7.4.2超幾何分布整體感知學習目標1．理解超幾何分布的概念及特征，能夠判斷隨機變量是否服從超幾何分布．(數學抽象)2．會利用公式求服從超幾何分布的隨機變量的概率和均值．(數學運算)3．能用超幾何分布的概率模型解決實際問題．(數據分析、數學運算)

二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n，p).若X~B(n,p)，則有二項分布的均值與方差：二點分布是特殊的二項分布.

E(X)=

,D(X)=

.npnp(1-p)復習回顧探究建構問題1

在含有5名男生的100名學生中，任選3人．(1)求其中恰有1名男生的概率表達式．

(2)求其中恰有2名男生的概率表達式．

新知探究

各次抽取的結果不獨立，故X不服從二項分布.則X的分布列是：

每次抽到次品的概率為0.04，且各次抽樣的結果相互獨立,此時X服從二項分布,即X～B(3，0.04).采用有放回抽樣采用不放回抽樣解：由題意可知，X可能的取值為0,1,2，3則X的分布列是：X0123P

新知探究問題2

已知100件產品中有4件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取3件．設抽取的3件產品中次品數為X，求隨機變量X的分布列.

概念生成一般地,假設一批產品共有N件,其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產品中的次品數,則X的分布列為:超幾何分布:其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

記為X~H(N,n,M).N—總體中的個體總數M—總體中的特殊個體總數(如次品總數)n—樣本容量k—樣本中的特殊個體數（如次品數)

概念理解超幾何分布:

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

當N=10,M=4時,N-M=6,n=3.當N=10,M=4時,N-M=6,n=8.k的第一個值是

m=max{0,3-6}=0,r=3;k的第一個值是

m=max{0,8-6}=2,r=4.追問1怎么去理解m＝max{0,n-(N-M)}的取值？超幾何分布:

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

①總體中含有兩類不同的個體；②不放回地抽取；③隨機變量是從總體中抽取的n個個體中某一類個體的數量.追問2

怎樣判斷一個變量是否服從超幾何分布？概念理解【微提醒】

(1)在超幾何分布的模型中，“任取n件”應理解為“不放回地一次取一件，連續取n件”．(2)超幾何分布的特點：①不放回抽樣；②考察對象分兩類；③實質是古典概型．[典例講評]1．下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由．(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數是6的骰子的個數記為X，求X的分布列；(2)有一批種子的發芽率為70%，任取10顆種子做發芽實驗，把實驗中發芽的種子的個數記為X，求X的分布列；(3)盒子中有紅球3只，黃球4只，藍球5只，任取3只球，把不是紅色的球的個數記為X，求X的分布列；(4)某班級有男生25人，女生20人．選派4名學生參加學校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數記為X，求X的分布列；(5)現有100臺平板電腦未經檢測，抽取10臺送檢，把檢驗結果為不合格的平板電腦的個數記為X，求X的分布列．×樣本沒有分類，，是重復試驗問題．×沒有給出不合格產品數，無法計算X的分布列√√×樣本都分為兩類，隨機變量X表示抽取n件樣本某類樣本被抽取的件數，是超幾何分布．反思領悟

判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布的方法(1)總體是否可分為兩類明確的對象．(2)是否為不放回抽樣．(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數．[學以致用]

1．(1)(多選)下列隨機事件中的隨機變量X不服從超幾何分布的是(

)A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數XB．從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優秀學生干部，選出女生的人數為XC．某射手的命中率為0.8，現對目標射擊1次，記命中目標的次數為XD．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數√√√B是超幾何分布探究2超幾何分布的均值探究問題3從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動．(1)如何求所選3人中恰有1名男生的概率；(2)求所選3人中男生人數X的分布列和均值．

X0123P

所以X的分布列為

新知探究：超幾何分布的均值問題3服從超幾何分布的隨機變量的均值是什么?設隨機變量X

服從超幾何分布，則X

可以解釋為從包含M件次品的N

件產品中，不放回地隨機抽取n

件產品中的次品數.令，則p是N件產品的次品率，而是抽取的n件產品的次品率.我們猜想下面對均值進行證明.證明：令m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.

由隨機變量的定義：當m>0時，當m=0時，類似可以證明結論依然成立.若隨機變量X服從超幾何分布，則有

新知探究：二項分布的均值我們猜想

√

√

反思領悟

(1)解答此類問題的關鍵是先分析隨機變量是否滿足超幾何分布．(2)注意公式中M，N，n的含義．[典例講評]3．在一次招聘中，主考官要求應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，并獨立完成所抽取的3道題．甲能正確完成其中的4道題，且每道題完成與否互不影響．規定至少正確完成其中2道題便可過關．記所抽取的3道題中，甲答對的題數為X，求X的分布列．

X123P故X的分布列為反思領悟

求超幾何分布的分布列的步驟

X3456P所以X的分布列為[典例講評]

4．某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；

(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的分布列及均值

X0123P

所以X的分布列為反思領悟

求超幾何分布均值的步驟(1)驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數N，M，n的值．(2)根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率．(3)利用均值公式求解．[學以致用]

2．(1)袋中有3個白球、1個紅球，從中任取2個球，取得1個白球得0分，取得1個紅球得2分，則所得分數X的均值為(

)A．0 B．1C．2 D．4√

(2)某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8道試題中隨機挑選4道進行作答，至少答對3道才能通過初試．在這8道試題中甲能答對6道，記甲答對試題的個數為X，則甲通過自主招生初試的概率為________，E(X)＝________．

3

問題4：二項分布、超幾何分布有什么區別和聯系？超幾何分布二項分布試驗類型

抽樣

抽樣試驗種數有

種物品有

種結果總體容量

個

個隨機變量取值的概率利用

計算利用

計算聯系不放回放回兩兩有限無限古典概型獨立重復試驗(1)對于同一模型，兩個分布的均值相同，但超幾何分布的方差較小，隨機變量的取值更集中于均值附近

[典例講評]

5．在10件產品中有2件次品，連續抽3次，每次抽1件．求：(1)不放回抽樣時，抽取次品數X的均值；

所以隨機變量X的分布列為X012P

反思領悟

不放回抽樣服從超幾何分布，放回抽樣服從二項分布，求均值時都可利用公式代入計算．(2)放回抽樣時，抽取次品數Y的均值與方差．[學以致用]

3．已知一個袋子中裝有大小形狀完全相同的3個白球和2個黑球．(1)若從袋中一次任取3個球，若取到的3個球中有X個黑球，求X的分布列及均值；(2)若從袋中每次隨機取出一個球，記下顏色后將球放回袋中，重復此過程，直至他連續2次取到黑球才停止，設他在第Y次取球后停止取球，求P(Y＝5)．

X012P

243題號1應用遷移√1．(多選)下列隨機變量中，服從超幾何分布的有(

)A．在10件產品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數為XB．從3臺甲型電腦和2臺乙型電腦中任取2臺，記X表示所取的2臺電腦中甲型電腦的臺數C．一名學生騎自行車上學，途中有6個交通崗，記此學生遇到紅燈的個數為隨機變量XD．從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數記為X√√C中顯然不能看作一個不放回抽樣問題23題號14

√

23題號41√

243題號14．盒子里有5個球，其中有3個白球、2個黑球，從中任取兩球，設取出白球的個數為ξ，則E(ξ)＝________．

回顧本節知識，自主完成以下問題：1．在產品抽樣檢驗中，若抽到的次品數服從超幾何分布，則抽樣有何特點？[提示]

抽樣方法為不放回抽樣．2．超幾何分布的均值公式：E(X)＝np，與二項分布的均值公式一樣嗎？[提示]

不一樣．在二項分布中，n為伯努利試驗重復的次數，p為成功概率；在超幾何分布中，n是抽取的產品件數，p是N件產品的次品率．THANKS課時分層作業(十八)超幾何分布一、選擇題1．在15個村莊中，有7個村莊交通不方便，若用隨機變量X表示任選10個村莊中交通不方便的村莊的個數，則X服從超幾何分布，其參數為(

)A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10根據超幾何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10.

二、填空題6．袋中有3個紅球、7個白球，這些球除顏色不同外其余完全相同，從中無放回地任取5個，