【新課同步學與練】20242025學年人教版五年級數學下冊

第三單元：長方體和正方體

3.1、長方體和正方體的認識

(重難點講解+知識點總結+同步練習+答案解析)

1、長方體

(1)一般是由6個長方形(特殊情況有兩個相對的面是正方形)圍成的立體圖形叫做長方體。

兩個面相交的邊叫做棱。

三條棱相交的點叫做頂點。

相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。

(2)長方體特征：

①面：長方體有6個面，這6個面一般是長方形的，特殊情況有兩個相對的面是正方形；相對

的面完全相同。

②棱：長方體有12條棱，相對的棱長度相等。長方體12條棱可以分成3組，分別有4條長、

4條寬、4條高。

③頂點：長方體有8個頂點。

(3)長方體的棱長總和=(長+寬+高)X4

=長乂4+寬X4+高X4

長=棱長總和+4一寬一高

寬=棱長總和+4一長一高

高=棱長總和+4一長一寬

2、正方體

(1)由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體(也叫做立方體)。

(2)正方體特征：

①正方體有12條棱，它們的長度都相等。有8個頂點。

②正方形的6個面是完全相同的正方形。

③正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。

(3)正方體的棱長總和=棱長X12

正方體的棱長=棱長總和+12

3、長方體和正方體的異同點

立體相同點不同點

圖形面棱頂點面棱

6個長方形（或

長方體相對的4條棱

有2個正方形和的長度相等

6個12條8個4個長方形）

正方體6個完全相同12條棱的長度

的正方形都相等

4、長方體和正方體的關系：正方體是長、寬、高都相等的長方體。

知識點1：長方體的認識及特征

【典型例題】一個長2m、寬2m、高3m木箱平放在地面上，占地面積至少是（)o

A.6m2B.6m3C.4m2D.4m3

【答案】C

【分析】占地面積指的是接觸地面的面積，也就是長方體下面的面積，要想占地面積最小，

用最小的面做底面即可。

【詳解】2X2=4（m2）

則占地面積至少是4m1

故答案為：C

【變式訓練1】小明用小棒搭一個長方體框架（如下圖），搭了其中的三根，就能決定這個長

方體的形狀與大小的是（

-----------------------------------------------------------------------------

A.B.C.

【答案】C

【分析】長方體有12條棱，分3組，相交于同一點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、

寬、高，長方體的形狀和大小由長、寬、高決定，據此解答。

【詳解】A、B兩項給出了三條邊，可以決定的是長方形的形狀和大小而不是長方體；

由分析可知，C項給出了長方體的長、寬、高，可以確定它的大小和形狀。

故答案為：C

【變式訓練2】用下面五塊長方形紙板拼成一個無蓋紙盒(單位：cm),紙盒的底面積是

()o

□araoQ

A.80cm2B.48cm2C.60cm2

【答案】C

【分析】由題意可知，五塊長方形紙板拼成一個無蓋紙盒，則有兩對圖形完全相同，則剩下

的面就是底面，然后根據長方形的面積=長乂寬，據此解答即可。

【詳解】6X10=60(cm2)

故答案為：C

知識點2：長方體有關棱長的應用

【典型例題】一個長方體的長、寬、高分別是6厘米、5厘米、2厘米，它的棱長總和是

()厘米。

【答案】52

【分析】根據公式：長方體的總棱長=(長+寬+高)X4,代入數據計算即可。

【詳解】(6+5+2)X4

=13X4

=52(厘米)

即它的棱長總和是52厘米。

【變式訓練1】用一根52厘米長的鐵絲，恰好可以焊成一個長方體框架。框架長6厘米、寬

4厘米、高（）厘米。

【答案】3

【分析】用一根52厘米長的鐵絲，恰好可以焊成一個長方體框架，則這個長方體的棱長總和

為52厘米。現在已知長方體的長為6厘米、寬為4厘米，要求得高是幾厘米，根據長方體棱

長總和=（長+寬+高）X4,可列式為：52+4—6—4。

【詳解】524-4—6—4

=13-6-4

=3（厘米）

長方體的高為3厘米。

【變式訓練2】一個長、寬、高分別為40厘米、30厘米、20厘米的小紙箱，在所有的棱上

粘上一圈膠帶，至少需要多長的膠帶？

【答案】360厘米

【分析】求至少需要的膠帶長度，就是求這個長方體的棱長總和，根據長方體棱長總和公

式：棱長總和=（長+寬+高）X4,代入數據，即可解答。

【詳解】（40+30+20）X4

=（70+20）X4

=90X4

=360（厘米）

答：至少需要360厘米長的膠帶。

知識點3：長方體的展開圖

【典型例題】下圖中能折成長方體的有（）個。

Mb==國

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據長方體的特征，長方體的6個面都是長方形（同時特殊情況有兩個相對的面是

正方形），相對面的面積相等。據此解答即可。

【詳解】根據長方體展開圖的特征可知：

能圍成長方體;

則能折成長方體的有3個。

故答案為：C

【變式訓練1】3cm是一個長方體的前面，那么2cm應該

是這個長方體的（）。

A.后面B.左面C.上面D.右面

【答案】C

【分析】根據已知條件長方體的長是6cm,寬是3cm,高是3cm,結合完整的長方體的長、

寬、高的位置特征進行對比選擇即可。

6cm

6cm—3cm

【詳解】3cm局

一一歸2E

6cm長范

如圖，正面看到的6cm是長，含有長的面只有前、后、上、下四個面，含有高3cm的是前、

后兩個面，所以含有6cm和2cm的面應該是上、下面；

故答案為：C

【變式訓練2】把下邊這個展開圖折成一個長方體（字母在外面）。如果底面是A,那么上面

【答案】D

【分析】根據長方體的展開圖，相對的面完全相同。據此解答。

【詳解】由分析可知：如果底面是A,那么上面是D。

知識點4：正方體的認識及特征

【典型例題】一個正方體每個面的面積都是16平方厘米，它的棱長是（）0

【答案】4厘米

【分析】因為正方體的每個面都是正方形，根據正方形的面積公式：S=a2,據此解答。

【詳解】因為4X4=16（平方厘米）

所以它的棱長是4厘米。

【變式訓練1】魔方是常見的正方體，它有（）個面，（）條棱，（)

個頂點。

【答案】6128

【分析】由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體，也叫立方體，是特殊的長方

體。根據正方體的特征：有6個面，這6個面都是正方形，且面積相等；有12條棱，這些棱

的長度都相等；有8個頂點，據此解答。

【詳解】魔方是常見的正方體，它有6個面，12條棱，8個頂點。

【變式訓練2】一個正方體的每個面都只畫有△,口和☆中的一種，挪一次，要使挪到三種

圖形的可能性一樣大，這個正方體有（）個面上畫了口；如果要使擲到☆的可能性

最大，這個正方體至少有（）個面上畫著

【答案】23

【分析】一個正方體的共有6個面，要使挪到三種圖形的可能性一樣大，它們的數量一樣

多；如果要使擲到☆的可能性最大，這個正方體至少有的面數比一樣多的多1即可。

【詳解】由分析得，

64-3=2（個）

2+1=3（個）

所以要使挪到三種圖形的可能性一樣大，這個正方體有2個面上畫了口；如果要使擲到☆的

可能性最大，這個正方體至少有3個面上畫著

知識點5：正方體有關棱長的應用

【典型例題】用長48厘米的鐵絲恰好可以圍成棱長是（）厘米的正方體。

A.12B.4C.8

【答案】B

【分析】鐵絲的長度相當于正方體的棱長之和，正方體的棱長之和=棱長X12,則正方體的

棱長=棱長之和+12,據此解答。

【詳解】484-12=4（厘米）

故答案為：B

【變式訓練1】售貨員阿姨給一個正方體禮品盒打上彩帶，禮品盒的棱長是20cm,打結處的

長度是10cm,一共需要()dm的彩帶。

【答案】25

【分析】觀察圖形可知，彩帶的長度等于12條正方體的棱長，再加上打結處的長度即可求

解。

【詳解】12X20+10

=240+10

=250(cm)

=25(dm)

則一共需要25dm的彩帶。

【變式訓練2】一個長方體木塊可以鋸成兩個一樣的正方體木塊，已知長方體木塊棱長總和

是80厘米，一個正方體木塊的棱長是()厘米。

【答案】5

【分析】根據長方體鋸成兩個正方體可知，長方體的寬和高相等，長方體的長是寬的兩倍，

可以根據長方體的棱長總和=(a+b+h)X4,設長方體的寬為x厘米，代入數據，求出長

方體的寬，正方體的棱長等于長方體的寬，據此解答。

【詳解】解：設長方體的寬為x厘米，

(2x+x+x)X4=80

4xX4=80

16x=80

16x4-16=804-16

x=5

【答案】c

【分析】根據正方體展開圖的類型，主要分為“1—4—1”型，“2—3—1”型,“2—2—2”

型，“3—3”型，據此解答即可。

【詳解】

A.口|口屬于“1—4—1”型,可以折成正方體；

B.?r~^j?屬于型，可以折成正方體；

C.二不屬于正方體的展開圖的類型，不可以折成正方體；

D.匚二h?屬于2—2—2”型,可以折成正方體。

故答案為：C

數字1的對面是（）。

【答案】2

【分析】根據正方體展開圖的11種特征，此圖屬于正方體展開圖的“1—4—1”型，折疊成

正方體后，數字1與2相對，4與3相對，5與6相對。

【詳解】用1做成一個^,數字1的對面是2o

【變式訓練2】如圖是正方體表面展開圖，每兩個相對面數字之和是10,請在這個正方體每

個表面上填入適當的數。

【答案】5；3；8

【分析】題干中所給圖片為“3—3”型的正方體平面展開圖，每兩個相對面用同一顏色標示

出，再計算出正方體每個表面上的數。

【詳解】正方體的相對面如圖所示:

10-7=3

10-5=5

10-2=8

將數字填在對應面上，如圖所示:

一、選擇題

1.正方體棱長是7cm,它的棱長總和是（

A.42cmB.84cmC.343cm

【答案】B

【分析】正方體的棱長總和=棱長X12,把題中數據代入公式計算，據此解答。

【詳解】7X12=84（cm）

所以，正方體的棱長總和是84cm。

故答案為：B

2.有一根126厘米長的鐵絲，將這根鐵絲焊接成一個正方體框架后，還剩6厘米，這個正方

體框架的棱長是（）厘米。（接頭處忽略不計）

A.30B.10C.20

【答案】B

【分析】由題意可知，用126減去6就是正方體的總棱長，然后根據正方體的總棱長=棱長

X12,據此解答即可。

【詳解】（126-6）4-12

=1204-12

=10（厘米）

故答案為：B

3.拼成一個大正方體，至少需要（）個棱長為3cm的小正方體。

A.8個B.18個C.27個

【答案】A

【分析】將正方體的棱長擴大到原來的2倍，變成3X2=6（cm）,這樣需要的小正方體的數

量是最少的。此時每條棱上有2個小正方體，那么至少需要2X2X2=8（個）小正方體。

【詳解】2X2X2=8（個）

所以，拼成一個大正方體，至少需要8個棱長為3cm的小正方體。

故答案為：A

4.一個長方體的棱長和是120厘米，相交于一個頂點的三條棱長度之和是（）厘

米。

A.20B.30C.40

【答案】B

【分析】根據長方體的特征可知，相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、

寬、高。

求相交于長方體一個頂點的三條棱長度之和就是求長方體的長、寬、高的和，根據長方體的

棱長總和=（長+寬+高）X4可知，長方體的長、寬、高之和=棱長總和+4,代入數據計

算即可求解。

【詳解】120+4=30（厘米）

相交于一個頂點的三條棱長度之和是30厘米。

故答案為：B

5.用鐵絲做一個長為9厘米，寬為5厘米，高為4厘米的長方體框架，一共需要（）

長的鐵絲。

A.72厘米B.36厘米C.54厘米

【答案】A

【分析】根據長方體的總棱長公式：L=（a+b+h）X4,據此代入數值進行計算即可。

【詳解】（9+5+4）X4

=18X4

=72（厘米）

則一共需要72厘米長的鐵絲。

故答案為：A

6.王叔叔打算做一個無蓋的長方體魚缸，已經準備了4塊長方形玻璃，其中2塊玻璃長

6dm,寬4dm,另外2塊玻璃長5dm,寬4dm,還需配1塊（）的玻璃才剛好合適。

A.長6dm；寬5dmB.長4dm；寬4dmC.長6dm；寬4dm

【答案】A

【分析】一個無蓋的長方體魚缸，需要5個面來拼成。題目中已給了其中的4個面，可以根

據這4個面的數據，確定第5塊玻璃的數據。

【詳解】根據分析，一個無蓋的長方體魚缸，長和寬組成的底面1個，長和高組成的面2

個，寬和高組成的面2個；結合玻璃的數據，魚缸的長為6dm,高為4dm,寬為5dm,題目中

已知前、后面，和左、右面，缺少底面：長6dm,寬5dm；還需配1塊長6dm,寬5dm的玻璃

才剛好合適。

4dm）

________/?dm

6dm

故答案為：A

二、填空題

7.正方體是由6個完全相同的（）圍成的立體圖形，它是特殊的（

【答案】正方形長方體

【詳解】由正方體的特征可知，正方體是由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形，所有的

棱長度相等，正方體是長、寬、高都相等的長方體，它是特殊的長方體。

8.長方體（）條棱，（）個頂點。

【答案】128

【分析】長方體有6個面，有三組相對的面完全相同，一般情況下六個面都是長方形，特殊

情況時有兩個面是正方形，其他四個面都是長方形，并且這四個面完全相同。長方體有12條

棱，相對的四條棱長度相等，按長度可分為三組，每一組有4條棱。長方體有8個頂點，每

個頂點連接三條棱，三條棱分別叫做長方體的長、寬、高。據此解答。

【詳解】根據分析得，長方體12條棱，8個頂點。

9.長方體有12條棱和（）個面，在特殊情況下長方體至少有（）面是長

方形。

【答案】6/六4/四

【分析】根據長方體的特征進行解答。

①長方體有12條棱，相對的四條棱長度相等，按長度可分為三組，每一組有4條棱。

②長方體有6個面，有三組相對的面完全相同，一般情況下六個面都是長方形，特殊情況時

有兩個面是正方形，其他四個面都是長方形，并且這四個面完全相同。

【詳解】長方體有12條棱和6個面，在特殊情況下長方體至少有4面是長方形。

10.李爺爺用木條制作了一個棱長6厘米的正方?體燈籠框架，如果用同樣長的木條制作一個

長9厘米、寬6厘米的長方體燈籠框架，高是（）厘米。

【答案】3

【分析】用同樣長的木條制作正方體和長方體框架，正方體的棱長總和等于長方體的棱長總

和；正方體的棱長總和=棱長X12,用正方體的棱長總和除以4求出長寬高的和，再減去長

和寬即可求出長方體的高度。

【詳解】6X124-4-9-6

=18-9-6

=3（厘米）

長方體燈籠框架的高是3厘米。

11.用兩個大小相同的正方體可以拼成一個長方體，拼成的長方體有（）個面是正

方形，有（）個面是長方形。

【答案】24

【分析】兩個正方體可以拼成一個長方體，拼在一起的兩個正方體的面是正方形，所以和它

相對的面就是正方形，即這個長方體有2個面是正方形，剩下的部分都是由兩個正方形拼在

一起組成的長方形，所以長方體有4個面是長方形。

【詳解】如圖：05一百

用兩個大小相同的正方體可以拼成一個長方體，拼成的長方體有2個面是正方形，有4個面

是長方形。

12.長方體和正方體都有（）個面，（）條棱，（）個頂點。一個

正方體的棱之和是2.4米，它的一條棱長是（）米。

【答案】61280.2

【分析】根據長方體和正方體的特征可知，長方體和正方體都有6個面。12條棱，8個頂

點；再根據正方體的總棱長公式：L=12a,據此求出它的一條棱長。

【詳解】2.44-12=0.2（米）

則長方體和正方體都有6個面，12條棱，8個頂點。一個正方體的棱之和是2.4米，它的一

條棱長是0.2米。

13.下圖是一個長方體展開的平面圖。如果“建”字在上面，則（）字在下面，

“城”字在前面，（）字在后面，“創”字在（）面，“市”字在

（）面。

創

建文明

城市-5.5cm

J____人___J

V

21cm12cm

【答案】明文左右

【分析】根據長方體的特征，長方體的6個面是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方

形），相對面的面積相等。通過觀察長方體的展開圖可知，“建”字與“明”字相對，“城”

字與“文”字相對，“創”字與“市”字相對。據此解答即可。

【詳解】根據分析得，如果“建”字在上面，則“明”字在下面，“城”字在前面，“文”

字在后面，“創”字在“左”面，“市”字在右面。

14.下圖是一個長方體的展開圖，這個長方體的棱長和是（）厘米。

【答案】200

【分析】觀察圖形可知，這個長方體的長是30厘米，寬是15厘米，高是（40—15X2）+2

=5厘米，然后根據長方體的總棱長=（長+寬+高）X4,據此代入數值進行計算即可。

【詳解】（40—15X2）4-2

=（40-30）4-2

=104-2

=5（厘米）

（30+15+5）X4

=50X4

=200（厘米）

15.小明用一根128厘米長的鐵絲圍成一個長方體，量得長方體的長是16厘米，寬是8厘

米，那么這個長方體的高是（）厘米。

【答案】8

【分析】鐵絲長度是長方體棱長總和，根據長方體的高=棱長總和+4—長一寬，列式計算即

可。

【詳解】128+4—16—8

=32-16-8

=8（厘米）

這個長方體的高是8厘米。

16.用鐵絲焊接成一個長12cm、寬10cm、高5cm的長方體框架，至少需要鐵絲（）

cm0

【答案】108

【分析】根據長方體的總棱長公式：L=（a+b+h）X4,據此代入數值進行計算即可。

【詳解】（12+10+5）X4

=27X4

=108（cm）

則至少需要鐵絲108cm。

17.一個長方體的棱長和為72厘米，相交于一個頂點的三條棱的長度和是（）厘

米。

【答案】18

【分析】相交于一個頂點的三條棱就是長方體的長、寬、高，然后根據長方體的總棱長公

式：L=（a+b+h）X4,用72除以4即可求出相交于一個頂點的三條棱的長度和。

【詳解】724-4=18（厘米）

則相交于一個頂點的三條棱的長度和是18厘米。

18.一個長方體的棱長總和是72cm,長是8cm,寬是4cm,高是（）cm,最大那個

面的面積是（）cm%

【答案】648

【分析】長方體的棱長總和=（長+寬+高）X4,已知棱長總和以及長和寬，可以求長方體

的高。求出高后，根據長、寬、高的長度比較，可以求出找到面積最大的面。

【詳解】72+4—（8+4）

=18-12

=6（cm）

8>6>4,

8X6=48（cm2）

長方體高是6cm,最大那個面的面積是48cm2o

三、判斷題

19.長方體有6個面，8個頂點，12條棱。（）

【答案】V

【分析】根據長方體的特征：長方體有6個面。每組相對的面完全相同。長方體有12條棱,

相對的四條棱長度相等。按長度可分為三組，每一組有4條棱。長方體有8個頂點。每個頂

點連接三條棱。三條棱分別叫做長方體的長、寬、高。長方體相鄰的兩條棱互相垂直。據此

解答。

【詳解】根據分析得，長方體有6個面，8個頂點，12條棱。原題說法是正確的。

故答案為：V

20.小紅穿鞋的鞋盒是一個長20cm,寬10cm,高3cm的長方體。（）

【答案】X

【分析】根據情景和生活經驗，對長度單位和數據大小的認識，據此判斷鞋盒這個長方體的

長寬高是否符合實際。

【詳解】這個長方體的鞋盒的長為20cm,寬為10cm,高為3cm,高度只有3cm,3cm大概是

無名指一半的長度，顯然作為鞋盒的高度不合適。所以原題說法錯誤。

故答案為：X

21.如圖，把這張紙折疊后，能圍成一個正方體。（)

【答案】V

【分析】正方體展開圖有11種特征，分四種類型，即：第一種：“1—4—1”結構，即第一

行放1個，第二行放4個，第三行放1個；第二種：“2—2—2”結構，即每一行放2個正方

形，此種結構只有一種展開圖；第三種：“3—3”結構，即每一行放3個正方形，只有一種

展開圖；第四種：“1—3—2”結構，即第一行放1個正方形，第二行放3個正方形，第三行

放2個正方形。

【詳解】根據分析可知，本題圖示屬于正方體展開圖的“1—4—1”型，能圍成正方體。

故答案為：V

22.在一個長方體中最少有4個面是長方形。（