第4講長方體與三角形模塊一：長方體的再認(rèn)識一．長方體的元素及特征1、元素：長方體有六個面，八個頂點(diǎn)，十二條棱．2、特征：（1）長方體的每個面都是長方形．（2）長方體的十二條棱可以分為三組，每組中的四條棱的長度相等．（3）長方體的六個面可以分為三組，每組中的兩個面的形狀和大小相同．二.長方體的直觀圖畫法：斜二側(cè)畫法水平放置的長方體直觀圖通常畫法的基本步驟：第一步：畫平行四邊形ABCD，使AB等于長方體的長，AD等于長方體寬的二分之一，．（如圖1所示）第二步：過AB分別畫AB的垂線AE、BF，過C、D分別畫CD的垂線CG、DH，使它們的長度都等于長方體的高．（如圖2所示）第三步：順次聯(lián)結(jié)E、F、G、H．（如圖3所示）第四步：將被遮住的線段改用虛線（隱藏線）表示．（如圖4所示）圖4表示的長方體通常表示為ABCD-EFGH．它的六個面通常表示為：平面ABCD、平面ABFE、平面BCGF等．它的十二條棱通常分別表示為：棱AB、棱AE、棱EF等．三.長方體中棱與棱的位置關(guān)系如圖4所示的長方體ABCD-EFGH中：棱EH與棱EF所在的直線在同一平面內(nèi)，它們有唯一的公共點(diǎn)，我們稱這兩條棱相交．棱EF與棱AB所在的直線在同一平面內(nèi)，但它們沒有公共點(diǎn)，我們稱這兩條棱平行．棱EH與棱AB所在的直線既不平行，也不相交，我們稱這兩條棱異面．四.長方體中棱與平面的位置關(guān)系如圖5，直線PQ垂直于平面ABCD，記作：直線PQ平面ABCD，讀作：直線PQ垂直于平面ABCD．如圖6，直線PQ平行于平面ABCD，記作：直線PQ//平面ABCD，讀作：直線PQ平行于平面ABCD．如圖4所示的長方體ABCD-EFGH中：棱EF與面BCGF，棱FG與面ABFE，棱BF與面ABCD都給我們以直線與平面垂直的形象．棱EF與面ABCD，棱BF與面ADHE，都給我們以直線與平面平行的形象．五.長方體中平面與平面的位置關(guān)系如圖7，平面垂直于平面，記作平面平面，讀作平面垂直于平面．如圖8，平面平行于平面，記作平面//平面，讀作平面平行于平面．如圖4所示的長方體ABCD-EFGH中：面EFGH，面ABFE與面BCGF三個面中，任意兩個都給我們以平面與平面垂直的形象．面ABCD與面EFGH，面BCGF與面ADHE，面ABFE與面DCGH，都給我們以平面與平面平行的形象．例1.如圖，已知長方體ABCD-EFGH．（1）哪些棱與AB平行？（2）哪些棱與AB垂直？（3）哪些棱與AB異面？AABCDEFGH【難度】★【答案】（1）棱EF、HG、DC與AB平行；（2）棱EA、FB、DA、CB與AB相交；（3）棱EH、GF、DH、CG與AB異面．【解析】長方體中與一個棱平行的有3條，垂直的有4條，異面的有4條．【總結(jié)】考查長方體中相關(guān)基本概念．例2。如圖，已知長方體ABCD-EFGH，與平面ADHE平行的平面是____________，與平面ADHE垂直的平面是____________．AABCDEFGH【難度】★【答案】平面BCGF；平面ABFE、平面ABCD、平面DCGH、平面EFGH．【解析】長方體中與任何一個面平行的面有1個，與任何一個面垂直的有4個面．【總結(jié)】考查長方體中平面間的關(guān)系．例3.下列關(guān)于長方體的說法中正確的是()A．長方體中互相平行的棱不一定相等B．長方體中12條棱的位置關(guān)系只有平行和相交C．長方體中相對的兩個面一定平行D．長方體中6個面的面積都相等【難度】★【答案】C【解析】A、互相平行的棱一定相等；B、還有異面；D、6個面不一定相等，當(dāng)棱長都相等時，六個面的面積都相等．【總結(jié)】考查長方體的基本元素的認(rèn)知．例4.關(guān)于長方體有下列三個結(jié)論：eq\o\ac(○,1)長方體中每個面都是長方形；eq\o\ac(○,2)長方體中每兩個面都互相垂直；eq\o\ac(○,3)長方體中相對的兩個面是全等的長方形．其中結(jié)論錯誤的個數(shù)是()A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【難度】★【答案】B【解析】正確；對面互相平行，錯誤；正確．【總結(jié)】考查長方體中每個面的特征及面與面之間的關(guān)系．例5.如圖，已知長方體ABCD-EFGH．這個長方體中與棱HE平行的平面是____________，與棱HE垂直的平面是____________．AABCDEFGH【難度】★★【答案】平面ABCD、BCGF；平面ABFE、平面DCGH．【解析】長方體中與任何一條棱平行的面有兩個，與任何一條棱垂直的面也有兩個．【總結(jié)】考查長方體中棱與面的位置關(guān)系．例6.已知一個長方體的長、寬、高的比是3:2:1，它的所有棱長的和是72cm，那么這個長方體的體積是______．【難度】★★【答案】．【解析】設(shè)長、寬、高分別為3x、2x、x，則，解得：，∴長、寬、高分別為9、6、3，∴體積為．【總結(jié)】考查長方體的體積的計算．模塊二：相交線與平行線一.鄰補(bǔ)角1、鄰補(bǔ)角的概念：兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為鄰補(bǔ)角．如圖，與有一條公共邊OD，它們的另一條邊OA、OB互為反向延長線，則與互為鄰補(bǔ)角．2、若與互為鄰補(bǔ)角，則．3、互為鄰補(bǔ)角的兩個角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個角不一定互為鄰補(bǔ)角．對頂角1、對頂角的概念：兩個角有公共頂點(diǎn)，并且一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為對頂角．如圖，與有一個公共頂點(diǎn)O，并且的兩邊OB、OC分別與的兩邊OA、OD互為反向延長線，則與互為對頂角．2、對頂角相等．二.垂線1、垂線的概念：如果兩條直線的夾角為直角，那么就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．2、垂直的符號：記作：“⊥”，讀作：“垂直于”，如：，讀作“AB垂直于CD”．注：垂直是特殊的相交．3、在平面內(nèi)，過直線上或直的一點(diǎn)作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條．簡單地說：過一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線垂直．4、聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．5、點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點(diǎn)到直線的距離．如果一個點(diǎn)在直線l上，那么就說這個點(diǎn)到直線l的距離為零．三.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角若直線a，b被直線l所截：（1）同位角：兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角叫做同位角．如：和．（2）內(nèi)錯角：兩個角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角．如：和．（3）同旁內(nèi)角：兩個角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角互為同旁內(nèi)角．如和．注意：三線八角是位置關(guān)系，數(shù)量上沒有確定的關(guān)系．四.平行線1、平行線的定義：同一平面內(nèi)不想交的兩條直線叫做平行線．“平行”用符號“//”表示．2、經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．3、平行線的判定：（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單地說，同位角相等，兩直線平行．（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單地說，內(nèi)錯角相等，兩直線平行．（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡單地說，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．4、平行線的性質(zhì)：（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；簡單地說：兩直線平行，同位角相等．（2）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等；簡單地說：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；簡單地說：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)相等．（4）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．（5）兩條平行線中，任意一條直線上的所有點(diǎn)到另一條直線的距離都是一個定值，這個定值叫做這兩條平行線間的距離．夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2019·上海普陀區(qū)·中考模擬）如圖，直線//，如果，，那么（）A．； B．；C．； D．．【答案】B【分析】要求∠3的值需要在∠3的頂點(diǎn)作l1的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過∠3的頂點(diǎn)作l1的平行線m，∴∠1=∠4，∵l1∥l2，∴m∥l2，∴∠2=∠5，∴∠3=∠4+∠5=∠1+∠2=80°，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．2．（2020·上海九年級專題練習(xí)）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它們的兩個直角頂點(diǎn)重合，兩條斜邊平行（如圖所示），那么的度數(shù)是（）A．75°； B．90°； C．100°； D．105°．【答案】D【分析】通過在∠1的頂點(diǎn)作斜邊的平行線可得∠1=105°．【詳解】如圖：過∠1的頂點(diǎn)作斜邊的平行線，利用平行線的性質(zhì)可得，∠1=60°+45°=105°．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．3．（2019·上海浦東新區(qū)·九年級期中）如果點(diǎn)D、E分別在△ABC的兩邊AB、AC上，下列條件中可以推出DE∥BC的是()A．， B．，C．, D．，【答案】C【分析】根據(jù)各個選項(xiàng)的條件只要能推出或，即可得出△ADE∽△ABC，推出∠ADE=∠B，根據(jù)平行線的判定推出即可．【詳解】解：A、根據(jù)和，不能推出DE∥BC，故本選項(xiàng)錯誤；

B、根據(jù)和，不能推出DE∥BC，故本選項(xiàng)錯誤；

C、∵，∴，∵，∴=

∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，故本選項(xiàng)正確；

D、根據(jù)=和=,不能推出DE∥BC，故本選項(xiàng)錯誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是推出△ABC∽△ADE．二、填空題4．（2020·上海九年級二模）如圖，直線AB分別交直線a和直線b于點(diǎn)A，B，且，點(diǎn)C在直線b上，且它到直線a和到直線AB的距離相等，若，則________．【答案】26°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠MAC，根據(jù)角平分線的判定定理證明平分，再求出，再利用平行線的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：如圖，標(biāo)注字母，，到直線a和到直線AB的距離相等，平分．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義與判定，平行線的性質(zhì)，能根據(jù)角平分線性質(zhì)證明∠BAC=∠MAC是解此題的關(guān)鍵．5．（2019·上海徐匯區(qū)·中考模擬）如圖，AB∥CD，若∠E＝34°，∠D＝20°，則∠B的度數(shù)為_____．【答案】54°【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，求出∠BCD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進(jìn)行解答即可．【詳解】∵∠E＝34°，∠D＝20°，∴∠BCD＝∠D+∠E＝20°+34°＝54°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD＝54°．故答案為54°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．6．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級專題練習(xí)）如圖，已知a∥b，∠1=50°，那么∠2=______度．【答案】130【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠1和∠2互補(bǔ)，即可得解.【詳解】∵a∥b，∠1=50°，∴∠1=∠3=50°∵∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-50°=130°，故答案為：130.【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用兩直線平行同位角相等，等量轉(zhuǎn)換.三、解答題7．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級專題練習(xí)）已知，如圖：∠1=∠2，AD=2BC，△ABC的面積為3，求△CAD的面積．【答案】6【分析】首先根據(jù)內(nèi)錯角相等判定，作CM⊥AD，AN⊥BC，即可得出CM=AN，進(jìn)而得出△ACD和△ABC的面積關(guān)系，即可得解.【詳解】，過點(diǎn)C作CM⊥AD，過點(diǎn)A作AN⊥BC，如圖所示：，，【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級專題練習(xí)）如圖，已知AB⊥BC，DC⊥BC，BE∥CF，求證：∠1=∠2．【分析】首先根據(jù)垂直性質(zhì)得出，然后根據(jù)平行線性質(zhì)得出，進(jìn)而即可得證.【詳解】，，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換.9．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在、的位置上，的延長線與BC的交點(diǎn)為G，若∠EFG＝55°，你能分別求出∠1和∠2的度數(shù)嗎？請你試一試．【答案】∠1=70°，∠2=110°【分析】首先由平行的性質(zhì)得出，然后由翻折的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可得出∠1和∠2.【詳解】，，由翻折的性質(zhì)，得，.【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.10．（2020·上海嘉定區(qū)·九年級一模）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，∠ABE=∠C，（1）求證：（2）當(dāng)BE平分∠ABC時，求證：【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)可知，則有，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）利用平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可知，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1），，，，（2）平分，，，，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線定義，相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握三角形相似的判定方法是解題的關(guān)鍵.能力提升一、單選題1．（2019·上海九年級課時練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，則下列關(guān)系式中成立的有()①；②；③；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BCA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，推出角相等，再得出邊相等，判斷出①②正確，再利用三角形不相似，排除其它選項(xiàng)，最后得解．【詳解】解：如圖，∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD∴∠ABE=∠CBE，∠ABE=∠CBE．∵CD∥BA，∴∠ABC+∠BCD=180°．∴∠BEC=∠D=∠A=90°．則有△CED∽△BEA∽△CBE,∴①正確，③正確；無法證明CD=DE，故②不正確；故④CE2=CD×BC正確；故BE2=AE×BC不正確．因此只有①②④正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題利用了平行線的性質(zhì)，角的平分線的性質(zhì)，等邊對等角，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．2．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級專題練習(xí)）如圖，已知直線AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，則∠E=A．70° B．80°C．90° D．100°【答案】C【分析】由AB∥CD可以推出∠EFB=∠C=115°，又因?yàn)椤螦=25°，所以∠E=∠EFB-∠A，就可以求出∠E．【詳解】∵AB∥CD，∴∠EFB=∠C=115°，∵∠A=25°，∴∠E=∠EFB?∠A=115°?25°=90°.故選C.【點(diǎn)睛】考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，掌握兩直線平行同位角相等是解題的關(guān)鍵.3．（2020·上海金山區(qū)·九年級二模）如圖，∠MON=30°，p是∠MON的角平分線，PQ平行ON交OM于點(diǎn)Q，以P為圓心半徑為4的圓ON相切，如果以Q為圓心半徑為r的圓與相交，那么r的取值范圍是（）A．4<r<12 B．2<r<12 C．4<r<8 D．r>4【答案】A【分析】過點(diǎn)Q作QA⊥AN于A，過點(diǎn)P作PB⊥ON于B，得到四邊形ABPQ是矩形，QA=PB=4，根據(jù)∠MON=30°求出OQ=2QA=8，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得到PQ=8，再分內(nèi)切與外切兩種求出半徑r，即可得到兩圓相交時的半徑r的取值范圍.【詳解】過點(diǎn)Q作QA⊥AN于A，過點(diǎn)P作PB⊥ON于B，∵PQ∥ON，∴PQ⊥PB，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四邊形ABPQ是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON=30°，∴OQ=2QA=8，∵OP平分∠MON，PQ∥ON，∴∠QOP=∠PON=∠QPO，∴PQ=OQ=8，當(dāng)以Q為圓心半徑為r的圓與相外切時，r=8-4=4，當(dāng)以Q為圓心半徑為r的圓與相內(nèi)切時，r=8+4=12，∴以Q為圓心半徑為r的圓與相交，4<r<12，故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，兩圓相切的性質(zhì).二、填空題4．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，則=______．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，利用“有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”證得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．5．（2020·上海崇明區(qū)·九年級二模）如圖，在中，，直線，點(diǎn)在直線上，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如果，那么的度數(shù)是_____．【答案】40°【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和可得∠ACB=75°，由三角形外角的性質(zhì)可得∠AED的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可得同位角相等，可得結(jié)論．【詳解】∵AB=AC，且∠A=30°，∴∠ACB=75°，在△ADE中，∵∠1=∠A+∠AED=145°，∴∠AED=145°-30°=115°，∵a∥b，∴∠AED=∠2+∠ACB，∴∠2=115°-75°=40°．故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，題目比較基礎(chǔ)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級專題練習(xí)）如圖，已知，，，則__________．【答案】95°【解析】如圖，作EF∥AB，則EF∥CD，∴∠ABE+∠BEF=180°，∵∠ABE=120°，∴∠BEF=60°，∵∠DCE=∠FEC=35°，∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=95°.故答案為95°.點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造平行線，再利用平行線的性質(zhì)解題.三、解答題7．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延長線上一點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且在BD的垂直平分線EG上，DE交AC于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)E在AF的垂直平分線上．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE=DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BEG=∠DEG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BEG=∠BAC，∠DEG=∠AFE，等量代換得到∠EAF=∠AFE，根據(jù)得到結(jié)論．【詳解】∵EG垂直平分BC，∴BE=DE，∴∠BEG=∠DEG，

∵∠ACB=90°，∴EG∥AC，∴∠BEG=∠BAC，∠DEG=∠AFE，

∴∠EAF=∠AFE，∴AE=EF，∴點(diǎn)E在AF的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】此題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級專題練習(xí)）如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠F，請問∠A與∠D存在怎樣的關(guān)系？驗(yàn)證你的結(jié)論．【答案】∠A＝∠D．理由見解析.【分析】先由對頂角相等、等量代換可得：∠1=∠3，然后由同位角相等兩直線平行可得：FB∥EC，然后由平行線的性質(zhì)和已知條件得到∠FBA=∠F，易得直線DF∥AC，由平行線的性質(zhì)推知∠A=∠D即可．【詳解】解：∠A＝∠D．理由如下：如圖所示，∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FB∥EC，∴∠FBA＝∠C，∵∠C＝∠F，∴∠FBA＝∠F，∴DF∥AC．∴∠A＝∠D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記同位角相等?兩直線平行，內(nèi)錯角相等?兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行．9．（2019·上海市楊浦區(qū)黃興學(xué)校九年級月考）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一點(diǎn)，BD＝2，E是BC上一動點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，并作∠DEF＝∠B，射線EF交線段AC于F．（1）求證：△DBE∽△ECF；（2）當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時，求線段BE的長；（3）聯(lián)結(jié)DF，如果△DEF與△DBE相似，求FC的長．【答案】（1）見解析；（2）2或3；（3）2或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，由三角形的內(nèi)角和和平角的定義得到∠DEF＝∠B，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；（3）當(dāng)∠BED＝∠EDF，得到DF∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CF＝2；當(dāng)∠DFE＝∠BED，推出點(diǎn)E在∠BDF與∠DFC的角平分線上，過E作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，連接AE，得到AE是∠BAC的角平分線，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C，∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED，∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△DBE∽△ECF；（2）∵△DBE∽△ECF，∴，∵F是線段AC中點(diǎn)，∴CF＝AC＝3，∴，∴BE＝2或3；（3）∵△DEF與△DBE相似，∴∠BED＝∠EDF，或∠DFE＝∠BED，當(dāng)∠BED＝∠EDF，∴DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF＝4，∴CF＝2；當(dāng)∠DFE＝∠BED，∵△DBE∽△ECF，∴∠BED＝∠CFE，∴∠DFE＝∠CFE，∠BDE＝∠FDE，∴點(diǎn)E在∠BDF與∠DFC的角平分線上，過E作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，連接AE，∴EM＝EG＝EN，∴AE是∠BAC的角平分線，∴BE＝CE＝，∵△DBE∽△ECF，∴，即＝，∴CF＝．綜上所述，F(xiàn)C的長為2或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．模塊三：三角形一.三角形的邊與角1、三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．2、三角形的高、中線、角平分線：①在三角形中，從一個頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高；②聯(lián)結(jié)三角形一個頂點(diǎn)及其對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線；③三角形一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線．3、三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和等于180°．※一個三角形的三個內(nèi)角中最多有一個鈍角或直角．4、三角形的外角：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；（2）三角形的外角和定義：對于三角形的每個內(nèi)角，從與它相鄰的兩個外角中取一個，這樣取得的三個外角相加所得的和，叫做三角形的外角和；三角形的外角和等于360°．5、三角形的分類三角形（按角分）；三角形（按邊分）．二.全等三角形1、全等形的概念：能夠重合的兩個圖形叫做全等形．2、全等三角形的性質(zhì)和判定方法：一般三角形直角三角形判定邊角邊（S．A．S．）角邊角（A．S．A．）角角邊（A．A．S．）邊邊邊（S．S．S．）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（H．L．）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等對應(yīng)中線相等，對應(yīng)高相等，對應(yīng)角平分線相等注：①判定兩個三角形全等必須有一組邊對應(yīng)相等；②全等三角形面積相等．3、證明題的思路：三.等腰三角形1、等腰三角形的兩個底角相等，簡稱：等邊對等角．2、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊的高互相重合，簡稱：等腰三角形三線合一．3、等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角的角平分線所在的直線．4、等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，這個三角形是等腰三角形．簡稱：等角對等邊．四.直角三角形1、直角三角形全等的判定：斜邊與一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（H．L．）．2、直角三角形的性質(zhì)：（1）兩個定理定理1：直角三角形的兩個銳角互余；定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（2）兩個推論推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°．3、勾股定理（1）如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．（2）勾股定理逆定理：如果三角形的三邊滿足，那么三角形是直角三角形．夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2020·上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級三模）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠A=15°，半徑為2，則弦CD的長為（）A．2 B．﹣1 C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理可知∠COE=30°，CE=OC=1，再由垂徑定理可知CE=CD，即可求出CD的長．【詳解】解：∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，半徑為2，∴CE=OC=1，∴CE=CD，∴CD=2故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．2．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級專題練習(xí)）如果一個三角形的兩邊長分別為4cm和7cm，那么第三邊的長可能是（）A．1cm B．4cm C．2cm D．3cm【答案】B【分析】設(shè)第三邊的長為xcm，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊可得7-4＜x＜7+4，再解不等式即可．【詳解】解：設(shè)第三邊的長為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：7-4＜x＜7+4，

即3＜x＜11，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系定理．3．（2020·上海九年級一模）三角形的外心是（）A．三角形三條邊上中線的交點(diǎn) B．三角形三條邊上高線的交點(diǎn)C．三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn) D．三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)三角形外心的定義即可判斷.【詳解】解：三角形的外心是三角形中三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的相關(guān)知識，正確區(qū)分三角形的外心、內(nèi)心、垂心、重心是解題的關(guān)鍵.外心：三角形中三邊垂直平分線的交點(diǎn)；內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn);垂心:三角形三條邊上高線的交點(diǎn);重心:三角形三條邊上中線的交點(diǎn).4．（2019·上海市民辦新北郊初級中學(xué)九年級期中）已知中，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可判斷．【詳解】∵△ABC中，∠C=90°，∴AB為斜邊，∠A的對邊為BC，鄰邊為AC，∵cosA是∠A的余弦，∴由定義cosA=．故選擇：D．【點(diǎn)睛】本題考查余弦的比問題。關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的概念，會確定三角形中斜邊，鄰邊，對邊，找準(zhǔn)哪兩邊的比．5．（2020·上海市西南模范中學(xué)九年級月考）如圖，在中，，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，證明，再證明，設(shè)，再求解從而可得答案．【詳解】解：，，，設(shè)，則，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例，三角形的面積比，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時練習(xí)）如圖，梯形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AD∥BC，AD=1cm，BC=3cm，則下列說法中，不正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先證明利用相似三角形的可得：再利用相似三角形的性質(zhì)與同高的兩個三角形的面積之間的關(guān)系可得答案．【詳解】解：梯形ABCD，AD=1cm，BC=3cm，故A正確；由的高相同，故B正確；由的高相同，故C錯誤；由的高相同，故正確．故選．【點(diǎn)睛】本題考查的是梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，同高不同底的兩個三角形的面積之間的關(guān)系，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7．（2020·上海普陀區(qū)·九年級二模）如圖，矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面積等于（）A．8 B．16 C．8 D．16【答案】D【分析】由矩形的性質(zhì)得出OA=BO，證△AOB是等邊三角形，得出AB=OB=4，由勾股定理求出AD，即可求出矩形的面積．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=90°，AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC=BD=2OB=8，∴OA=OB=4，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OB=4，∴AD=，∴矩形ABCD的面積=AB×AD=4×4=16；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明△AOB為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級專題練習(xí)）如圖，在等腰三角形ABC中，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F是AD上的兩點(diǎn)，若△ABC的面積為12cm2，那么圖中陰影部分的面積是（）A．4 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】由圖，根據(jù)等腰三角形是軸對稱圖形知，△CEF和△BEF的面積相等，所以陰影部分的面積是三角形面積的一半．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，是軸對稱圖形，∴S△CEF=S△BEF，

∵S△ABC=12cm2，∴陰影部分面積=6cm2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及軸對稱性質(zhì)；利用對稱發(fā)現(xiàn)并利用△CEF和△BEF的面積相等是正確解答本題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級專題練習(xí)）長方形ABCD被等分為12個邊長相等的小正方形，三角形EFC的面積占長方形ABCD的面積________(填“幾分之幾”)．【答案】【分析】利用長方形ABCD的面積分別減去直角三角形AEF、直角三角形CDF、直角三角形BCE的面積即可.【詳解】如圖所示，長方形ABCD的面積=4×3=12，

直角三角形AEF面積=2×1÷2=1，直角三角形BCE面積=2×4÷2=4，

直角三角形CDF面積=2×3÷2=3，三角形EFC面積=12-1-4-3=4，

三角形EFC的面積占長方形ABCD的面積的：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了求三角形的面積，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，利用補(bǔ)形法求解是解題的關(guān)鍵.10．（2019·上海市嘉定區(qū)唐行九年制學(xué)校九年級二模）若a、b、c是的三邊，且，，，則最大邊上的高是______cm．【答案】2.4【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，得是直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式，求得斜邊上的高即可．【詳解】解：，，，是直角三角形，，最大邊上的高，最大邊上的高是．故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理及三角形面積的計算．11．（2019·上海青浦區(qū)·九年級一模）如果α是銳角，且tanα＝cot20°，那么α＝度．【答案】70【解析】試題分析：因?yàn)閠anα＝cot（90°-α）=cot20°，所以90°-α=20°，所以α=70°.考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì).12．（2020·上海市第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級期中）已知在Rt△ABC中，，tanA=，BC=6，則AB的長為__________．【答案】【分析】先根據(jù)tanA的定義和它的值求出AC，然后根據(jù)勾股定理即可求出答案．【詳解】解：∵，tanA==，BC=6，∴AC=8，根據(jù)勾股定理得AB===10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，求出AC的值是解題關(guān)鍵．13．（2020·上海九年級二模）中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，聯(lián)結(jié)DE，DE是的一條中位線，點(diǎn)G是的重心，設(shè)，，則________（用含，的式子表示）【答案】【分析】延長AG交BC于點(diǎn)F，根據(jù)重心的性質(zhì)可得出，由DE為的中位線可得出，根據(jù)，結(jié)合，即可用含的式子表示出．【詳解】解：延長AG交BC于點(diǎn)F，如圖所示．∵點(diǎn)G是的重心，∴，∴．∵DE是的一條中位線，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心、三角形中位線定理以及平面向量，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)找出是解題的關(guān)鍵．14．（2021·上海九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=1.5S△FGH；④AG+DF=FG；其中正確的是______________．（填寫正確結(jié)論的序號）【答案】①③④【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，可知，DF的長度．利用勾股定理可求出AG、GF、GH、HF的長度，結(jié)合題意逐個判斷即可．【詳解】①：根據(jù)題意可知，，，∴，即．故①正確；②：，，∴，∴，∴，∵，∴．設(shè)AG=x，則GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4．又∵在中，，∴解得x=3，即AG=3，∴．∴故和△ABG不相似．故②錯誤；③：由②得GH=3，，．∴．故③正確．④：DF=10-8=2，由②可知AG+DF=3+2=5，GF=8-3=5．∴AG+DF=GF．故④正確．故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)結(jié)合勾股定理來解題．本題利用勾股定理計算出AG的長度是解題的關(guān)鍵．15．（2021·上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院九年級一模）如圖，已知在中，，點(diǎn)G是的重心，，，那么______．【答案】【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)和余弦函數(shù)的定義可以得到解答．【詳解】解：如圖，延長CG與AB交于點(diǎn)D，過D作DE⊥CB于點(diǎn)E，∵G是△ABC的重心，∴CG=2GD，∵CG=2，∴GD=1，∴CD=2+1=3，∵∠ACB=90°，∴AC⊥CB，∴AC∥DE，∵D是AB中點(diǎn)，∴E是CB中點(diǎn)，∴CE=，∴cos∠GCB=，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的綜合運(yùn)用，熟練掌握重心的性質(zhì)和余弦函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．16．（2021·上海崇明區(qū)·九年級一模）我們約定：如果一個四邊形存在一條對角線，使得這條對角線是四邊形某兩邊的比例中項(xiàng)，那么就稱這個四邊形為“閃亮四邊形”，這條對角線為“閃亮對角線”．相關(guān)兩邊為“閃亮邊”．例如：圖1中的四邊形中，，則，所以四邊形是閃亮四邊形，是閃亮對角線，、是對應(yīng)的閃亮邊．如圖2，已知閃亮四邊形中，是閃亮對角線，、是對應(yīng)的閃亮邊，且，，，，那么線段的長為________．【答案】【分析】根據(jù)“閃亮四邊形”的定義可知AC2=CD×AD，再證明△ACD是等邊三角形即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形是閃亮四邊形，是閃亮對角線，、是對應(yīng)的閃亮邊．∴，如圖，作CH⊥AD于H，∵，，∴∵，∴，∴∴AD=CD，∵∠D=60゜，∴△ACD是等邊三角形，∴AC=CD=AD∵，，，，∴(負(fù)值舍去)，∴AD=故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定，勾股定理以及解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．17．（2021·上海閔行區(qū)·九年級一模）如圖，在中，，，，將繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B恰好落在射線CA上的點(diǎn)D處，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，射線DE與邊AB相交于點(diǎn)F，那么BF＝_________．【答案】【分析】如圖，過點(diǎn)F作FG⊥AC于G，設(shè)FG=x，由旋轉(zhuǎn)得∠D=∠B，求出，，利用FG∥BC，求得FG=2AG，由此列得x=2（2x-3），求出FG=2，AG=1，利用勾股定理求出AF，即可求得答案．【詳解】如圖，過點(diǎn)F作FG⊥AC于G，設(shè)FG=x，由旋轉(zhuǎn)得∠D=∠B，∴，∴，∴，∵AD=AB=3，∴，∵∠FGA=，∴FG∥BC，∴∠AFG=∠B，∴，∴FG=2AG，∴x=2（2x-3）解得x=2∴FG=2，AG=1，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解一元一次方程，解題中運(yùn)算等角的三角函數(shù)值相等是思想解決問題是解題的關(guān)鍵．18．（2021·上海閔行區(qū)·九年級一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)P在邊AC上，的半徑為1，如果與邊BC和邊AB都沒有公共點(diǎn)，那么線段PC長的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=4，然后找出與邊BC、AB相切的臨界點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：在中，，，，由勾股定理，則，當(dāng)與邊BC相切時，則點(diǎn)C恰好為切點(diǎn)，此時；當(dāng)與邊AB相切時，如圖，作PD⊥AB，∵∠A=∠A，∠C=∠ADP=90°，∴△ABC∽△APD，∴，∴，∴，∴；∴線段PC長的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．19．（2021·上海松江區(qū)·九年級期末）如圖，在邊長為1個單位的方格紙中，的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，那么的正弦值為_____．【答案】【分析】利用勾股定理可求出AC、BC、AB的值，利用勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，根據(jù)正弦的等于即可得答案．【詳解】∵在邊長為1個單位的方格紙中，的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，∴AB==，BC=，AC=，∵（）2+（）2=（）2，∴∠ACB=90°，∴sin∠ABC===，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格的特征、勾股定理及正弦的定義，在直角三角形中，銳角的正弦是角的對邊與斜邊的比；熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．20．（2021·上海奉賢區(qū)·九年級一模）如果點(diǎn)是的重心，，那么邊上的中線長為_______________________．【答案】【分析】根據(jù)三角形的重心到一頂點(diǎn)的距離等于到對邊中點(diǎn)距離的2倍求得DG=3，繼而求得邊上的中線長為9．【詳解】∵三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其到對邊中點(diǎn)的距離的2倍，∴DG=AG=×6=3，∴AD=AG+GD=6+3=9．即邊上的中線長為9．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形重心的性質(zhì)，熟知三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其到對邊中點(diǎn)的距離的2倍是解決問題的關(guān)鍵．21．（2021·上海嘉定區(qū)·九年級期末）如圖，飛機(jī)P在目標(biāo)A的正上方，飛行員測得目標(biāo)B的俯角為30°，那么的度數(shù)為______°．【答案】60【分析】先由題意得到∠A=，∠B=，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得結(jié)果．【詳解】∵飛機(jī)P在目標(biāo)A的正上方，飛行員測得目標(biāo)B的俯角為30°，∴∠A=，∠CPB=,∵CP∥AB，∴∠B=∠CPB=,∴=-∠B=,故答案為：60．【點(diǎn)睛】此題考查直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，理解飛行員測得目標(biāo)B的俯角為30°得到∠B=是解題的關(guān)鍵．三、解答題22．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求證：∠A+∠C=180°.【分析】連接AC．首先根據(jù)勾股定理求得AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理求得∠D=90°，進(jìn)而求出∠A+∠C=180°【詳解】證明：連接AC.∵AB=20，BC=15，∠B=90°，∴由勾股定理,得AC2=202+152=625又CD=7，AD=24，∴CD2+AD2=625，∴AC2=CD2+AD2∴∠D=90°，∴∠A+∠C=360°?180°=180°【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、多邊形內(nèi)角與外角，借助輔助線方法是解決本題的關(guān)鍵23．（2020·上海長寧區(qū)·九年級一模）如圖，已知是的弦，點(diǎn)在上，且，聯(lián)結(jié)、，并延長交弦于點(diǎn)，，．（1）求的大小；（2）若點(diǎn)在上，，求的長．【答案】（1）30°；（2）4．【分析】（1）連接OB，證OD垂直平分AB，在Rt△AOD中通過解直角三角形可求出∠OAB的度數(shù)；（2）連接OE，證△OBE是等邊三角形，即可知BE的長度等于半徑．【詳解】（1）如圖1，連接OB，∵，∴∠AOC＝∠BOC，∴180°?∠AOC＝180°?∠BOC，∴∠AOD＝∠BOD，∵OA＝OB，∴OD垂直平分AB，∴AD＝BD＝AB＝2，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝6?r，在Rt△AOD中，AO2＝AD2＋OD2，∴r2＝（2）2＋（6?r）2，解得，r＝4，∴cos∠OAD＝＝，∴∠OAD＝30°，即∠OAB＝30°；（2）如圖2，連接OE，由（1）知，∠OAB＝30°，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∵EB∥AO，∴∠EBD＝∠OAB＝30°，∴∠EBO＝∠EBD＋∠OBA＝60°，∵OE＝OB，∴△OEB是等邊三角形，∴BE＝r＝4．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形等，解題關(guān)鍵是牢固掌握并熟練運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)．24．（2020·上海九年級專題練習(xí)）已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，(點(diǎn)A、B分別在直線CD的左右兩側(cè))，射線CD交邊AB于點(diǎn)E，點(diǎn)G是Rt△ABC的重心，射線CG交邊AB于點(diǎn)F，AD=x，CE=y.(1)求證：∠DAB=∠DCF.(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.(3)如果△CDG是以CG為腰的等腰三角形，試求AD的長.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)AD=1或.【分析】（1）首先根據(jù)點(diǎn)G是Rt△ABC的重心，得出CF是Rt△ABC的中線.，又由AC=BC，∠ACB=90°，得出CF⊥AB，即∠AFC=90°，然后等量轉(zhuǎn)換即可得出∠DAB=∠DCF；（2）首先判定△CAD≌△BCH，得出BH=CD，CH=AD，又根據(jù)∠ADC=∠BHC=90°，得出AD∥BH，進(jìn)而得出，列出等式，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）分兩種情況進(jìn)行求解：①當(dāng)GC=GD時，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得出MD=MC，進(jìn)而得出MG⊥CD，且直線MG經(jīng)過點(diǎn)B，那么BH與MG共線，即可得出AD；②當(dāng)CG=CD時，CG=2，點(diǎn)G為△ABC的重心，然后運(yùn)用勾股定理即可得出AD.【詳解】(1)證明：∵點(diǎn)G是Rt△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中線.又∵在Rt△ABC，AC=BC，∠ACB=90°，∴CF⊥AB，即∠AFC=90°.∵∠DEF=∠ADE+∠DAE=∠EFC+∠ECF，且∠ADE=∠EFC=90°，∴∠DAB=∠DCF.(2)解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H.，∴△CAD≌△BCH（ASA）.∴BH=CD=2，CH=AD=x，DH=2-x.∵∠ADC=∠BHC=90°∴AD∥BH.，∴.，，..(3)解：當(dāng)GC=GD時，如圖1，取AC的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)MD.那么MD=MC，聯(lián)結(jié)MG，MG⊥CD，且直線MG經(jīng)過點(diǎn)B.那么BH與MG共線.又CH=AD，那么AD=CH=.當(dāng)CG=CD時，如圖2，即CG=2，點(diǎn)G為△ABC的重心，，AB=2CF=6，，.綜上所述，AD=1或.【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形與函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到的知識點(diǎn)有直角三角形斜邊中線定理、重心、勾股定理等，熟練掌握，即可解題.能力提升一、單選題1．（2021·上海松江區(qū)·九年級期末）如圖，已知在中，，點(diǎn)是的重心，，垂足為，如果，則線段的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，根據(jù)三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)以及重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比是，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，，根據(jù)，可得，進(jìn)而證得∽，從而得到，代入數(shù)值即可求解．【詳解】如圖，連接并延長交于點(diǎn)．點(diǎn)是的重心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，（公共角），∽，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心的定義及其性質(zhì)，熟練運(yùn)用三角形重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2020·上海市第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級期中）已知兩個三角形相似，其中一個三角形的兩個內(nèi)角分別為，則另一個三角形的最小內(nèi)角為（）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理可得出另一個三角形的三個內(nèi)角度數(shù)，由此即可得．【詳解】由相似三角形的性質(zhì)得：另一個三角形的兩個內(nèi)角分別為，則另一個三角形的第三個內(nèi)角為，因此，另一個三角形的最小內(nèi)角為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級課時練習(xí)）在中，若tanA=1，cosB=，則下列判斷最確切的是（）A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形C．是直角三角形 D．是一般銳角三角形【答案】B【分析】先根據(jù)正切值、余弦值求出、的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義即可得．【詳解】、是的內(nèi)角，且，，，，，是等腰直角三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的正切值與余弦值、三角形的內(nèi)角和定理、等腰直角三角形的定義，熟記特殊角的正切值與余弦值是解題關(guān)鍵．4．（2020·上海青浦區(qū)·九年級二模）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，聯(lián)結(jié)AG并延長交BC邊于點(diǎn)D．設(shè)，，那么向量用向量、表示為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法則求出即可解決問題．【詳解】解：∵G是△ABC的重心，∴AG＝2DG，∴AD＝3DG，∴＝3＝3，∵＝+＝﹣+3，DB＝BD，∴＝2＝6﹣2，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的重心，平面向量，三角形法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．5．（2020·上海九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，是等邊三角形，AP、BP的延長線分別交邊CD于點(diǎn)E、F，聯(lián)結(jié)AC、CP、AC與BF相交于點(diǎn)H，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AE=2DE B． C． D．【答案】C【分析】A.利用直角三角形30度角的性質(zhì)即可解決問題．

B.根據(jù)兩角相等兩個三角形相似即可判斷．

C.通過計算證明∠DPB≠∠DPF，即可判斷．

D.利用相似三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠DAB=90°，∵△ABP是等邊三角形，∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，∴∠DAE=30°，∴AE=2DE，故A正確;

∵AB∥CD，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，

又∵BC=BP，∠PBC=30°，∴∠BPC=∠BCP=75°，∴∠CPF=105°，

∴∠PHA=∠CPF，又易得∠APB=∠CFP=60°，∴△CFP∽△APH，故B正確;

∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF，∴△PFC與△PCA不相似，故C錯誤;

∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°，∴∠PCH=∠PBC，

∵∠CPH=∠BPC，∴△PCH∽△PBC，∴,∴PC2=PH?PB，故D正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．6．（2019·上海九年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上．若點(diǎn)P到BD的距離為，則點(diǎn)P的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】首先作出AB、AD邊上的點(diǎn)P（點(diǎn)A）到BD的垂線段AE，即點(diǎn)P到BD的最長距離，作出BC、CD的點(diǎn)P（點(diǎn)C）到BD的垂線段CF，即點(diǎn)P到BD的最長距離，由已知計算出AE、CF的長與比較得出答案．解：過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，過點(diǎn)C作CF⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，∵sin∠ABD=，∴AE=AB?sin∠ABD=2?sin45°=2?=2＞，所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為的點(diǎn)2個，∵sin∠CDF=，∴CF=CD?sin∠CDF=?=1＜，所以在邊BC和CD上沒有到BD的距離為的點(diǎn)，所以P到BD的距離為的點(diǎn)有2個，故選B．此題考查的知識點(diǎn)是解直角三角形和點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是先求出各邊上點(diǎn)到BD的最大距離比較得出答案．二、填空題7．（2020·上海寶山區(qū)·九年級月考）如圖，△ABC的兩條中線AD、BE相交于點(diǎn)G，如果S△ABG＝2，那么S△ABC＝_____．【答案】6【分析】根據(jù)D，E分別是三角形的中點(diǎn)，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD＝AG進(jìn)而得到S△ABG：S△ABD＝2：3，再根據(jù)AD是△ABC的中線可得S△ABC＝2S△ABD進(jìn)而得到答案．【詳解】解：∵△ABC的兩條中線AD、BE相交于點(diǎn)G，∴2GD＝AG，∵S△ABG＝2，∴S△ABD＝3，∵AD是△ABC的中線，∴S△ABC＝2S△ABD＝6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)的距離的兩倍．8．（2021·上海九年級專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2，－2)與點(diǎn)（－2，1)之間的距離__________．【答案】5．【分析】直接運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可．【詳解】解：∵(2，－2)、（－2，1)∴AB=．故答案為5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離公式，牢記兩點(diǎn)間的距離公式是解答本題的關(guān)鍵．9．（2021·上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院九年級一模）新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形.如圖，已知在對余四邊形中，，，，，那么邊的長為______．【答案】9【分析】連接AC，作交BC于E點(diǎn)，由，，可得AE=6，BE=8，并求出AC的長，作交AD于F點(diǎn)，可證，最后求得AF和DF的長，可解出最終結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接AC，作交BC于E點(diǎn)，，，，設(shè)AE=3x，BE=4x，，則，解得x=2，則AE=6，BE=8，又，CE=BC-BE=4，，作交AD于F點(diǎn)，，，，==，又，同理可得DF=3，CF=4，，AD=AF+DF=9．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合問題，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定難度，熟練掌握直角三角形和勾股定理知識點(diǎn)，根據(jù)題意做出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．10．（2021·上海虹口區(qū)·九年級一模）如圖，在，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處，線段交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，當(dāng)是直角三角形時，的長為_______．【答案】2或【分析】分兩種情況討論，當(dāng)時，則，利用銳角三角函數(shù)先求解，，，設(shè)，再表示，再利用勾股定理求解即可得到答案；當(dāng)時，如圖，連接，過作于，先證明：，再證明設(shè)，利用的銳角三角函數(shù)可得利用勾股定理求解可得答案．【詳解】解：是的中點(diǎn)，當(dāng)時，則，，設(shè)則，，即：當(dāng)時，如圖，連接，過作于，同理可得：，，，，設(shè)由，當(dāng)，不合題意，舍去．綜上：的長為或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是折疊的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論．11．（2020·上海九年級二模）在矩形ABCD中，P在邊BC上，聯(lián)結(jié)AP，DP，將△ABP，△DCP分別沿直線AP，DP翻折，得到，，且點(diǎn)，，P在同一直線上，線段交邊AD于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)，若，則_________．【答案】【分析】先設(shè)BP=B1P=1，CP=C1P=x，則B1C1=x-1，AD=BC=1+x，根據(jù)題意得到Rt△ABP中，AP2=(x-1)2+12，Rt△DCP中，DP2=x2+(x-1)2，Rt△ADP中，AD2=AP2+DP2，進(jìn)而得出AD2=AB2+BP2+PC2+CD2，據(jù)此可得方程(1+x)2=(x-1)2+12+x2+(x-1)2，求得PC=，進(jìn)而求出BC和AD的值，再根據(jù)△DC1M≌△AB1M（AAS），可得DM=AM=AD=，最后計算的值即可．【詳解】解：如圖，設(shè)BP=B1P=1，CP=C1P=x，則B1C1=x-1，AD=BC=1+x，由折疊可得，∠PC1D=∠C=90°，而∠AC1D=135°，∴∠AC1P=135°-90°=45°，當(dāng)點(diǎn)B1，C1，P在同一直線上時，由∠B=∠AB1P=90°，可得∠AB1C1=90°，∴△AB1C1是等腰直角三角形，即AB1=B1C1=x-1，∴AB=AB1=x-1=CD，由折疊可得，∠APD=∠APM+∠DPM=∠BPM+∠CPM=∠BPC=90°，∵Rt△ABP中，AP2=AB2+BP2=(x-1)2+12，Rt△DCP中，DP2=PC2+CD2=x2+(x-1)2，Rt△ADP中，AD2=AP2+DP2，∴AD2=AB2+BP2+PC2+CD2，即(1+x)2=(x-1)2+12+x2+(x-1)2，解得x1=，x2=（舍去），∴PC=，BC=AD=1+=，由折疊可得，AB=AB1=CD=CD1，∠DC1M=90°=∠AB1M，在△DC1M和△AB1M中，，∴△DC1M≌△AB1M（AAS），∴DM=AM=AD=，∴==，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于折疊問題，主要考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用以及等腰直角三角形的判定的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．12．（2020·上海嘉定區(qū)·九年級二模）七巧板由五個等腰直角三角形與兩個平行四邊形(其中的一個平行四邊形是正方形)組成．用七巧板可以拼出豐富多彩的圖形，圖中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH的面積與正方形ABCD的面積的比值為____．【答案】．【分析】四邊形是正方形，是等腰直角三角形，即可得出，設(shè)，則，即可得到正方形的面積為1，正方形的面積為8，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】四邊形是正方形，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，正方形的面積為1，是等腰直角三角形，，正方形的面積為8，正方形的面積與正方形的面積的比值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2021·上海徐匯區(qū)·九年級一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，以為邊在外作正方形，分別聯(lián)結(jié)、，與交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時，求正方形的面積；（2）延長交于點(diǎn)，如果和相似，求的值；（3）當(dāng)時，求的長．

【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用勾股定理求出AB的長，設(shè)CD=x，則AD=12-x，利用勾股定理得出132=x2+(12-x)2+(5+x)2+x2，求出x的值，再利用正方形的面積公式求解即可；（2）先證∠BAC=∠EBF，設(shè)邊長為x，利用三角函數(shù)求出x的值，再求∠ABE的正弦值即可；（3）設(shè)邊長為x，利用△BCG∽△EDG，得出，然后聯(lián)立，根據(jù)AG=AE，求解即可．【詳解】解：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB=，設(shè)CD=x，則AD=12-x，在△ADE中，AE2=DE2+AD2=x2+(12-x)2，在△BFE中，BE2=BF2+EF2=(5+x)2+x2，在△ABE中，AE⊥BE，∴AB2=AE2+BE2，即132=x2+(12-x)2+(5+x)2+x2，解得x=，∴正方形的面積=CD2=×=；（2）如圖：延長ED交AB于H，∵△BEH∽△ABG，且∠ABG=∠EBH，∴∠BEH=∠BAG，∵DE∥EF，∴∠BEH=∠EBF，∴∠BAC=∠EBF，設(shè)邊長為x，則tan∠EBF=，tan∠BAC=，令=，則x=,∵，∵，∴BH=13-AH=，HD=，∴HE=HD+x=，過H作HM，與BE相交于M，,；（3）∵DE//BC,∴△BCG∽△EDG，設(shè)邊長為x，∴，∵DG+GC=x，∴DG=，GC=，則，令A(yù)G=AE，則CD=x=或x=（舍去）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定及利用三角函數(shù)求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線，表示相關(guān)線段的長度．14．（2021·上海松江區(qū)·九年級期末）如圖，垂直于水平面的5G信號塔AB建在垂直于水平面的懸崖邊B點(diǎn)處（點(diǎn)A、B、C在同一直線上），某測量員從懸崖底C點(diǎn)出發(fā)沿水平方向前行60米到D點(diǎn)，再沿斜坡DE方向前行65米到E點(diǎn)（點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)E處測得5G信號塔頂端A的仰角為37°，懸崖BC的高為92米，斜坡DE的坡度．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求斜坡DE的高EH的長；（2）求信號塔AB的高度．【答案】（1）25米；（2）23米【分析】（1）斜坡DE的坡度，推得EH：HD=1：2.4，在Rt△EHD中，由勾股定理，求出EH即可；（2）過E作EF⊥AC于F，得四邊形EFCH為矩形，利用矩形性質(zhì)得CF=EH=25米，EF=HC=120米，在Rt△EFA中，利用AF=EF×tan∠AEF求得AF長，再根據(jù)AB=AF+FC-BC進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）∵斜坡DE的坡度，∴EH：HD=1：2.4，∴HD=2.4HE，在Rt△EHD中，由勾股定理即，∴,∴EH=25米；（2）過E作EF⊥AC于F，則四邊形EFCH為矩形，CF=EH=25米，DH=2.4EH=60米，EF=HC=HD+DC=60+60=120米，∵在點(diǎn)E處測得5G信號塔頂端A的仰角為37°，∴∠AEF=37o，在Rt△EFA中，AF=EF×tan∠AEF=120×0.75=90米，AB=AF+FC-BC=90+25-92=23米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形問題，掌握坡比定義，仰角定義，銳角三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)，注意坡比，仰角，銳角三角函數(shù)都在直角三角形中使用．15．（2021·上海松江區(qū)·九年級期末）如圖，已知在中，，，點(diǎn)D在邊BC上，，連接AD，．（1）求邊AC的長；（2）求的值．【答案】（1）6；（2）．【分析】（1）設(shè)AC=3x，根據(jù)，可求出AB長度，再根據(jù)勾股定理可求出BC長度，即可得到CD長，最后由，可解出x的值．即