2025/4/141第4章線性系統的根軌跡法導讀為什么要介紹本章?

根軌跡法是一種圖解方法，它是經典控制理論中對系統進行分析和綜合的基本方法之一。由于根軌跡圖直觀地描述了系統特征方程的根(即系統的閉環極點)在

s平面上的分布，因此，用根軌跡法分析自動控制系統十分方便，特別是對于高階系統和多回路系統，應用根軌跡法比用其他方法更為方便，因此在工程實踐中獲得了廣泛應用。本章主要講什么內容?

本章主要介紹根軌跡的概念，繪制根軌跡的基本規則和廣義根軌跡。2025/4/142主要內容：第4章線性系統的根軌跡法

4.1

根軌跡的基本概念

4.2

根軌跡方程

4.3

根軌跡繪制的基本規則

4.4

典型反饋系統的根軌跡分析

4.5

用

Matlab繪制系統的根軌跡2025/4/143

閉環系統的穩定性取決于閉環系統的極點分布，其它性能取決于其零極點分布。因此，可以用系統的零極點分布來間接研究控制系統的性能。伊萬思提出了一種在復平面上由開環零極點確定閉環零極點的圖解方法——根軌跡法。將系統的某一個參數(比如開環放大系數)的全部值與閉環特征根的關系表示在一張圖上。

利用根軌跡法，可以：分析系統的性能確定系統的結構和參數校正裝置的綜合4.1

根軌跡的基本概念2025/4/1441、根軌跡定義

開環系統傳遞函數的某一個參數變化時，閉環系統特征方程的根在復平面上變化的軌跡。4.1

根軌跡的基本概念2025/4/145例：二階系統如圖所示，系統開環傳遞函數為：，試畫出系統的根軌跡。-特征方程為：閉環傳遞函數：特征根為：4.1

根軌跡的基本概念解：2025/4/146特征根為：[討論]：①

當

K=0時，s1=0，s2=-2②當

K=0.32時，s1=-0.4，s2=-1.6③當

K=0.5時，s1=-1，s2=-1④當

K=1時，s1=-1+j，s2=-1-j⑤

當

K=5時，s1=-1+3j，s2=-1-3j⑥

當

K=∞時，s1=-1+∞j，s2=-1-∞j4.1

根軌跡的基本概念2025/4/1474.1

根軌跡的基本概念2025/4/1484.1

根軌跡的基本概念開環零點：指系統開環傳遞函數中分子多項式方程的根。開環極點：指系統開環傳遞函數中分母多項式方程的根。閉環零點：指系統閉環傳遞函數中分子多項式方程的根。相關術語：閉環零點由前向通道的零點和反饋通道的極點構成。對于單位反饋系統，閉環零點就是開環零點。閉環極點：指系統閉環傳遞函數中分母多項式方程的根。閉環極點與開環零、極點以及根軌跡增益K*均有關。(K*→0,開閉環極點相同。)2025/4/149

根軌跡增益：K*為開環系統根軌跡增益；閉環系統根軌跡增益等于開環系統前向通路根軌跡增益。(由下式及m<n可知)

根軌跡法的基本任務：由已知的開環零、極點分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環極點。4.1

根軌跡的基本概念2025/4/1410系統的結構圖如右圖所示：-閉環傳遞函數為：開環傳遞函數為：閉環傳遞函數的極點就是閉環特征方程的根。換句話說，滿足：的點就是閉環系統的極點，閉環特征方程的根。為根軌跡方程。稱4.2

根軌跡方程2025/4/14114.3根軌跡繪制的基本規則

以開環根軌跡增益

K*為可變參數繪制的根軌跡叫做普通根軌跡(或一般根軌跡)。繪制普通根軌跡的基本規則主要有9條：1、根軌跡的分支數6、分離點(會和點)坐標2、根軌跡的連續性與對稱性7、根軌跡與虛軸的交點3、根軌跡的起點與終點8、根軌跡的起始角和終止角4、根軌跡的漸近線9、根之和5、實軸上的根軌跡2025/4/14124.3根軌跡繪制的基本規則【規則1】根軌跡的分支數：根軌跡在s平面上的分支數等于閉環特征方程的階數n，也就是分支數與閉環極點的數目相同，亦等于開環極點的數目。【規則2】根軌跡的連續性與對稱性：根軌跡是連續且對稱于實軸的曲線。閉環極點若為實數，則位于s平面實軸；若為復數則共軛出現，所以根軌跡對稱于實軸。【規則3】根軌跡的起點和終點:

根軌跡起始于開環極點，終止于開環零點；如果開環零點數m小于開環極點數n，則有(n-m)條根軌跡終止于無窮遠處(的零點)。2025/4/1413【規則4】根軌跡的漸近線：如果控制系統的開環零點數目m小于開環極點數目n，當k→∞時，伸向無窮遠處根軌跡的漸近線共有(n–m)條。漸近線與實軸正方向的夾角：漸近線與實軸交點的坐標為：4.3根軌跡繪制的基本規則2025/4/1414【規則5】實軸上的根軌跡：實軸上根軌跡區段的右側，開環零、極點數目之和應為奇數。例4-2：設系統的開環傳遞函數，

試求實軸上的根軌跡。解：零極點分布如下：

紅線所示為實軸上根軌跡，為[-2，-1]。注意在原點有兩個極點，雙重極點用“”表示。4.3根軌跡繪制的基本規則×××××0-1-2-5-102025/4/1415分離點坐標

d

可由方程解出。【規則7】根軌跡與虛軸的交點：由下面的兩個方程，可以求得根軌跡與虛軸的交點坐標w值及k值。4.3根軌跡繪制的基本規則幾條根軌跡在

s平面上相遇后又分開的點，稱為分離點。【規則6】分離點(會合點)坐標

d：2025/4/1416【規則8】根軌跡的起始角與終止角根軌跡的起始角：起始于開環極點的根軌跡在起點處的切線與正實軸方向的夾角。計算公式為根軌跡的終止角：終止于開環零點的根軌跡在終點處的切線與正實軸方向的夾角。計算公式為4.3根軌跡繪制的基本規則2025/4/14174.3根軌跡繪制的基本規則2025/4/14184.3根軌跡繪制的基本規則【規則9】根之和：若n-m≥2，則有

根軌跡繪制好后，還需標出根軌跡上的點所對應的參數k值，這時繪制根軌跡的工作才告結束。對應根軌跡上確定點sl，有

：2025/4/14194.3根軌跡繪制的基本規則2025/4/14204.3根軌跡繪制的基本規則2025/4/14214.3根軌跡繪制的基本規則2025/4/1422

變化的參數不是開環根軌跡增益

K*的根軌跡叫參數根軌跡。將開環傳遞函數變形，讓變化的參數處于開環增益的位置，就可以采用繪制常規根軌跡時的法則。1、參數根軌跡(parameterrootlocus)

在負反饋系統中，K*變化時的根軌跡叫做常規根軌跡。其他情況下的根軌跡稱廣義根軌跡。通常有參數根軌跡和零度根軌跡。4.4典型反饋系統的根軌跡分析2025/4/1423例4-4：已知系統的開環傳遞函數為，求

Ta

由0→∞的閉環根軌跡。解：原系統的閉環特征方程為

D(s)=1+G(s)H(s)=s(5s+1)+5(Tas+1)=0所以就是新的開環傳遞函數，而5Ta相當于新的開環增益。解題關鍵：要將開環傳遞函數變形，將非開環增益的參數變換到開環增益的地位。將和參數有關的各項歸并在一起，上式可寫為

5s2+s+5+5Tas=04.4典型反饋系統的根軌跡分析2025/4/1424R(s)-C(s)

j

0P1P2-K原系統的閉環特征方程：Tms2+s+K=0整理可得等效開環傳遞函數或由s2+s/Tm+K/Tm=0得新的特征方程：s2+(s+K)/Tm=0則新的等效開環傳函為例4-5：系統如圖所示，求Tm從0→∞時的根軌跡。4.4典型反饋系統的根軌跡分析解：（即）（即）2025/4/1425如果系統的特征方程的形式為1-G(s)H(s)=0，此時因為其相角遵循條件：其根軌跡叫零度根軌跡。零度根軌跡與180

根軌跡的區別體現在：1、實軸上的根軌跡；2、漸近線與實軸的夾角；3、起始角與終止角。2、零度根軌跡(0orootlocus)4.4典型反饋系統的根軌跡分析2025/4/1426附加開環零點作用:選擇得當，可改善系統的穩定性和動態性能。4.4典型反饋系統的根軌跡分析(b)(a)(c)(d)圖

零點變化時系統根軌跡(a)

j

0-1+j-1-j

j

0-3-1-j-1+j(b)

j

0-2-1-j-1+j(c)(d)

j

0-1-j-1+j附加開環零點:2025/4/14274.4典型反饋系統的根軌跡分析增加極點2025/4/14284.4典型反饋系統的根軌跡分析增加零點2025/4/14294.5

用Matlab繪制系統的根軌跡

將分子多項式與分母多項式按s的降冪寫成向量形式num和den，則采用以下命令可繪制根軌跡圖。

rlocus(num,den)

該命令不僅可用于連續系統，還可用于離散系統。另外，還可自動獲得根軌跡上各點的增益。命令rlocus(num,den,K)直接繪制出給定K

值時的閉環極點。2025/4/1430如果引入左端變量，即[r,K]=rlocus(num,den,K)，則r向量中元素為指定K值閉環極點的位置。如果不指定K，即[r,K]=rlocus(num,den)，則r矩陣的行數與K向量的元素相同，列數與極點的個數相同。r中元素分別為各對應K值的閉環極點。這時，使用繪圖命令plot(r,‘’)

也可繪制系統根軌跡。如果希望在繪制根軌跡時標上符號“o”或“x”，則需要采用下列繪圖命令

plot(r,'o')或plot(r,'x')這時，每一個計算的閉環極點都被圖解表示出來。

4.5

用Matlab繪制系統的根軌跡2025/4/1431例4-6：已知系統開環傳遞函數為應用Matlab繪制系統根軌跡。

，num=[122];den=[14160];rlocus(num,den)v=[-50-44];axis(v)gridtitle('RootLocusPlotofG(s)H(s)=K(s^2+2s+2)/[s(s^2+4s+16)]')4.5

用Matlab繪制系統的根軌跡解：2025/4/1432例4-7：已知系統開環傳遞函數應用Matlab繪制系統根軌跡。

，4.5

用Matlab繪制系統的根軌跡a=[140];b=[122];den=conv(a,b);num=[1416];rlocus(num,den)v=[-40.5-1515];axis(v);gridtitle('RootLocusPlotofG(s)H(s)=K(s^2+4s+16)/[s(s+4)(s^