試題PAGE1試題2023-2024學年江蘇省南京市鼓樓區八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的）1．（2分）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列各組數中，是勾股數的一組是（）A．0.3，0.4，0.5 B．13，14，C．32，42，52 D．8，15，173．（2分）如圖中的兩個三角形全等，則∠α等于（）A．50° B．60° C．70° D．無法確定4．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D，要使△ABC≌△CDA，可添加下列選項中的（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB∥CD D．∠B＝∠CAB5．（2分）學校一角的形狀如圖所示，其中AB，BC，CD表示圍墻，若在線段右側的區域中找到一點P修建一座朗讀亭，使點P到三面墻的距離都相等．則點P在（）A．線段AC、BD的交點 B．線段AB、BC垂直平分線的交點 C．線段BC、CD垂直平分線的交點 D．∠ABC、∠BCD角平分線的交點6．（2分）下列說法中，正確的有（）①如果△ABC是直角三角形，那么a2+b2＝c2一定成立；②如果△ABC不是直角三角形，那么a2+b2≠c2；③△ABC中，如果a2﹣b2＝c2，那么△ABC是直角三角形；④△ABC中，如果a2+b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）7．（2分）在直角三角形中，一個銳角是36°，另一個銳角是°．8．（2分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A＝°．9．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB、AC為邊的正方形的面積分別為S1、S2，若S1＝31，S2＝15，則BC的長為．10．（2分）如圖，△ABC是邊長為16的等邊三角形，D是BC上一點，BD＝6，DE⊥BC交AB于點E，則線段AE＝．11．（2分）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D，E，連接BE．若BD＝3cm，△ABC的周長為16cm，則△BCE的周長為cm．12．（2分）如圖，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經過點O，且MN∥BC，若AB＝12，AC＝15，則△AMN的周長是．13．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延長線上的點，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于點F，若DC＝7.8，BF＝3，則AF的長為＝．14．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝15，AC＝9，則BD的長是．15．（2分）如圖，AB，CD相交于點E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，則∠B的度數是．16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點M、N分別為BC、AB上的動點，則AM+MN的最小值為．三、解答題（本大題共9小題，共68分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出演算步驟或文字說明）17．（6分）如圖，已知點B、E、F、C在同一條直線上，BE＝CF，AF∥DE，AF＝DE，求證：AB∥CD．18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝13，點D為AB上一點，且滿足CD＝12，BD＝5．（1）判斷△BCD的形狀，并說明理由；（2）求AC的長．19．（6分）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，點M是BC的中點，連接ME、MD、DE．（1）求證：△DEM為等腰三角形；（2）直接寫出∠EMD與∠ABD之間的數量關系：．20．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別在AC、AB上，AD＝AE，BD、CE相交于點O．（1）求證：OB＝OC；（2）連接AO，求證：AO⊥BC．21．（8分）如圖，△ABE、△ACD都是等邊三角形，且B、E、C三點在一條直線上．（1）求∠AED的度數；（2）若點M、N分別是線段BC和DE的中點，連接AM，MN，NA，試判斷△AMN的形狀，并說明理由．22．（8分）如圖，點E在BC上，AC⊥CB，DB⊥BC，且AC＝BE，AB＝DE．（1）求證：CE＝BD﹣AC；（2）若△ABC的三邊長分別為a，b，c，利用此圖證明勾股定理．23．（7分）如圖，在每個小正方形邊長為1的網格中，A，B，C為格點，點P為線段AB上一點，僅用無刻度的直尺在給定的網格中畫圖．（友情提醒：保留作圖痕跡，并用黑筆描線加深）（1）AB的長等于；（2）在圖1中，畫出△ABC的角平分線BD；（3）在圖2中，在線段BC上畫點Q，使得BP＝BQ．24．（8分）如圖，點A、D、E在一條直線上，AB＝AC，∠BDE＝∠CDE＜90°，求證：BD＝CD．小虎同學的證明過程如下：證明：∵∠BDE＝∠CDE，∴∠ADB＝∠ADC，…第一步又∵AD＝AD，AB＝AC，∴△ABD≌△ACD，…第二步∴BD＝CD．…第三步（1）小虎同學的證明過程中，第步出現錯誤；（2）請寫出正確的證明過程．25．（9分）【教材呈現】如圖是蘇教版八年級上冊數學教材65頁的部分內容．定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．小明給出上述定理證明中的部分演繹推理的過程如下：已知：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD為斜邊AB上的中線．求證：CD=1證明：如圖2，過點A作AE∥BC，交CD的延長線于點E．【問題解決】請結合圖2將證明過程補充完整．【問題再探】如圖3，將Rt△ABC的BC邊沿著斜邊上的中線CD折疊到CF，連接AF、BF．（1）求證：∠AFB＝90°；（2）若AC＝8，BC＝15，直接寫出AF＝．

2023-2024學年江蘇省南京市鼓樓區八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的）1．（2分）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的定義，判斷即可．【解答】解：B選項圖形無法找到一條直線，使圖形沿直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，不是軸對稱圖形；A，C，D選項均能找到一條直線，使圖形沿直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，為軸對稱圖形；故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形的識別．解題的關鍵在于熟練掌握：在平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形．2．（2分）下列各組數中，是勾股數的一組是（）A．0.3，0.4，0.5 B．13，14，C．32，42，52 D．8，15，17【分析】根據一組數據中，較小兩個數的平方和等于較大一個數的平方，且3個數都為正整數，這組數為勾股數逐一判斷即可得出結論．【解答】解：∵0.3，0.4，0.5與13，14，∴這組數不是勾股數，∴AB不符合題意；∵92+162≠252，∴這組數不是勾股數，∴C不符合題意；∵82+152＝172，∴這組數是勾股數，∴D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了勾股數的判定，熟練掌握勾股數的判定是解題的關鍵．3．（2分）如圖中的兩個三角形全等，則∠α等于（）A．50° B．60° C．70° D．無法確定【分析】根據全等三角形對應角相等可知∠α是a、b邊的夾角，然后寫出即可．【解答】解：∵兩個三角形全等，∴∠α的度數＝180°﹣60°﹣70°＝50°．故選：A．【點評】本題考查了全等三角形對應角相等，根據對應邊的夾角準確確定出對應角是解題的關鍵．4．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D，要使△ABC≌△CDA，可添加下列選項中的（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB∥CD D．∠B＝∠CAB【分析】根據已知可得到∠B＝∠D，AC＝AC，然后根據各個選項中的條件，分別判斷即可．【解答】解：A、添加AB＝CD，不能證明△ABC≌△CDA，不符合題意；B、添加AD＝BC，不能證明△ABC≌△CDA，不符合題意；C、添加AB∥CD，得出∠BAC＝∠DCA，利用AAS證明△ABC≌△CDA，符合題意；D、添加∠B＝∠CAB，不能證明△ABC≌△CDA，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關鍵是明確全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS．5．（2分）學校一角的形狀如圖所示，其中AB，BC，CD表示圍墻，若在線段右側的區域中找到一點P修建一座朗讀亭，使點P到三面墻的距離都相等．則點P在（）A．線段AC、BD的交點 B．線段AB、BC垂直平分線的交點 C．線段BC、CD垂直平分線的交點 D．∠ABC、∠BCD角平分線的交點【分析】根據角平分線的性質可得出答案．【解答】解：點P是∠ABC、∠BCD角平分線的交點，理由如下：過點P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，如圖所示：∵點P是∠ABC、∠BCD角平分線的交點，∴PE＝PF，PH＝PF，∴PE＝PF＝PH，即點P到AB，BC，CD的距離相等．故選：D．【點評】此題主要考查了角平分線的性質，準確識圖，理解角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解決問題的關鍵．6．（2分）下列說法中，正確的有（）①如果△ABC是直角三角形，那么a2+b2＝c2一定成立；②如果△ABC不是直角三角形，那么a2+b2≠c2；③△ABC中，如果a2﹣b2＝c2，那么△ABC是直角三角形；④△ABC中，如果a2+b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由勾股定理和勾股定理的逆定理分別對各個說法進行判斷即可．【解答】解：①如果△ABC是直角三角形，且c是斜邊，那么a2+b2＝c2一定成立；故①不正確；②△ABC不是直角三角形，則任何兩邊的平方和都不等于第三邊的平方，故②正確；③∵a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，故③正確；④△ABC中，如果a2+b2≠c2，且c是最長邊，那么△ABC不是直角三角形，故④不正確；綜上所述，正確的說法有2個，故選：B．【點評】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）7．（2分）在直角三角形中，一個銳角是36°，另一個銳角是54°．【分析】根據直角三角形的兩銳角互余計算即可．【解答】解：∵直角三角形的一個銳角是36°，∴另一個銳角是：90°﹣36°＝54°，故答案為：54．【點評】本題考查的是直角三角形的性質，熟記直角三角形的兩銳角互余是解題的關鍵．8．（2分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A＝80°．【分析】根據等腰三角形性質即可直接得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣50°×2＝80°．故答案為：80．【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形的內角和定理；關鍵是根據等腰三角形的兩個底角相等解答．9．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB、AC為邊的正方形的面積分別為S1、S2，若S1＝31，S2＝15，則BC的長為4．【分析】由以AB、AC為邊的正方形的面積分別為S1、S2，且S1＝31，S2＝15，得AB2＝31，AC2＝15，即可根據勾股定理求得BC．【解答】解：∵以AB、AC為邊的正方形的面積分別為S1、S2，且S1＝31，S2＝15，∴AB2＝31，AC2＝15，∵∠ACB＝90°，∴BC=A∴BC的長為4，故答案為：4．【點評】此題重點考查正方形的性質、勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．10．（2分）如圖，△ABC是邊長為16的等邊三角形，D是BC上一點，BD＝6，DE⊥BC交AB于點E，則線段AE＝4．【分析】根據等邊三角形的性質可得AB＝16，∠B＝60°，再根據垂直定義可得∠EDB＝90°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠BED＝30°，從而利用含30度角的直角三角形的性質可得BE＝12，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝16，∠B＝60°，∵ED⊥BC，∴∠EDB＝90°，∴∠BED＝90°﹣∠B＝30°，∵BD＝6，∴BE＝2BD＝12，∴AE＝AB﹣BE＝16﹣12＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了含30度角的直角三角形，等邊三角形的性質，熟練掌握含30度角的直角三角形，以及等邊三角形的性質是解題的關鍵．11．（2分）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D，E，連接BE．若BD＝3cm，△ABC的周長為16cm，則△BCE的周長為10cm．【分析】由已知條件，利用垂直平分線的性質可得其兩條邊AE＝BE，然后等效替換即可求出周長．【解答】解：∵ED垂直平分AB，∴AE＝BE，∴AD＝BD＝3cm，AB＝6cm，∵△ABC的周長為16cm，∴AC+BC＝16﹣6＝10（cm），△BCE的周長＝BC+CE+AE＝BC+CE+AE＝10（cm）．故答案為：10．【點評】本題考查了等腰三角形的性質及判定及垂直平分線的性質；進行線段的等量代換是正確解答本題的關鍵．12．（2分）如圖，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經過點O，且MN∥BC，若AB＝12，AC＝15，則△AMN的周長是27．【分析】根據角平分線的定義和平行線的性質可證△MBO和△NCO是等腰三角形，從而可得MB＝MO，NO＝NC，然后利用等量代換可得△AMN的周長＝AB+AC，進行計算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴MB＝MO，NO＝NC，∵AB＝12，AC＝15，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝12+15＝27，故答案為：27．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握根據角平分線的定義和平行線的性質可證等腰三角形是解題的關鍵．13．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延長線上的點，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于點F，若DC＝7.8，BF＝3，則AF的長為＝1.8．【分析】根據AAS證明△DBF與△ABC全等，利用全等三角形的性質解答即可．【解答】解：∵DE⊥AC于E，∴∠FDB+∠C＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠D+∠DFB＝90°，∴∠C＝∠BFD，在△DBF與△ABC中，∠C=∠BFD∠ABC=∠DBF=90°∴△DBF≌△ABC（AAS），∴BF＝BC，∵DC＝7.8，BF＝3，∴AF＝AB﹣BF＝BD﹣BF＝DC﹣BF﹣BF＝7.8﹣3﹣3＝1.8，故答案為：1.8．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據全等三角形的判定和性質解答．14．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝15，AC＝9，則BD的長是152【分析】過點D作DE⊥AB于點E，由AAS證明△ACD≌△AED（AAS），得出AE＝AC＝9，DE＝CD，再由勾股定理求出BC的長，設BD＝x，則CD＝DE＝12﹣x，在Rt△BDE中由勾股定理得出方程求解即可．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，又∵AD＝AD，∠C＝∠DEA＝90°，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AE＝AC＝9，DE＝CD，∴BE＝AB﹣AE＝15﹣9＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=A設BD＝x，則CD＝DE＝12﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2＝BD2，∴（12﹣x）2+62＝x2，解得x=15∴BD=15故答案為：152【點評】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質，熟記勾股定理是解題的關鍵．15．（2分）如圖，AB，CD相交于點E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，則∠B的度數是48°．【分析】根據全等三角形的性質得出∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，AE＝AC，根據等腰三角形的性質得出∠AEC＝∠ACE，求出∠AEC的度數，再根據三角形的外角性質求出答案即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∵∠BAC＝28°，∴∠AEC＝∠ACE=12（180°﹣∠∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，∴∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，∴∠B＝∠D＝∠AEC﹣∠DAE＝76°﹣28°＝48°，故答案為：48°．【點評】本題考查了全等三角形的性質，三角形內角和定理，三角形的外角性質，等腰三角形的性質等知識點，注意：①全等三角形的對應邊相等，對應角相等，②等邊對等角．16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點M、N分別為BC、AB上的動點，則AM+MN的最小值為245【分析】作A關于CB的對稱點D，連接DM，DN，BD，推出AM＝MD，CD＝AC＝3，由三角形三邊關系得到NM+AM≥DN，當DN⊥AB時，DN長最小，由勾股定理求出BC=AB2?AC2=4，由三角形面積公式得到△ABD的面積=12AB?DN=12AD?【解答】解：作A關于CB的對稱點D，連接DM，DN，BD，∴AM＝MD，CD＝AC＝3，∵MN+MD≥DN，∴NM+AM≥DN，當DN⊥AB時，DN長最小，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC=A∵△ABD的面積=12AB?DN=12∴5DN＝6×4，∴DN=∴AM+MN的最小值是245故答案為：245【點評】本題考查軸對稱﹣最短路線問題，關鍵是由軸對稱的性質得到DM＝AM，由三角形三邊關系得到NM+AM≥DN，由三角形的面積公式即可求出DN的長．三、解答題（本大題共9小題，共68分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出演算步驟或文字說明）17．（6分）如圖，已知點B、E、F、C在同一條直線上，BE＝CF，AF∥DE，AF＝DE，求證：AB∥CD．【分析】根據平行線的性質和等式的性質得出∠AFB＝∠DEC，BF＝CE，進而利用SAS證明△AFB與△DEC全等，進而利用全等三角形的性質解答即可．【解答】證明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵AF∥DE，∴∠AFB＝∠DEC，在△AFB與△DEC中，AF=DE∠AFB=∠DEC∴△AFB≌△DEC（SAS），∴∠B＝∠C，∴AB∥CD．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是利用SAS證明△AFB與△DEC全等解答．18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝13，點D為AB上一點，且滿足CD＝12，BD＝5．（1）判斷△BCD的形狀，并說明理由；（2）求AC的長．【分析】（1）由BC＝13，CD＝12，BD＝5，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BCD為直角三角形，（2）由（1）推出∠ADC＝90°，根據勾股定理可求出AC的長．【解答】解：（1）△BCD為直角三角形，理由如下：∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，∴BC2＝BD2+CD2，∴△BCD為直角三角形；（2）設AB＝x，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝x，∵△BCD為直角三角形，且∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AC2＝AD2+CD2，即x2＝（x﹣5）2+122，解得x＝16.9，∴AC＝16.9．【點評】此題考查逆定理的應用、勾股定理，解題關鍵是根據勾股定理的逆定理推出△BCD為直角三角形．19．（6分）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，點M是BC的中點，連接ME、MD、DE．（1）求證：△DEM為等腰三角形；（2）直接寫出∠EMD與∠ABD之間的數量關系：∠EMD＝2∠ABD．【分析】（1）根據垂直定義可得∠CEB＝∠CDB＝90°，然后利用直角三角形的斜邊上的中線性質可得EM＝BM=12BC，DM＝CM=12BC，從而可得（2）利用（1）的結論和等腰三角形的性質可得∠ABC＝∠MEB，∠DCM＝∠CDM，從而利用三角形內角和定理可得∠EMB＝180°﹣2∠ABC，∠DMC＝180°﹣2∠ACB，然后利用平角定義以及三角形內角和定理可得可得∠EMD＝180°﹣∠EMB﹣∠DMC＝180°﹣2∠A，再根據垂直定義可得∠ADB＝90°，從而可得∠A＝90°﹣∠ABD，最后進行計算可得∠EMD＝2∠ABD，即可解答．【解答】（1）證明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠CEB＝∠CDB＝90°，∵點M是BC的中點，∴EM＝BM=12BC，DM＝CM=∴EM＝DM，∴△DEM為等腰三角形；（2）解：∠EMD＝2∠ABD，理由：∵EM＝MB，DM＝CM，∴∠ABC＝∠MEB，∠DCM＝∠CDM，∴∠EMB＝180°﹣∠ABM﹣∠MEB＝180°﹣2∠ABC，∠DMC＝180°﹣∠ACB﹣∠CDM＝180°﹣2∠ACB，∴∠EMD＝180°﹣∠EMB﹣∠DMC＝180°﹣（180°﹣2∠ABC）﹣（180°﹣2∠ACB）＝2∠ABC+2∠ACB﹣180°＝2（∠ABC+∠ACB）﹣180°＝2（180°﹣∠A）﹣180°＝360°﹣2∠A﹣180°＝180°﹣2∠A，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABD，∴∠EMD＝180°﹣2（90°﹣∠ABD）＝2∠ABD，即：∠EMD＝2∠ABD，故答案為：∠EMD＝2∠ABD．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線，三角形內角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定與性質，以及直角三角形斜邊上的中線是解題的關鍵．20．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別在AC、AB上，AD＝AE，BD、CE相交于點O．（1）求證：OB＝OC；（2）連接AO，求證：AO⊥BC．【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△ACE，由全等三角形的性質可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性質可得∠ABC＝∠ACB，可證∠OBC＝∠OCB，可得OB＝OC．（2）根據SAS證明△AEO與△ADO全等，進而利用全等三角形的性質和等腰三角形的三線合一的性質解答即可．【解答】（1）證明：在△ABD與△ACE中，AB=AC∠A=∠A∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC．（2）證明：連接AO，∵△ABD≌△ACE，∴∠AEO＝∠ADO，BD＝CE，∵OB＝OC，∴EO＝OD，在△AEO與△ADO中，AE=AD∠AEO=∠ADO∴△AEO≌△ADO（SAS），∴∠EAO＝∠DAO，∵AB＝AC，∴AO⊥BC．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，證明△ABE≌△ACD是本題的關鍵．21．（8分）如圖，△ABE、△ACD都是等邊三角形，且B、E、C三點在一條直線上．（1）求∠AED的度數；（2）若點M、N分別是線段BC和DE的中點，連接AM，MN，NA，試判斷△AMN的形狀，并說明理由．【分析】（1）根據等邊三角形的性質，得出AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝60°，再根據角之間的數量關系，得出∠BAC＝∠EAD，再根據“邊角邊”得出△ABC≌△AED，再根據全等三角形的性質，即可得出∠AED的度數；（2）根據全等三角形的性質和等邊三角形的判定解答即可．【解答】（1）解：∵△ABE，△ACD都是等邊三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝60°，∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC和△AED中，AB=AE∠BAC=∠EAD∴△ABC≌△AED（SAS），∴∠AED＝∠ABC＝60°；（2）解：如圖；△AMN為等邊三角形，理由如下：由（1）可知，△ABC≌△ACD，∴BC＝ED，∠B＝∠AED，∵點M、N分別是線段BC和DE的中點，∴BM=12BC，EN=∴BM＝EN，在△BAM與△EAN中，AB=BE∠B=∠AED∴△BAM≌△EAN（SAS），∴∠BAM＝∠EAN，AM＝AN，∵∠BAM﹣∠EAM＝∠EAN﹣∠EAM，∴∠BAE＝∠MAN＝60°，∴△AMN是等邊三角形．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據“邊角邊”得出△ABC≌△AED解答．22．（8分）如圖，點E在BC上，AC⊥CB，DB⊥BC，且AC＝BE，AB＝DE．（1）求證：CE＝BD﹣AC；（2）若△ABC的三邊長分別為a，b，c，利用此圖證明勾股定理．【分析】（1）根據HL證明Rt△ABC與Rt△EBD全等，進而利用全等三角形的性質解答即可；（2）連接AD，AE，根據全等三角形的性質和面積公式證明勾股定理解答即可．【解答】（1）證明：∵AC⊥CB，DB⊥BC，∴∠C＝∠DBC＝90°，在Rt△ABC與Rt△EBD中，AC=BEAB=DE∴Rt△ABC≌Rt△EBD（HL），∴BC＝BD，AC＝BE，∴CE＝BC﹣BE＝BD﹣AC；（2）解：由（1）可知Rt△ABC≌Rt△EBD，∴DE＝AB＝c，EB＝AC＝b，BD＝BC＝a，∠ABC＝∠EDB，∵∠ABC+∠ABD＝90°，∴∠ABD+∠EDB＝90°，∴∠DOB＝180°﹣90°＝90°，連接AD，AE，S梯形ACBD=1∵S梯形ACBD＝S△ACE+S△AED+S△BED=1=1=1=1∴12即a2+b2＝c2．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據HL證明Rt△ABC與Rt△EBD全等解答．23．（7分）如圖，在每個小正方形邊長為1的網格中，A，B，C為格點，點P為線段AB上一點，僅用無刻度的直尺在給定的網格中畫圖．（友情提醒：保留作圖痕跡，并用黑筆描線加深）（1）AB的長等于5；（2）在圖1中，畫出△ABC的角平分線BD；（3）在圖2中，在線段BC上畫點Q，使得BP＝BQ．【分析】（1）由勾股定理可得AB＝5；（2）取格點E，連接BE并延長交AC于D，BD即為所求；（3）取格點K，使BK＝BA，連接KP交BD于T，連接AT并延長交BC于Q，Q即為所求的點．【解答】解：（1）AB=3故答案為：5；（2）取格點E，連接BE并延長交AC于D，如圖：BD即為所求；理由：由圖可知AB＝5，BE＝25，AE=5∴BE2+AE2＝AB2，∴∠AEB＝90°，過E作EF⊥AB于F，∵2S△ABE＝AE?BE＝AB?EF，∴EF=AE?BE∴E到AB的距離等于E到BC的距離，∴BD是△ABC的角平分線；方法2：在BC上取點F，使BF＝5，連接AF，取AF的中點E，連接BE交AC于D，如圖：BD即為所求；（3）取格點K，使BK＝BA，連接KP交BD于T，連接AT并延長交BC于Q，如圖：Q即為所求的點；理由：∵AB＝BK，∠ABT＝∠KBT，BT＝BT，∴△ABT≌△KBT（SAS），∴∠BAT＝∠BKT，∵∠ABQ＝∠KBP，AB＝BK，∴△ABQ≌△KBP（ASA），∴BQ＝BP．【點評】本題考查作圖﹣應用與涉及作圖，解題的關鍵是掌握網格的特征和全等三角形判定與性質定理．24．（8分）如圖，點A、D、E在一條直線上，AB＝AC，∠BDE＝∠CDE＜90°，求證：BD＝CD．小虎同學的證明過程如下：證明：∵∠BDE＝∠CDE，∴∠ADB＝∠ADC，…第一步又∵AD＝AD，AB＝AC，∴△ABD≌△ACD，…第二步∴BD＝CD．…第三步（1）小虎同學的證明過程中，第二步出現錯誤；（2）請寫出正確的證明過程．【分析】（1）根據全等三角形的判定定理求解即可；（2）過點A分別作AG⊥CD交CD的延長線于點G，AF⊥BD交BD的延長線于點F，利用HL證明Rt△ABF≌RtACG，根據全等三角形的性質得出∠B＝∠C，利用AAS證明△ABD≌△ACD，根據全等三角形的性質即可得解．【解答】解：（1）小虎同學的證明過程中，第二步出現錯誤，故答案為：二；（2）如圖，過點A分別作AG⊥CD交CD的延長線于點G，AF⊥BD交BD的延長線于點F，∵∠BDE＝∠CDE，∠BDE＝∠ADF，∠ADG＝∠CDE，∴∠ADG＝∠A