安徽省太和縣民族中學2025年高三下學期3月測試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”．如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦至少有2個陽爻的概率是（）A． B． C． D．2．設分別是雙曲線的左右焦點若雙曲線上存在點，使，且，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．3．如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A． B． C． D．4．已知為定義在上的奇函數，且滿足當時，，則（）A． B． C． D．5．已知在中，角的對邊分別為，若函數存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．6．某學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學有34人，則的值為（）A．100 B．1000 C．90 D．907．如圖，正四面體的體積為，底面積為，是高的中點，過的平面與棱、、分別交于、、，設三棱錐的體積為，截面三角形的面積為，則（）A．， B．，C．， D．，8．直線與拋物線C：交于A，B兩點，直線，且l與C相切，切點為P，記的面積為S，則的最小值為A． B． C． D．9．已知在平面直角坐標系中，圓：與圓：交于，兩點，若，則實數的值為（）A．1 B．2 C．-1 D．-210．如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE.，異面直線SC與OE所成角的正切值為（）A． B． C． D．11．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．12．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數的最小正周期是_______________，單調遞增區間是__________.14．已知函數是偶函數，直線與函數的圖象自左向右依次交于四個不同點A，B，C，D．若AB＝BC，則實數t的值為_________．15．如圖所示，在邊長為4的正方形紙片中，與相交于.剪去，將剩余部分沿，折疊，使、重合，則以、、、為頂點的四面體的外接球的體積為________.16．已知為雙曲線：的左焦點，直線經過點，若點，關于直線對稱，則雙曲線的離心率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數的圖象向左平移后與函數圖象重合.（1）求和的值；（2）若函數，求的單調遞增區間及圖象的對稱軸方程.18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線l的參數方程為（為參數），以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為4sin.（1）求曲線C的普通方程；（2）求曲線l和曲線C的公共點的極坐標.19．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，，成等差數列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，），點.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程，并指出其形狀；（2）曲線與曲線交于，兩點，若，求的值.21．（12分）百年大計，教育為本.某校積極響應教育部號召，不斷加大拔尖人才的培養力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長班進行專項培訓.據統計有如下表格.（其中表示通過自主招生獲得降分資格的學生人數，表示被清華、北大等名校錄取的學生人數）年份（屆）2014201520162017201841495557638296108106123（1）通過畫散點圖發現與之間具有線性相關關系，求關于的線性回歸方程；（保留兩位有效數字）（2）若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學生人數為61人，預測2019年高考該校考人名校的人數；（3）若從2014年和2018年考人名校的學生中采用分層抽樣的方式抽取出5個人回校宣傳，在選取的5個人中再選取2人進行演講，求進行演講的兩人是2018年畢業的人數的分布列和期望.參考公式：，參考數據：，，，22．（10分）a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊.已知a＝3，，且B＝60°.（1）求△ABC的面積；（2）若D，E是BC邊上的三等分點，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種；“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻（即6個全部是陰爻）的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選：C【點睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎題.2．A【解析】

由及雙曲線定義得和（用表示），然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率．【詳解】由題意∵，∴由雙曲線定義得，從而得，，在中，由余弦定理得，化簡得．故選：A．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是應用雙曲線定義用表示出到兩焦點的距離，再由余弦定理得出的齊次式．3．A【解析】

根據三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據三視圖中的數據直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：其中，底面為直角三角形，，，高為.∴該幾何體的體積為故選：A.【點睛】本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎題.4．C【解析】

由題設條件，可得函數的周期是，再結合函數是奇函數的性質將轉化為函數值，即可得到結論.【詳解】由題意，，則函數的周期是，所以，，又函數為上的奇函數，且當時，，所以，.故選：C.【點睛】本題考查函數的周期性，由題設得函數的周期是解答本題的關鍵，屬于基礎題.5．C【解析】

求出導函數，由有不等的兩實根，即可得不等關系，然后由余弦定理可及余弦函數性質可得結論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【點睛】本題考查導數與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關鍵．6．A【解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在的同學的頻率，再結合支出在（單位：元）的同學有34人，即得解【詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學的頻率為．故選：A【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用，考查了學生概念理解，數據處理，數學運算的能力，屬于基礎題.7．A【解析】

設，取與重合時的情況，計算出以及的值，利用排除法可得出正確選項.【詳解】如圖所示，利用排除法，取與重合時的情況.不妨設，延長到，使得．，，，，則，由余弦定理得，，，又，，當平面平面時，，，排除B、D選項；因為，，此時，，當平面平面時，，，排除C選項.故選：A.【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計算公式、排除法，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于難題．8．D【解析】

設出坐標，聯立直線方程與拋物線方程，利用弦長公式求得，再由點到直線的距離公式求得到的距離，得到的面積為，作差后利用導數求最值．【詳解】設，，聯立，得則，則由，得設，則，則點到直線的距離從而．令當時，；當時，故，即的最小值為本題正確選項：【點睛】本題考查直線與拋物線位置關系的應用，考查利用導數求最值的問題．解決圓錐曲線中的面積類最值問題，通常采用構造函數關系的方式，然后結合導數或者利用函數值域的方法來求解最值.9．D【解析】

由可得，O在AB的中垂線上，結合圓的性質可知O在兩個圓心的連線上，從而可求.【詳解】因為，所以O在AB的中垂線上，即O在兩個圓心的連線上，，，三點共線，所以，得，故選D.【點睛】本題主要考查圓的性質應用，幾何性質的轉化是求解的捷徑.10．D【解析】

可過點S作SF∥OE，交AB于點F，并連接CF，從而可得出∠CSF（或補角）為異面直線SC與OE所成的角，根據條件即可求出，這樣即可得出tan∠CSF的值.【詳解】如圖，過點S作SF∥OE，交AB于點F，連接CF，則∠CSF（或補角）即為異面直線SC與OE所成的角，∵，∴，又OB＝3，∴，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴，∴等腰△SCF中，.故選：D.【點睛】本題考查了異面直線所成角的定義及求法，直角三角形的邊角的關系，平行線分線段成比例的定理，考查了計算能力，屬于基礎題.11．A【解析】由題意得到該幾何體是一個組合體，前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐，體積為故答案為A.點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據三視圖進行調整.12．B【解析】

因為,所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，，【解析】

化簡函數的解析式，利用余弦函數的圖象和性質求解即可．【詳解】函數，最小正周期，令，，可得，，所以單調遞增區間是，，．故答案為：，，，．【點睛】本題主要考查了二倍角的公式的應用，余弦函數的圖象與性質，屬于中檔題．14．【解析】

由是偶函數可得時恒有，根據該恒等式即可求得，，的值，從而得到，令，可解得，，三點的橫坐標，根據可列關于的方程，解出即可．【詳解】解：因為是偶函數，所以時恒有，即，所以，所以，解得，，；所以；由，即，解得；故，．由，即，解得．故，．因為，所以，即，解得，故答案為：．【點睛】本題考查函數奇偶性的性質及二次函數的圖象、性質，考查學生的計算能力，屬中檔題．15．【解析】

將三棱錐置入正方體中，利用正方體體對角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知，將三棱錐置入正方體中，如圖所示，，故正方體體對角線長為，所以外接球半徑為，其體積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球的體積問題，一般在處理特殊幾何體的外接球問題時，要考慮是否能將其置入正（長）方體中，是一道中檔題.16．【解析】

由點，關于直線對稱，得到直線的斜率，再根據直線過點，可求出直線方程，又，中點在直線上，代入直線的方程，化簡整理，即可求出結果.【詳解】因為為雙曲線：的左焦點，所以，又點，關于直線對稱，，所以可得直線的方程為，又，中點在直線上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因為，所以.故答案為【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質，先由兩點對稱，求出直線斜率，再由焦點坐標求出直線方程，根據中點在直線上，即可求出結果，屬于常考題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），；（2），，.【解析】

（1）直接利用同角三角函數關系式的變換的應用求出結果．（2）首先把函數的關系式變形成正弦型函數，進一步利用正弦型函數的性質的應用求出結果．【詳解】（1）由題意得，，（2）由，解得，所以對稱軸為，.由，解得，所以單調遞增區間為.,【點睛】本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數的性質的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力，屬于基礎題型．18．（1）（2）(2，)．【解析】

（1）利用極坐標和直角坐標的轉化公式求解.（2）先把兩個方程均化為普通方程，求解公共點的直角坐標，然后化為極坐標即可.【詳解】（1）∵曲線C的極坐標方程為，∴，則,即.（2），∴，聯立可得，（舍）或，公共點(，3)，化為極坐標(2，)．【點睛】本題主要考查極坐標和直角坐標的轉化及交點的求解，熟記極坐標和直角坐標的轉化公式是求解的關鍵，交點問題一般是統一一種坐標形式求解后再進行轉化，側重考查數學運算的核心素養.19．見解析【解析】

（1）因為，，成等差數列，所以，由余弦定理可得，因為，所以，即，所以．（2）若B為直角，則，，由及正弦定理可得，所以，即，上式兩邊同時平方，可得，所以（*）．又，所以，，所以，與（*）矛盾，所以不存在滿足為直角．20．（1），以為圓心，為半徑的圓；（2）【解析】

（1）根據極坐標與直角坐標的互化公式，直接得到的直角坐標方程并判斷形狀；（2）聯立直線參數方程與的直角坐標方程，根據直線參數方程中的幾何意義結合求解出的值.【詳解】解：（1）由，得，所以，即，.所以曲線是以為圓心，為半徑的圓.（2）將代入，整理得.設點，所對應的參數分別為，，則，.，解得，則.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化以