27.2.1相似三角形的判定第二十七章

相

似第2課時

三邊成比例的兩個三角形相似

如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點，過點D作BC的平行線DE，交AC于點E.問題1

△ADE與△ABC的三個角分別相等嗎？問題2分別度量△ADE與△ABC的邊長，它們的邊

長是否對應成比例？BCADE相似三角形的引理三合作探究1.

已知：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有___對相似

三角形.3練一練CDABEFO相似具有傳遞性2.

若

△ABC

與

△A′B′C′

相似，

一組對應邊的長為AB

=3

cm，

A′B′=4

cm，那么△A′B′C′與

△ABC

的相似比是_____.4︰33.

若

△ABC

的三條邊長的比為3cm，5cm，6cm，

與其相似的另一個

△A′B′C′

的最小邊長為12

cm，

那么

A′B′C′

的最大邊長是______.24cm當堂練習1.

如圖，△ABC∽△DEF，相似比為1:2，若

BC=1，

則

EF

的長為

(

)A.

1B.

2C.

3D.

4BCAEFDB2.

如圖，在

△ABC

中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，

BC

=

4

cm，EF

長()AA.

1cmB.cmC.

3cmD.2cmABCEF3.

如圖，在

△ABC中，DE∥BC，則△____∽△____，

對應邊的比例式為

＝

＝ADEABC————．BCADE4.

已知

△ABC

∽

△A1B1C1，相似比是

1:4，△A1B1C1

∽△A2B2C2，相似比是1:5，則△ABC與△A2B2C2的

相似比為

.1:205.

如圖，在

□ABCD

中，EF∥AB，

DE

:EA

=

2:3，

EF

=

4，求

CD

的長．

解：∵EF∥AB，DE

:EA

=

2:3，DACBEF∴

即∴

△DEF∽△DAB，解得

AB=10.又∵四邊形

ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=10.6.

如圖，已知菱形

ABCD

內(nèi)接于△AEF，AE=5cm，

AF

=

4

cm，求菱形的邊長.

解：∵四邊形

ABCD為菱形，BCADEF∴CD∥AB，∴

設(shè)菱形的邊長為

xcm，則CD=AD=xcm，DF=(4－x)cm，∴

解得

x=∴菱形的邊長為cm.2.證明三角形全等有哪些方法？你能從中獲得證明三角形相似的啟發(fā)嗎？導入新課1.什么是相似三角形？在前面的課程中，我們學過哪

些判定三角形相似的方法？你認為這些方法是否有

其缺點和局限性？ABCDE復習引入3.類似于判定三角形全等的SSS方法，我們能不能通過三邊來判定兩個三角形相似呢？講授新課三邊成比例的兩個三角形相似合作探究

畫

△ABC和

△A′B′C′，使，動手量一量這兩個三角形的角，它們分別相等嗎？這兩個三角形是否相似？ABCC′B′A′ABCC′B′A′

通過測量不難發(fā)現(xiàn)∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因為兩個三角形的邊對應成比例，所以

△ABC

∽△A′B′C′.下面我們用前面所學得定理證明該結(jié)論.∴

C′B′A′證明:在線段

AB

(或延長線)

上截取

AD=A′B′，

過點

D

作

DE∥BC

交AC于點

E.∵

DE∥BC

，∴

△ADE

∽

△ABC.

∴DE=B′C′，EA=C′A′.

∴△ADE≌△A′B′C′，

△A′B′C′

∽△ABC.BCADE又

，AD=A′B′，

∴

，.由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理：三邊成比例的兩個三角形相似．歸納：∵

，∴

△ABC

∽

△A′B′C.符號語言：例1

判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由．ABC33.54DFE1.82.12.4典例精析解：在

△ABC

中，AB>BC>CA，在

△

DEF中，

DE>EF>FD.∴△ABC

∽

△DEF.ABC33.54DFE1.82.12.4∵，

，

，∴.方法總結(jié)：判定三角形相似的方法之一：如果題中給出了兩個三角形的三邊的長，分別算出三條對應邊的比值，看是否相等.注意：計算時最長邊與最長邊對應，最短邊與最短邊對應.

已知

△ABC和

△DEF，根據(jù)下列條件判斷它們是否相似.(3)AB=12，

BC=15，

AC＝24，DE＝16，EF＝20，

DF＝30.(2)AB=4，

BC=8，

AC＝10，DE＝20，EF＝16，

DF＝8；(1)AB=3，

BC=4，

AC＝6，DE＝6，

EF＝8，

DF＝9；是否否練一練例2

如圖，在

Rt△ABC

與

Rt△A′B′C′中，∠C

=∠C

′

=

90°，且

求證：△

A′B′C′∽△ABC.

證明：由已知條件得

AB=2A′B′，AC=2A′C′，

∴BC2=AB2－AC2=(2A′B′)2－(2A′C′)2=4A′B′2－4A′C′2=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′)2.∴△

A′B′C′∽△ABC.(三邊對應成比例的兩個三角形相似)∴BC=2B′C′，∴∠BAC=∠DAE，∠BAC

－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即

∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.

∴

△ABC∽△ADE(三邊成

比例的兩個三角形相似).例3

如圖，在

△ABC和

△ADE中，∠BAD=20°，求∠CAE的度數(shù).ABCDE解：∵解：在

△ABC和

△ADE中，∵AB

:CD

=

BC

:DE

=

AC

:AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.∴∠BAC－∠CAD=∠DAE－∠CAD，∴∠BAD=∠CAE.故圖中相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.

如圖，已知

AB

:AD

=

BC

:DE

=

AC

:AE，找出圖中相等的角(對頂角除外)，并說明你的理由.練一練ABCDE1.如圖，在大小為4×4的正方形網(wǎng)格中，是相似三

角形的是()①②③④A.

①和②

B.

②和③C.

①和③

D.

②和④C當堂練習2.如圖，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列結(jié)論

正確的是()

A.

△PAB∽△PCA

B.

△PAB∽△PDA

C.

△ABC∽△DBA

D.

△ABC∽△DCA

ACBPDC∵AB

:BC=

BD:AB=

AD:AC，∴△ABC∽△DBA，故選C.解析：設(shè)AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB=，AC=，AD=.3.

根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似：AB=4cm

，BC

=6cm

，AC

=8cm，A′B′=12cm

，B′C′=18cm

，A′C′=21cm.答案：不相似.4.

如圖，△ABC中，點

D，E，F(xiàn)

分別是

AB，BC，CA

的中點，求證：△ABC∽△EFD．∴

△ABC∽△EFD.證明：∵△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，∴∴5.

如圖，某地四個鄉(xiāng)鎮(zhèn)

A，B，C，D

之間建有公路，

已知

AB

=

14

千米，AD

=

28

千米，BD

=

21

千米，

DC

=

31.5

千米，公路

AB

與

CD

平行嗎？說出你

的理由.ACBD2814214231.5解：公路

AB

與

CD

平行.∴∴

△ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.ABCA'B'C'知識點1相似三角形對應線段的比

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為

，它們對應高線、對應中線、對應角平分線的比各是多少？知識探究

如圖，△ABC∽△A′B′C′，若相似比為k，它們對應高、對應中線、對應角平分線的比又各是多少？ABCA'B'C'知識探究相似三角形對應高的比等于相似比證明：∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B′=∠B．又∵∠A'D′B'=∠ADB=90°,∴△A′B′D′∽△ABD從而如圖，△A′B′C′∽△ABC，相似比為k，分別作BC，B′C′上的高AD，A′D′．求證：知識探究證明：∵△ABC∽△DEF.

相似三角形對應中線的比等于相似比.ABCMDEFN又∵AM、DN分別是△ABC和△DEF的中線.∴△ABM∽△DEN.求證：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分別為中線∴BC=2BM,EF=2EN,∴∴∴∠B=∠E,知識探究證明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,∠BAC=∠EDF.又∵AM、DN分別是∠BAC和∠EDF的角平分線.相似三角形對應角平分線的比等于相似比.ABCMDEFN求證：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分別為角平分線

∴∴∠BAM=∠EDN.∴△AMB∽△DNE.∴，，知識探究相似三角形對應中線、角平分線的比也等于相似比.相似三角形對應高的比等于相似比.一般地，我們有：

相似三角形對應線段的比等于相似比.

歸納總結(jié)知識探究解：∵△ABC∽△DEF，

DEFH例1

已知△ABC∽△DEF，BG、EH分別是△ABC和△DEF的角平分線，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.

求EH的長.∴∴，解得

EH=3.2.AGBC故EH的長為3.2cm.素養(yǎng)考點1利用相似三角形對應線段的比求線段的長度知識探究1.相似三角形對應邊的比為2∶3,那么相似比為________,對應角的角平分線的比為

.2∶

32∶

32.兩個相似三角形對應邊上的高的比為1∶4,若一個三角形的最長邊是為12，則另一個三角形的最長邊是_______.3或48鞏固練習相似三角形的周長比也等于相似比嗎？為什么？【想一想】知識探究相似三角形周長的比等于相似比.已知：求證：證明1：∴∴(等比性質(zhì))ACBB′A′C′∵△ABC∽△A′B′C′△ABC∽△A′B′C′知識探究ABC證明2：∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′相似三角形的周長比等于相似比∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為k∴A′B′C′知識探究3.相似三角形對應邊的比為2∶5,那么周長比為________.2∶54.兩個相似三角形周長的比為1∶7,則它們的相似比為_______,對應邊上角平分線的比為_______.1∶71∶7知識探究

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們的面積比是多少？ABCA'B'C'知識點2相似三角形面積的比知識探究由前面的結(jié)論，我們有ABCA'B'C'D'D知識探究∴幾何表述:相似三角形性質(zhì)定理:

相似三角形面積的比等于相似比的平方.

∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，歸納:∴A′B′C′ABC知識探究5.已知兩個三角形相似，請完成下列表格：相似比2

k……周長比……面積比10000……24100100kk2鞏固練習解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又

∵∠D=∠A，∴△DEF

∽

△ABC

，相似比為1:2.ABCDEF∴例2

如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.素養(yǎng)考點1利用相似三角形面積的比求面積或線段知識探究ABCDEF面積為

∴△DEF

的邊

EF上的高為，∵△ABC的邊

BC上的高為

6，面積為，知識探究6.如果兩個相似三角形的面積之比為4:9，較大三角形一邊上的高為18，則較小三角形對應邊上的高為______.

12鞏固練習例3

如圖，D，E分別是AC，AB上的點，已知△ABC的面積為100cm2，且，求四邊形BCDE的面積.

∴△ADE∽△ABC.∵它們的相似比為3:5，∴面積比為9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

素養(yǎng)考點2利用相似三角形面積的比求多邊形的面積(比）又∵△ABC的面積為100

cm2，∴△ADE的面積為36cm2.∴四邊形BCDE的面積為100－36=64(cm2).知識探究7.

如圖，這是圓桌正上方的燈泡（點A

）

發(fā)出的光線照射桌面形成陰影的示意圖，已知桌面的直徑為1.2米，桌面距離地面為1米，若燈泡距離地面3米，則地面上陰影部分的面積約為多少(結(jié)果保留兩位小數(shù))？ADEFCBH解：∵FH=1米，AH=3米，桌面的直徑為1.2米，

∴AF=AH－FH=2(米)，DF=1.2÷2=0.6(米).∵DF∥CH，∴△ADF∽△ACH，鞏固練習∴即解得CH=0.9米.(平方米).答：地面上陰影部分的面積為2.54平方米.∴陰影部分的面積為：ADEFCBH鞏固練習3.

把一個三角形變成和它相似的三角形，(1)如果邊長擴大為原來的5倍，那么面積擴大為原來的______倍；(2)如果面積擴大為原來的100倍，那么邊長擴大為原來的______倍.2510基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測4.

兩個相似三角形的一對對應邊分別是35cm、14cm，

(1)

它們的周長差60cm，這兩個三角形