數與式綜合提升卷

考試時間：90分鐘；滿分：120分

姓名：班級：考號：

考卷信息：

本卷試題共25題，單選10題，填空6題，解答9題，滿分120分，限時90分

鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容

的具體情況！

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

（2024?山東淄博?中考真題）

1.下列運算結果是正數的是（）

A.3TB.-32

（2024?山東德州?中考真題）

2.下列運算正確的是（）

A?a+a—ciB.a(a+l)=a-+l

C'24622

C.a-a=aD.(a-l)=a-l

（2024?河北?中考真題）

3.已知/為整式，若計算---A-r-Y—v的結果為x—一v則/=()

xy+yx'+xyxy

A.xB.yC.x+yD.x-y

(2024?重慶?中考真題)

4.估計舊（應+G）的值應在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

（2024?廣西?中考真題）

5.如果a+6=3,ab=\,那么/和+2°%2的值為()

A.0B.1C.4D.9

（2024?江蘇揚州?中考真題）

6.1202年數學家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數：1,1,2,3,5,……，這一

列數滿足：從第三個數開始，每一個數都等于它的前兩個數之和.則在這一列數的前2024

試卷第1頁，共8頁

個數中，奇數的個數為（）

A.676B.674C.1348D.1350

（2024?江蘇南通?一模）

7.已知關于x的多項式?2+6x+c（a*0）,當x=a時，該多項式的值為…，則多項式

/-^+3的值可以是（）

795

A.-B.2C.-D.-

442

（2024?山東濟南?一模）

8.設無WO,y<0,z<0,則三數x+,，y+-,z+,中（）

yzx

A.都不大于一2B.都不小于一2

C.至少有一個不大于一2D.至少有一個不小于一2

（2024?重慶開州?模擬預測）

9.有一臺特殊功能計算器，對任意兩個整數只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過

程是：輸入第一個整數多，只顯示不運算，接著再輸入整數9,則顯示卜-引的結果，如

依次輸入1,2,則輸出的結果是|1-2|=1.此后每輸入一個整數都是與前次顯示的結果進行

求差后再取絕對值的運算.

下列說法：

①依次輸入1,2,3,4,則最后輸出的結果是2；

②若將2,3,6這3個整數任意地一個一個輸入，全部輸入完畢后顯示的結果的最大值是

5；

③若隨意地一個一個地輸入三個互不相等的正整數。，2,b,全部輸入完畢后顯示的最后結

果為公若左的最大值為2024,則左的最小值為2020.

其中正確的個數有（）個

A.0B.1C.2D.3

（2024?安徽安慶?一■模）

10.生物學指出，在生物鏈中大約只有10%的能量能夠流動到下一個營養級，在

耳f〃5f“6這條生物鏈中（憶表示第〃個營養級，”=1，2,…,6）,要

使々獲得785千焦的能量，那么需要又提供的能量約為（用科學記數法表示）（）.

A.785x105千焦B.7.85x107千焦

試卷第2頁，共8頁

C.78.5xl（）6千焦D.7.85x108千焦

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

（2024?江西南昌?中考真題）

11.分解因式：2a2-40+2=.

（2024?四川內江?中考真題）

12.已知實數a,b滿足肪=1,那么—+/工的值為.

（2024?四川內江?中考真題）

13.一個四位數，如果它的千位與十位上的數字之和為9,百位與個位上的數字之和也為9,

則稱該數為“極數”.若偶數加為“極數”，且黃是完全平方數，則比=;

（2024?廣東廣州?中考真題）

14.如圖，把片，&，用三個電阻串聯起來，線路上的電流為/,電壓為U,則

U=IRl+IR2+IR}.當用=20.3,乂=31.9,&=47.8,/=2.2時，U的值為.

舄

（2024?重慶?中考真題）

15.一個各數位均不為0的四位自然數M=麗，若滿足a+d=b+c=9,則稱這個四位

數為“友誼數”.例如：四位數1278,71+8=2+7=9,.?.1278是“友誼數”.若麗是一個“友

誼數”，且6-a=c-6=l,則這個數為；若屈=時是一個“友誼數”，設

=且/（"）+“'+二是整數,則滿足條件的河的最大值是_______.

913

（2024?北京?中考真題）

16.聯歡會有/,B,C,。四個節目需要彩排.所有演員到場后節目彩排開始。一個節目彩

排完畢，下一個節目彩排立即開始.每個節目的演員人數和彩排時長（單位：min）如下：

節目ABCD

演員

102101

人數

彩排

30102010

時長

試卷第3頁，共8頁

已知每位演員只參演一個節目.一位演員的候場時間是指從第一個彩排的節目彩排開始到這

位演員參演的節目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其他因素）。

若節目按-的先后順序彩排，則節目D的演員的候場時間為min；

若使這23位演員的候場時間之和最小，則節目應按的先后順序彩排

三.解答題（共9小題，滿分72分）

（2024?山西?中考真題）

17.(1)計算：(-6)x--+[(-3)+(-3；

（2）化簡:--+---

x-lX+1

（2024?福建?中考真題）

⑴求證：62-12。。為非負數；

⑵若見仇c均為奇數，鞏〃是否可以都為整數？說明你的理由.

（2024?河北?中考真題）

19.如圖，有甲、乙兩條數軸.甲數軸上的三點）,B,C所對應的數依次為-4,2,32,

乙數軸上的三點。，E,廠所對應的數依次為0,x,12.

（1）計算B,C三點所對應的數的和，并求方的值；

⑵當點力與點。上下對齊時，點8,C恰好分別與點￡,產上下對齊，求x的值.

（2024?山東威海?中考真題）

20.定義

我們把數軸上表示數。的點與原點的距離叫做數。的絕對值.數軸上表示數。，b的點aB

之間的距離特別的，當時，表示數。的點與原點的距離等于

G-0.當4<0時，表示數。的點與原點的距離等于0-。.

應用

如圖，在數軸上，動點/從表示-3的點出發，以1個單位/秒的速度沿著數軸的正方向運

試卷第4頁，共8頁

動.同時，動點8從表示12的點出發，以2個單位/秒的速度沿著數軸的負方向運動.

AB

—?--------------1------------------------------------------------------1——>

-3012

(1)經過多長時間，點4,2之間的距離等于3個單位長度？

⑵求點4B到原點距離之和的最小值.

(2024?四川涼山?中考真題)

21.閱讀下面材料，并解決相關問題：

下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點

第”行有力個點……

容易發現，三角點陣中前4行的點數之和為10.

(1)探索：三角點陣中前8行的點數之和為,前15行的點數之和為,那么，前力

行的點數之和為

⑵體驗：三角點陣中前力行的點數之和(填“能”或“不能”)為500.

(3)運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規格的花，按照

第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第”排2〃盆的規律擺放而成，則一共能擺放多

少排？

(2024?江蘇無錫?一模)

22.閱讀下面材料：

一個含有多個字母的式子中，如果任意交換兩個字母的位置，式子的值都不變，這樣的式子

就叫做對稱式.例如：a+b+c,abc,a2+b2,...

含有兩個字母a,b的對稱式的基本對稱式是a+b和ab,像a?+b2,(a+2)(b+2)等對稱式

都可以用a+b,ab表示，例如：a2+b2=(a+b)2-2ab.請根據以上材料解決下列問題：

(1)式子①a2b2②a2-b2③：中，屬于對稱式的是_______(填序號)；

ab

(2)已知(x+a)(x+b)=x2+mx+n.

①若加=-2,〃=:，求對稱式2+f的值；

2ab

試卷第5頁，共8頁

②若n=-4,直接寫出對稱式互上+。的最小值.

ab

（2024?江蘇鹽城?中考真題）

23.發現問題

小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？

圖1

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開

圖上可以看成點，每個點表示不同的籽.該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行

有"個籽，每列有人個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（〃，人均為正整數,

n>k>3,d>0）,如圖1所示.

小明設計了如下三種鏟籽方案.

方案1：圖1是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為,共鏟行，則鏟除全

部籽的路徑總長為；

方案2：圖2是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為；

方案3：圖3是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.

解決問題

在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行

評價.

^三三由曲川…弋

專三三附&中…心N：'

圖1圖2圖3

（2024?廣東肇慶?一模）

24.【發現問題】

試卷第6頁，共8頁

由（a-6）2z0得，a2+b2>2ab;如果兩個正數。，b,即。>0,b>0,則有下面的不等式:

a+b>2y[ab,當且僅當a=b時取到等號.

【提出問題】若a>0,b>0,利用配方能否求出a+b的最小值呢？

【分析問題】例如：已知x>0,求式子x+士的最小值.

X

4.—4I~~44

解：令a=x,6=—,貝岫a+得x+—22jx?—=4,當且僅當無=—時，即x=2

XX\XX

時，式子有最小值，最小值為4.

【解決問題】

請根據上面材料回答下列問題：

（1）2+3272^3（用“="">”“<”填空）；當x>0,式子x+工的最小值為

【能力提升】

（2）用籬笆圍一個面積為32平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻長

20米），問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（3）如圖，四邊形/8CZ）的對角線NC、5。相交于點。，“OB、△C。。的面積分別是8

和14,求四邊形4BCD面積的最小值.

（2024?山東青島?模擬預測）

25.已知多項式4x7/-3x2y-x-7,次數是6,3a與6互為相反數，在數軸上，點A表示

數“，點B表示數6.

AB

----------1-------1-----------------------1>

0

（1）〃=，b=；

⑵若小螞蟻甲從點A處以2個單位長度/秒的速度向左運動，同時小螞蟻乙從點5處以3個

單位長度/秒的速度也向左運動，丙同學觀察兩只小螞蟻運動，在它們剛開始運動時，在原

試卷第7頁，共8頁

點。處放置一顆飯粒，乙在碰到飯粒后立即背著飯粒以原來的速度向相反的方向運動，設運

動的時間為I秒，求甲、乙兩只小螞蟻到原點的距離相等時所對應的時間”寫出解答過程）

（3）若小螞蟻甲和乙約好分別從A,B兩點，分別沿數軸甲向左，乙向右以相同的速度爬行,

經過一段時間原路返回，剛好在16s時一起重新回到原出發點A和B,設小螞蟻們出發小s）

時的速度為v（mm/s）,v與/之間的關系如圖.（其中s表示時間單位秒，mm表示路程單位毫

米）

，(s)0<t<22<t<55<t<16

v(mm/s)584

①當2UW5時，你知道小螞蟻甲與乙之間的距離嗎？（用含有/的代數式表示）;

②當［為時，小螞蟻甲乙之間的距離是21mm.（請直接寫出答案）

試卷第8頁，共8頁

1.A

【分析】題考查了正數的定義，負整數指數塞的運算，絕對值的化簡，乘方，算術平方根的

意義，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

根據正數的定義，負整數指數幕的運算，絕對值的化簡，乘方，算術平方根的意義計算選擇

即可.

【詳解】解：A、3T=：是正數，符合題意；

B、一32=-9是負數，不符合題意；

C、-卜3|=-3是負數，不符合題意；

D、-正是負數，不符合題意；

故選：A.

2.C

【分析】此題考查了合并同類項、單項式乘以多項式、同底數幕乘法、完全平方公式等知識,

根據運算法則進行計算即可作出判斷即可.

【詳解】A.a2+a2=2a2,故選項錯誤，不符合題意；

B.=故選項錯誤，不符合題意；

C.故選項正確，符合題意；

D.(0-1)2=/一2°+1,故選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

3.A

【分析】本題考查了分式的加減運算，分式的通分，平方差公式，熟練掌握分式的加減運算

法則是解題的關鍵.

VX—VAVx—V

由題意得一一+—=-----T，對+--進行通分化簡即可.

x+xyxyxy+yx+xyxy

【詳解】解：?-----A-7一-一v的結果為一x-:v，

xy+yx+xyxy

.，x—y二.

x2+xy十xyxy+y2，

J?Jx_y)(x+y)_f_._/

孫(x+y)肛(x+y)肛(x+y)xy+y2xy+y2'

-\A=x,

答案第1頁，共17頁

故選：A.

4.C

【分析】本題考查的是二次根式的乘法運算，無理數的估算，先計算二次根式的乘法運算,

再估算即可.

【詳解】解：:g（行+道）=2&+6,

而4<J24=7.y[6<5，

??-10<2>/6+6<11,

故答案為：C

5.D

【分析】本題考查因式分解，代數式求值，先將多項式進行因式分解，利用整體代入法，求

值即可.

【詳解】解：6=3,ab=l,

a'b+2a2b2+ab3=ab{^a2+2ab+b2^

=ab^a+by

=lx32

=9；

故選D.

6.D

【分析】將這一列數繼續寫下去，發現這列數的變化規律即可解答.

本題主要考查的是數字規律類問題，發現這列數的變化規律是解題的關鍵.

【詳解】這一列數為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

可以發現每3個數為一組，每一組前2個數為奇數，第3個數為偶數.

由于2024+3=674…2,

即前2024個數共有674組，且余2個數，

???奇數有674x2+2=1350個.

故選：D

7.A

【分析】本題考查了二次函數的最值問題，整式的乘法運算，通過消元法將代數式化簡為二

答案第2頁，共17頁

次函數的形式是解題的關鍵.由已知得/+a6+c=c-a,化簡得/=_6一1,所以

19

〃_/+3=_6_1_/+3==_3+y+再求出b的取值范圍，最后根據二次函數的圖象

24

與性質，可求出+3的取值范圍，由此可判斷答案.

【詳解】???當》時，該多項式的值為-，

:.a3+ab+c=c-a，

整理得加2+b+l)=0,

QW0,

Q?+6+1=0,

即。2=一6—1,

:.a2-b2+3=-b-1-b2+3

=-b2-b+2

*.*a2=—b—1,〃w0,

—b—1>0,

hv—1,

iQ

???當6=_］時，6f2-Z)2+3=-(Z)+-)2+-=2,

24

根據二次函數的圖象可知，當6<-1時，〃2_〃+3<2.

故選A.

8.C

【分析】首先把三個數相加，得到［+J+,+；j+(z+￡|，由已知可知x+-2,

>+!4—2,z+-<-2,pT^x+-+y+-+z+-<-6,據止匕即可判定.

yzyzx

【詳解】解：x+-+y+-+z+-=\x+-］+\j^+-+|z+-|,

Jzxkxjy)\zJ

■1-x<0,yWO,z<o,

:.x+-<-2,y+-<-2,z+-<-2,當且僅當x=y=z=-l時，取等號

xyz

111

x-\----\-y-\FzH——<—6,

yzx

答案第3頁，共17頁

當這三個數都大于-2時，這三個數的和一定大于-6,這與X+工+歹+,+2+14-6矛盾，

yzx

■■這三個數中至少有一個不大于-2,

故選：C.

【點睛】本題考查了利用不等式的取值及反證法，判定命題的真假，難度比較大.

9.D

【分析】本題考查了絕對值，絕對值方程.理解題意并分情況求解是解題的關鍵.

依次輸入1,2,3,4,運算結果依次為1-2|=1,|1-3|=2,|2-4|=2,即最后輸出的結果

是2,可判斷①的正誤；將2,3,6這3個整數任意地一個一個輸入，當第一和第二次輸入

為2或3,第三次輸入為6時，全部輸入完畢后顯示的結果最大，最大值為||2-3|-6|=5,

可判斷②的正誤；令6為最大的正整數，當。=1時，上的最大值為16Tl-2||=2024,可求滿

足要求的解6=2025,止匕時左的最小值為|1一|2025—2||=2022；當6>a>2020時，左的最大

值為2bM-a+2|=2024,可求滿足要求的解為=2022,此時人的最小值為

|?-|^-2||=|a-Z7+2|=2020；綜上所述，4的最小值為2020,進而可判斷③的正誤.

【詳解】解：依次輸入1,2,3,4,運算結果依次為卜2|=1,"3|=2,|2-4|=2,.?.最

后輸出的結果是2,①正確，故符合要求；

將2,3,6這3個整數任意地一個一個輸入，當第一和第二次輸入為2或3,第三次輸入為

6時，全部輸入完畢后顯示的結果最大，最大值為||2-3|-6|=5,②正確，故符合要求；

令b為最大的正整數，當。=1時，左的最大值為16Tl-2卜2024,

解得，6=2025或6=-2023（舍去），

止匕時k的最小值為|1一|2025-2||=2022；

當b>a>2020時,k的最大值為尼一|。一2|=-a+2]=2024,

解得，6-。=2022或6-4=-2026（舍去），

此時人的最小值為-卜-2||=|a-H2|=2020；

綜上所述，人的最小值為2020,

???③正確，故符合要求；

答案第4頁，共17頁

故選：D.

10.B

【分析】根據10%的能量能夠流動到下一個營養級可知：要使4獲得785千焦的能量，那

么需要也提供的能量約為785x10千焦，以此類推.設需要凡提供的能量約為x千焦.根

據題意列方程0Tx=785計算，即得.

本題主要考查了乘方的應用.熟練掌握乘方的意義及運算法則，是解決問題的關鍵.

【詳解】設需要凡提供的能量約為x千焦.

根據題意得：0.1*=785,

???10^=785,

解得，x=7.85x

.?.需要凡提供的能量約為7.85x107千焦.

故選：B.

11.2（a-l）2

【詳解】解：先提取公因式2后繼續應用完全平方公式分解即可：

原式=2（/-2a+l）=2（a-iy,

故答案為：2（?-1）2.

12.1

【分析】先根據異分母的分式相加減的法則把原式化簡，再把仍=1代入進行計算即可.

b1+\+a2+\

=(?2+1)(62+1)

_cr+b2+2

a2b2+a2+b2+\

_a2+b2+2

(ab)2+a2+b2+\

ab=1

百_|Aa2+b~+2a-+b-+21

=222=22=

"l+fl+ft+la+b+2>

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，分式求值題中比較多的題型主要有三種：轉化已知條

答案第5頁，共17頁

件后整體代入求值；轉化所求問題后將條件整體代入求值；既要轉化條件，也要轉化問題,

然后再代入求值.

13.1188或4752

【分析】此題考查列代數式解決問題，設出俏的代數式后根據題意得到代數式的取值范圍

是解題的關鍵，根據取值范圍確定可能的值即可解答問題.設四位數〃z的個位數字為x,十

位數字為y,將加表示出來，根據工是完全平方數，得到可能的值即可得出結論.

【詳解】解：設四位數加的個位數字為x,十位數字為y,(x是0到9的整數，y是0到8

的整數)，

m=1000(9-y)+100(9-x)+y+x=99(100-10y-x),

■■,m是四位數，

.?.99(100-10y-x)是四位數,

gp1000<99(100-1Oy-,x)<10000,

.*=3(100-10^7),

30^|<3(100-10y-x)<303^-,

???瑞是完全平方數，

...3(100-10y-x)既是3的倍數也是完全平方數，

.?.3(100-10y-x)只有36,81,144,225這四種可能，

ni

???不是完全平方數的所有m值為1188或2673或4752或7425,

又"?是偶數,

.?.機=1188或4752

故答案為：1188或4752.

14.220

【分析】本題考查了代數式求值，乘法運算律，掌握相關運算法則，正確計算是解題關

鍵.根據。=因+/旦+小3,將數值代入計算即可.

【詳解】解：.皿=困+見+償，

答案第6頁，共17頁

當4=20.3,R2=31.9,R3=47.8,/=2.2時,

U=20,3x2.2+31.9x2.2+47.8x2.2=（20.3+31.9+47.8）x2.2=220,

故答案為：220.

15.34566273

【分析】本題主要考查了新定義，根據新定義得到a+d=b+c=9,再由6-“=。-6=1可

求出。、b、c、"的值，進而可得答案；先求出M=999a+906+99,進而得到

1（"）+劭+”=9。+8+3"+"6,根據八（河）+仍+—是整數,得到9a+8+"+"6是

13131313

整數，即3"；；+6是整數,則%+6+6是13的倍數，求出。48,再按照。從大到小的范

圍討論求解即可.

【詳解】解：,嬴萬是一個“友誼數”，

^a+d=b+c=9,

又??,b-a=c-b=1,

???b=4,c=5,

a—3,d=6,

??,這個數為3456；

???M=而總是一個“友誼數”，

：.M=\OOOtz+100b+10c+d

=1000a+100/>+10（9-Z>）+9-a

=999。+90b+99,

...F（M）=y=llla+10&+ll,

F（^M^+ab+cd

13

11Id+1Ob+11+1Ou+b+10c+d

~13

1lla+106+1l+10a+6+10（9-6）+9-a

~13

120a+Z>+110

~13

117。+3a+6+104+6

B

3。+6+6

=9〃+8+

13

答案第7頁，共17頁

...F（M）+ab+cd是整數,

13

八3a+b+6日-fez,Ui/3Q+b+6

???9Q+8+---是整數，AN即一--是整數,

??.3a+b+6是13的倍數,

???。、b、c、d都是不為0的正整數，且〃+"=6+。=9,

???a<8,

.,.當a=8時，31<3a+Z>+6<38,此時不滿足3a+b+6是13的倍數，不符合題意；

當。=7時，28V3a+b+6V35,此時不滿足3a+6+6是13的倍數，不符合題意；

當a=6時，25434+6+6432,止匕時可以滿足3a+b+6是13的倍數，即止匕時6=2,貝U止匕

時d=3,c=7,

,?,要使M最大，則一定要滿足a最大，

,滿足題意的M的最大值即為6273；

故答案為：3456；6273.

16.60C-A-B-D

【分析】本題考查了有理數的混合運算，正確理解題意，熟練計算是解題的關鍵.

①節目。的演員的候場時間為30+10+20=60min；②先確定C在N的前面，8在。前面，

然后分類討論計算出每一種情況下，所有演員候場時間，比較即可.

【詳解】解：①節目。的演員的候場時間為30+10+20=60min,

故答案為：60；

②由題意得節目/和C演員人數一樣，彩排時長不一樣，那么時長長的節目應該放在后面,

那么C在/的前面，3和。彩排時長一樣，人數不一樣，那么人數少的應該往后排，這樣

等待時長會短一些，那么8在。前面,

二①按照。一8-4一。順序，則候場時間為：(10+2+1)x20+(10+1)x10+1x30=400分鐘;

②按照。一8-。一/順序，則候場時間為：(10+2+1)x20+(10+1)x10+10x10=470分鐘；

③按照C一/一8-。順序，則候場時間為：(10+2+1)x20+(2+1)x30+1x10=360分鐘；

④按照8-C-4-。順序，則候場時間為：(10+10+1)x10+(10+1)x20+1x30=460分鐘；

⑤按照8-。一。一/順序，則候場時間為：(10+10+1)x10+(10+1)x20+10x10=530分鐘;

⑥按照8-。一。一/順序，貝IJ候場時間為：(10+10+1)x10+(10+10)x10+10x20=610分鐘.

答案第8頁，共17頁

???按照C--8-。順序彩排，候場時間之和最小，

故答案為：C-A-B-D.

17.(1)-10；(2)

x+2

【分析】本題考查的是分式的混合運算，有理數的混合運算及負整數指數累，熟知運算法則

是解題的關鍵.

(1)先算括號里面的，再算乘法，負整數指數幕，最后算加減即可；

(2)先算括號里面的，再把除法化為乘法，最后約分即可.

［詳解］解：⑴(一6八9已［+［(-3)+(-1)］

=(-6)x；-1

2

=-10；

(2)、(1h—11卜x一+2

x+l+x-1(x+l)(x-l)

+x+2

2x(x+l)(x-1)

(x+l)(x-l)x+2

_2x

x+2

18.(1)證明見解析；

⑵私〃不可能都為整數，理由見解析.

【分析】本小題考查整式的運算、因式分解、等式的性質等基礎知識：考查運算能力、推理

能力、創新意識等，以及綜合應用所學知識分析、解決問題的能力.

(1)根據題意得出6="3加+〃),°=的〃，進而計算廿―12攻，根據非負數的性質，即可

求解；

(2)分情況討論，①機,〃都為奇數；②機，”為整數，且其中至少有一個為偶數，根據奇偶

數的性質結合已知條件分析即可.

bc

【詳解】(1)解：因為3機+〃=—,加〃=一，

aa

答案第9頁，共17頁

所以b=〃(3/+〃)，c=amn.

則/-12ac=[a(3川+〃)F一12/加〃

=a2(9m2+6mn+n2]—12a2mn

=a2(9m2—6mn+/)

=a1(3m-n)1.

因為Q,加，〃是實數，所以43加_〃)2>0,

所以/-12a為非負數.

(2)加,〃不可能都為整數.

理由如下：若加,〃都為整數，其可能情況有：①加，〃都為奇數；②加，〃為整數，且其中至

少有一個為偶數.

①當加，〃都為奇數時，則3加+〃必為偶數.

X3m+H=—,所以b=a(3m+

a

因為。為奇數，所以。(3加+〃)必為偶數，這與b為奇數矛盾.

②當私〃為整數，且其中至少有一個為偶數時，則加〃必為偶數.

又因為加〃二￡?,所以C=Q加〃.

a

因為。為奇數，所以〃加〃必為偶數，這與。為奇數矛盾.

綜上所述，加，〃不可能都為整數.

19.(1)30,-

6

(2)x=2

【分析】本題考查的是數軸上兩點之間的距離的含義，一元一次方程的應用，理解題意是解

本題的關鍵；

(1)直接列式求解三個數的和即可，再分別計算N5,/C,從而可得答案；

(2)由題意可得，對應線段是成比例的，再建立方程求解即可.

【詳解】(1)解：???甲數軸上的三點/,B,C所對應的數依次為-4,2,32,

.?--4+2+32=30,/3=2-(-4)=2+4=6,40=32-(-4)=32+4=36,

答案第1。頁，共17頁

AB_6

,,就一盤一7；

(2)解：???點4與點。上下對齊時，點3,。恰好分別與點￡歹上下對齊，

DEDF

??布一就‘

x_12

?*?一~，

636

解得：尤=2；

20.⑴過4秒或6秒

(2)3

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，不等式的性質，絕對值的意義等知識，解題的關

鍵是：

(1)設經過x秒，則/表示的數為-3+x,8表示的數為12-2x,根據“點48之間的距

離等于3個單位長度”列方程求解即可；

(2)先求出點/,8到原點距離之和為卜3+x|+|12-2x|,然后分x<3,34x46,x>6三種

情況討論，利用絕對值的意義，不等式的性質求解即可.

【詳解】(1)解：設經過x秒，則N表示的數為-3+x,8表示的數為12-2x,

根據題意，#|12-2x-(-3+x)|=3,

解得x=4或6,

答，經過4秒或6秒，點/,8之間的距離等于3個單位長度；

(2)解：由⑴知：點4,8到原點距離之和為卜3+X|+|12-2X|,

當x<3時，|-3+x|+|12-2x|=3-%+12-2x=15-3x,

x<3,

/.15—3x>6,BP|-3+x|+112—2x|>6,

當3<x?6時，卜3+x|+112—2x|=x—3+12—2x=9—x,

3<x<6,

/.3<9—x<6,即3《|—3+x|+112—2x|<6,

當x〉6時，|-3+x|+|12-2x|=x-3+2x-12=3x-15,

x>6,

3x—15>3,BP|-3+x|+112—2x|>3,

綜上，|-3+x|+|12-2x|>3,

答案第H頁，共17頁

.??點A,B到原點距離之和的最小值為3.

21.(1)36；120；1?(n+l)

⑵不能

⑶一共能擺放20排.

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的

關鍵.

(1)根據圖形，總結規律，列式計算即可求解；

(2)根據前"行的點數和是500,即可得出關于"的一元二次方程，解之即可判斷；

(2)先得到前"行的點數和是再根據題意得出關于"的一元二次方程，解之即可

得出n的值.

【詳解】(1)解：三角點陣中前8行的點數之和為

14-2+3+4+5+6+7+8=1(1+8)x8=36,

前15行的點數之和為1+2+3+…+14+15=g(l+15)xl5=120,

那么，前力行的點數之和為1+2+3+…+〃=g(l+")x"=；"(〃+l)；

故答案為：36；120；—?(?+!)；

(2)解:不能,

理由如下：

由題意得萬”(〃+1)=500,

得“2+77-1000=0,

A=12-4x(-1000)=4001,

,此方程無正整數解，

所以三角點陣中前n行的點數和不能是500；

故答案為：不能；

(3)解：同理，前”行的點數之和為2+4+6+…+2〃=2x；(l+〃)x"=〃(〃+l),

由題意得“5+1)=420,

得/+〃_420=0,即(〃+21)(〃-20)=0,

答案第12頁，共17頁

解得〃=20或〃=-21(舍去),

???一共能擺放20排.

22.(1)①③；(2)①2+^=6；②—+空1的最小值為

abab2

【分析】(1)根據對稱式的定義進行判斷；

(2)①先得到a+b=-2,ab=；,再變形得到2+：=J廿=(a+b)「2ab,然后利用

2ababab

整體代入的方法計算；

②根據分式的性質變形得到勺+^￥=+4+6?+占，再利用完全平方公式變形得到

abab

(a+b)2-2ab+段當J塑，所以原式=2m2+],然后根據非負數的性質可確定

ab162

“4+]/+1g曰[/.

一廠+—廠的最小值.

a2b2

【詳解】解：(1)式子①a2b2②a2-b2③工+:中，屬于對稱式的是①③.

ab

故答案為①③；

(2)vx2+(a+b)x+ab=x2+mx+n

???a+b=m,ab=n.

①a+b=-2,ab=y,

7779(—2)2-2X-

ba_a+b_(a+b)-2ab_v'2

—+：=---------=------------------=；=o

ababab

2

/+1Z?4+12.1IA2I

—+—^-=A+T+6+TT

a2b2a2b2

(a+b)2-2ab+(a+可；2ab

a2b2

=m2+8+U

16

17,17

=—---,

162

17

???—m2>0,

16~

a4+1//+1的曰［/舍不17

???一廠+一廠的最小值為工.

ab2

【點睛】本題主要考查完全平方公式，關鍵是根據題目所給的定義及完全平方公式進行求解

即可.

答案第13頁，共17頁

23.分析問題：方案1：（"T）d；2k；2（n-l）dk.方案2：2（"1）赤；方案3：

5x（2八nd;解決問題：方案3路徑最短，理由見解析

【分析】分析問題：方案1：根據題意列出代數式即可求解；方案2：根據題意列出代數式

即可求解；方案3：根據圖得出斜著鏟每兩個點之間的距離為叵運=幽，根據題意得

22

一共有2”列，2人行，斜著鏟相當于有"條線段長，同時有2人-1個，即可得出總路徑長；

解決問題：利用作差法比較三種方案即可.

題目主要考查列代數式，整式的加減運算，二次根式的應用，理解題意是解題關鍵.

【詳解】解：方案1：根據題意每行有"個籽，行上相鄰兩籽的間距為心

;每行鏟的路徑長為（〃T）d,

???每列有人個籽，呈交錯規律排列，

.?相當于有2左行，

二鏟除全部籽的路徑總長為2（"-1）冰,

故答案為：2k；冰;

方案2：根據題意每列有左個籽，列上相鄰兩籽的間距為“,

??.每列鏟的路徑長為（左-1）",

???每行有n個籽，呈交錯規律排列,,

??.相當于有2〃列,

???鏟除全部籽的路徑總長為2（左-1）辦,

故答案為：2（"1）而；

方案3：由圖得斜著鏟每兩個點之間的距離為魚土Z=幽，

22

根據題意得一共有2”列，2人行，

斜著鏟相當于有〃條線段長，同時有2人-1個，

???鏟除全部籽的路徑總長為：今x（2k-l）nd;

解決問題

由上得：2[n-\）dk-2[k-\）dn-2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d（〃-左）＞0,

方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；

答案第14頁，共17頁

歷「歷-

2（k-l）dn———x（^2k~r）dn=（2—收）左一2+-^-dn,

■:n>k>3,

當左=3時，

（2—收）x3—2+5=4—孚>0,

6

2（k-l）dn一一—x（2k一1）d">0,

方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對菠蘿的損耗.

24.（1）>,2；（2）當長、寬分別為8米，4米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是16米;

（3）四邊形/BCD面積的最小值為22+8S

【分析】本題考查了配方法在最值問題中的應用，同時本題還考查了等高三角形的在面積計

算中的應用.

（1）當x>0時，按照公式O+6N2&萬（當且僅當。=6時取等號）來計算即可；當x<0

時，-4x>0,>0,則也可以按公式a+622而（當且僅當。=6時取等號）來計算；

X

（2）設