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文檔簡介

奇異值分解及應用引理1證明設

是AHA的特征值，x是相應的特征向量，則AHAx=x由于AHA為Hermite矩陣，故

是實數。又同理可證AAH的特征值也是非負實數。證明設x是方程組AHAx=0的非0解，引理2則由得對于Hermite矩陣AHA，AAH，設

AHA，AAH有r個非0特征值，分別記為即：AHA與AAH非0特征值相同，并且非零特征值的個數為奇異值的定義說明：A的正奇異值個數等于，并且A與AH有相同的奇異值。定理酉等價的矩陣有相同的奇異值由奇異值分解定理

設A是秩為的則存在

階酉矩陣矩陣,與

階酉矩陣使得其中為矩陣A的全部奇異值.①大家應該也有點累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流8證明設矩陣的特征值為則存在n階酉矩陣，使得

將

分塊為其中

，

分別是

的前

r列與后

列.②并改寫②式為則有由③的第一式可得③由③的第二式可得令

，則

，即

的r個列是兩兩正交的單位向量.記因此可將

擴充成標準正交基，記增添的向量為

，并構造矩陣則是m階正交矩陣,且有于是可得稱上式為矩陣A的奇異值分解.推論在矩陣A的奇異值分解A=UDVH中，U的列向量為AAH的特征向量，V的列向量為AHA的特征向量.1]求矩陣AHA的酉相似對角矩陣及酉相似矩陣V;5]構造奇異值分解4]擴充U1為酉矩陣U=(U1,U2)3]令2]記奇異值分解方法1—利用矩陣AHA求解例1、求矩陣的奇異值分解可求得的特征值為對應的特征向量依次為于是可得：令其中計算：構造：則的奇異值分解為奇異值分解方法2--利用矩陣AAH求解1]先求矩陣AAH的酉相似對角矩陣及酉相似矩陣U;4]擴充V1為酉矩陣V=(V1,V2)5]構造奇異值分解

2]記3]令例求矩陣A的奇異值分解利用矩陣AAH求解第二節奇異值分解的性質與應用1.奇異值分解可以降維A表示

個

維向量，可以通過奇異值分解表示成

個維向量.若A的秩

遠遠小于

和,則通過奇異值分解可以降低A的維數.可以計算出，當時，可以達到降維的目的，同時可以降低計算機對存貯器的要求.2.奇異值對矩陣的擾動不敏感特征值對矩陣的擾動敏感.

在數學上可以證明，奇異值的變化不會超過相應矩陣的變化，即對任何的相同階數的實矩陣A、B的按從大到小排列的奇異值和有3.奇異值的比例不變性,即的奇異值是A的奇異值的倍.

4.奇異值的旋轉不變性.即若P是正交陣，PA的奇異值與A的奇異值相同.奇異值的比例和旋轉不變性特征在數字圖象的旋轉、鏡像、平移、放大、縮小等幾何變化方面有很好的應用.

5.容易得到矩陣A的秩為

的一個最佳逼近矩陣.

A是矩陣的加權和，其中權系數按遞減排列：假設推薦系統中有用戶集合有6個用戶，即U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}

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