2025年高中數學47個解題捷徑輕松拿高分1.適用條件[直線過焦點]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A為直線與焦點所在軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大于1。注：上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點內分(指的是焦點在所截線段上)，用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上)，右邊為(x+1)/(x-1)，其他不變。2.函數的周期性問題(記憶三個)(1)若f(x)=-f(x+k)，則T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不為0)，則T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，則T=6k。注意點：a.周期函數，周期必無限b.周期函數未必存在最小周期，如：常數函數。c.周期函數加周期函數未必是周期函數，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函數。3.關于對稱問題(無數人搞不懂的問題)總結如下(1)若在R上(下同)滿足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，對稱軸為x=(a+b)/2(2)函數y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關于x=(b-a)/2對稱;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，則f(x)圖像關于(a，b)中心對稱4.函數奇偶性(1)對于屬于R上的奇函數有f(0)=0;(2)對于含參函數，奇函數沒有偶次方項，偶函數沒有奇次方項(3)奇偶性作用不大，一般用于選擇填空5

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數列爆強定律(1)等差數列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7為下角標);(2)等差數列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比數列中，上述2中各項在公比不為負一時成等比，在q=-1時，未必成立(4)等比數列爆強公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q6.數列的終極利器，特征根方程首先介紹公式：對于an+1=pan+q(n+1為下角標，n為下角標)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，則數列通項公式為an=(a1-x)p2(n-1)+x，這是一階特征根方程的運用。二階有點麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學們牢記上述公式。當然這種類型的數列可以構造(兩邊同時加數)7.函數詳解補充（1）復合函數奇偶性：內偶則偶，內奇同外（2）復合函數單調性：同增異減（3）重點知識關于三次函數：恐怕沒有多少人知道三次函數曲線其實是中心對稱圖形。它有一個對稱中心，求法為二階導后導數為0，根x即為中心橫坐標，縱坐標可以用x帶入原函數界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。8.常用數列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2記憶方法前面減去一個1，后面加一個，再整體加一個29.適用于標準方程(焦點在x軸)爆強公式k橢=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k雙={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k拋=p/yo注：(xo，yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。10.強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技已知直線L1：a1x+b1y+c1=0直線L2：a2x+b2y+c2=0若它們垂直：(充要條件)a1a2+b1b2=0;若它們平行：(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1（這個條件為了防止兩直線重合)注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺!11.經典中的經典相信鄰項相消大家都知道。下面看隔項相消：對于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]注：隔項相加保留四項，即首兩項，尾兩項。自己把式子寫在草稿紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔!12

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爆強△面積公式S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)注：這個公式可以解決已知三角形三點坐標求面積的問題13.

你知道嗎?空間立體幾何中：以下命題均錯(1)空間中不同三點確定一個平面(2)垂直同一直線的兩直線平行(3)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(4)如果一條直線與平面內無數條直線垂直，則直線垂直平面(5)有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱(6)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐注：對初中生不適用。14.一個小知識點所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。15.求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n為正整數)的最小值答案為：當n為奇數，最小值為(n2-1)/4，在x=(n+1)/2時取到;當n為偶數時，最小值為n2/4，在x=n/2或n/2+1時取到。16.

√〔(a2+b2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b為正數，是統一定義域)

17.橢圓中焦點三角形面積公式S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b2/tan(A/2)

說明：適用于焦點在x軸，且標準的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。18.爆強定理空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模](1)A為線線夾角(2)A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)(3)A為面面夾角注：以上角范圍均為[0，派/2]。19.爆強公式12+22+32+…+n2=1/6(n)(n+1)(2n+1);123+223+323+…+n23=1/4(n2)(n+1)220.爆強切線方程記憶方法寫成對稱形式，換一個x，換一個y舉例說明：對于y2=2px可以寫成y×y=px+px再把(xo，yo)帶入其中一個得：y×yo=pxo+px21.

爆強定理(a+b+c)2n的展開式[合并之后]的項數為：Cn+22，n+2在下，2在上22.

轉化思想切線長l=√(d2-r2)d表示圓外一點到圓心得距離，r為圓半徑，而d最小為圓心到直線的距離。23.對于y2=2px過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD，它們的和最小為8p。爆強定理的證明：對于y2=2px，設過焦點的弦傾斜角為A那么弦長可表示為2p/〔(sinA)2〕，所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)2]所以求和再據三角知識可知。(題目的意思就是弦AB過焦點，CD過焦點，且AB垂直于CD)24.關于一個重要絕對值不等式的介紹爆強∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣25.關于解決證明含ln的不等式的一種思路舉例說明：證明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左邊看成是1/n求和，右邊看成是Sn。解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，則bn=ln(n+1)-lnn，那么只需證an>bn即可，根據定積分知識畫出y=1/x的圖。an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當然前面要證明1>ln2。注：僅供有能力的同學參考!!另外對于這種方法可以推廣，就是把左邊、右邊看成是數列求和，證面積大小即可。說明：前提是含ln。26.爆強簡潔公式向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的數量積〕/[向量b的模]。記憶方法：在哪投影除以哪個的模27.

說明一個易錯點若f(x+a)[a任意]為奇函數，那么得到的結論是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右邊不是-f(-x-a)〕同理如果f(x+a)為偶函數，可得f(x+a)=f(-x+a)牢記28.離心率爆強公式e=sinA/(sinM+sinN)注：P為橢圓上一點，其中A為角F1PF2，兩腰角為M，N29.橢圓的參數方程也是一個很好的東西，它可以解決一些最值問題。比如x2/4+y2=1求z=x+y的最值。解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!30.僅供有能力的童鞋參考的爆強公式和差化積sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]積化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/231

.爆強定理直觀圖的面積是原圖的√2/4倍。32.三角形垂心爆強定理(1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O為三角形外心，H為垂心)(2)若三角形的三個頂點都在函數y=1/x的圖象上，則它的垂心也在這個函數圖象上。33.維維安尼定理正三角形內(或邊界上)任一點到三邊的距離之和為定值，這定值等于該三角形的高。34.爆強思路如果出現兩根之積x1x2=m，兩根之和x1+x2=n我們應當形成一種思路，那就是返回去構造一個二次函數再利用△大于等于0，可以得到m、n范圍。35.常用結論過(2p，0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點。O為原點，連接AO.BO。必有角AOB=90度36.爆強公式ln(x+1)≤x(x>-1)該式能有效解決不等式的證明問題。舉例說明：ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+…+ln(1/(n2)+1)<1(n≥2)證明如下：令x=1/(n2)，根據ln(x+1)≤x有左右累和右邊再放縮得：左和<1-1/n<1證畢!37.函數y=(sinx)/x是偶函數在(0，派)上它單調遞減，(-派，0)上單調遞增。利用上述性質可以比較大小。38.函數y=(lnx)/x在(0，e)上單調遞增，在(e，+無窮)上單調遞減。另外y=x2(1/x)與該函數的單調性一致。39.幾個數學易錯點(1)f`(x)<0是函數在定義域內單調遞減的充分不必要條件(2)研究函數奇偶性時，忽略最開始的也是最重要的一步：考慮定義域是否關于原點對稱(3)不等式的運用過程中，千萬要考慮"="號是否取到(4)研究數列問題不考慮分項，就是說有時第一項并不符合通項公式，所以應當極度注意：數列問題一定要考慮是否需要分項!40.提高計算能力五步曲(1)扔掉計算器(2)仔細審題(提倡看題慢，解題快)，要知道沒有看清楚題目，你算多少都沒用(3)熟記常用數據，掌握一些速算技(4)加強心算、估算能力(5)檢驗41.一個美妙的公式已知三角形中AB=a，AC=b，O為三角形的外心，則向量AO×向量BC(即數量積)=(1/2)[b2-a2]證明：過O作BC垂線，轉化到已知邊上42.函數①函數單調性的含義：大多數同學都知道若函數在區間D上單調，則函數值隨著自變量的增大(減小)而增大(減小)，但有些意思可能有些人還不是很清楚，若函數在D上單調，則函數必連續(分段函數另當別論)這也說明了為什么不能說y=tanx在定義域內單調遞增，因為它的圖像被無窮多條漸近線擋住，換而言之，不連續。還有，如果函數在D上單調，則函數在D上y與x一一對應。這個可以用來解一些方程。②函數周期性：這里主要總結一些函數方程式所要表達的周期設f(x)為R上的函數，對任意x∈R(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加絕對值，下同)(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a(4)設T≠0，有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)滿足M[M(x)]=x,且M(x)≠x則函數的周期為243.奇偶函數概念的推廣(1)對于函數f(x)，若存在常數a，使得f(a-x)=f(a+x)，則稱f(x)為廣義(Ⅰ)型偶函數，且當有兩個相異實數a，b滿足時，f(x)為周期函數T=2(b-a)(2)若f(a-x)=-f(a+x)，則f(x)是廣義(Ⅰ)型奇函數，當有兩個相異實數a，b滿足時，f(x)為周期函數T=2(b-a)44.函數對稱性(1)若f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c則函數關于(a+b/2，c/2)成中心對稱(2)若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)則函數關于直線x=a+b/2成軸對稱柯西函數方程：若f(x)連續或單調(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),則f(x)=㏒ax(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),則f(x)=x2u(u由初值給出)(3)f(x+y)=f(x)f(y)則f(x)=a2x(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax+b特別的若f(x)+f(y)=f(x+y)，則f(x)=kx45.與三角形有關的定理或結論中學數學平面幾何最基本的圖形就是三角形①任意三角形射影定理(又稱第一余弦定理)：在△ABC中，a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA②任意三角形內切圓半徑r=2S/a+b+c(S為面積)，外接圓半徑應該都知道了吧③梅涅勞斯定理：設A1,B1，C1分別是△ABC三邊BC，CA，AB所在直線的上的點，則A1，B1，C1共線的充要條件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=146.易錯點(1)函數的各類性