第三章時域分析法3.1引言3.3一階系統(tǒng)的時域分析3.4二階系統(tǒng)的時域分析3.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析3.5線性系統(tǒng)的誤差分析

本章重點(diǎn)介紹一階和二階系統(tǒng)時間響應(yīng)的分析和計算；介紹用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法；討論系統(tǒng)參數(shù)對性能指標(biāo)的影響，分析改進(jìn)二階系統(tǒng)性能的措施；以及計算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的方法。

控制系統(tǒng)分析是指一個實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立后，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)行分析，判斷其性能指標(biāo)是否滿足要求。

時域分析法是從系統(tǒng)的微分方程入手，求解系統(tǒng)的微分方程，由輸出的時間響應(yīng)來分析系統(tǒng)性能，具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，可以提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息。3.1引言穩(wěn)定性若控制系統(tǒng)在初始條件或擾動作用下，其瞬態(tài)響應(yīng)隨著時間的推移而逐漸衰減并趨向于零，則稱該系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之，若系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)為不穩(wěn)定。控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，于外加信號無關(guān)。勞斯判據(jù)瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)（動態(tài)響應(yīng)）：一個穩(wěn)定系統(tǒng)，在典型信號作用下從初始狀態(tài)到穩(wěn)態(tài)的過渡過程。分析方法直接求解法——得到系統(tǒng)輸出y(t)表達(dá)式。間接評價法——通過時域性能指標(biāo)來評價系統(tǒng)的品質(zhì)，受到廣泛使用。計算機(jī)仿真法——可對復(fù)雜的、高階的、多變量的系統(tǒng)求解y(t)，直接得到各種指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)指系統(tǒng)在典型信號作用下，當(dāng)時間t→∞,系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式，又稱為穩(wěn)態(tài)過程；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差（精度）的信息；從數(shù)學(xué)形式上看，是令系統(tǒng)響應(yīng)中所有衰減模態(tài)趨于0的形式；

在控制系統(tǒng)的分析研究中，首要的問題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界或內(nèi)部的一些因素擾動時，會使被控制量偏離原來的平衡工作狀態(tài)，并隨時間的推移而振蕩甚至發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。在這一節(jié)中將討論：

穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定的充要條件勞斯穩(wěn)定判據(jù)§3-2控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是系統(tǒng)在擾動消失后，自身具有的一種恢復(fù)能力，它是系統(tǒng)的一種固有特性，這種特性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用無關(guān)。線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的定義：如果線性定常系統(tǒng)受到擾動的作用，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是（漸進(jìn)）穩(wěn)定的。否則，稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。一、穩(wěn)定性的定義

根據(jù)上述穩(wěn)定性的定義，可以用脈沖函數(shù)作為輸入信號來描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時，輸入一個理想單位脈沖，這相當(dāng)于系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)下，受到一個擾動信號的作用，如果當(dāng)t趨于無窮時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)C(t)收斂到原來的零平衡狀態(tài)，即該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:特征方程為:如果特征方程有q個實(shí)數(shù)根Pi

和r對共軛復(fù)數(shù)根,則當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)時，系統(tǒng)輸出的拉氏變換可表示為:用部分分式法展開并進(jìn)行拉氏反變換得單位脈沖響應(yīng)為：二、穩(wěn)定的充要條件討論：(1)當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部時，則各瞬態(tài)分量都是衰減的，且有，此時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2)如果特征根中有一個或一個以上具有正實(shí)部，則該根對應(yīng)的瞬態(tài)分量是發(fā)散的，此時有，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(3)如果特征根中具有一個或一個以上的零實(shí)部根，而其余的特征根均有負(fù)實(shí)部，則C(t)趨于常數(shù)或作等幅振蕩，這時系統(tǒng)處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，稱之為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。對于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)它處于臨界狀態(tài)時，也是不能正常工作的，所以臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：

閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于S平面的左半部分（不包括虛軸）。二、穩(wěn)定的充要條件三、勞斯穩(wěn)定判據(jù)高階微分方程難于求解；數(shù)學(xué)家勞斯于1877年提出勞斯穩(wěn)定判據(jù)；勞斯穩(wěn)定判據(jù)是一種代數(shù)判據(jù)，無需求解微

分方程；判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性分兩步：1、用穩(wěn)定的必要條件進(jìn)行篩選；2、用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否，若不穩(wěn)定，

還可求出不穩(wěn)定的根的個數(shù)；設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：假設(shè)上式中an>0（當(dāng)an<0時，可將方程兩邊同乘以－1）。若該方程的特征根為Pi

（i=1，2，…，n），該n個根可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)，則上式可改寫成為：……1、穩(wěn)定的必要條件:特征方程的各項(xiàng)系數(shù)同號且不缺項(xiàng).如果系統(tǒng)穩(wěn)定（Pi都具有負(fù)實(shí)部）特征方程系數(shù)為正將上式展開：例：判斷以下閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。系數(shù)缺項(xiàng)，系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)可能穩(wěn)定1、穩(wěn)定的必要條件:特征方程的各項(xiàng)系數(shù)同號且不缺項(xiàng).一項(xiàng)為負(fù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式：

將方程各項(xiàng)系數(shù)組成勞斯表:2、勞斯穩(wěn)定判據(jù)

這個計算過程一直進(jìn)行到n+1行為止。1、勞斯表的前兩行由系統(tǒng)特征方程的系數(shù)直接構(gòu)成；2、勞斯表中每右移一列降兩階；3、勞斯表計算為:用次對角線乘積減去主對角線乘積，然后除以上一行第一個元素；運(yùn)算中出現(xiàn)的空位，均置以零;一直計算到第n+1行，且第n+1行僅第一列有值，恰好等于特征方程常數(shù)項(xiàng)系數(shù)；如果勞斯表中第一列的系數(shù)都為正，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且不穩(wěn)定根的個數(shù)等于勞斯表中第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。2、勞斯穩(wěn)定判據(jù)例3-1已知系統(tǒng)的特征方程為

試用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表表中第一列全為正，故系統(tǒng)穩(wěn)定！

由于判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定只與勞斯表中第一列系數(shù)的符號有關(guān)，而把勞斯表中某一行系數(shù)同乘以一個正數(shù)不會改變第一列系數(shù)的符號，所以為簡化運(yùn)算，常把勞斯表的某一行同乘以一個正數(shù)后，再繼續(xù)運(yùn)算。

上例中，勞斯表可按如下方法計算；

1141061726758(同乘以6)791134（同乘以67）36900（同乘以791）134由于第一列系數(shù)的符號相同，故系統(tǒng)穩(wěn)定，結(jié)論與前面一致。

勞斯判據(jù)的簡化運(yùn)算例3－2已知系統(tǒng)的特征方程為

s4+2s3+s2+s+1=0

試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解列勞斯表如下S4111S3210S2(2*1-1*1)/2=0.5(2*1－1*0)/2=1S1(0.5*1-2*1)/0.5=-30S0(-3*1-0.5*0)/-3=1由于勞斯表第一列的系數(shù)變號兩次，一次由0.5變?yōu)?3，另一次由-3變?yōu)?，故特征方程有兩個根在S平面右半部分，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。解：由特征方程列出勞斯表12512050

例3－3已知系統(tǒng)的特征方程為

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(0-5)/0

第一種特殊情況的處理1）勞斯表某行的第一列系數(shù)等于零，而其余各項(xiàng)不全為零。穩(wěn)定性：系統(tǒng)不穩(wěn)定，存在共軛虛根或者S右半平面的根。處理規(guī)則：用一個很小的正數(shù)

代替第一列的零項(xiàng)，然后按照通常方法繼續(xù)計算勞斯表中的其余項(xiàng)。不穩(wěn)定根的個數(shù)：若勞斯表第一列系數(shù)符號無變化，說明系統(tǒng)特征方程不存在位于S右半平面的根，但存在共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，共軛虛根的個數(shù)通過求解特征方程得出；若勞斯表第一列系數(shù)符號變化，說明系統(tǒng)特征方程存在位于S右半平面的根，根的個數(shù)由符號變化的次數(shù)決定；解：由特征方程列出勞斯表125120500

5首先，由于勞斯表第一列出現(xiàn)零項(xiàng)，可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)e的取值足夠小時，(2ε-5)/ε

=2-5/ε

將取負(fù)值，故勞斯表第一列系數(shù)變號兩次，所以特征方程有兩個根具有正實(shí)部。例3－3已知系統(tǒng)的特征方程為

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(2ε-5)/ε

18201621216021216

000

例3－4已知系統(tǒng)的特征方程為分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解由特征方程列勞斯表2）勞斯表中某行（如第k行）所有系數(shù)均為零。穩(wěn)定性：系統(tǒng)不穩(wěn)定，存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的根，比如對稱實(shí)根、對稱復(fù)根、共軛虛根。處理規(guī)則：利用第k-1行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程。求輔助方程對s的導(dǎo)數(shù)，用其系數(shù)代替第k行的全零行，繼續(xù)計算勞斯表。特征方程中關(guān)于原點(diǎn)對稱的根可由輔助方程求得。不穩(wěn)定根的個數(shù)：若勞斯表第一列系數(shù)符號無變化，說明系統(tǒng)特征方程不存在位于S右半平面的根，但存在共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；若勞斯表第一列系數(shù)符號變化，說明系統(tǒng)特征方程存在位于S右半平面的根，根的個數(shù)由符號變化的次數(shù)決定；第二種特殊情況的處理18201621216021216000

由上表看出，行的各項(xiàng)全為零，為了求出～各行，由行的各項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成輔助方程將輔助方程對s求導(dǎo)得用上式各項(xiàng)系數(shù)作為行的各系數(shù)繼續(xù)計算勞斯表得例3－4已知系統(tǒng)的特征方程為分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解由特征方程列勞斯表

1820162121621216

8246168/316

結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定，且存在兩對共軛的虛根，不穩(wěn)定根個數(shù)為4個。

勞斯表第一列系數(shù)符號無變化，說明系統(tǒng)特征方程不存在位于S右半平面的根，但存在共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；1-2

-7

-4

1

-3

-4

0

1

-3

-4000

由上表看出，行的各項(xiàng)全為零，為了求出～各行，由行的各項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成輔助方程將輔助方程對s求導(dǎo)得用上式各項(xiàng)系數(shù)作為行的各系數(shù)繼續(xù)計算勞斯表得例3－5已知系統(tǒng)的特征方程為分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解由特征方程列勞斯表

1-2

-7

-4

1

-3

-4

0

1

-3

-40

4

-60

-1.5

-4

-16.70

-4

結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定，且存在一個正實(shí)部根和一對共軛的虛根，不穩(wěn)定根個數(shù)為3個。

勞斯表第一列系數(shù)符號變化一次，說明系統(tǒng)特征方程存在一個位于S右半平面的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定；

直接求解特征方程，其特征根為：勞斯表的總結(jié)1、勞斯表的前兩行由系統(tǒng)特征方程的系數(shù)直接構(gòu)成；2、勞斯表中每右移一列降兩階；3、勞斯表計算為：用次對角線乘積減去主對角線乘積，然后除以上一行第一個元素；運(yùn)算中出現(xiàn)的空位，均置以零；一直計算到第n+1行，且第n+1行僅第一列有值，恰好等于特征方程常數(shù)項(xiàng)系數(shù)；4、為簡化運(yùn)算，可把勞斯表的某一行同乘以一個正數(shù)后，再繼續(xù)運(yùn)算；5、當(dāng)勞斯表第一列出現(xiàn)零項(xiàng)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；6、勞斯表某行的第一列系數(shù)等于零，而其余各項(xiàng)不全為零時，用一個很小的正數(shù)

代替第一列的零項(xiàng)，然后繼續(xù)計算勞斯表中的其余項(xiàng)。7、勞斯表某行系數(shù)均為零，則利用第k-1行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，求輔助方程對s的導(dǎo)數(shù)，用其系數(shù)代替全零行，繼續(xù)計算勞斯表。例3-6已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示當(dāng)時,試確定K為何值時系統(tǒng)穩(wěn)定。四、勞斯判據(jù)的應(yīng)用解：開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：R(s)-E(s)1+C(s)特征方程為將代入特征方程得：由特征方程列勞斯表1750034.67500K

7500K

要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須滿足

例：設(shè)一個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試找出K的穩(wěn)定范圍。首先列出特征方程：

根據(jù)勞斯判據(jù)：

穩(wěn)定裕量的檢驗(yàn)

如圖所示，令

s

=z

-s

1即把虛軸左移s1。將上式代入系統(tǒng)的特征方程，替換掉s，得到以z為變量的新特征方程式，然后用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)新特征方程式有沒有根位于新虛軸(垂直線s＝-s1)的右邊。如果所有根均在新虛軸的左邊（新勞斯陣列式第一列均為正數(shù)），則說系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量s1。例：檢驗(yàn)特征方程式是否有根在右半平面，并檢驗(yàn)有幾個根在直線s=-１的右邊。從表中可看出，第一列符號改變一次，故有一個根在直線s=-1(即新座標(biāo)虛軸)的右邊。

解：勞斯陣列表為

第一列無符號改變，故沒有根在S平面右半平面。再令s=z-1，代入特征方程得：

即則新的勞斯陣列表

z

3

2-1

z

2

4-1

z

1

-1/2

z

0

-1

第三章時域分析法3.1引言3.3一階系統(tǒng)的時域分析3.4二階系統(tǒng)的時域分析3.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析3.5線性系統(tǒng)的誤差分析線性定常系統(tǒng)的重要特性以一階慣性環(huán)節(jié)為例說明：1、單位脈沖響應(yīng)[R(s)=1]2、單位階躍響應(yīng)[R(s)=1/s]3、單位斜坡響應(yīng)[R(s)=1/s2]輸入信號時域表達(dá)式復(fù)域表達(dá)式一階系統(tǒng)時域響應(yīng)單位脈沖

1單位階躍

1/s單位斜坡

1/s2性質(zhì)：線性定常系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于其對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；線性定常系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)等于其對該輸入信號響應(yīng)的積分；所以，研究線性定常系統(tǒng)的時域響應(yīng)時，通常只取階躍信號作為輸入信號，實(shí)際中突然上電、開關(guān)閉合、負(fù)載突加都可以近似看作階躍信號輸入。穩(wěn)定的系統(tǒng)動態(tài)性能：采用零初始條件下，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)來衡量。（）穩(wěn)態(tài)性能：采用零初始條件下，系統(tǒng)的多種典型輸入信號的響應(yīng)來衡量。（）穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)時間趨于無窮時，系統(tǒng)的參考輸入值與穩(wěn)態(tài)值之間的差值，即動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能上升時間tr峰值時間tpAB調(diào)節(jié)時間ts動態(tài)性能指標(biāo)定義響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間。對于有振蕩的系統(tǒng)，響應(yīng)曲線從零開始至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時間。響應(yīng)曲線達(dá)到第一個峰值所需要的時間。延遲時間td響應(yīng)曲線達(dá)到并保持在一個允許誤差范圍內(nèi)所需的最短時間。（誤差帶通常取穩(wěn)態(tài)值的5%或2%）響應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大值，以百分?jǐn)?shù)表示。3.3

一階系統(tǒng)的時域分析3.3.1

一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一階系統(tǒng)即慣性環(huán)節(jié)。T稱為時間常數(shù)。

R

i(t)

CR(s)C(s)E(s)-1/Ts傳遞函數(shù):方塊圖：微分方程:控制系統(tǒng)的運(yùn)動方程為一階微分方程，稱為一階系統(tǒng)。如RC電路:輸入r(t)=1(t)，輸出

3.2.2

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

j

0-1/TS平面(a)零極點(diǎn)分布0.6320.8650.950.982初始斜率為1/T

h(t)=1-e-t/T0

tT2T3T4T1(b)單位階躍響應(yīng)曲線特點(diǎn)：1）可以用時間常數(shù)去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值；

2）初始斜率為1/T；

3）無超調(diào)；穩(wěn)態(tài)誤差ess=0。動態(tài)性能指標(biāo)：延遲時間：td=0.69T（0到50％）上升時間：tr=2.20T（10%到90％）調(diào)節(jié)時間：ts=3T(△=0.05)或ts=4T(△=0.02)例3.1

某一階系統(tǒng)如圖(△=0.05)（1）求調(diào)節(jié)時間ts,（2）若要求調(diào)節(jié)時間ts=0.1s,反饋系數(shù)Kh應(yīng)如何設(shè)計？解:

(1)

與標(biāo)準(zhǔn)形式對比得：T=1/10=0.1s，ts=3T=0.3s

(2)

要求ts=0.1s，即3T=0.1s,即,得

解題關(guān)鍵：化閉環(huán)傳遞函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式。0.1C(s)R(s)E(s)100/s-Kh=0.1?傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式?

方塊圖3.4二階系統(tǒng)的時域分析R(s)C(s)(-)?其中：

ωn—無阻尼振蕩頻率；ζ—阻尼比。標(biāo)準(zhǔn)形式3.4.1二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3.4.2

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)?閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）將決定了系統(tǒng)的響應(yīng)形式。二階系統(tǒng)特征方程：閉環(huán)極點(diǎn)為：閉環(huán)極點(diǎn)根據(jù)阻尼比的不同分為以下情況：兩個互異負(fù)實(shí)根兩個相同負(fù)實(shí)根一對負(fù)實(shí)部共軛復(fù)根一對共軛虛根兩個正實(shí)部根二階系統(tǒng)極點(diǎn)分布圖二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)定性分析j0ξ＞1:ξ＝1:0＜ξ＜1:ξ＝0:兩個互異負(fù)實(shí)根兩個相同負(fù)實(shí)根負(fù)實(shí)部共軛復(fù)根共軛虛根下面分別討論以下四種情況：過阻尼臨界阻尼欠阻尼無阻尼1.

過阻尼二階系統(tǒng)（即ζ>1時）兩個互異負(fù)實(shí)根?單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量組成，其穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量包含兩個衰減指數(shù)項(xiàng)，隨著t增加，指數(shù)項(xiàng)衰減，響應(yīng)曲線單調(diào)上升，其響應(yīng)曲線如圖。tC(t)ζ>11?系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線為無振蕩、無超調(diào)、無穩(wěn)態(tài)誤差，有拐點(diǎn)，單調(diào)遞增的曲線。如果ζ>>１，閉環(huán)極點(diǎn)S2將比S1距虛軸遠(yuǎn)得多，故比衰減將快得多。因此，在求取輸出響應(yīng)的近似解時，可以忽略p2對系統(tǒng)輸出的影響，把二階系統(tǒng)近似看作一階系統(tǒng)來處理。在工程上，當(dāng)時，這種近似處理方法具有足夠的準(zhǔn)確度。2.

臨界阻尼二階系統(tǒng)（即ζ=1時）

?系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)是無超調(diào)、無振蕩單調(diào)上升的，不存在穩(wěn)態(tài)誤差，但調(diào)節(jié)時間短于過阻尼系統(tǒng)。是系統(tǒng)輸出響應(yīng)為單調(diào)還是振蕩過程的分界，通常稱為臨界阻尼狀態(tài)。

兩個相同負(fù)實(shí)根tC(t)ζ＝113.欠阻尼二階系統(tǒng)

(0<ζ<1)

即振蕩環(huán)節(jié)?系統(tǒng)有一對負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根：?

單位階躍響應(yīng)為：

j

0

s1

ωn-

n

s2

j

d

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量組成：

?

穩(wěn)態(tài)部分等于1，表明不存在穩(wěn)態(tài)誤差；

?瞬態(tài)部分是一個幅值指數(shù)衰減，振蕩頻率為的阻尼正弦振蕩過程。欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線是一條平均值為1的余弦形式等幅振蕩曲線，其振蕩頻率為ωn，ωn由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定，故ωn稱為無阻尼振蕩頻率。

4.

無阻尼二階系統(tǒng)（即ζ=0時）1c(t)t0123456789101112

nt

c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上幾種情況的單位階躍響應(yīng)曲線如下圖：

=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0

阻尼比越小，響應(yīng)特性振蕩得越厲害，隨著增大到一定程度后，響應(yīng)特性變成單調(diào)上升的。當(dāng)系統(tǒng)無振蕩時，以臨界阻尼過渡過程的時間最短，此時，系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)速度。當(dāng)系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)時，若阻尼比在0.4～0.8之間，則系統(tǒng)的過渡過程時間比臨界阻尼時更短，而且此時的振蕩特性也并不嚴(yán)重。在控制工程中，除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、快速的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時間。

動態(tài)性能指標(biāo)，有的可用精確表示，如有的很難用準(zhǔn)確表示，如,可采用近似算法。

3.4.3

欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)3.4.3

欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)對于有振蕩系統(tǒng)，上升時間為單位階躍響應(yīng)曲線第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)所需要的時間。

1、上升時間tr

單位階躍響應(yīng)：

單位階躍響應(yīng)曲線到達(dá)第一個峰值所需要的時間。

2、峰值時間tp

j

0

s1

ωn-

n

s2

j

d

(k=1，2，……n)

單位階躍響應(yīng)的最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。

3、超調(diào)量

%

j

0

s1

ωn-

n

s2

j

d

單位階躍響應(yīng)進(jìn)入±

誤差帶的最小時間。

?根據(jù)定義

4、調(diào)節(jié)時間ts

c(t)t01包絡(luò)線?工程上通常用包絡(luò)線代替實(shí)際曲線來估算。

總結(jié)

?

阻尼比ζ越小，超調(diào)量越大，平穩(wěn)性越差，調(diào)節(jié)時間ts長；

?ζ過大時，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，上升時間tr也長，快速性差；

?ζ=0.7，調(diào)節(jié)時間較短，快速性較好，而超調(diào)量

%<5%，平穩(wěn)性也好，故稱ζ=0.7為最佳阻尼比。結(jié)構(gòu)參數(shù)ζ對單位階躍響應(yīng)性能的影響R(s)(-)C(s)?化為標(biāo)準(zhǔn)形式?即有2

n=1/Tm=5,

n2=K/Tm=25

解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為?解得

n=5,ζ=0.5

例3.2

已知圖中Tm=0.2，K=5，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)指標(biāo)。設(shè)單位負(fù)反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。例3.3解：圖示為一欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖中給出的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)，先確定二階系統(tǒng)參數(shù)，再求傳遞函數(shù)。

0t(s)11.30.1h(t)例3.4控制系統(tǒng)如圖所示。其中（a）為無速度反饋系統(tǒng)，（b）為帶速度反饋系統(tǒng)，試確定使系統(tǒng)阻尼比為0.5時Kt的值，并比較系統(tǒng)（a）和(b)階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。

解：系統(tǒng)（a）的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

計算動態(tài)性能指標(biāo)：系統(tǒng)（b）的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

由ζ=0.5和ωn=3.16同理可求得：采用速度反饋后，可以明顯地改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

要求系統(tǒng)階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)為σp＝10％，ts=2s（Δ＝0.05），試確定參數(shù)K和a的值。

解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為所以課堂練習(xí)3.4.5

高階系統(tǒng)的時域分析特點(diǎn)：

1)

如果閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2)

時間響應(yīng)的模態(tài)取決于閉環(huán)極點(diǎn)，形狀與閉環(huán)零點(diǎn)有關(guān)。分析方法：

可由系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)估算高階系統(tǒng)性能。-0.75-5

p2

p3

p1

j

j1.2-j1.20(a)閉環(huán)極點(diǎn)分布圖(b)單位階躍響應(yīng)曲線

c(t)

t3.5

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能分析穩(wěn)態(tài)誤差計算控制系統(tǒng)的分析方法時域分析法穩(wěn)定性分析

勞斯判據(jù)動態(tài)性能

上升時間，峰值時間，調(diào)節(jié)時間，超調(diào)量穩(wěn)態(tài)性能

穩(wěn)態(tài)誤差由圖所示，誤差定義有兩種方式：

1)輸出端：e(t)=r(t)-c(t)2)輸入端：e(t)=r(t)-b(t)

單位反饋時兩種定義相同。3.5.1基本概念一、誤差的定義無法量測e(t)=希望值–實(shí)際值E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(-)二、穩(wěn)態(tài)誤差的定義，記為：ess或e(∞)1、定義：2、影響因素：系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)、輸入信號的形式及作用點(diǎn)、非線性因素;3、分類:給定值穩(wěn)態(tài)誤差essr

擾動值穩(wěn)態(tài)誤差essn4、誤差傳遞函數(shù)：在輸入信號作用下具有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)。無差系統(tǒng)：有差系統(tǒng):在輸入信號作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)。無差系統(tǒng)與有差系統(tǒng)--一、系統(tǒng)類型定義

一般開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成如下形式：3.5.2系統(tǒng)型別和穩(wěn)態(tài)誤差

式中，K為開環(huán)增益，

為開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)重數(shù)，

=0,1,2時，系統(tǒng)分別稱為

0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)。!系統(tǒng)型別(type)與系統(tǒng)的階數(shù)(order)的區(qū)別R(s)C(s)(-)R(s)C(s)E(s)-1/TsⅠ型系統(tǒng)Ⅰ型系統(tǒng)顯然，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于：系統(tǒng)的型別&

開環(huán)增益K&

輸入信號的形式二、影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素3.5.3給定值穩(wěn)態(tài)誤差對于隨動系統(tǒng)，由于給定輸入是變化的，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而多用給定值穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。一、階躍輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)0型I型II型二、斜坡輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)三、加速度輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)四、系統(tǒng)型別、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)與輸入信號之間的關(guān)系

減小或消除誤差的措施：①增大系統(tǒng)的開環(huán)增益K②提高系統(tǒng)型別；高型別的系統(tǒng)跟隨低冪次的輸入信號，ess=0；低型別的系統(tǒng)跟隨高冪次的輸入信號，ess≠0；注意：若給定的輸入信號不是單位信號時，則將系統(tǒng)對單位信號的穩(wěn)態(tài)誤差成比例的增大，就可以得到相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。若給定輸入信號是上述典型信號的線性組合，則系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差可由疊加原理求出。3、提高開環(huán)增益K或增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，都可以達(dá)到減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的目的。但是，這兩種方法都受到系統(tǒng)穩(wěn)定性的限制。因此，必須在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，考慮提高系統(tǒng)準(zhǔn)確性的問題。