第16講圓的方程7種常見考法歸類

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學習目標

回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程.

1隼I基礎知識

知識點1圓的標準方程

1.圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.

2.圓的要素：是圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.如圖所示.

3.圓的標準方程：圓心為A(a,b),半徑長為r的圓的標準方程是(無一a)2+(y—b)2=尺

當a=b=O時，方程為<+>2=/，表示以原點為圓心、半徑為廣的圓.

注：(1)圓的方程的推導：

設圓上任一點M(尤，y),則|MA|=r,由兩點間的距離公式，得y(x-4+&-6.=r,

化簡可得：0—°)2+&—6)2=尺

(2)當圓心在原點即A(0,0),半徑長廠=1時，方程為x2+y2=i,稱為單位圓.

(3)相同的圓，建立坐標系不同時，圓心坐標不同，導致圓的方程不同，但是半徑是不變的.

(4)圓上的點都滿足方程，滿足方程的點都在圓上.

知識點2點與圓的位置關系

(1)根據點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷：d>rO點在圓外；d=rO點在圓上；d<K=>點在圓

(2)根據點M(xo,yo)的坐標與圓的方程(x—a)2+(y—6)2=產的關系判斷:

（X0—。）2+（州一與2>，0點在圓外；

（刈一。）2+（州一/?）2=戶<4點在圓上；

（刈一。）2+（州一份2〈於0點在圓內.

知識點3圓的一般方程

1.圓的一般方程的概念

當Z）2+E2-4F>0時，二元二次方程/+：/+6+4+尸=0叫做圓的一般方程.

注：將方程f+V+.+4+尸=0,配方可得G+g2+Q+|y=2!士?二竺，當。2+序—4八>0時，

方程/+/+瓜+砂+尸=0表示圓.當D2+￡2-4F=0時，方程^+/+Dx+Ey+F=G,表示一個點

2.圓的一般方程對應的圓心和半徑

圓的一般方程/+>2+m+@+/=0（》+￡2—4月>（））表示的圓的圓心為（一當，—5,半徑長為3

ylD2+E2~4F.

注：圓的一般方程表現出明顯的代數結構形式，其方程是一種特殊的二元二次方程，圓心和半徑長需

要代數運算才能得出，且圓的一般方程/+產+.+與+歹=0（其中。，E,尸為常數）具有以下特點：

（l）f,9項的系數均為1；

⑵沒有孫項；

（3）D2+E2-4F>0.

3.常見圓的方程的設法

標準方程的設法一般方程的設法

圓心在原點%2+,2=^2x2+y2—/^=0

過原點(x—a)z+(y—b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=Q

圓心在X軸上(x—a)2+y2=i2x2+y2+Dx+F=0

圓心在y軸上^+(y—b)2=r2x2+y2+Ey+F=0

222

與無軸相切(x-a)2+(y-b)2—b2x+y+Dx+Ey+^D=0

222

與y軸相切(x—?)2+(y—Z?)2=(22x+y+Dx+Ey+^E=0

A=C^0,

4.二元二次方程加+2孫+Cy2+nr+Ey+P=0表示圓，則<2=0,

^+E2~4AF>0.

5.以A（xi,yi）,B（X2,>2）為直徑端點的圓的方程為（x—尤I）（X—尤2）+0—yi）（y—>2）=0.

知識點4圓的軌跡問題

軌跡和軌跡方程區別：軌跡是指點在運動變化中形成的圖形，比如直線、圓等.軌跡方程是點的坐標

滿足的關系式.

弱解題策略)

---------------------llllllllillllllllllilllllllllllllllllllll-----------------------

1'求圓的標準方程的方法

確定圓的標準方程就是設法確定圓心C(a,%)及半徑r，其求解的方法：一是待定系數法，建立關于a,

b,r的方程組，進而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質直接求得圓心坐標和半徑.常用到中點坐標公

式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心'“'兩條弦的中垂線的交點必為圓

心”等.一般地，在解決有關圓的問題時，有時利用圓的幾何性質作轉化較為簡捷.

2、判斷點與圓的位置關系的方法

(1)確定圓的方程：化為(x—aA+Cy—6)2=尺

(2)將點的坐標代入代數式(x—。尸+?一6)2,比較代數式的值與片的大小關系.

(3)下結論：若(x—a)2+(j—6)2=戶，表示點在圓上；若(x—a)2+(j—匕)2>,，表示點在圓外；若(無一°尸

+Q—6)2cz表示點在圓內.

此外，也可以利用點與圓心的距離］與半徑廠的大小關系來判斷.當d>廠時，點在圓外；當d=r時,

點在圓上；當水廠時，點在圓內.

3、圓的一般方程辨析

判斷二元二次方程與圓的關系時，一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，當它具備圓的一

般方程的特征時，再看它能否表示圓.此時有兩種途徑：一是看加+序—4尸是否大于零；二是直接配方變

形，看方程等號右端是否為大于零的常數.

4、方程*2+y2+￡)x+Ey+尸=0表示的圖形

條件圖形

D2+￡2-4F<0不表示任何圖形

表示一個點(一3-￡)

》+序一轉=0

表不以(r3為圓心，以4.為半徑

U+F-gO“D

的圓

5、利用待定系數法求圓的方程的解題策略

(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程，一般采用圓的標準方

程，再用待定系數法求出a,b,r.

(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數法求出常數D,

E,F.

6、求與圓有關的軌跡問題的方程

(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程.

(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程.

(3)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等.

7、用代入法求軌跡方程的一般方法

建立適當的坐標系，如果題目中已經建好坐標系

我們可以省略此步驟________________________

［設］點＞［設曲線上任意一點|

Jr|把點”的坐標看作已知點，尋找在已知方程的

［列式卜圖形的相關點，并表示相關點，代入已知方程,

列出方程f(x,y)=0

|化‘簡川化方程/G,y)=O為最簡形式］

8、圓上的點到定點的最大'最小距離

設。A的方程(x-a)2+(丁一6)2=/,圓心A(a,b),點河是。A上的動點，點尸為平面內一點；記

d=\PA\；

①若點尸在。A外，則|PMImax=d+r；IPMlmin=d一廠

②若點尸在OA上，則|PMLx=2r；|PM|min=0

③若點P在0A內，貝UIPMLx=d+/；IPM1mm=廠—d

9、與圓有關的最值問題常見的幾種類型

(1)形如“=E形式的最值問題，可轉化為過點(X,7)和3,歷的動直線斜率的最值問題.

(2)形如/=ax+勿形式的最值問題，可轉化為動直線＞=-3+(截距的最值問題.

(3)形如(工一”)2+。一A/形式的最值問題，可轉化為動點(x,y)到定點3,%)的距離的平方的最值問

題.

l|Q考點剖析

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考點一：求圓的標準方程

(一)由圓的標準方程求圓心、半徑

例1.(2023秋?高二課時練習)已知圓C的標準方程為(x-iy+丁=13,則此圓的圓心及半徑長分

別為()

A.(1,0),r=13B.(1,0),r=713

C.（-L0）,r=13D.（-1,0）,r=y/13

【答案】B

【分析】根據圓的標準方程直接求解即可.

【詳解】由標準方程（尤-l）?+y2=13可得：圓C的圓心為（1,0）,半徑為舊，

故選：B.

變式1.（2023秋?高二單元測試）圓（x+4）2+（y-3）2=7的圓心和半徑分別是（）

A.（＜3）,7B.（＜3）,萬

C.（4,-3）,7D.（4,-3）,77

【答案】B

【分析】根據圓的標準方程的定義即可得圓心坐標和半徑.

【詳解】由圓的標準方程（X-a）?+（y-6）2=/可得，

圓心坐標為（T3）泮徑廠=6.

故選：B

變式2.（2023.江蘇.高二假期作業）已知圓C的標準方程為（x-以+（y-I）?=2,則圓心C的坐標為

圓的面積為.

【答案】（1,1）27r

【分析】由圓的標準方程直接得出圓心和半徑，進而得圓的面積.

【詳解】圓C的標準方程為（x-l）2+（y-l）2=2,

則圓心半徑/=收，故圓的面積S二兀/-2兀.

故答案為：（1,1）,271.

（二）求圓的標準方程

例2.（2023春?河北邯鄲?高二統考期末）已知圓C的圓心為點C（2,l）,且經過原點，則圓C的標準

方程為.

【答案】。-2）2+（、-1）2=5

【分析】先求出圓C的半徑，再寫出圓C的標準方程.

【詳解】由已知得圓C的半徑「=亞幣=有，

所以圓C的標準方程為(尤-2)2+(y-l)2=5.

故答案為：(x-2)2+(y-iy=5.

變式L(廣東省廣州市培正中學2022-2023學年高二上學期期中數學試題)求圓心在y軸上，半徑為1,

且過點(1,2)的圓的標準方程.

【答案】x2+(y-2)2=l

【分析】設圓的方程為/+日-加2=1,將點(1,2)代入圓的方程，求得6的值，即可求解.

【詳解】由題意，可設圓的方程為爐+(〉-加2=1,

因為點(1,2)在圓上，可得1+(2-6產=1,解得6=2,

所以所求圓的方程為f+(>-2)2=1.

變式2.(福建省泉州外國語中學2022-2023學年高二上學期期中質量監測數學試題)與x軸相切，且圓心

坐標為(-1,-2)的圓的標準方程為

【答案】—('+2)2=4

【分析】根據圓的圓心坐標結合與y軸相切可得到該圓的半徑可得答案.

【詳解】???圓心坐標為(-1,-2),又與y軸相切，

二圓的半徑為2,

.?.圓的標準方程為(x+l)2+(y+2『=4.

故答案為：(x+l『+(y+2)2=4.

變式3.(2023春.重慶沙坪壩.高一重慶八中校考期末)在平面直角坐標系xQy中，已知弓(。,2)、鳥(4,4)兩

點，若圓/以勺丹為直徑，則圓加的標準方程為()

A.(無一2)2+(y—3)2=5B.(無一2)?+('—3)?=百

C.(x-l)2+(y-4)2=5D.(x-l)2+(y-4)2-75

【答案】A

【分析】求出圓心/坐標以及圓”的半徑，即可得出圓M的標準方程.

0+42+4

【詳解】由題意可知，圓心M的橫坐標為亍=2,縱坐標為亍=3,即點M(2,3),

圓M的半徑為四用=J(2-0『+(3-2『=石，

因此，圓加的標準方程為(x-2)2+(y-3『=5.

故選：A.

變式4.(2023?江蘇?高二假期作業)求經過點P(L1)和坐標原點，并且圓心在直線2元+3y+l=0上的圓的

方程.

【答案】(x-4)2+(y+3)2=25

【分析】利用待定系數法或幾何法求解.

【詳解】法一(待定系數法)：

設圓的標準方程為(》-城+(丫-力=心

122

a+b=r4=4

則有<(?-l)2+(&-l)2=r2,解得.b=—3,

2a+3Z?+1=0r=5

圓的標準方程是(x-4)2+(y+3)2=25.

法二(幾何法)：

由題意知。尸是圓的弦，其垂直平分線為無+>-1=0.

???弦的垂直平分線過圓心，

2x+3y+l=0

由

x+y-l=0

即圓心坐標為(4,-3),半徑r=J42+(-3『=5.

.?.圓的標準方程是(XT)?+(y+3)2=25.

變式5.(廣東省肇慶市百花中學2022-2023學年高二上學期期中數學試題)直線4：2x+5y-12=。與直線

4：-3x+y+l=O相交于點A,直線/過點A且與直線2x-y+l=0平行.

(1)求直線/的方程；

(2)求圓心在直線/上且過點0(0,0),8(2,0)的圓的方程.

【答案】⑴2x-y=0；

(2)(x-l)2+(y-2)2=5.

【分析】(1)由題可得4(1,2),然后根據直線的位置關系可設/：2x-y+c=0,進而即得;

(2)根據圓的幾何性質可得圓心和半徑，即得.

2x+5y-12=0二，即A(l,2),

【詳解】(1)由-3x+y+l=0'可信

由題可設直線/：2x-y+c=0,又直線/過點4(1,2),

所以c=0,

所以直線/的方程為2x7=0；

(2)因為圓心在直線/上且過點0(0,0),以2,0),

由0(0,0),3(2,0),可得線段的中垂線方程為尤=1,

J尤=1

可得尤=l,y=2,

[2x-y=0

所以圓心坐標為(1,2),半徑為r=正萬=宕，

所以圓心在直線/上且過點。(0,0),3(2,0)的圓的方程為+(y-2)2=5.

考點二：圓的一般方程

(-)圓的一般方程辨析

例3.(2023秋?江蘇鹽城?高二鹽城市伍佑中學校考期末)方程/+/+2,+%=。表示一個圓，則加

的取值范圍是()

A.(l,+oo)B.(F,l)

C.[!,+<?)D.(fl]

【答案】B

【分析】運用配方法，結合圓的標準方程的特征進行求解即可.

【詳解】由尤2+J?+2y+"7=。，得*2+(y+l)2=1-根>0,

解得m<l.

故選：B

變式1.(2023秋?河南許昌?高二禹州市高級中學校考階段練習)方程尤2+/-依+2毆+2。+1=0表示圓,

則實數。的可能取值為()

A.1B.2C.0D.-2

【答案】D

【分析】先把尤2+丁-公+2沖+2°+1=0整理成圓的標準形式，滿足右邊關于。的表達式大于零.

可得(無一微)+(y+aj=^——2a—1,

【詳解J由/+曠-依+2ay+2a+l=0,

所以至-2〃-1>0,

4

2

解得。<-二或a>2,

選項中只有-2符合題意.

故選：D.

(-)由圓的一般方程求圓心、半徑

例4.(上海市第三女子中學2022-2023學年高二下學期期中數學試題)圓V+丁+2x-4y=0的圓

心坐標是.

【答案】(T2)

【分析】化圓的一般方程為標準方程，即可求得圓心坐標.

【詳解】由X2++2%—4y=。，得(％+1)2+(y—2)2=5,

可得圓心坐標為(-1,2).

故答案為：(7,2).

變式1.(2023春?湖北武漢?高二武漢市新洲區第一中學校考開學考試)已知圓CY+y2_4y+3=0,則

圓。的圓心和半徑為()

A.圓心(0,2),半徑r=lB.圓心(2,0),半徑廠=1

C.圓心(0,2),半徑r=2D.圓心(2,0),半徑r=2

【答案】A

【分析】將圓的方程化為標準方程，從而可得圓心與半徑.

【詳解】由f+/_分+3=0化為標準方程可得爐+(y-2)2=1,

故圓心(0,2),半徑r=l.

故選:A.

變式2.(2023秋?高二課時練習)圓C：/+尸+4》一2>+3=0的圓心是，半徑是.

【答案】(—2,1)④

【分析】將圓的方程化為標準方程，即可得出答案.

【詳解】將圓方程化為標準方程可得，"+2)2+(、-1)2=2.

所以，圓心C(-2,l),半徑7=0.

故答案為：(-2,1)；0.

(三)求圓的一般方程

色2)例(2023秋?新疆克拉瑪依?高二克拉瑪依市高級中學校考期中)求適合下列條件的圓的方程：

⑴圓心在直線x-2y-3=0上，且過點4(2,-3),3(-2,-5)的圓；

(2)過三點4(1,0),3(—1,—2),C(3,—2)的圓.

【答案】⑴(尤+1產+。+2)2=10

(2)x2+y2-2x+4y+l=0

(2-〃『+(_3_6『='

【分析】(1)首先設圓的標準方程為-6)2=/，根據題意得到.(-2-4+(_5-4=產，再解

ci—2b—3=0

方程組即可.

l+D+F=0

22

(2)首先設圓的一般方程為：x+y+Dx+Ey+F=0,。2十石2一4方>。，根據題意得到1+4—O—2E+/=0,

9+4+3D-2E+F=0

再解方程組即可.

【詳解】⑴設圓的標準方程為(》-。)2+(>-6)2=/，由題知:

(2-a)2+(-3-b)2=r2

<(-2-a)2+(-5-Z?)2=r2,解得<6=-2.

a-2b-3=0[r2=10

所以圓的標準方程為：(x+l)2+(y+2)2=10.

(2)設圓的一般方程為：^+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,

1+D+F=OfD=-2

由題知：\l+4-D-2E+F=Q=4,

9+4+3D-2E+F=0[F=1

所以圓的方程為：爐+y一2x+4y+l=0.

變式1.(2023?河南?校聯考模擬預測)已知圓C經過拋物線y=/-4x-8與x軸的交點，且過點(0,2),則

圓C的方程為.

【答案】x2+y2-4x+2y-8=0

【分析】首先設圓的一般方程，結合條件，利用待定系數法，即可求解.

【詳解】設圓C的方程為必+丁+6+￡丫+尸=0,令y=o,X2+Dx+F=o,

則由圓C經過拋物線y=l-4x-8與x軸的交點可知方程/+m+尸=。與/一4x-8=0同解，

所以D=T,尸=一8,所以圓C的方程為/+/一4了+4一8=0,

又因為圓C過點(0,2),所以4+2E-8=0,所以E=2,

所以圓C的方程為爐-4x+2y-8=0.

故答案為：x2+y2-4x+2y-8=0

變式2.(2023?河南鄭州?模擬預測)己知點A(-2,l),3(-1,0),孰2,3),。(°,2)四點共圓，則點。到坐標原點。

的距離為.

【答案】3

【分析】待定系數法求得過AB,C的圓的方程為Y+y2-4y-l=0,從而可得〃+4-8-1=0,解得/=5,

再根據兩點距離公式即可求解.

2222

【詳解】設過AB,C的圓的方程為：x+y+Dx+Ey+F=0,D+E-4F＞0,

‘4+1-2D+E+F=0[D=0

則＜1—。+尸=。,解得＜E=-4,

4+9+2Z)+3E+F=0[F=-l

所以過A,8,C的圓的方程為：x2+y2-4y-l=0.

又因為點。在此圓上，所以標+4-8-1=0,解得4=5,

所以點。到坐標原點。的距離為正值=3.

故答案為：3

變式3.（2023?江蘇?高二假期作業）過坐標原點，且在無軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（）

A.無2+V-2a-3y=0B.尤?+2^-3,=0

C.x~+y2—2x+3y=0D.x~+y~+2x+3y=0

【答案】A

【分析】利用待定系數法設出圓的一般方程，將三個點的坐標代入得到方程組，求出圓的方程.

【詳解】設圓的方程為/+/+6+4+尸=0,（。2+1-4尸>0）,

由題意知,圓過點（0,0）,（2,0）和（0,3）,

F=0D=-2

所以4+2D+F=0,解得E=-3,

9+3￡+F=0[F=0

所以所求圓的方程為x2+/-2x-3y=0.

故選：A

變式4.（2023秋?高二校考課時練習）已知圓經過點（2,1）和（-1,0）,該圓與兩坐標軸的四個截距之和為-2,

求圓的方程.

【答案】x2+y2-3x+5y-4=0.

【分析】利用待定系數法設出圓的方程，然后利用圓與兩坐標軸的四個截距之和為-2,即可求解.

【詳解】設圓的一般方程為一+>2+m+珍+尸=。，由圓經過點（2』）和（-1,0）,

2D+E+F+5=0

代入圓的一般方程，得

-D+F+l=0

設圓在x軸上的截距為4、X”貝I］它們是方程》2+m+/=（）的兩個根，得玉+%=-，

設圓在y軸上的截距為％、內，則它們是方程^+萬丁+尸=0的兩個根，得%+為=-△

由已知，得—。+（—￡）=—2,即。+石—2=0.③

由（*）③聯立解得D=-3,E=5,F=-4.

故所求圓的方程為％2+y1-3x+5y-4=0.

考點三：根據對稱性求圓的方程

（、1例6.（2023秋?重慶榮昌?高二重慶市榮昌永榮中學校校考期中）圓（尤+iy+（y-2）2=4關于直線y=0

對稱的圓的標準方程為.

【答案】(》+以+(丁+2)2=4

【分析】兩圓關于直線對稱等價于圓心關于直線對稱，半徑不變，根據題意運算求解.

【詳解】???圓(尤+仔+(二2)2=4的圓心(-1,2),半徑為4=2,

則(-1,2)關于直線y=0對稱的點為(-1,-2),

.?.對稱圓的圓心為(―1,—2),半徑為弓={=2,

故對稱圓的方程為：(x+iy+(y+2)2=4.

故答案為：—(y+2)2=4.

變式1.(2023秋?高二單元測試)圓(x+l)2+(y-4)2=l關于直線＞=無對稱的圓是()

A.(x-葉+(,+4)2=1B.(x-l)2+(y-4)2=l

C.(x+4)2+(y-l)2=lD.(%-4)2+(J；+1)2=1

【答案】D

【分析】求出圓心關于直線對稱的點的坐標，即可得到對稱圓的方程.

【詳解】圓-6-4)2=1圓心為(-1,4),半徑為1,

設點(T4)關于直線V=x對稱的點為(4力)，

b-4

----=—1

'*I，解得Q=4

則

Z?+4a-1b=-l9

r二F

所以點(-1,4)關于直線y=X對稱的點為(4,-1),

所以圓(x+l)2+(y—4『=l關于直線y=x對稱的圓是(x—4)2+(y+l)2=l.

故選：D.

變式2.(2023?全國?高三專題練習)與圓C:/+y2—工+2,=0關于直線/：%+y=0對稱的圓的標準方程是

【答案】(x-l)2+^+1J=|

【分析】先求得所求圓的圓心坐標，進而得到該圓的標準方程.

【詳解】圓C:x2+y「x+2y=0的圓心半徑

點關于直線/：x+y=0對稱的點坐標為c[i，-￡|

則所求圓的標準方程為(x-l)2+[y+j2=?

故答案為：(x—l)2+[y+g)=1

變式3.(2023秋?高二課時練習)已知圓&：/+/+2苫-2.丫+1=0,圓C?與圓C1關于直線x-y-l=0對稱,

則圓G的方程為()

A.尤2+y?_4x+4y+7=0B.x2+y2-4A：-4V+7=0

C.Y+>2+4苫+4了+7=oD.X2+J+4工-4,+7=0

【答案】A

【分析】先求得圓C1的圓心坐標C(-1,1)和半徑廠=1,再求得J(-1,1)關于x-y-1=。的對稱點C?(2,-2),

得到圓C?的圓心坐標，進而求得圓C?的方程.

【詳解】由題意知，圓C?的圓心與G關于直線x-y-1=。對稱，且兩圓半徑相等，

2222

因為圓Cl:x+y+2x-2y+l=Q,即q:(x+l)+(y-l)=1,

所以圓心C1(-1,1),半徑為r=1,

設圓G(-1,1)關于直線x-y-1=。對稱點為C?(北〃)，

-1+m1+n

-------------1=0

則2；2,解得加=2,,=—2,即Cz(2,-2),

n—14“

----xl=-l

、機+1

所以圓C2的方程為C2：(x-2)2+(y+2)2=l,即Y+y2_4x+4y+7=0.

故選：A.

變式4.(2023春?河南開封?高二統考期末)已知圓4：尤2+>2=4與圓C?關于直線2x+y+5=0對稱，則圓

C2的標準方程為()

A.(x+4?+(y+2)2=4B.(x-4)2+(y-2)2-4

C.(x+2)2+(y+4)2=4D.(x-2)2+(y-4)2=4

【答案】A

【分析】根據題意，求得圓心關于直線2元+y+5=0的對稱點，即可得到結果.

【詳解】由題意可得，圓G的圓心坐標為(。，0)，半徑為2,設圓心G(0,0)關于直線2x+y+5=0的對稱點

-x(-2)=-l

a=-4

為G(a，6)，則“°，解得

C40L八b=-2,

2x—+—+5=0

22

所以圓C2的標準方程為(x+4)2+(y+2)2=4.

故選：A

變式5.(2023秋?高二課時練習)求圓尤2+丁+4X-12丁+39=0關于直線3x-4y-5=0的對稱圓方程.

【答案】卜一外口+野1

【分析】求出已知圓的半徑和圓心坐標，再求出其圓心關于直線標-分-5=0對稱的點的坐標，則可求對

稱圓的方程.

【詳解】由丁+丁+4X-12、+39=0可得(》+2)2+(、-6)2=1,

故圓心坐標為P(-2,6),半徑為1,

設點尸關于直線3x-4y-5=0的對稱點為P(a,6)

_a-2.8+6_八

3---------4---------5=0a=

22,故喑26

則有,,,，解得

p-645

b=-

。+23

所以圓x2+y2+4x-12y+39=0關于直線3x-4y-5=0的對稱圓的方程為:

考點四：點與圓的位置關系

注2|例7?【多選】(2。23秋?高二課時練習)(多選)下列各點中，不在圓(x-iy+(y+2)2=25的外部的

是()

A.(0,2)B.(3,3)

C.(-2,2)D.(4,1)

【答案】ACD

【分析】利用給定的圓方程，把各選項中的點的坐標代入判斷作答.

【詳解】對于A,(0-1)2+(2+2)2<25,點Q2)在圓內；

對于8,(3-1)2+(3+2)2>25,點(3,3)在圓外；

對于C,(一2-1『+(2+2)2=25,(一2,2)在圓上；

對于D,(4-1)?+(1+2)2<25,(4,1)在圓內.

故選：ACD

變式1.(2023?江蘇?高二假期作業)寫出圓心為42,-3),半徑為5的圓的標準方程，并判斷點

^(5,-7),^2(-2.-1)是否在這個圓上.若該點不在圓上，說明該點在圓外還是在圓內？

【答案】答案見解析

【分析】將點的坐標代入圓的方程，驗證是否在這個圓上.根據點到圓心的距離判斷該點在圓外還是在圓

內.

【詳解】圓心為A(2,-3),半徑為5的圓的標準方程是(x-2>+(y+3)2=25.

把點M|(5,-7)的坐標代入方程(x-4+(>+3)2=25的左邊，

得(5-2)2+(-7+3)2=25，左右兩邊相等，

點的坐標滿足圓的方程，所以點在這個圓上.

把點心(一2,-1)的坐標代入方程0-2)2+(y+3)2=25的左邊，

得(-2-2)2+(-1+3)2=20,左右兩邊不相等，

點M2的坐標不滿足圓的方程,所以點M2不在這個圓上.

又因為點心到圓心A的距離d==J(—2-2)2+(-1+3)2=26<5.

故點加2在圓內.

變式2.（2023秋?高二校考課時練習）若點在圓尤2+y2-2ay-4=0的內部，則a的取值范圍是

（）.

A.a>\B.0<a<lC.—l<a<—D.a<\

5

【答案】D

【分析】根據題意，將點的坐標代入圓的方程計算，即可得到結果.

【詳解】由題可知，半徑廠=行工，所以aeR，把點-1）代入方程，

貝Ma+l）2+（a-l）2-2a（a-l）-4<0,解得a<1,所以故°的取值范圍是a<1.

故選：D

變式3.（2023秋?高二課時練習）點P（5,〃?）與圓V+y2=24的位置關系是（）

A.點在圓上B.點在圓內C.點在圓外D.不確定

【答案】C

【分析】點到圓心的距離大于半徑，點在圓外.

【詳解】因為十+77/=25+7*>24,所以點在圓外,

故選：C

考點五：圓過定點問題

例8.（2023秋?山西晉中?高二山西省平遙中學校校考期中）若圓

c：d+/一（加_2卜+（〃?-2））+加2-3優+2=0過坐標原點，則實數機的值為（）

A.1B.2C.2或1D.-2或一1

【答案】A

【分析】把坐標（。,。）代入圓方程求解.注意檢驗，方程表示圓.

【詳解】將（0,0）代入圓方程，得病一3%=0,解得加=3或0,

當〃z=3時，x2+y2-3x+6y=0,滿足題意；

當”=0時，f+y2=o,不滿足題意.

故選：C.

變式1.（2023?高二課時練習）點尸（x,y）是直線2x+y-5=0上任意一點，。是坐標原點，則以OP為直徑

的圓經過定點（）

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

【答案】D

【分析】設點尸。,5-2。，求出以OP為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點坐標.

【詳解】設點尸,5-2/）,則線段O尸的中點為詈）

圓M的半徑為依閭=,2+（：-垃=,5戶一產+25,

所以，以OP為直徑為圓的方程為卜-;J+卜-子:=*’25

2

即x+y2_江+(2，_5),=0,即(爐+y2_5y)+(2y-x)=0,

2y—x—0

解得

尤2+,2_5y=0，

因此，以OP為直徑的圓經過定點坐標為（0,0）、（2,1）.

故選：D.

變式2.（2023?全國?高三專題練習）若拋物線y=Y+G+6與坐標軸分別交于三個不同的點A、B、C,

則URC的外接圓恒過的定點坐標為

【答案】（0,1）

【分析】設拋物線y=1+辦+6交y軸于點3（0,6）,交x軸于點4（/0）、C（%,0）,根據題意設圓心為

求出/=亨，寫出圓P的方程，可得出關于x、y的方程組，即可得出圓P所過定點的坐標.

【詳解】設拋物線y=，+方+6交）軸于點5（0,6）,交x軸于點4（%,0）、C（x2,0）,

由題意可知A=T-46>0,由韋達定理可得%+%=-。，*=b,

所以，線段AC的中點為（一｝。｝設圓心為尸

由四|2=|PB|2可得L+￡：+產=：+(-6)2,解得t=X：+叫一〃

1-b—Z?+1?,1—b

?t,x；+g+Z?=0,貝m卜=------=----，則m，一〃=—^

-lb22

所以，圓尸的方程為［x+~|j+（y_等j一片+y

整理可得（/+/-耳+辦+N1-'）=0,

x2+y2-y=0

x=0

方程組尤=。的解為一

1=03=1

因此，U1BC的外接圓恒過的定點坐標為（0,1）.

故答案為：（。,1）.

變式3.（2023春?上海徐匯?高二上海中學校考期中）對任意實數加，圓/+/_3小-6沖+9根-2=0恒過

定點，則定點坐標為—.

17

【答案】。,1）或

555

x2+y2-2=0

【分析】由已知得龍2+/一2-（3x+6y-9）〃?=0,從而3二1二。’由此能求出定點的坐樂

【詳解】解：x2+y2—3mx-6my+9m-2=0,BPx2+y2-2-(3x+6y—9)m=0,

:十：::，解得x=i,y=i,或x==，y

令

3%+6y—9=055

17

所以定點的坐標是（LI）或

5；5

7

故答案為：（U）或

5；5

變式4.（2023秋?四川內江?高二四川省內江市第六中學校考階段練習）已知曲線C：

++(1+.)y2-4%+8〃y=0.

（1）當。取何值時，方程表示圓？

（2）求證：不論。為何值，曲線C必過兩定點.

（3）當曲線。表示圓時，求圓面積最小時4的值.

【答案】（1）"一1；（2）證明見解析；（3）a=~.

4

【分析】（1）當。=-1時，可知方程表示直線；當aw-L時，化簡整理已知方程，可知滿足圓的方程；

（2）將已知方程整理為/+/-4工+°（/+必+8幻=0,從而可得方程組，解方程組求得兩定點坐標，結論可

證得；

（3）根據（2）的結論，可知以AB為直徑的圓面積最小，從而得到圓的方程，與已知方程對應相等可構造

方程組，解方程組求得結果.

【詳解】解：（1）當。=-1時，方程為x+2y=0表示一條直線.

當1時，(1+a)x2*4+(1+6f)y2-4x+Say=0,

4+16a2

整理得(x—2)2+(y+￥)2=

a+1a+1(a+1)2

4+16a2

>0

由于(1+a)2

所以OH-1時方程表示圓.

(2)證明：方程變形為x2+y2-4x+a(x2+y2+8y)=0.

X2+y2-4x=0,

由于。取任何值，上式都成立，則有

x2+y2+8)7=0,

16

鏟汨卜=0-、=亍

解4=0或-8

卜--H

所以曲線C必過定點A（0,0）,一11

即無論。為何值，曲線C必過兩定點.

（3）由（2）知曲線C過定點A,B,在這些圓中，以AB為直徑的圓的面積最小（其余不以AB為直徑的

圓的直徑大于A5的長，圓的面積也大），

16

從而以為直徑的圓的方程為

ABy

2_8

1+a5

所以4產a=?4,解得a=；1.

1+a54

4+16a216

(1+a)2-5

考點六：與圓有關的軌跡問題

例9.(上海市上海中學2022-2023學年高二下學期期中數學試題)點/與兩個定點0(0,0),尸(2,0)

的距離的比為3:1,則點/的軌跡方程為.

【答案】(%-Q孑+，2=Q[

416

【分析】設出動點M(x，y),利用條件得到3,再化簡即可得到結果.

7(x-2)2+y2

I22

【詳解】設點M(x,y),由題知J*+了=3,兩邊平方化簡得2/+2y2一兔+9=0,即(a1+/=:

7(-r-2)2+y2416

QQ

所以點M的軌跡方程為(X-：)2+/.

416

QQ

故答案為：(%-二)2+>2=77.

416

變式1.(2023秋?高二課時練習)已知圓C：f+—6y+i6=0,過點P(4,l)的直線與圓C交于點M,

N,線段MN的中點為。，則點。的軌跡方程為.

【答案】(iy+(y-2)2=l

【分析】先判斷點P在圓內，連接C。，設出點。的坐標5y),在利用垂徑定理得到C。，MN,寫出說和

而坐標，利用西?而=0,得到x,V的關系，即可得出結果.

【詳解】由圓C：/+/一8了-6>>+16=0方程變形為標準式(了-4)2+('-3)2=9,

進而得出(4一4>+(1-3)2=4<9,所以點「(4,1)在圓C內部，

又因為Q為線段MN的中點，連接CQ,由垂徑定理得CQ_LMN,

設點。的坐標(蒼丫)，得詼=(x-4,y-3),P2=(x-4,j-l),

所以西.苑=0,得(x-4)2+(y-3)(y-l)=0,整理得(x-4>+(y-2)z=1,

所以點。的軌跡方程為(x-釬+(y-2)2=1,

故答案為：(x—4)~+(y—2)-=1

變式2.(2023秋?安徽阜陽?高二校聯考階段練習)已知圓E經過點4(0,0),3(1,1),且被直線

(1)求圓E的一般方程；

(2)設尸是圓E上的動點，求線段AP的中點M的軌跡方程.

【答案】⑴/+丁-2x=0

(2)x?+y~-x=0

【分析】(1)根據直線方程求定點，結合圓的性質，可得圓心，利用兩點之間距離公式，可得答案;

(2)設動點坐標，根據題意，建立等量關系，代入圓的方程，可得答案.

【詳解】(1)直線，取一y—，〃=。恒過點(L0).

因為圓E恒被直線儂-y一機=0(機eR)平分，

所以;加-丫一〃7=0恒過圓心，

所以圓心坐標為(1,0),又圓E經過點4(0,0),所以圓的半徑r=l,

所以圓E的方程為(尤-1)2+,2=1,HPX