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湘豫名校聯考

2024~2025學年高三一輪復習質量檢測

數學

注意事項：

1.本試卷共6頁.時間120分鐘，滿分150分.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在

試卷指定位置，并將姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上，然后認真核對條形碼

上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應的

答題區域內.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

M=(%|-%+3>0),?/=J%---<0>

1.已知集合〔l1+xJ,則()

A.{x|l<%<3］B.{x|-3Wx<-l或久21}

C.1x|-l<x<ljD.或1<XW3}

2.在復平面內，復數z對應的點的坐標是(—1,百)，則二^=()

Z

Al+y/3iB.1-V3i

C.-1+^iD.一后

3.在平面直角坐標系中，角1與角尸的頂點均與坐標原點重合，始邊均與x軸的非負半軸重合，終邊關于

直線丁=兀對稱.若角a的終邊經過點。卜君』)，則cos，=()

A.立B.一旦C.逅D.

6666

4.已知"％)是定義域為R的奇函數，且x>0時，f(x)=-x2+ax+5-a,貝甘"(%)在［—2,2］上單調

遞增”的充要條件是（）

Aa>-5B.-5<a<4

C.a>4D.4<a<5

5.已知在平面直角坐標系中，。為坐標原點，直線/分別交龍軸的正半軸、y軸的正半軸于兩點，^BOC

的面積為若點4（1,4）為平面內一點，且滿足荏.*=13,貝（）

A.-B.1C.1D.2

42

6.漢代劉歆等人設計的“新莽嘉量”，是集能、合、升、斗、斛五量為一器的標準量器，各器均為圓筒形（可

視為圓柱）.如圖，正中的圓柱體的上部為斛量，下部為斗量，左耳為升量，右耳上為合量，下為能量.某

興趣小組制作一“新莽嘉量”模型，設升、斗、斛圓柱的底面半徑分別為不公與，高分別為4,%,%,體積分

別為憶匕,匕.若■，%,%成等比數列，且2=與=5彳，4=10"，則3=（）

A.2B.4C.6D.8

7.已知拋物線。：丁2=2加（0>0）的焦點為￡〃[3，&]為。上一點，N為。上一動點，。是坐標原

點.若MP工NF,垂足為P,貝||。目的最大值是（）

A3+A/17口V17-3

22

C.3+而D,屈.

44

8.已知函數/(x)=cosx—電竺+!(%＞兀)，其從小到大的第個零點記為區，，則

XX

sin4+sin旦+…+5出區包=()

222

A.0B.立C.3D.1

22

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.踢毯子是一項深受青少年兒童喜愛的民間體育活動.某校踢毯子社團共10名學生，下表記錄了這10名

學生一分鐘踢毯子的個數.

小于20個的人數3

不小于20個，小于30個的人數5

不小于30個的人數2

設這10名學生一分鐘踢毯子的個數的平均數、方差、眾數、中位數分別為則下列說法一定正

確的是（）

A.?>16B.s2<10

C.20<m<30D.20<<7<30

2%2-8%+9,%>2,

10已知函數/'（尤）=<1若實數七,々滿足玉=/（%），則（）

------,x<2,

、3—九

A.f（x）（口,”）上不單調B.〃尤）沒有極值，也沒有最值

C.%=%2D.再+%2=6

11.已知數列｛4｝滿足?+i—4|=l（"eN*）,且q=1總為數列｛叫的前〃項和，則（）

A.若01ao<0,則存在左w｛2,3,…,99｝,使得4=0

400

B.若010G=100,則q,%…，成等差數列

C.存在數列｛4｝,使得$02=1

D.存在左eN*，使得S4/+1=100

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數〃x）=lnx-依在（1,2）上存在極值，則實數。的取值范圍是.

22

13.若直線x+@+3=0與雙曲線工—？-=1有且只有一個交點，則實數k的值是.

47

14.有4個不透明的袋子ABC,。，每個袋子中均裝有形狀、大小完全相同的4個小球，編號分別為1,

2,3,4.甲、乙、丙、丁4名同學依次隨機從每個袋子中各取出1個球，取出不放回.已知甲取出的4個

小球編號之和為14,乙取出的4個小球編號之和為13,則丙取出的4個小球編號之和大于6的概率是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知在銳角7ABe中，內角A,B,C對邊分別為a,b,c,且滿足

sin2A+sin2C-sin2B=V2sinAsinC.

(1)求5；

(2)若。=3祈,0=6,點。在3。延長線上，且CD=10,求cosNCLD.

16.如圖，在三棱錐尸—ABC中，平面=3c=4,P3=AC=5,。為棱PC上的動點.

(1)求證：24,平面ABC；

(2)是否存在點。，使得平面A3D與平面5CD夾角的余弦值為主5?若存在，請求出點。的位置；

25

若不存在，請說明理由.

17.已知函數/(x)=e*(M+a).

(1)若曲線丁=〃力在*=1處的切線過點(2,5),求實數。的值；

(2)求函數/(尤)的單調遞增區間.

22

18.己知橢圓E：總工+方=10〉0)的左、右焦點分別為耳,工，直線/過點尸2與E交于A3兩點，且

的周長為8.

(1)求E的標準方程及離心率；

(2)設與N片癡的角平分線交于點尸，若點尸到直線/的距離為述，求直線/的方程.

19.已知集合A={4，%,…M〃},定義集合

1\.（4）={。叫+。嗎+—+："/叫，牡，...，加上互不木目等，且根,?e{1,2,3,???,?）,/=!,2,3,-??,^j（2<^<n-l）

（1）若4={1,2,3,4},3={1,2,4,8},寫出集合馬口）,'.）；

（2）若4={弓,。2,…,即）}￡{1,2,3,…,100},且對任意%+。叫w72（A），如果。皿+。也<1°°，則

存在/e{l,2,3,…*10},使得=。西+a也,求證：4+a2T--<■%（）>500；

⑶給定整數左22,若存在集合入川4知…^/滿足：對任意六乩義工…,”},存在

a+aH

mxm1卜'eT^.（A）,且“w/（i=l,2,3,…，左），使得力?=。仍+。也卜，,求"的最小

值.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

M={x|-x+320},N=<%-~-<0>

1.已知集合〔1+xJ,則M「N=（）

A.{x|l<x<3}B.{x|-3Wx<-l或x21}

C.1x|-l<x<l}D.{x|x<-l或1<XW3}

【答案】D

【解析】

【分析】先解一元一次不等式及分式不等式化簡集合M與集合N,再利用集合交集運算求解.

【詳解】因為集合〃={H—X+3N0}={X|XV3},

1-X

集合N=4x---<0}={x|x<-l或%>1],

1+X

所以加「N={x|x<—1或1<XW3}.

故選：D.

2.在復平面內，復數z對應的點的坐標是（—1,百），則二^=（）

A.1+73ZB.l-73i

C.-1+y/3iD.—1—y/3i

【答案】A

【解析】

【分析】求出復數z,再利用復數的除法計算得解.

【詳解】依題意，z=—l+?，所以心=-4(-1-731)=1+^L

z-1+V3i(-1+V3i)(-1-V3i)

故選：A

3.在平面直角坐標系中，角a與角尸的頂點均與坐標原點重合，始邊均與x軸的非負半軸重合，終邊關于

直線丁=%對稱.若角a的終邊經過點「卜際,1),貝ijcos，=()

A.&B.—@C,—D.—叵

6666

【答案】C

【解析】

【分析】根據角的對稱性、三角函數的定義，即可得所求角得余弦值.

【詳解】由角戊的終邊經過點尸卜6』)，

因為結合角a與角夕的終邊關于直線丁=x對稱，

所以cos/?==^=Y^.

VU56

故選：C.

4.已知〃力是定義域為R的奇函數，且x>0時，f(x)=-x2+ax+5-a,貝『"(%)在［—2,2］上單調

遞增”的充要條件是()

A.a>-5B.-5<a<4

C.a>4D.4<a<5

【答案】D

【解析】

【分析】根據函數的奇偶性結合函數的單調性與二次函數的性質列不等式即可得"/(%)在［-2,2］上單調遞

增”的充要條件的。的取值范圍.

【詳解】因為/(%)是定義域為R的奇函數，則/(。)=0,

且x>0時，/(x)=-x2+ax+5-a,

5—a20

若/(%)在［-2,2］上單調遞增，則,解得4WaW5,

12

故""工)在［-2,2］上單調遞增，，的充要條件是“4WaW5”.

故選：D.

5.已知在平面直角坐標系中，。為坐標原點,直線/分別交x軸的正半軸、y軸的正半軸于6,C兩點，^BOC

的面積為j若點4(1,4)為平面內一點，且滿足通.衣=13,貝U|OC|=()

A.-B.4C.1D.2

42

【答案】B

【解析】

【分析】不妨設根據數量積的坐標公式求出/,進而可得出答案.

【詳解】根據題意，不妨設

則荏.恁=1；_1,_4)(_1/_4)=17_；_今=13,解得f=

故選：B.

6.漢代劉歆等人設計的“新莽嘉量”，是集能、合、升、斗、斛五量為一器的標準量器，各器均為圓筒形(可

視為圓柱）.如圖，正中的圓柱體的上部為斛量，下部為斗量，左耳為升量，右耳上為合量，下為痛量.某

興趣小組制作一“新莽嘉量”模型，設升、斗、斛圓柱的底面半徑分別為不々,與，高分別為％,外,％,體積分

別為若匕成等比數列，且弓〃，,則〔=（）

K，%,=4=5/i,=IOA2

%

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根據給定的信息，利用圓柱的體積公式及等比數列定義求解即得.

【詳解】依題意，％=篝勺=3=1°，即%所成等比數列的公比為io,則匕=8當=100,

V2h,吊叫~九

所哈=1。。4=4

故選：B

7.已知拋物線C:_/=2px（p>0）的焦點為5，及為C上一點，N為。上一動點，。是坐標原

點.若MP：LNF,垂足為尸，則|。周的最大值是（）

A

3+717R屈-3

D.----------

22

C3+而D.Q

'-44

【答案】C

【解析】

【分析】根據點"求得拋物線標準方程，然后根據題意列等式即可求解

【詳解】由題可得2=2'x」,

所以p=2,所以F（l,0）.

2

因為A4PLEP，所以點尸在以線段加少為直徑的圓上.

由題易得該圓的圓心為線段M戶的中點,

所以圓心坐標為,半徑為=]><,；+2:：

33+V17

所以|0P|的最大值為+—=

44-

故選：C.

pwc(xsin%1/、

8.已知函數/(X)=COSX------h—(x>7l),其從小到大的第?(neN*)個零點記為4,則

XJC

sin-^-+sin—+---+sin-^l=()

222

A.0B.也

2cTD1

【答案】A

【解析】

【分析】☆gabxcosx-sinx+l,/(x)在(私+⑹上的零點與函數g(x)的相同，利用導數判斷函數

g(x)的單調性，分析可知，g(x)在每個單調區間內都有唯一零點，且注意到g2?+^=0peN*),

進而可得出出、%、L、%024的值，代值計算可得所求代數式的值?

sinYIxcosx-sinx+1

【詳解】因為/(%)=cos%-----+—二

XXX

4g(^)=xcosx-sinx+l,顯然/(%)在(兀,+“)上的零點與函數g(x)的相同,

又g'(%)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

由g'(x)>。且%>兀,可得2配+兀vx<2析+2兀(左6N),

令g'(x)<。且兀,可得2癡+2兀<1〈2癡+3兀(左￡1\),

所以g(x)在(2E+兀,2為1+2兀)(左￡N)上單調遞增，

在(2E+2兀,2kn+3兀)(左eN)上單調遞減.

又g(2E+ji)<0,g(2E+2ji)>0,g(2foi+37i)<0(^eN),

所以g(x)在每個單調區間內都有唯一零點.

另一方面，注意到g12E:+1J=0優eN*).

兀兀71

所以。2=2兀+—,2=4兀+—,L,%024=2024兀+—,

所以sin'^+sin?H-----卜sin〃黃=sin[兀+￡■J+sin[2兀+：JH-----i-sinf1012兀+巳

兀兀兀

=-sin—+sin---------Fsin—=0

?444?

1012項

故選：A.

【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，

然后將問題轉化為函數圖象與無軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思

想和分類討論思想的應用；

(2)構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；

⑶參變量分離法：由/(力=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉化為直線丁=。與函數y=gO)的

圖象的交點問題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.踢牌子是一項深受青少年兒童喜愛的民間體育活動.某校踢毯子社團共10名學生，下表記錄了這10名

學生一分鐘踢毯子的個數.

小于20個的人數3

不小于20個，小于30個的人數5

不小于30個的人數2

設這10名學生一分鐘踢毯子的個數的平均數、方差、眾數、中位數分別為M,52,m,d,則下列說法一定正

確的是()

A.w>16B.?<10

C.20<772<30D.20<J<30

【答案】AD

【解析】

【分析】根據平均數、方差、眾數、中位數的概念結合已知問題，逐項驗證即可得結論.

0x3+20x5+30x2

【詳解】對于A,平均個數的最小值=16,無法確定具體數據，因此A一定正確;

10

對于B,若10名學生一分鐘踢毯子的個數為0,0,0,20,20,20,20,20,30,30,

0x3+20x5+30x2

則平均個數=16,方差

10

222

2（0-16）X3+（20-16）X5+（30-16）X2痂口才工施

1

S二-----L---------1----------/---------1----------L-----=124>10，故B不正確；

10

對于C,若10名學生一分鐘踢毯子的個數為0,0,0,20,21,22,23,24,30,30,則眾數根=0,故

C不正確;

對于D,中位數應為數據排序后，第五個數據和第六個數據的平均數，由題可知這兩個數均在[20,30)

內，所以204d<30,故D正確.

故選：AD.

2x2-8x+9,x>2,

10.己知函數/'(%)=<1若實數七,吃滿足%=/(%)，為2=/(%)，則()

-——,x<2,

、3一九

A./(X)在(1》,小?)上不單調B.7(%)沒有極值，也沒有最值

C.%1=x2D.再+々=6

【答案】BC

【解析】

【分析】判斷出函數的單調性，從而判斷A；根據函數的單調性判斷B；設/</，根據函數在R上單調

遞增，從而得馬<%，即有玉=%2,從而判斷C；分士22、X]<2求出的值，從而判斷D.

【詳解】作出函數y=/0)的圖象，如圖所示：

由于二次函數y=2三_8x+9在［2,+8)上單調遞增，

而y=占在(—“a)上單調遞增，

同時y=2/—8x+9在x=2處的函數值與>=―匚在x=2處的函數值相等,

3-x

所以/(%)在(―8,+。)上單調遞增，故A錯誤；

由/(%)在(-8,+8)上單調遞增，

所以/(可沒有極值，也沒有最值，故B正確；

不妨設％W々，則由/(九)單調遞增可得“X)W/(W).

又用=/(%),W=/(%),

所以％2<%，所以只能占=%2，故C正確；

所以％=/(%1),

若為22,則%!=2x；-8%+9,此時占=%=3；

則%+尤2=6；

若工］<2,則玉={—,止匕時為=々=土史

3一再2

則/+%,=3—,故D錯誤.

故選：BC.

11.已知數列{qj滿足|an+i-a/=l（"eN*）,且％=為數列{a“}前”項和，則（）

A.若0100V0,則存在左w{2,3,…,99},使得久=0

B.若qoo=lOO,則…,成等差數列

C.存在數列{4},使得耳02=1

D.存在keN*，使得S4Hl=100

【答案】ABC

【解析】

【分析】本題給出數列的首項及遞推公式，引導學生利用遞推關系研究數列的特定項，以及前〃項和，由于

遞推關系不唯一確定，則需要用好不等式思想和特例思想來求解.

【詳解】設為為數列中第一次取負值的項，則QT=0,否則何一與題設矛盾.

所以一定存在左72,3,…,99},使得4=0,A正確;

因為。100—%9<1,生）9—“98<1,，，，,"2—"1<1,所以。100—499.所以—100,

當且僅當4+1—%.=1"=1,2,3,…,99時等號成立.所以外,外,…,。儂成等差數列，B正確；

a

取q=a5=…=。]0]=1,—,,,—%02=°，〃3=%=…=佝9—%=6=…=i00—0，

則S1O2=1,C正確；

由于“21（kGN*）一定是奇數，a2A一定是偶數，所以54Ml必為奇數，因此不存在左eN*，使得S4/+1=100,

D錯誤；

故選:ABC.

【點睛】方法點睛：利用好遞推中的確定關系和不等式關系，從而根據相應問題去解答

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數/（》）=-6在（1,2）上存在極值，則實數a的取值范圍是.

【答案】（；.1）

【解析】

【分析】求出函數的導數，再探討并求出極值點，列式求出范圍.

1_Y|1

【詳解】函數/3)=lnx-雙的定義域為(0,+s),求導得/，(X)二——〃=二-----,

%%

當aWO時，/，(%)＞0,無極值點；當。＞0時，由/'(x)=0,得％=工，

a

當0＜x＜4時，f'(x)＞0,當x＞工時，/'(x)＜0,則％=工是函數/(x)的極值點，

aaa

依題意，1＜工＜2,解得!＜。＜1,

a2

所以實數。的取值范圍是(；/).

故答案為：(//)

22

13.若直線x+6+3=O與雙曲線L—二=1有且只有一個交點，則實數左的值是.

47

【答案】±也

7

【解析】

【分析】由直線恒過定點(-3,0),直線不可能與雙曲線相切，只能直線平行與漸近線.

【詳解】由于直線恒過定點(-3,0),所以直線不可能與雙曲線相切.要滿足有且只有一個交點，直線必須

平行于雙曲線的漸近線，漸近線方程為y=±-x=±^-x，所以一,=±也，

a2k2

解得左=±些

7

故答案為：±—~—

7

14.有4個不透明的袋子A,5C,D,每個袋子中均裝有形狀、大小完全相同的4個小球，編號分別為1,

2,3,4.甲、乙、丙、丁4名同學依次隨機從每個袋子中各取出1個球，取出不放回.已知甲取出的4個

小球編號之和為14,乙取出的4個小球編號之和為13,則丙取出的4個小球編號之和大于6的概率是.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】根據題意首先算出第一行數字之和為14,并且第二行數字之和為13的填法，再求出在第一行數字

之和為14,并且第二行數字之和為13的條件下，第三行數字之和大于6的填法，兩個數相除即可.

【詳解】題中問題等價于往如下表格中隨機地填數字，其中每列都是1,2,3,4的排列，求在第一行數字

之和為14,并且第二行數字之和為13的條件下，第三行數字之和大于6的概率.

ABCD

甲

乙

丙

T

第一行數字之和為14,并且第二行數字之和為13包含的情況數可如下計算:

如果第一行數字是3個4,1個2,那么共C：x24種不同的填法；

如果第一行數字是2個4,2個3,那么共C；x2x2,種不同的填法.

所以共有?+2C：）X24種不同的填法.

第三行數字之和大于6包含的情況數可如下計算：

①第一行數字依次是4,4,4,2,則第二行只能依次為3,3,3,4,如下表.

ABCD

甲4442

乙3334

丙

T

如果第三行第四列是3,則前3列可以是2,2,2,或2,2,1,或2,1,1；

如果第三行第四列是1,則前3列可以是2,2,2,共有1+3+3+1=8種可能.

所以如果第一行數字是3個4,1個2,那么共C：x8種不同填法.

②第一行數字依次是3,3,4,4,則第二行可能為4,4,3,2或4,4,2,3,如下表（只列出其中一種情

況）.

ABCD

甲3344

乙4432

丙

T

此種情況下，余下兩行也有8種不同的填法，

所以如果第一行數字是2個4,2個3,那么共Cjx2x8種不同的填法.

所以第三行數字之和大于6共有（C：+2C：）x8種不同的填法.

Q1

所以第三行數字之和大于6的概率為—

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知在銳角7ABe中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足

sin2A+sin2C-sin2B=V2sinAsinC.

（1）求5；

（2）若。=3#,。=6,點。在3。延長線上，且CD=10,求cosNC4￡）.

TT

【答案】（1）B=—

4

⑵u

14

【解析】

【分析】（1）由正弦定理將角化為邊，再用余弦定理即可求出角8的值

（2）利用正弦定理先求出NAC3=工，進而得到NA8=交，再利用余弦定理即可求得結果.

33

【小問1詳解】

由正弦定理，得a?+c2—b2=拒知，

由余弦定理，得COSBJ+C、”,所以cosBnXZ

lac2

IT

因為5為三角形內角，所以5=7.

4

【小問2詳解】

b

在VA5C中，由正弦定理，得

sinBsin/ACS

所以sin〃C廢跡=￡^=色

b62

因為VA3C為銳角三角形，所以NAC3=?.所以=

33

在AACD中，由余弦定理，得AD?=4。2+“2—2ACxCDxcosNACD，

1

所以AD?9=36+100+2x6xl0x-=196,所以AD=14.

2

后2AC2+AD--CD236+196-10011

所以cosACAD=----------------------=--------------=一

2xACxAD2x6x1414

16.如圖，在三棱錐尸—ABC中，平面為棱PC上的動點.

(1)求證：Q4,平面ABC；

(2)是否存在點。，使得平面A血與平面5CD夾角的余弦值為主6?若存在，請求出點。的位置；

25

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在點。，且當點。位于PC上靠近尸的三等分點

【解析】

【分析】(1)由線面垂直的性質定理得到由勾股定理得到再根據線面垂直的定義即

可證明平面ABC.

(2)過A作Ay〃3C,建立空間直角坐標系，設麗=2正,OVXW1,由平面A3。與平面BCD夾角的

余弦值為主5,即可求出D的坐標.即得答案.

25

【小問1詳解】

因為BC_L平面。AB,PAu平面ABu平面

所以3C，PA且.

由且3c=4,AC=5,可得AB=3.

由A3=3,PA=4,P3=5,因為AB?+P42=.2,可得八4,AB.

因為AB。BC=B,ABu平面ABC,BCu平面ABC,所以上4J_平面ABC.

【小問2詳解】

過A作Ay〃5C,則AP,AB,Ay兩兩垂直，

建立如圖空間直角坐標系.

則P（0,0,4）,A（0,0,0）,B（3,0,0）,C（3,4,0）.

設平面BCD的法向量為％=（%,%，4）,

由題可得BC=（0,4,0）,BP=（-3,0,4）,

n,-BC=0,f4y.=0,

則一即1

4"BP=0,1-3%+4Z]=0.

取罰=4,則平面BCD的一個法向量為%=（4,0,3）.

由于。在棱PC上，設而=4定

所以赤=彳（3,4,—4）=（3/1,44T/L）.

所以￡）（3442,4-42）.

設平面ABD的法向量為為=（%2，y2,z2）,

由題可得AB=（3,0,0）,AD=（32,42,4-42）,

心?AB=0,3%,=0,

則《一_.即《/、

ii2AD=0,|3也+4/1%+（4-4/1”2=0.

取為=九—1，則平面ABD的一個法向量為%=（O,X—LX）.

由題意，得叫/—--2-\=5__義___&|13）川_）_2_+__川___=3三亞’

整理得3/!?+22—1=0.

解得2=1或x=—1.

3

因為0W4W1,所以

3

故存在點O,且當點。位于PC上靠近尸三等分點時，

平面與平面BCD夾角的余弦值為也.

25

17.己知函數/（司=6*（國+々）.

（1）若曲線丁=/（可在％=1處的切線過點（2,5）,求實數a的值;

(2)求函數的單調遞增區間.

53

【答案】(1)?=---

2e2

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)求導，得到切線斜率，點斜式得到曲線y=/(x)在x=l處的切線方程，代入(2,5)可求實數

a的值；

(2)對無討論兩種情況，分別求出導函數，再分別對。進行討論，對每種情況判斷導函數的符號，即可求

得函數/(尤)的單調遞增區間.

【小問1詳解】

當x>0時，/(%)=ex(x+a).

因為/=,

所以/,(l)=e(2+a),/(l)=e(l+a).

所以切線方程為y-e(l+a)=e(2+a)(x-l).

53

又切線過點(2,5),代入切線方程可得。=3-e.

【小問2詳解】

當x>0時，/(x)=eA(x+a).

因為/'(x)=e*(x+a+l),

所以若1,則當xe(0,+8)時，/'(x)>OJ(x)單調遞增；

若a<—1,則當xe(O,—a—1)時，/'(x)<OJ(x)單調遞減；

當xe(—a—l,+co)時，/'(x)>O,/(x)單調遞增.

當了<0時，/(x)=e￥(-x+a).

因為/'(x)=e"(―x+a—1).

所以若時，則當x?y,o)時，r(x)>OJ(x)單調遞增；

若a<l時，則當尤e(a—1,0)時，/'(x)<0J(x)單調遞減;

當次?-8,。一1)時，y'(x)>o,/(x)單調遞增.

又易知a21時，對任意不<0,々〉0,均有/(%)</(0)</(9)，

所以1時，單調遞增區間是(—a,+").

綜上所述，a<—1時，單調遞增區間(y,a—1),(—a—1,+。)；

—l<a<l時，單調遞增區間是(―cqa—+8)；

時，單調遞增區間是(—a,+“).

22

18.己知橢圓E：高工+2=1伍〉0)的左、右焦點分別為耳,K，直線/過點尸2與E交于兩點，且

的周長為8.

(1)求E的標準方程及離心率；

(2)設/耳A3與/耳癡的角平分線交于點尸，若點尸到直線/的距離為述，求直線/的方程.

16

V2V21

【答案】(1)土+匕=1,e=—

432

(2)x-2y-1=0或x+2y-l=0

【解析】

【分析】(1)由AAB片的周長為8,可得4a=8,a=2,即可得橢圓方程，再根據離心率公式求解即可；

(2)當直線斜率不存在時，不滿足題意；當斜率左存在時，設直線/:丁=左(％-1),與橢圓方程聯立，從而

得AABFI的面積為S=乎，則+4%%=孚，結合韋達定理求出k的值即可；

【小問1詳解】

解：由題可知4a=8,

所以a=2.

所以匕2+1=4，解得b=y/3■

22

所以E的標準方程是土+乙=1.

43

又H=〃2一人2=i，

C|

所以離心率e=—=—.

a2

【小問2詳解】

解：由（1）可知F2（1,0）,

當直線/的斜率存在時，可設直線/:y=k（x—1）.

與橢圓方程聯立得（4左一+3）尤~—8k°x+4k~-12=0.

設40i，yi）,B（久2，%）?

因為直線/過橢圓內的定點F2,所以keR均能保證A>0,

2

8k之4k-12

則%+%=

4左2+3

因為與ZF.BA的角平分線交于點p,

所以點尸到耳A耳5,A5的距離均為延.

16

所以AABG的面積為s=g（|AK|+忸用+|A卸乂手=乎.

所以gx由工區%一％|=乎。

所以J（M+=~~■

_6k

又%+%=左（為_1）+左（々-1）=左（為+%—2）=^^.

_942

%%=%一（七一1）仁一=

36k2.-9k2_45

所以（4左2+3）2―X4^+3=16-

化簡得176k4+136尸-45=0-

所以（4左2—1）（44左2+45）=0.

解得心士;.

當直線/的斜率不存在時，