專題8.9整式乘法與因式分解全章專項復習【3大考點10種題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【考點1整式的乘法】 1【題型1整式的化簡求值】 4【題型2整式乘法的應用】 4【題型3利用整式的乘法求字母的值】 6【題型4運用冪的乘方比較大小】 7【考點2乘法公式】 8【題型5利用乘法公式化簡求值】 8【題型6利用乘法公式解方程或不等式】 9【題型7乘法公式的整體應用】 9【題型8利用乘法公式解決規律探究問題】 9【考點3因式分解】 10【題型9利用因式分解求代數式的值】 12【題型10因式分解與三角形知識的綜合應用】 12【考點1整式的乘法】1．同底數冪的乘法一般地，對于任意底數a與任意正整數m，n，am·an=·==．語言敘述：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．【拓展】（1）同底數冪的乘法法則的推廣：三個或三個以上同底數冪相乘，法則也適用．（m，n，…，p都是正整數）．（2）同底數冪的乘法法則的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整數）．2．冪的乘方（1）冪的乘方的意義：冪的乘方是指幾個相同的冪相乘，如（a5）3是三個a5相乘，讀作a的五次冪的三次方，（am）n是n個am相乘，讀作a的m次冪的n次方．（2）冪的乘方法則：一般地，對于任意底數a與任意正整數m，n，．語言敘述：冪的乘方，底數不變，指數相乘．【拓展】冪的乘方的法則可推廣為（m，n，p都是正整數）．（2）冪的乘方法則的逆用：（m，n都是正整數）．3．積的乘方（1）積的乘方的意義：積的乘方是指底數是乘積形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．（積的乘方的意義）=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交換律、結合律）=a3b3．積的乘方法則：一般地，對于任意底數a，b與任意正整數n，．因此，我們有．語言敘述：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．4．單項式與單項式相乘法則：一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．（1）只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里，注意不要把這個因式遺漏．（2）單項式與單項式相乘的乘法法則對于三個及以上的單項式相乘同樣適用．（3）單項式乘單項式的結果仍然是單項式．【注意】（1）積的系數等于各項系數的積，應先確定積的符號，再計算積的絕對值．（2）相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算．5．單項式與多項式相乘法則：一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項式）．【注意】（1）單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同，可以以此來檢驗在運算中是否漏乘某些項．（2）計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號．（3）對于混合運算，應注意運算順序，有同類項必須合并，從而得到最簡結果．6．多項式與多項式相乘（1）法則：一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）多項式與多項式相乘時，要按一定的順序進行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一個多項式中的每一項與第二個多項式相乘，得m（a+b+c）與n（a+b+c），再用單項式乘多項式的法則展開，即（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．【注意】（1）運用多項式乘法法則時，必須做到不重不漏．積．7．同底數冪的除法同底數冪的除法法則：一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．語言敘述：同底數冪相除，底數不變，指數相減．【拓展】（1）同底數冪的除法法則的推廣：當三個或三個以上同底數冪相除時，也具有這一性質，例如：（a≠0，m，n，p都是正整數，并且m>n+p）．（2）同底數冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．8．零指數冪的性質零指數冪的性質：同底數冪相除，如果被除式的指數等于除式的指數，例如am÷am，根據除法的意義可知所得的商為1．另一方面，如果依照同底數冪的除法來計算，又有am÷am=am-m=a0．于是規定：a0=1（a≠0）．語言敘述：任何不等于0的數的0次冪都等于1．【注意】（1）底數a不等于0，若a=0，則零的零次冪沒有意義．（2）底數a可以是不為零的單頂式或多項式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．（3）a0=1中，a≠0是極易忽略的問題，也易誤認為a0=0．9．單項式除以單項式單項式除以單項式法則：一般地，單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．式．【歸納】該法則包括三個方面：（1）系數相除；（2）同底數冪相除；（3）只在被除式里出現的字母，連同它的指數作為商的一個因式．【注意】可利用單項式相乘的方法來驗證結果的正確性．10．多項式除以單項式多式除以單項式法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．【注意】（1）多項式除以單項式是將其化為單項式除以單項式問題來解決，在計算時多項式里的各項要包括它前面的符號．（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項，不要漏項．（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用其進行檢驗．【題型1整式的化簡求值】【方法總結】首先依據整式的混合運算順序和運算法則進行化簡,然后代入求值.對于冪的運算問題,首先要判斷出冪的運算類型,然后根據冪的運算性質計算,要注意底數和指數的變化特點.【例1】（2024·河北唐山·三模）在化簡3a2b+ab?2a2b+ab◆2ab題中，◆表示＋，－，×，÷四個運算符號中的某一個．當a=?2A．÷ B．× C．＋ D．－【變式1-1】（24-25八年級·黑龍江綏化·階段練習）（1）先化簡，再求值：xx2（2）先化簡，再求值：2a+b2a?b+4ab3【變式1-2】（24-25八年級·重慶北碚·期中）已知實數a，b，x，y滿足a+b=x+y=3，ax+by=4，則a2+【變式1-3】（24-25八年級·江蘇蘇州·階段練習）對于任何實數，我們規定符號abcd(1)計算：0.2?3(2)已知xx+1?22x(3)當a2?3a+1=0時，求【題型2整式乘法的應用】【例2】（24-25八年級·福建泉州·階段練習）如圖①，將一張長方形鐵皮的四個角都剪去邊長為3cm的正方形，然后沿四周折起，做成一個無蓋鐵盒，如圖②，鐵盒底面長方形的長為8xcm，寬為5x(1)請用含x的代數式表示圖①中原長方形鐵皮的面積；(2)現要在鐵盒的各個外表面涂上某種油漆，若每cm2需花費x元，則涂漆這個鐵盒需要多少錢（用含x【變式2-1】（24-25八年級·山西太原·階段練習）位于太原市三給片區的天美杉杉超級奧特萊斯是一座集現代化商業、中式文化與綠色園林三位一體的大型綜合商業體，值得期待的是將于2023年9月開始正式營業．如圖，在園區內有一塊長為a+4b米，寬為a+b米的長方形地塊，現規劃將陰影部分進行綠化，中間預留部分是邊長為a?b米的正方形．(1)求綠化的面積S（用含a，b的代數式表示，并化簡）；(2)若a=3,b=2，綠化成本為100元/平方米，則完成綠化共需要多少元？【變式2-2】（24-25八年級·浙江寧波·期末）如圖，將兩張邊長分別為a和b（a>b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置長方形內（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，若長方形中邊AB、AD的長度分別為m、n．設圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．當

A．3b B．3a?3b C．3a D．?3b【變式2-3】（24-25八年級·上海青浦·期中）如圖所示，有4張寬為a，長為b的小長方形紙片，不重疊的放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分為空白區域①和空白區域②．EF=2GH(1)用含a、b的代數式表示：AD=______________；AB=______________．(2)用含a、b的代數式表示區域①、區域②的面積；(3)當a=12，b=【題型3利用整式的乘法求字母的值】【方法總結】當多項式的乘積中不含某一項時,說明將多項式的乘積化簡合并后該項的系數為0,可利用方程思想求字母的值.【例3】（24-25八年級·江蘇鹽城·期中）我們定義：如果兩個多項式M與N的和為常數，則稱M與N互為“組合多項式”，這個常數稱為它們的“組合數”．如M=4x2?2x+6與N=?4x2+2x?3，(1)下列各組多項式中，互為“組合多項式”的是________（填序號）；①3x2?2與3x2+2；②x?9與(2)多項式A=(x?m)2與B=nx2+4x+n(3)關于x的多項式C=?mx2?6x+7m與D=m(x?1)(x+n)的“組合數”能為0嗎？若能，請求出m【變式3-1】（24-25八年級·山東濟南·期中）已知M=x2?ax，N=?x，P=x3+3x2+5A．?3 B．3 C．5 D．4【變式3-2】（24-25八年級·山西臨汾·期中）甲同學計算一道關于x的整式乘法題：(2x?a)2?x+bb?x，由于甲抄錯了a的符號，得到的結果是5x【變式3-3】（24-25八年級·湖南長沙·階段練習）好學的小東同學，在學習多項式乘以多項式時發現：12x+4(2x+5)(3x?6)的結果是一個多項式，并且最高次項為：12x?2x?3x=3x3請你認真領會小東同學解決問題的思路，方法，仔細分析上面等式的結構特征．結合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題．（1）計算x+23x+1（2）若計算x2+x+1x（3）若(x+1)2021=a【題型4運用冪的乘方比較大小】【例4】（24-25八年級·廣東佛山·期中）冪的運算逆向思維可以得到am+n=am?(1)若3m×9(2)比較大小：若a=255，b=344，c=533，則【變式4-1】（24-25八年級·全國·單元測試）比較下列各題中冪的大小：（1）已知a=81（2）比較255（3）已知P=99（4）(?2)234_______5【變式4-2】（24-25八年級·湖南岳陽·期中）已知a=2731，b=361，c=941，試比較a，b，【變式4-3】（24-25八年級·湖南·階段練習）在學習了“冪的運算法則”后，經常遇到比較冪的大小的問題，對于此類問題，通常有兩種解決方法，一種是將冪化為底數相同的形式，另一種是將冪化為指數相同的形式，請閱讀下列材料：若a3=2，b5=3，則a、b的大小關系是a______b（填“解：∵a15=a3∴a15類比閱讀材料的方法，解答下列問題：(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運算性質：______；A．同底數冪的乘法

B．同底數冪的除法

C．冪的乘方

D．積的乘方(2)比較815(3)比較2100與3(4)已知5a=324，5b=4，【考點2乘法公式】1．平方差公式（1）平方差公式語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差．這個公式叫做（乘法的）平方差公式．（2）平方差公式的特點①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數．②右邊是相同項的平方減去相反項的平方．③公式中的a和b可以表示具體的數或單項式，也可以是多項式．2．完全平方公式（1）完全平方公式，語言敘述：兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式．（2）完全平方公式的特點：兩個公式的左邊都是一個二項式的平方，二者僅有一個“符號”不同；右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍，二者也僅有一個“符號”不同．3．添括號法則法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號．（1）首先要清楚括到括號里的是哪些項．（2）括號前面是什么符號，括到括號里的項是否要改變符號，這與去括號一樣，要變都變，要不變都不變．（3）添括號后是否正確，可以用去括號來檢驗．【題型5利用乘法公式化簡求值】【方法總結】解題時要注意分析算式的結構特征,符合“兩個數的和與這兩個數的差的積”要考慮平方差公式,符合“兩數和(或差)的平方”要考慮完全平方公式.【例5】（24-25八年級·吉林長春·階段練習）已知a+b=3，ab=?1．求代數式下列代數式的值：①a2+b【變式5-1】（24-25八年級·貴州畢節·期中）已知(x+1x)【變式5-2】（24-25八年級·湖南永州·階段練習）已知：x?y2=6，(1)xy；(2)x2【變式5-3】（24-25八年級·貴州畢節·期中）（1）已知a+b=6，ab=1，求a2+b（2）已知(x+y)2=4，(x?y)2=6，求（3）已知x+1x=3【題型6利用乘法公式解方程或不等式】【例6】（24-25八年級·上海寶山·期中）解不等式：2x+32x?3【變式6-1】（24-25八年級·廣東深圳·階段練習）解方程(1)(x+1)2(2)(x?1)(x+8)?x(x+3)=0．【變式6-2】（24-25八年級·上海靜安·期中）解不等式：1?2x?1?2x【變式6-3】（24-25八年級·湖北·階段練習）計算(1)解方程：3x?22x?3(2)解不等式：3x?12【題型7乘法公式的整體應用】【例7】（24-25八年級·甘肅張掖·階段練習）計算：a+b?c2=【變式7-1】（24-25八年級·上海青浦·期中）計算：2a?b+3c?2a?b?3c=【變式7-2】（24-25八年級·上海·階段練習）計算：a+b?2c【變式7-3】（24-25八年級·上海寶山·期中）計算：a?2b?c2【題型8利用乘法公式解決規律探究問題】【例8】（24-25八年級·四川成都·期中）如果一個正整數能夠表示為兩個正整數的平方差，那么稱這個正整數為“智慧數”．因為3=22?12，5=32【變式8-1】（24-25八年級·重慶南岸·期末）觀察以下等式：第1個等式：(2×1+1)2第2個等式：(2×2+1)2第3個等式：(2×3+1)2第4個等式：(2×4+1)2按照以上規律．解決下列問題：（1）第5個等式為：；（2）若第n個等式為t2=(17×32+1)2【變式8-2】（24-25八年級·湖南永州·期中）觀察下列各式：a?ba?ba?b………這些等式反映出多項式乘法的某種運算規律．請你猜想：a?ba2023【變式8-3】（24-25八年級·河南南陽·階段練習）我國南宋數學家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方的展開式各系數規律，稱之為“楊輝三角”，這個“三角形”給出了a+bnn=121a+b11a+b121a+b1331a+b14641a+b4根據上述規律，x+36展開式中含x4項的系數為【考點3因式分解】1．因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．【注意】（1）因式分解是針對多項式而言的，一個單項式本身就是數與字母的積，不需要再分解因式；（2）因式分解的結果是整式的積的形式，積中幾個相同因式的積要寫成冪的形式；（3）因式分解必須分解到每一個因式都不能再分解為止；（4）因式分解與整式乘法是方向相反的變形，二者不是互為逆運算．因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算．2．用提公因式法分解因式（1）公因式的定義：一個多項式各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式．（2）怎樣確定公因式（五看）：一看系數：若各項系數都是整數，應提取各項系數的最大公因數；二看字母：公因式的字母是各項相同的字母；三看字母的指數：各相同字母的指數取指數最低的；四看整體：如果多項式中含有相同的多項式，應將其看成整體，不要拆開；五看首項符號：若多項式中首項符號是“-”，則公因式的符號一般為負．（3）提公因式法的定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．（4）提公因式法分解因式的一般步驟：①確定公因式：先確定系數，再確定字母和字母的指數；②提公因式并確定另一個因式；③把多項式寫成這兩個因式的積的形式．【注意】（1）多項式的公因式提取要徹底，當一個多項式提取公因式后，剩下的另一個因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括號內的項數應與原多項式的項數一樣．（3）若多項式首項系數為負數時，通常要提出負因數．3．用平方差公式分解因式（1）平方差公式的等號兩邊互換位置，得語言敘述：兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積．（2）特點：①等號左邊是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；②等號右邊是兩個數的和與這兩個數的差的積．4．用完全平方公式分解因式（1）完全平方公式的等號兩邊互換位置，得，語言敘述：兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（或差）的平方．（2）特點：①等號左邊是三項式，其中首末兩項分別是兩個數（或兩個式子）的平方，且這兩項的符號相同，中間一項是這兩個數（或兩個式子）的積的2倍，符號正負均可．②等號右邊是這兩個數（或兩個式子）的和（或差)的平方．當中間的乘積項與首末兩項符號相同時，是和的平方；當中間的乘積項與首末兩項的符號相反時，是差的平方．（3）公式法的定義：如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法．【題型9利用因式分解求代數式的值】【例9】（24-25八年級·四川內江·期中）若a=2019x+2020,b=2019x+2021,c=2019x+2022，則代數式a2+bA．0 B．1 C．2 D．3【變式9-1】（24-25八年級·河北保定·期末）對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成x+a2的形式．但對于二次三項式x2+2ax?8a2，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式x閱讀以上材料，解決下列問題．