模塊二圖形與幾何的基礎

第05講四邊形的證明與計算

（思維導圖+2考點+16種題型）

01考情透視?目標導航問題

02知識導圖?思維引航院題型09利用分類討論思想解決特殊平行四

03核心精講?題型突破邊形計算問題

考點一四邊形的計算問題考點二四邊形的證明問題

＞題型01與多邊形有關的角度計算＞題型01利用平行四邊形的性質與判定求解

院題型02利用平行四邊形的性質求解a題型02與三角形中位線有關的證明

＞題型03利用矩形的性質求解院題型03利用矩形的性質與判定求解

院題型04利用菱形的性質求解?題型04利用菱形的性質與判定求解

＞題型05利用正方形的性質求解＞題型05利用正方形的性質與判定求解

＞題型06與特殊的平行四邊形有關的折疊問院題型06與特殊平行四邊形有關的多結論問

題題

＞題型07構建中位線求解?題型07特殊平行四邊形與函數綜合

＞題型08與特殊平行四邊形有關的規律探究

考情透視?目標導航

中考考點

四邊形作為中考數學的重要知識點，其證明與計算題目在歷年考試中占據顯著地位。四

邊形相關題目在中考數學中占比相對穩定，通常在15%至25%之間。題型多樣，包括選擇題、

填空題、證明題和綜合解答題。其中，選擇題和填空題主要考查基礎知識和基本技能，而證

明題和綜合解答題則注重考查學生的邏輯推理能力和綜合運用知識的能力。

【命題預測】

1.重點考查特殊四邊形的性質和判定：矩形、菱形、正方形的性質和判定一直是中考的熱

點，選擇題和填空題中常出現利用這些性質求角度、長度的問題。

2.綜合題的比重增加：近年來，中考數學越來越注重考查學生的綜合能力，四邊形相關的

綜合題在考試中的比重逐漸增加。這些題目往往涉及多個知識點的綜合運用，如三角形全等、

解直角三角形、二次函數等。

3.實際應用與創新能力：中考數學命題趨勢逐漸向實際應用和創新能力傾斜，四邊形問題

四邊形的證可能結合實際情境，考查學生運用數學知識解決實際問題的能力，同時也會涉及一些新概念

題型，考查學生的創新思維和應變能力。

明與計算【備考建議】

1.扎實基礎：熟練掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判定方法是備考的基礎,

要通過大量練習加深理解和記憶。

2.注重圖形變換：理解并掌握平移、旋轉、翻折等圖形變換在四邊形問題中的應用，提高

解題的靈活性。

3.強化綜合訓練：多做四邊形與其他知識點相結合的綜合題，提高綜合運用數學知識解決

問題的能力。

4.培養創新思維：注重培養創新思維和應變能力，學會從不同角度分析問題，提高解決實

際問題的能力。

通過對中考數學四邊形證明與計算考情的分析，可以看出，掌握基礎知識、注重圖形變

換、強化綜合訓練、培養創新思維是備考的關鍵。希望廣大考生能夠有針對性地進行復習，

取得優異成績。

知識導圖?思維引航

核心精講?題型突破

考點一四邊形的計算問題

真題研析

＞題型01與多邊形有關的角度計算

1.（2024?山東威海?中考真題）如圖，在正六邊形4BCDEF中，AHIIFG,BI1AH,垂足為點I.若NEFG=20°,

貝IWB/=

2.（2024.山東煙臺.中考真題）如圖，在邊長為6的正六邊形4BCDEF中，以點尸為圓心，以FB的長為半徑

作的，剪下圖中陰影部分做一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑為

3.（2024.四川德陽?中考真題）已知，正六邊形ABCDEF的面積為6百，則正六邊形的邊長為（）

A.1B.V3C.2D.4

4.（2024?四川宜賓.中考真題）如圖，正五邊形2BCDE的邊長為4,則這個正五邊形的對角線AC的長

是.

＞題型02利用平行四邊形的性質求解

5.（2024.海南.中考真題）如圖，在回48CD中，AB=8,以點。為圓心作弧，交48于點M、N,分別以點

M、N為圓心，大于《MN為半徑作弧，兩弧交于點孔作直線。尸交4B于點E,若乙BCE=4DCE,DE=4,

則四邊形BCDE的周長是（）

A.22B.21C.20D.18

6.（2024.黑龍江綏化.中考真題）如圖，已知點4（—7,0）,B（x,10）,C（-17,y）,在平行四邊形ABC。中，它

的對角線。8與反比例函數y=B（k40）的圖象相交于點D,且。D:OB=1:4,貝心=.

7.（2024?浙江?中考真題）如圖，在EIABC。中，AC,BD相交于點。，AC=2,BD=2W.過點A作4E1BC

的垂線交BC于點E,記BE長為無，8c長為》當尤，y的值發生變化時，下列代數式的值不變的是（）

A.x+yB.x—yC.xyD.x2+y2

8.（2024.江蘇徐州?中考真題）如圖，在團4BCD中,AB=6,AD=10,4BAD=60°,P為邊4B上的動點.連

接PC,將PC繞點P逆時針旋轉60。得到PE,過點E作EFII4B,EF交直線4。于點F.連接PF、DE,分別取PF、

DE的中點M、N,連接MN,交力。于點Q.

（1）若點P與點B重合，則線段MN的長度為.

（2）隨著點P的運動，MN與2Q的長度是否發生變化？若不變，求出MN與4Q的長度；若改變，請說明理由.

＞題型03利用矩形的性質求解

9.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，矩形力BCD的對角線AC與BD交于點。，DE14C于點E,延長DE與BC

交于點F.若=3,BC=4,則點F到BD的距離為

10.（2024?黑龍江大慶.中考真題）如圖，在矩形48CD中，AB=10,BC=6,點M是48邊的中點，點N

是力。邊上任意一點，將線段MN繞點M順時針旋轉90。，點N旋轉到點N',則4MBN，周長的最小值為（）

B.5+5V5C.10+5V2D.18

11.（2024?四川南充?中考真題）如圖，在矩形2BCD中，E為4。邊上一點，^ABE=30°,將△4BE沿BE折

疊得AFBE,連接CF,DF,若CF平分/BCD,AB=2,貝|。尸的長為.

＞題型04利用菱形的性質求解

12.（2024?山東日照?中考真題）如圖，在菱形4BCD中，4B=2,NB=120。，點。是對角線4C的中點，以

點。為圓心，。4長為半徑作圓心角為60。的扇形OEF,點。在扇形。EF內，則圖中陰影部分的面積為（）

C.合［D,無法確定

13.（2024?內蒙古包頭?中考真題）如圖，在菱形4BCD中，^ABC=60°,AB=6,AC是一條對角線，E是AC

上一點，過點E作EF14B,垂足為F,連接若CE=4F,則DE的長為

14.（2024.四川德陽?中考真題）如圖，在菱形4BCD中,^ABC=60°,對角線2C

與BD相交于點。，點F為BC的中點，連接4F與BD相交于點E,連接CE并延長交

4B于點G.

（1）證明：4BEFFBCO；（2）證明：4BEG三4AEG.

15.（2024四川涼山?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，乙4BC=60。，AB=2,

接AE,4E的垂直平分線MN交2E于點M,交BD于點N.連接EN,CN.

⑴求證：EN=CN；

⑵求2EN+BN的最小值.

＞題型05利用正方形的性質求解

16.（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，在RtA48C中，^ACB=90°,AC=BC=

5.正方形DEFG的邊長為小，它的頂點。，E,G分別在A/IBC的邊上，則BG的長為

17.（2024.內蒙古呼倫貝爾.中考真題）如圖，邊長為2的正方形4BCD的對角線AC與BD相交于點0.E是BC

邊上一點，F是BD上一點，連接D&EF.若△DEF與△DEC關于直線DE對稱，則ABEF的周長是（）

A.2V2B.2+V2C.4-2V2D.V2

18.（2024?內蒙古赤峰?中考真題）如圖，正方形4BCD的頂點力，C在拋物線y=-/+4上，點。在y軸上.若

A,C兩點的橫坐標分別為?n,n（m>n>0）,下列結論正確的是（）

A.m+n=1B.m—n=lC.mn=1D.-=1

n

19.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是

由四個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形2BCD.直線MP交正方形4BCD的兩

邊于點E,F,記正方形4BCD的面積為&,正方形MNPQ的面積為S2.若BE=kAE（k>1）,則用含k的式

子表示稱的值是_________.

20.（2024?天津.中考真題）如圖,正方形4BCD的邊長為3/，對角線AC,BD相交于點0,點E在C4的延長

線上，OE=5,連接DE.

E

R

BC

（1）線段ZE的長為；

（2）若F為DE的中點，則線段力尸的長為.

21.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，在正方形2BCD中，點E,尸分別為對角線8D,4C的三等分點，連接

4E并延長交CD于點G,連接EF,FG,若乙4GF=a,貝此凡4G用含a的代數式表示為（）

2222

＞題型06與特殊的平行四邊形有關的折疊問題

22.（2024?湖北?中考真題）在矩形2BCD中，點E,尸分別在邊力D,BC上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A

的對應點尸落在邊CD上，點8的對應點為點G,PG文BC于點、H.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,求證：ADEPs^cPH；

（2）如圖2,當尸為CD的中點，AB=2,4。=3時，求G”的長；

（3）如圖3,連接BG,當尸，”分別為CD,BC的中點時，探究BG與的數量關系，并說明理由.

23.（2024?安徽?中考真題）如圖，現有正方形紙片4BCD,點E,尸分別在邊力B,8C上，沿垂直于EF的直線

折疊得到折痕MN,點8,C分別落在正方形所在平面內的點出，。處,然后還原.

（1）若點N在邊CD上，且NBEF=a,貝!]z.C，NM=（用含a的式子表示）；

（2）再沿垂直于MN的直線折疊得到折痕GH,點G,“分別在邊CD,4D上，點。落在正方形所在平面內的

點D'處，然后還原.若點。'在線段夕L上，且四邊形EFGH是正方形，AE=4,EB=8,MN與GH的交點為

P,貝UP”的長為.

24.（2024?貴州貴陽.一模）綜合與實踐

（1）【操作發現】如圖①，將正方形紙片4BCD沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形內部的點/處，折

痕為2E,再將紙片沿過點A的直線折疊，使4。與AM重合，折痕為力F,則NE4F的度數為二

（2）【拓展探究】如圖②，在（1）的條件下，繼續將正方形紙片沿EF折疊，點C的對應點恰好落在折痕力E上

的點N處，若力B=3,求線段。尸的長;

（3）【遷移應用】如圖③，在矩形4BCD中，點E,尸分別在邊BC,CD上，將矩形力BCD沿4E,4F折疊，點

8落在點〃處，點。落在點G處，點A,M,G恰好在同一直線上，若點尸為CD的三等分點=3,AD=5,

請求出線段BE的長.

＞題型07構建中位線求解

25.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,4D是△ABC的一條角平分線，E為4D中

點，連接BE.若BE=BC,CD=2,貝.

26.（2023?江蘇南通?中考真題）如圖，四邊形4BCD的兩條對角線AC,BD互相垂直，AC=4,BD=6,則

AD+8c的最小值是

27.（2025?上海閔行?一模）如圖，點D、E分別是線段8C和AC的中點，4。、8￡1交于點。，且力。1BE,BC=22,

AC=16,那么。。長是

A

E

BDC

.題型08與特殊平行四邊形有關的規律探究問題

28.（2020?遼寧丹東?中考真題）如圖，在矩形044/中，=3,AA1=2,連接。&,以。&為邊，作矩

形OAI&BI使442=|。&，連接。4交于點C；以。&為邊，作矩形O424B2，=IOA2,連接

。公交4B1于點Cl；以。&為邊，作矩形CM344B3，使4344=|。43，連接。人4交力3B2于點。2；…按照這個

規律進行下去，貝必C2019c202042022的面積為.

29.（2020?遼寧.中考真題）如圖，四邊形4BCD是矩形，延長到點E,使4E=D4,連接EB,點6是CD的

中點，連接Ea,BFi，得到/E&B；點尸2是C&的中點，連接EF2，BF2,得到4EF2B；點F3是CF2的中點，

連接Ea，BF3,得到4E&B；…；按照此規律繼續進行下去，若矩形4BC。的面積等于2,則/E4B的面積

為.（用含正整數n的式子表示）

30.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正方形。MNP頂點M的坐標為（3,0）,

△04B是等邊三角形,點B坐標是（1,0）,△04B在正方形。MNP內部緊靠正方形。MNP的邊（方向為。-M-

NTPTOTMT…）做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應點記為4,4的坐標是（2,0）；第二次滾

動后，&的對應點記為4,4的坐標是（2,0）；第三次滾動后，4的對應點記為43,43的坐標是（3-日,》

如此下去，……，貝!!42024的坐標是

31.（2022?山東煙臺?中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為1,以AC為邊作第2個正方形ACEF,再以CF

.題型09利用分類討論思想解決特殊平行四邊形計算問題

32.（2024嘿龍江牡丹江.中考真題）矩形ABCD的面積是90,對角線AC,BD交于點。，點E是邊的三等

分點，連接DE,點P是OE的中點，OP=3,連接CP,貝UPC+PE的值為.

33.（2023?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形力BCD的頂點A,8在x軸上，=2,

4（1,0），^DAB=60°,將菱形4BCD繞點4旋轉90。后，得到菱形ABiC/i，則點C】的坐標是.

方法指導

四邊形邊角對角線對稱性

平行四邊形對邊平行且相等對角相等兩條對角線互相平分中心對稱圖形

矩形對邊平行且相等四個角都是直角兩條對角線互相平分且相等軸對稱圖形、中心對稱

圖形

菱形對邊平行且四條邊對角相等兩條對角線互相垂直平分，且軸對稱圖形、中心對稱

都相等每一條對角線平分一組對角圖形

正方形對邊平行且四條邊四個角都是直角兩條對角線互相垂直平分，且軸對稱圖形、中心對稱

都相等每一條對角線平分一組對角圖形

命題預測

1.（2025?陜西西安?一模）如圖，正方形力BCD的邊長為6,將正方形折疊，使頂點。落在BC邊上的點E處,

折痕為GH.若點E恰好是BC的中點，則線段的長為（）

2.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在RtAABC中，AACB=90°,tanzBXC=BC=2,力。=1,

線段力。繞點力旋轉，點P為CD的中點，貝UBP的最大值是.

3.（2025?河北秦皇島?一模）小明用四根長度相同的木條首尾相接制作了能夠活動的學具，他先活動學具成

為圖1所示形狀，并測得AB=60。，接著活動學具成為圖2形狀所示，并測得乙4BC=90。，若圖2中對角

A.10cmB.10V2cmC.10V3cmD.10V6cm

4.（2025?廣東揭陽?一模）如圖，四邊形4BCD為平行四邊形，E,尸分別為48和BC的中點，CE=5,=孩,

A.V33B.V34C.V35D.V37

5.（2025?上海徐匯?模擬預測）將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形48CD,連接北，則tan/CAB=

（）

6.（2025?廣西?模擬預測）如圖，反比例函數y=（x<0）的圖象經過平行四邊形4BC。的頂點4。。在工軸

上，若點B（-l,3）,S&ABC0=3,則實數k的值為（）

7.（2025?江蘇無錫?一模）如圖，在矩形48CD中，AB=16,BC=12,點E在8C上，CE=4,若P、Q分

別為邊CD與48上兩個動點，線段PQ始終滿足與4E垂直且垂足為F,則2P+QE的最小值

8.（2025?陜西?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，正方形力BC。的頂點。與坐標原點重合，點4、C分

別在反比例函數y=，（備片0）與y=§也2豐0）的圖象上，則七+電的值為.

9.（2025?陜西?模擬預測）如圖，在菱形4BCD中，zS=60°,AB=4,。為菱形4BCD的對稱中心，過點。的

直線EF交4D于點E,交BC于點F,M為CD上的一點，連接0M.若CM+CF=5,則四邊形。EDM的面積為

10.（2025?陜西西安?二模）如圖，直線嗚正五邊形2BCDE的邊CD,4B分別相交于點M、N,則N1+N2的

度數為.

11.（2025?江西?模擬預測）如圖，正方形4BCD中，將線段4。繞點A順時針旋轉30。得到線段力E,CE的延

長線交正方形2BCD的對角線8。于點F,貝吐2EF的度數為.

12.（2025?陜西西安?一模）（1）如圖1,四邊形4BCD的對角線力C,BD互相垂直，其中對角線BD長為20cm,

AC長為15cm,垂足為E.則四邊形ABC。的面積為cm2.

（2）如圖2,矩形4BCD中4D=6cmMB=4cm,EF||4D,點G,H分別是BC,AD上任一點，求四邊形EGF”

的面積.

（3）如圖3,四邊形力BCD放在了一組平行線中，己知BD=6cm,四邊形4BCD的面積為24cm2,則相鄰兩

條平行線間的距離為多少厘米.

圖3

13.（2025?陜西西安?一模）綜合與探究：

問題情境：如圖1,四邊形力BCD是菱形，過點2作4E1BC于點E,過點4作4F1CD于點F.

深入探究：

（2）將圖1中的aABE繞點4逆時針旋轉，得到△4HG,點E,8的對應點分別為點G,H.

①如圖2,當線段4H經過點C時，GH所在直線分別與線段4。，CD交于點M,N.猜想線段CH與MD的數量

關系，并說明理由；

②當直線GH與直線CD垂直時，直線GH分別與直線力。，CD交于點M,N,直線與線段CD交于點Q,若

AB=5,BE=4,求四邊形4MNQ的面積.

14.（2025?廣東深圳?三模）【問題提出】

(1)如圖1,在矩形4BCD中，點E,F分別是邊力0,4B上的點，連接CE與DF交于點。，若NF0C=90。,

［、.、-pCEAB

求證：而

AD

【遷移應用】

(2)如圖2,在回ABC。中，AB=4,AD=7,點、E,尸分別是邊4。，48上的點，連接CE與。F交于點0,

且NC。。+乙BAD=180°,求空的值；

DF

【拓展提高】

(3)如圖3,在四邊形2BCD中，點E是邊4D上的一點，連接BD與CE交于點0/B0C=NB4D=ABCD=120°,

S=rS=r請直接寫出需的值?

考點二四邊形的證明問題

真題研析

＞題型01利用平行四邊形的性質與判定求解

1.(2024?黑龍江大慶?中考真題)如圖，平行四邊形力BCD中，AE、CF分別是NBA。，4BCD的平分線，且E、

尸分別在邊BC,AD1..

(1)求證：四邊形4ECF是平行四邊形;

(2)若4WC=60。，DF=2AF=2,求AGDF的面積.

2.(2024?福建?中考真題)如圖，在△ABC中，ABAC=90°,AB^AC,以A8為直徑的。。

交BC于點D,AE1OC,垂足為E,BE的延長線交的于點F.

⑴求器的值；

AE

(2)求證：&AEBFBEC；

(3)求證：4□與EF互相平分.

3.(2024?安徽?中考真題)如圖1,回48CD的對角線4C與BD交于點O,點M,N分別在邊4D,BC上,且4M=

CN.點、E,尸分別是BD與AN,CM的交點.

圖1圖2

(1)求證：OE=OF；

(2)連接BM交AC于點H,連接HE,HF.

(i)如圖2,若HEIMB,求證：HF\\AD；

乙EHF=60°,求生的值.

(ii)如圖3,若EMBCD為菱形，且MD=2AM,BD

＞題型02與三角形中位線有關的證明

4.(2024?內蒙古包頭?中考真題)如圖，在回ABCD中，乙4BC為銳角，點E在邊力。上，連接BE,CE,且S-BE=

SAOCE?

(1)如圖1,若F是邊BC的中點，連接EF,對角線4C分別與BE,EF相交于點G,”.

①求證：H是4C的中點；

②求4G:GH:HC；

(2)如圖2,BE的延長線與CD的延長線相交于點M,連接力的延長線與2M相交于點N.試探究線段AM與

線段4N之間的數量關系，并證明你的結論.

5.(2023?山東濰坊?中考真題)如圖，在△ABC中，CD平分N2CB,AE1CD,重足為點E,過點E作EF||BC、

交AC于點?G為8c的中點，連接FG.求證：FG=\AB.

6.（2023?山西?中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務.

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形2BCD中，點E,F,G,”分別是邊力B,BC,CD,D4的中點，順次連接E,F,G,H,

得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里

尼翁”ar譏gnon,Pierrel654—1722）是法國數學家、力學家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切.

①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結論可借助圖1證明如下:

證明：如圖2,連接力C,分別交E”,FG于點P,Q,過點。作DM1AC于點M,交HG于點N.

?..”,6分別為4。,8的中點，：.HG||AC,HGAC.（依據1）

:喘=擻,：DG=GC,：.DN=NM=1DM.

,四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，IIGF,即HP||GQ.

'：HG||AC,即”G||PQ,

二四邊形"PQG是平行四邊形.（依據2）.?.S?HPQG="G-MN=gHG-DM.

'：SLADC=\AC-DM=HG-DM,：.SWPQG=\sLADC.同理，…

任務：⑴填空：材料中的依據1是指:

依據2是指：_____________

(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH,使得四邊形EFG”為

矩形；(要求同時畫出四邊形28CD的對角線)

(3)在圖1中，分別連接得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線力C,BD長度的關

系，并證明你的結論.

＞題型03利用矩形的性質與判定求解

7.(2024?山東青島.中考真題)如圖，在四邊形力BCD中，對角線2C與BD相交于點O,/.ABD=^CDB,BELAC

于點E,。尸14。于點兄S.BE=DF.

A

(1)求證：四邊形48CD是平行四邊形；

(2)若48=8。，當乙4BE等于多少度時，四邊形ABCD是矩形？請說明理由，并直接寫出此時器的值.

8.(2023?浙江湖州?中考真題)【特例感知】

(1)如圖1,在正方形28CD中，點尸在邊4B的延長線上，連接PD,過點。作。M1PD,交BC的延長線

于點M.求證：ADAPwADCM.

【變式求異】

(2)如圖2,在RtZkABC中，ZXBC=90°,點。在邊力B上，過點。作DQ1AB,交力C于點。，點P在邊

4B的延長線上，連接PQ,過點。作QM1PQ,交射線BC于點已知BC=8,AC=10,AD=2DB,求

鄢值?

【拓展應用】

(3)如圖3,在RtA48C中，NB4C=90。，點尸在邊4B的延長線上，點。在邊力C上(不與點A,C重合)，

連接PQ，以。為頂點作NPQM=乙PBC,NPQM的邊QM交射線BC于點M.若4c=mAB,CQ=nAC(m,

”是常數)，求嬰的值(用含機，〃的代數式表示).

圖1圖2圖3

9.（2025?陜西西安?二模）（1）如圖1,在RtAABC中，AACB=90°,BC=4,AC=3,點。是BC上的一

個點，沿AD折疊后，點C恰好落在上的點C'處，求四邊形4CDC'的面積.

圖2

(2)如圖2,在矩形48CD中，4。=20,AB=22,點E為邊力。上一動點，作EF1BC于點R連接EB,EC,

分別作點尸關于BE、EC的對稱點G、H,連接BG、CH、GH,當四邊形BGHC的面積最小時，求BF的長.

＞題型04利用菱形的性質與判定求解

10.(2023?黑龍江哈爾濱?中考真題)已知四邊形4BCD是平行四邊形，點E在對角線8。上，點尸在邊8C上,

連接4E,EF,DE=BF,BE=BC.

圖①圖②

(1)如圖①，求證△4EDmAEFB；

(2)如圖②，若=AE去ED,過點C作CHIME交BE于點H,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫

出圖②中四個角(NB4E除外)，使寫出的每個角都與NB2E相等.

11.(2023?湖南益陽?中考真題)如圖，線段4B與。。相切于點8,4。交。。于點其延長線交。。于點

C,連接BC,乙48c=120。，。為。。上一點且阿的中點為M,連接ZD,CD.

⑴求乙4c8的度數；

(2)四邊形2BCD是否是菱形？如果是，請證明：如果不是，請說明理由；

(3)若AC=6,求C0的長.

12.(2023?吉林?中考真題)【操作發現】如圖①，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，使重合的

部分構成一個四邊形轉動其中一張紙條，發現四邊形EFMN總是平行四邊形其中判定的依據是

【探究提升】取兩張短邊長度相等的平行四邊形紙條2BCD和EFG”(AB<BC,FG<BC),其中AB=EF,

Z.B=Z.FEH,將它們按圖②放置，EF落在邊BC上，FG,與邊AD分別交于點N.求證：團EFMN是

菱形.

【結論應用】保持圖②中的平行四邊形紙條力BCD不動，將平行四邊形紙條EFGH沿BC或CB平移，且EF始

終在邊上.當MD=MG時，延長CD,HG交于點P,得到圖③.若四邊形ECPH的周長為40,sinzEFG=1

>題型05利用正方形的性質與判定求解

13.(2024?貴州?中考真題)綜合與探究：如圖，^AOB=90°,點P在N40B的平分線上，P4104于點A.

(1)【操作判斷】

如圖①，過點P作PCIOB于點C,根據題意在圖①中畫出PC,圖中N4PC的度數為度；

(2)【問題探究】

如圖②，點M在線段2。上，連接PM,過點P作PN1PM交射線0B于點N,求證：。"+ON=2P4；

(3)【拓展延伸】

點M在射線40上，連接PM,過點P作PN1PM交射線0B于點N,射線NM與射線P。相交于點R若。N=

30M,求字的值.

(1)如圖1,連接BE,DE.求證：△ABE三△ADE；

(2)如圖2,F是DE延長線上一點，。F交2B于點G,BFLBE.判斷△FBG的形狀并說明理由；

(3)在第(2)題的條件下，BE=BF=2.求黨的值.

AD

15.(2025?山東臨沂?一模)【問題情境】

如圖1,在矩形4BCD中，E是邊AB上的一點，過點D作DF1CE,過點D作DG1DF,過點A作

AG1DG,且AG=CF.

【基礎探究】

(1)判斷圖1中四邊形4BCD的形狀，并說明理由；

【深入探究】

(2)如圖2,當E在BA延長線上時，其他條件不變，請寫出4口,FH,CF之間的數量關系，并證明；

【拓展遷移】

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BH,HD,當E在B4延長線上的位置發生改變時，判斷NBHD的

大小是否發生變化，請說明理由.

16.（2022?四川攀枝花?中考真題）如圖，以△A8C的三邊為邊在BC上方分別作等邊△ACD.AABE、△8CF.且

點A在ABCF內部.給出以下結論：①四邊形4DFE是平行四邊形；②當NB2C=150。時，四邊形4DFE是

矩形；③當4B=AC時，四邊形ADFE是菱形；④當4B=4C,且ABAC=150。時，四邊形2DFE是正方形.

其中正確結論有（填上所有正確結論的序號）.

17.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，平行四邊形4BCD的對角線AC,BD相交于點。.點E為BC的中點，

連接E。并延長交2D于點F,4ABC=60°,BC=2X5.下歹！J結論：?AB1AC；?AD=4OE；③四邊形4ECF

是菱形；④SABOE=2B「其中正確結論的個數是（）

A.4B.3C.2D.1

18.（2024?山東東營.中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AC與BD交于點。，X為48延長線上的一點，且

BH=BD,連接。H,分別交AC,BC于點、E,F,連接BE,則下列結論：①仁=坐；②tanzH=VI—1；

BF2

③BE平分乙CBD；④2aB2=DE?DH.

DC

其中正確結論的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

19.（2023?山東日照?中考真題）如圖，矩形48CD中,4B=6,AD=8,點尸在對角線BD上，過點P作MN1BD,

交邊AD,BC于點M,N,過點M作ME14D交BD于點E,連接EN,BM,DN.下列結論：①EM=EN；

②四邊形MBND的面積不變；③當=1:2時，SAMPE=~④+MN+ND的最小值是20.其中

所有正確結論的序號是.

20.（2023?內蒙古赤峰?中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形2BC0沿著直線DE折疊，使點C與延長

線上的點。重合.DE交BC于點F,交4B延長線于點E.DQ交BC于點、P,DM14B于點M,AM=4,則

下列結論，①DQ=EQ,②BQ=3,③BP=9,@BD||FQ.正確的是（）

8

DC

AMBQE

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

＞題型07特殊平行四邊形與函數綜合

21.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，一次函數.y-ax+b（a0）的圖象與反比例函數y=H0）的圖

象交于點4（1,4）、

(1)求反比例函數和一次函數的表達式；

(2)利用圖象，直接寫出不等式a光+b的解集；

X

(3)已知點。在x軸上，點C在反比例函數圖象上.若以A、B、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形，求點

C的坐標.

22.(2024?山東威海.中考真題)如圖，在菱形48CD中，AB=10cm,乙ABC=60。，E為對角線2C上一動點，

以DE為一邊作NDEF=60。，EF交射線BC于點F,連接BE,DF.點E從點C出發，沿C4方向以每秒2cm的

速度運動至點4處停止.設ABEF的面積為ycm2,點E的運動時間為x秒.

(1)求證：BE=EF；

(2)求y與尤的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)求%為何值時，線段DF的長度最短.

23.(2024?廣東?中考真題)【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標系中，點B,D是直線y=ax(a>0)上第一象限內的兩個動點(0。>。8),以線段

BD為對角線作矩形4BCD,軸.反比例函數y=右的圖象經過點兒

【構建聯系】

(1)求證：函數y=g的圖象必經過點C.

(2)如圖2,把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應點為E.當點E落在y軸上，且點8的坐標為(1,2)時，

求左的值.

【深入探究】

(3)如圖3,把矩形4BCD沿BD折疊，點C的對應點為E.當點E,A重合時，連接2C交BD于點P.以點

。為圓心，4C長為半徑作。。.若。P=3a,當。。與△ABC的邊有交點時，求上的取值范圍.

24.(2024?重慶?模擬預測)如圖，四邊形4BCD是邊長為9的菱形，入4=60。,動點P、Q分別以每秒3個單

位長度的速度同時從點4出發，點P沿折線ATD—C方向運動，點Q沿折線ATB—C方向運動，當兩點相

遇時停止運動.設運動時間為t秒，點P、Q兩點間的距離為y.

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9-

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3-rI-------1

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o123456789/

(1)請直接寫出y關于t的函數表達式并注明自變量t的取值范圍;

(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并寫出該函數的一條性質;

(3)結合函數圖象，直接寫出點P