(acosB+bcosA)=2asinQ4+B).若c=2,

則△ABC的面積的最大值是.

14.已知力,&是雙曲線a一￡=1缶>08>0)的左，右焦點，過左焦點%的直線I交雙曲線左支于M,N兩

點(其中M在刀軸上方，N在無軸下方)，的內切圓半徑為R，△%/I出的內切圓半徑為兀若R=4r,則

直線Z的斜率等于.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知正項數列｛an｝的前幾項和為Sn，且ai>L85幾=成+4(1n+3,neN*.

(1)求數列｛斯｝的通項公式;

(2)設6n=(-1)”碎，求數列｛g｝前2rl項的和72n.

16.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC—AiBiCi中，平面A41C1C1平面ABC,AB1AC,AB=2,zXi4C=120°,AC=AAr

=28，P為線段A4i上一點，且麗=4京(0W/lW1).

(1)求證：A1C1BCi；

(2)是否存在實數人使得平面BPCi與平面ABC的夾角余弦值為號?若存在，求出實數;I的值;若不存在，請說

明理由.

17.(本小題15分)

某系統配置有2n-1個元件(71為正整數)，每個元件正常工作的概率都是p(0<p<l),且各元件是否正常工

作相互獨立.如果該系統中有一半以上的元件正常工作，系統就能正常工作.現將系統正常工作的概率稱為系

統的可靠性.

第3頁，共17頁

(1)當n=3,p=0.5時，求該系統正常工作的概率；

(2)現在為了改善原系統的性能，在原有系統中增加兩個元件，試問增加兩個元件后的新系統的可靠性是提

高了，還是降低了?請給出你的結論，并說明理由.

18.(本小題17分)

已知％、?2分別為橢圓生今+噲=1(a〉6>0)的左、右焦點，G為E的上頂點，點P為橢圓E上的一個動點,

且三角形尸止?2面積的最大值為1，焦距為2.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)如圖，過點尸八尸2作兩直線八、6分別與橢圓E相交于點M、N和點4、B.

6)若點“、N不在坐標軸上，且NMGFi=NNGFi，求直線"的方程；

(ii)若直線6斜率都存在，且MN1AB,求四邊形M4NB面積的最小值.

19.(本小題17分)

牛頓法是17世紀牛頓在《流數法與無窮級數》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法.具體步驟如下:

設r是函數/(久)的一個零點，任取近作為r的初始近似值，過點(租,/■(久o))作曲線y=f(x)的切線A，設人與工

軸交點的橫坐標為X1，并稱為T的1次近似值;過點(久作曲線y=/(x)的切線12，設b與%軸交點的橫

坐標為冷，稱*2為「的2次近似值;一直繼續下去，得到久1，X2,x3,■■■,無".一般地，過點(xn,f(久?))作曲線y=

/(X)的切線L+i，記Z?+i與久軸交點的橫坐標為出+1，并稱出+1為r的兀+1次近似值，稱數列｛&｝為牛頓數

列.

(1)若函數/O)=乂+lnx(xGR)的零點為r,肛=1.求r的2次近似值；

(2)設a,/?(a<0)是函數/(x)=N+依+匕①力eR)的兩個零點，數列｛久打｝為函數/⑶的牛頓數列，數列｛4

｝滿足品=：：寺(neN*),xn>p.

(i)求證：數列｛lncn｝為等比數列;

(ii)證明：存*<舟

第4頁，共17頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

由M={x|—1<%<3],N={x\x>0},

得MUN={x\x>-1},MCN={x|0<x<3},

C0(MUN)={x|x<-1},Cy(MCN)={久|x40或支》3},

(CuN)nM={x|-l<x<0},(CyM)CN={x|久》3}.

故選：A.

2.【答案】B

【解析】

慶I貝短和7-1一二一(l-ai)(l—i)_1—a—(a+1」一l—a?+1.

因為復數Z—I+、—(i+i)(i_j)—2—2~2l,

其在復平面內對應的點為Pdf?—號工)，

若p在第一象限，則{_；1；320,解得。<—1；

若P在第二象限，則?o,無解；

若P在第三象限，則{_；20,解得a>1；

若P在第四象限，則{_；汗20,解得一1<a<1.

所以復數z=備(i為虛數單位，aGR)在復平面上對應的點不可能在第二象限.

故選：B.

3.【答案】D

【解析】

由而=2甌AP=OP-OA,PB=OB-~OP,

則訶—雨=2(赤—硝，

所以而=|o2+|dB=|(-1,2)+1(2,4)=(1,/)，

故?由=2^=竽

故選：D.

第5頁，共17頁

4.【答案】A

【解析】

排序后數據為1，2,2,3,3,3,9,10共8個數，

由8x75%=6,

所以第75百分位數為第6項和第7項的平均值，即審=6,

所以二項式（2口+8的展開式中常數項為唔（2m）4?2=15x16=240.

故選：A.

5.【答案】B

【解析】

設圓臺的上、下底面半徑分別為r,R,母線長為高為九，軸截面如圖所示.

由題意，得71廠2=〃，兀/?2=47r,所以丁=1,R=2.

由（M+RZ）7T=6TT,得I=2.

所以/Z=避_（R—r）2:B

所以圓臺的體積U=+4兀+SFF）.避=宇.

故選反

6.【答案】C

【解析】

由數列｛Sn｝是首項不等于公差的等差數列，設公差為d,則SiRd,

則其通項公式為%=S1+（幾-l）d,

當九之2時，an=Sn-Sn_r=d,

而ai=S],由于SiWd,

所以數列｛冊｝不是等差數列.

和萬NT_（Si+Sn）_九[Si+Si+（九一l）d]_九[2Si+（九一l）d]

第6頁，共17頁

則圖｝的前律項和勺=2Sl+(「)d,

Tn+iTd

由n=

所以數列印｝是等差數列.

綜上所述，｛an｝不是等差數列，｛^｝是等差數列.

故選：C.

7.【答案】D

【解析】

由/'(久)=cos(3x+9),則一IW/XAQWI,同理一1Wf(久+m)W1,

因為m<0,所以mWW—爪，

因為/'(x+m)=恒成立，

所以m--1.

由/'(久+m)=/(x—1)=cos(a)久—a)+<p~),

mf(x)——cos(<z)x+隼),

貝|JCOS(3X—0)+(p~)=—COS(<DX+0),

所以-3=兀+2kn,kGZ,

即3=—Ti—2kn,keZ,

因為3>0,

所以k=-l時，a>min=n.

故選：D.

8.【答案】C

【解析】

?."(1一久)為偶函數，

.-./■(l-x)=/(l+x),

f(x)的圖象關于直線X=1對稱，

???g(2-x)為奇函數，

-■?5(2-%)=一。(2+久)，

9(久)的圖象關于點(2,0)中心對稱，

<g(x)=f'(x),

第7頁，共17頁

???n>)的圖象關于直線％=2對稱，

4項，令光=1,7(0)=/(2),f(2)的值無法確定，f(0)的值也無法確定，所以故/錯誤;

8項，??,g(2—無)=—g(2+x),

g(x+2)=-5(2-x),

???g(x+2)不是偶函數，故8錯誤；

C項，,?"(>)的圖象關于直線％=1和直線x=2對稱，

???/(!)=/(1)故c正確;

。項，,."(>：)的圖象關于直線X=1對稱，

???/(%)在久=1兩側的斜率互為相反數，

潟)+潟)=0，

??"(%)的圖象關于直線x=2對稱，

??"(久)在久=2兩側的斜率互為相反數，

g(|)+g(|)=0，

???gg)=g(|)，

由/(I—x)=/(l+x),得一r(l一幻=/(I+%),則一g(l-x)=g(l+x),

所以g(x)的圖象關于點(1,0)對稱，

???g(x)的周期為2,

???g(%)的圖象關于點(2,0)中心對稱，

g(w的圖象關于點(0,0)中心對稱，

5(|)=潟)=一g(-|),故。錯誤.

故選C.

9.【答案】AC

【解析】

對于4因為x=■1x(l+2+3+4+5)=3,

y=2x(4.9+5.1+5.5+5.7+5.8)=5.4,

所以5.4=0.24x3+&,得2=4.68,

所以N正確；

第8頁，共17頁

對于B,因為5x25%=1.25,

所以借閱量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的下四分位數為5.1,所以2錯誤;

對于C,因為0.24>0,所以y與比的線性相關系數r>0,所以C正確；

對于D,由選項N可知線性回歸方程為》=0.24久+4.68,

當x=6時，3=0.24x6+4.68=6.12,

所以七月的借閱量約為6.12百冊，所以。錯誤.

故選/C.

10.【答案】ACD

【解析】

因為點力在單位圓上，已知點4的橫坐標為三，所以cosa=三,

因為a為銳角,貝Usina=/-cos2a=J1—(制2=簽,

\1414

那么tana=黑.喈_50

因為點B的縱坐標為竽，因為點B在單位圓上，￡為鈍角，所以sin。=學,

可得cos￡=——sin2/?=—3―(學2=

5

tacnSs=in^1=W-z—=-4?

7

對于4由上述分析可知，tan8=—4避，故/正確;

對于由sin(a+S)=sinacosS+cosasinS

=^X(_")+Mx^=一逆婷由二曙力殍,故3錯誤;

對于C，tan("a)=E*="三

二三品薩二三等=避，故C正確；

對于D,cos2a=2cos2a—1=2x(1^)2—1=

sin2a=2sincrcoscr=2xx耳="平,

cos(2a—￡)=cos2acos/?+sin2asin/3

23zK.55火v4^/3_—23+660_637

98"(―N+~98~~686—68677，故。正確.

故選：ACD.

H.【答案】ABD

第9頁，共17頁

【解析】

對于4由M(2,l),N(—1,2),因為|2—(—1)|=3,|1-2|=1,

根據定義d(M,N)=max{.i—句,仇一、2|}，所以d(M,N)=3,故/正確；

對于8,設直線l:2x—y+3=0上一點Q(x,2久+3),

則d(M,Q)=max{|2—x|,|l—(2x+3)|}=max{|2—x|,|—2—2x\),

①當|2一久|N|—2—2x|時，即(2—久A2(—2—2x)2,

即x(x+4)W0,解得一43xW0,

此時d(M,Q)=\2-x[=2-x,

在一4WxWO上，x=0時，|2—刈取得最小值2;

②當|2-—2—2x|時，即(2-x)2<(-2-2x)2,

HPx(x+4)>0,解得x4一4或久》0,

此時d(M,Q)=|-2-2%|={個2』"黑_少

當x=0時，|—2—2%|取得最小值2,

所以d(M/)=2,故8正確；

對于C,設力。1，月)，8(久2，丫2)，C(x3,y3),

則d(2,B)+d(B,C)=max{|*i-x2\,\y1-y2|}+max(|x2-x3\,\y2-y3|}

>—x2\+\x2—X3I>|%i—x3\,

同理可得d(4,B)+d(B,C)>|yi-y3b

所以d(4,B)+d(B,C)>max{|xi-x^yI-y^W=d(4,C).

當取4(0,0),B(l,0),C(2,0),則d(4B)=max{|0-l|,|0-0|}=l,

d(B,C)=max{|l-2|,|0-0|)=1,d(4,C)=max{|0-2|,|0-0|}=2,

此時d(4,B)+d(B,C)=1+1=2=d(4C),故C錯誤;

對于D,由動點P(x,y)與定點尸Oo，yo)滿足d(P,F)=2,即max{|x—久o|,|y-yo|}=2,

則{憶刎出或假胃屋，

=x0+2或x=%0-2?Cy=y0+2或y=y0-2

-2<y<y0+2-2<x<x0+2，

<動點與定點滿足的軌跡圍成的面積是故。正確.

PQ,y)FQo,yo)d(P,F)=24x4=16,

故選：ABD.

12.【答案】0.38

【解析】

第10頁，共17頁

隨機變量打艮從正態分布N(l,o2),

???曲線關于X=1對稱，

.--P鉉<0.5)=P(§>1.5)=0.12,

.-.P(0.5<f41.5)=1-0.12x2=0.76,

P(1<《41.5)=PS，”<1.5)=呼=0.38.

故答案為0.38.

13.【答案】g

【解析】

在△力8c中，

???sinB(acosB+bcosA)=2asin(/+B),

???sinB(sinAcosB+sinBcosA)=2si7h4sin(Z+B),

即sinBs沆Q4+B)=2si幾4sin(A+B),

A+BE(0,71),

???sin(4+B)H0,

:.sinB=2sinA,即b=2a.

因為c=/8=2,

故以ZB邊所在的直線為黑軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系,

設4(1,0),8(—1,0),C(x,y),%W0,

由b=2a,b=\AC\,a=\BC\,得|ZC|二2|BC|,

2Mx+1)2+y2=2(*-1)2+y2,

整理得：(%+f)2+y2=^(x*0),

邊上的高的最大值為*

144

所以(SA4BC)max/M8怎=小

故答案為：*

14.【答案】

【解析】

第11頁，共17頁

如圖所示：設AMF1F2的內切圓圓心為。1，并且與三邊的切點分別4B,C,

因為|CFi|-\CF2\=\AFr\-\BF2\=\MFr\-\MF2\=-2a,

所以點C在雙曲線上，并且為雙曲線的左頂點，

所以圓心。1在直線x=—a上，

同理ANF1F2的內切圓圓心。2也在直線％=—a上，

設直線1的傾斜角為2a,

77

則NOiFiC=a,zO2fiC——^―a,并且0<a<5,

因為tana=j^=得，tan。-0=圖=島，而R=4r,

所以tana=4tan*—a）=—tana=2,

乙tana

4

所以tan2a=2tana

1—tan2aS'

因此直線1的斜率等于一*

15.【解析】

（1）因為8szi=磺+4。九+3,nEN*,且

①當n=1時，8sl=8al=冠+4。1+3,a1=3或（的=1舍去）

②當九>2時，8Sn=W+4an+3,

8s九_i=*_i+4an_1+3上述兩式相減，

整理得4（冊+冊_1）=（冊+冊_1）（冊一冊—1）,

又a九>0,

第12頁，共17頁

所以即~an-l-4,

所以｛即｝是以3為首項，公差為4的等差數列，

an=3+(n—1)X4=4n—1;

n

(2)由⑴知6n=(-iyan=(-l)(4n-1),

所以b2n_i+b2n——1x(8TI—5)2+1x(8n—1)2=8(8n—3),

72n=(bl+匕2)+(°2+°3)+…+(》2n-1+^2n)=8X5+8X13+"?+8(8n-3)

8x5+8(8/1—3)

=--------2--------xn

—32n2+8n.

16.【解析】

證明：(1)連接2Q,

因為在三棱柱力BC-&B1C1中，

所以四邊形441cle為平行四邊形，

因為AC=AAi=2y/3,

所以四邊形A41cle為菱形，

所以4C11&C,

又平面A41GC_L平面ABC,平面7Mle停。平面ABC=AC,ABIAC,ABc平面ABC,

所以4B1平面A4iCiC,

因為AiCu平面A41GC,

所以AB141C,

因為48,Su平面4BQ,ABC\AC1=A,

所以平面

因為8Ciu平面ABC。

所以&C1BC1；

第13頁，共17頁

(2)如圖，以4C的中點。為坐標原點，OC,0cl所在直線分別為y,Z軸，建立空間直角坐標系，

因為28=2,z_aMC=120°,AC=AA1=2y/3,

則Ci(0,0,3),4(0,—避,0),C(0,避,0),B(2,—避,0),~AA[=~CC=(0,-73,3),卷=(2,0,0),

設Q=%京=(0,-73/1,32)(0<A<1),

則麗=AP-AB={-2,-73>l,3A),

記平面BPCI的法向量再=(x,y,z),BQ=(—2,依,3),

人“可?西>=0'

11rli—2%—V3Zy+3az=0

^{-2x+兩+3z=0'

得用=(3尢避4—遮,1+4),

易得平面4BC的法向量放=(0,0,1),

由題意：|cos<nJ,而>|=ji3Y2_42+4=

解得：4=條或：

loZ

經驗證，”裊貂均符合題意.

loZ

17.【解析】

(1)記系統正常工作的概率為P',

當n=3,p=0.5時，系統共有5個元件，

由題意可得P'=在0.53.0.52+Cf0.54-0.51+C10.55=1；

(2)系統配置有為-1個元件時，記系統正常工作的概率為P2n.1，

當前有2n+1個元件，記系統正常工作的概率為P2n+1，

考慮前2n-1個元件：

第一種情況：前2n-1個元件恰有幾-1個元件正常工作，

2

則P2TI+1=《I一「尸?p,

第二種情況：前2n-1個元件恰有幾個元件正常工作，

n

則P2n+l=C??_lP(l-PL?[1-(1-p)4,

第三種情況：前2n-1個元件至少有n+1個元件正常工作，

則P2n+l=P2n-l-C2n-一p)”1，

2-n

所以，22?+1=C%11P"TQ-PL?p2+帽n_ipn(l-p)n-l.[：—(1—p)]+f>2n-1%一lP(l-P

第14頁，共17頁

P2n+1-P2n-1=C%」/T(1一「廣?p2+而。一口嚴一1.口一Q-0)2]一%_必(1—p)“一

nn

=p(l-p)C2n_i(2p-l),

故當p=^時，系統可靠性不變，

當0<p<9時，系統可靠性降低，

當*P<1時，系統可靠性提高.

18.【解析】

1

⑴由題意得2c=2,(SAF1PF2)max=-x2cxb=bc=l,

故b=c=1,a2=Z)2+c2=2,

2

故橢圓E的標準方程為秋+產=1.

(2)(i)^MGF1=zWGF1=0,MG的傾斜角為a,NG的傾斜角為￡,

則a=%+0,p=^-e,所以a+F=)

Jl

又k“G=tana,kNG=tan/3=tan(^-—a),

所以AMG.MG=1，

由題意h的斜率不為零，設=

(x=my—1

聯立[虻+丫2=1,得(租2+2)y2—2/ny—1=0,

J=8m2+8>0恒成立，

設N(%2,y2)，

則以+為=符7,%及=一忌p

又kMGyNG=L所以,妻1芳二1二1，

即(月-1)(72-1)=X1%2=(myi-l)(my2-1)，

整理得(爪2-l)yiy2-(m-l)(yi+y2)-0,

所以3巾2_2m—1=0,

因為m力1,所以m=-1,

所以A的方程為3久+y+3=0；

(ii)設MQi，yD，N(x2,y2)>A(x3,y3),B(x4,y4),Z^y=fc(x+1),

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(y—k(x+1)

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