熱點(diǎn)01數(shù)與式

明考情.知方向

中考數(shù)學(xué)中數(shù)與式部分主要考向分為四類：

一、實(shí)數(shù)與特殊角的三角函數(shù)值（每年2~4道，9~16分）

二、整式與因式分解（每年2~4道，7~10分）

三、分式（每年1~3題，3~13分）

四、二次根式（每年1~3題，3~12分）

在數(shù)學(xué)中考中，數(shù)與式部分主要考察實(shí)數(shù)及其運(yùn)算、數(shù)軸、因式分解、整式的化簡及求值、根式的計(jì)

算、分式的化簡求值；試題難度設(shè)置的并不大，屬于中考中的基礎(chǔ)“送分題”，題目多以選擇題、填空題以

及簡單計(jì)算形式的解答題出現(xiàn)；在復(fù)習(xí)時，需要考生對這部分的知識點(diǎn)的原理及變形都達(dá)到熟悉掌握，才

能在眾多的變形中，快速識別問題考點(diǎn)，拿下這部分基礎(chǔ)分。

熱點(diǎn)題型解讀

考向一：實(shí)數(shù)及其運(yùn)算

【題型1實(shí)數(shù)的基本概念】

實(shí)數(shù)內(nèi)的基本概念包括：相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、科學(xué)記數(shù)法；

注意：①注意不要混淆相反數(shù)和倒數(shù)；②常見幾種無理數(shù)：（1）開不盡的根式、（2）含n的數(shù)、（3）有

規(guī)律但屬于無限不循環(huán)的小數(shù)；③判斷無理數(shù)、有理數(shù)時，將式子化簡徹底后再進(jìn)行判斷；④科學(xué)記數(shù)

法中，一般萬化為103億化為1（）8。

1.（2024?山東煙臺?中考真題）下列實(shí)數(shù)中的無理數(shù)是（）

2

A.-B.3.14C.V15D.癇

【分析】本題考查無理數(shù)，根據(jù)無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)，叫做無理數(shù)，進(jìn)行判斷即可.

2

【詳解】解：A、§是有理數(shù)，不符合題意；

B、3.14是有理數(shù)，不符合題意；

C、是無理數(shù)，符合題意；

D、癇=4是有理數(shù)，不符合題意；

故選：C.

2.（2024?山東威海?中考真題）一批食品，標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每袋454g.現(xiàn)隨機(jī)抽取4個樣品進(jìn)行檢測，把超過標(biāo)

準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負(fù)數(shù)表示.那么，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（）

A.+7B.-5C.-3D.10

【分析】本題考查了絕對值的意義，正負(fù)數(shù)的意義，直接利用正負(fù)數(shù)的意義以及絕對值的意義可得最接近

標(biāo)準(zhǔn)是哪一袋.

【詳解】解：：超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負(fù)數(shù)表示.

.?.|-3|<|-5|<|+7|<|10|

...最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是-3

故選：C.

3.（2024?山東泰安?中考真題）■的相反數(shù)是（）

6

6655

A.-B.一一C.一一D.-

5566

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：-，的相反數(shù)是，.

60

故選：D.

4.（2023?山東淄博?中考真題）-卜3|的運(yùn)算結(jié)果等于（）

11

A.3B.-3C.-D.——

33

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)直接求解即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，

+3|=-3,

故選:B；

2

5.（2023?山東?中考真題）-§的倒數(shù)是（）

2332

A.-B.-C.——D.——

3223

【分析】本題考查了倒數(shù)的概念，根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)進(jìn)行求解即可，熟練掌握相關(guān)的知識點(diǎn)

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：

2的倒數(shù)是-3.，

故選：C.

6.（2024?山東濟(jì)南?中考真題）截止2023年底，我國森林面積約為3465000000畝，森林覆蓋率達(dá)到24.02%,

將數(shù)字3465000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.3465xlO9B.3.465xlO9C.3.465xlO8D.34.65xlO8

【分析】此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中14時<10,"為整數(shù).確

定。的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，。的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕

對值大于等于10時，。是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，"是負(fù)數(shù).

根據(jù)科學(xué)記數(shù)法定義，這里a=3.465,n=9.

［詳解）3465000000=3.465x109.

故選：B.

7.（2024?山東東營?中考真題）從2024年一季度GDP增速看，東營市增速位居山東16市"第一方陣"，一季

度全市生產(chǎn)總值達(dá)到957.2億元，同比增長7.1%,957.2億用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【分析】本題考查了把絕對值大于1的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示，關(guān)鍵是確定"與a的值.科學(xué)記數(shù)法的表示

形式為axlO"的形式，其中IS。1<10,〃為整數(shù)，它等于原數(shù)的整數(shù)數(shù)位與1的差.據(jù)此即可完成作答.

【詳解】解:957.2億=95720000000=9.572xlO%

故答案為：9.572xlO10.

8.（2024?山東煙臺?中考真題）目前全球最薄的手撕鋼產(chǎn)自中國，厚度只有0.015毫米，約是A4紙厚度的六

分之一，已知1毫米=1百萬納米，0Q15毫米等于多少納米？將結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.15x103納米B./.5x/0“納米C.15x10-5納米D.1.5x10-6納米

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法：axl0",14M<10,〃為整數(shù)進(jìn)行表示即可.

【詳解】解：0.015毫米=0.015x1000000=1.5x1（）4納米；

故選：B.

9.（2024?山東威海?中考真題）據(jù)央視網(wǎng)2023年10月11日消息、，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國科學(xué)院量子創(chuàng)新

研究院與上海微系統(tǒng)所、國家并行計(jì)算機(jī)工程技術(shù)研究中心合作，成功構(gòu)建了255個光子的量子計(jì)算原型

機(jī)"九章三號"，再度刷新了光量子信息的技術(shù)水平和量子計(jì)算優(yōu)越性的世界紀(jì)錄."九章三號"處理高斯玻色

取樣的速度比上一代"九章二號"提升一百萬倍，在百萬分之一秒時間內(nèi)所處理的最高復(fù)雜度的樣本，需要當(dāng)

前最強(qiáng)的超級計(jì)算機(jī)花費(fèi)超過二百億年的時間.將"百萬分之一"用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.IxlO_5B.1x10-6C.Ixl（y7D.IxlO"8

【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，一般形式為

ax10",其中14時<10,〃為整數(shù).

【詳解】解：百萬分之一"工

故選：B.

【題型2實(shí)數(shù)的運(yùn)算】

實(shí)數(shù)的運(yùn)算是實(shí)數(shù)內(nèi)各種概念法則運(yùn)算的結(jié)合，一般以簡答題為主，個別會出填空題，這也就決定了實(shí)

數(shù)的運(yùn)算需要我們注意的三個方面：

①實(shí)數(shù)的運(yùn)算必須熟悉的幾個法則：零指數(shù)幕運(yùn)算、負(fù)指數(shù)塞運(yùn)算、絕對值的化簡、根式的化簡計(jì)算、

特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算等；

②實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的；

③在做解答題時，第一步寫清每個零指數(shù)塞運(yùn)算、負(fù)指數(shù)幕運(yùn)算、絕對值的化簡、根式的化簡計(jì)算、特

殊角的三角函數(shù)值的直接答案，盡量避免跨步，以防口算錯誤導(dǎo)致全錯。

1.（2024?山東淄博?中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果是正數(shù)的是（）

A.3TB.-32C.-|-3|D.-73

【分析】題考查了正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算，絕對值的化簡，乘方，算術(shù)平方根的意義，熟練掌

握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算，絕對值的化簡，乘方，算術(shù)平方根的意義計(jì)算選擇即可.

【詳解】解：A、3T=g是正數(shù)，符合題意；

B、-3。=-9是負(fù)數(shù)，不符合題意；

C、-卜3|=-3是負(fù)數(shù)，不符合題意；

D、-6是負(fù)數(shù)，不符合題意；

故選：A.

2.（2024?山東日照?中考真題）計(jì)算：|及一2|+加一2024°=

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.分別化簡絕對值，零指數(shù)幕，再進(jìn)行加

減計(jì)算.

【詳解】解：原式=2-0+0-1,

=1.

故答案為：1

3.（2024?山東濰坊?中考真題）計(jì)算：存+g1T-3|；

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的化簡求值，熟練掌握立方根，負(fù)指數(shù)，絕對值，分式的混合

運(yùn)算，是解決問題的關(guān)鍵.

先化簡立方根，負(fù)指數(shù)，絕對值，再相加減；

【詳解】舛+2『一卜3|

=-2+（2-'）-2-3

=-2+4-3

=一1;

4.（2024?山東泰安?中考真題）計(jì)算：2tan60°+^-|-712|+^（-3）2;

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和分式的化簡，實(shí)數(shù)運(yùn)算涉及特殊角的三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)累，二次根式和

絕對值，熟練掌握相關(guān)的法則是解題的關(guān)鍵.

利用特殊角的三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)幕，二次根式和絕對值進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算；

【詳解】解：2tan60。+1）［2-卜厄|+

=273+4-273+3

=7；

5.（2024?山東濟(jì)南?中考真題）計(jì)算：百-（兀-3.14）°+（j+|V3|-2cos30°.

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)累、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)累的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)事、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)塞的性質(zhì)進(jìn)行化簡，然后根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)

行計(jì)算即可

【詳解】解：原式=3-1+4+石-2x￥=6.

【題型3實(shí)數(shù)的大小比較】

-

實(shí)數(shù)比較大小的常見方法：①法則法：正數(shù)>0>負(fù)數(shù)；②數(shù)軸法：數(shù)軸上的數(shù)，右邊的總比左邊的大；

③絕對值法：兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小；④平方法：兩個正數(shù)比較大小，誰的平方大，誰

本身就大，兩個負(fù)數(shù)比較大小，誰的平方大，誰本身反而小；

注意：個別實(shí)數(shù)的比較大小會結(jié)合其他基本概念或計(jì)算，這類問題要同時兼顧結(jié)合考點(diǎn)的性質(zhì)再做比較

1.（2024?山東威海?中考真題）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.—2C.——D.—JT.

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較即可求解.

【詳解】解：一（一2）=2,

-2<-^<-1<-（-2）

最小的數(shù)是-2

故選：A.

2.（2024?山東?中考真題）下列實(shí)數(shù)中，平方最大的數(shù)是（）

A.3B.C.-1D.-2

【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，乘方運(yùn)算，先分別計(jì)算各數(shù)的乘方，再比較大小即可.

【詳解】解：.「'g,（T2=i，（-2）~4,

而:<1<4<9,

4

平方最大的數(shù)是3；

故選：A

3.（2022?山東臨沂?中考真題）比較大小：變2（填"或"=

23

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較解答即可.

【詳解】解：用j

.昱〉旦

故答案為：>.

【題型4數(shù)軸】

注意：①互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱；②在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離代表了一個數(shù)的絕對

值，也就是說，在比較絕對值大小時，可以通過比較到原點(diǎn)的距離

1.（202牛山東青島?中考真題）實(shí)數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，這四個實(shí)數(shù)中絕對值最

A.aB.bC.cD.d

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)絕對值的幾何意義可知，一個實(shí)數(shù)的絕對值表示的是這個實(shí)數(shù)

在數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離，故離原點(diǎn)越近，其絕對值越小，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置可知，|d<|耳<|。|=同，

.?.這四個實(shí)數(shù)中絕對值最小的是C,

故選：C.

2.（202牛山東煙臺?中考真題）實(shí)數(shù)b,。在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

-3-2-1012345

A.b+c>3B.a—c<0C.時D.—2a<—2b

【分析】本題考查了數(shù)軸，絕對值，不等式的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)軸分別判斷。，b,c的正負(fù)，然后判斷即可,

解題的關(guān)鍵是結(jié)合數(shù)軸判斷判。，b,c的正負(fù).

【詳解】由數(shù)軸可得，一3<Q<—2,—2<b<.—1?3<。<4,

A、b+cv3,原選項(xiàng)判斷錯誤，不符合題意，

B、a-c<0,原選項(xiàng)判斷正確，符合題意，

c、根據(jù)數(shù)軸可知：向<卜，原選項(xiàng)判斷錯誤，不符合題意，

D、根據(jù)數(shù)軸可知：則-2a>-26,原選項(xiàng)判斷錯誤，不符合題意，

故選：B.

3.（2024?山東德州?中考真題）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所，下列結(jié)論正確的是（）

ab

____??■?A

-1012

A.\a\>\b\B.a+b<Q

C.a+2>b+2D.|<7—1|>|^—1|

【分析】本題主要考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，掌握實(shí)數(shù)與數(shù)軸的基本知識是解題的關(guān)鍵.根據(jù)點(diǎn)在數(shù)

軸上的位置，判斷數(shù)的大小關(guān)系，不等式的性質(zhì)及絕對值的意義判斷出式子的大小即可.

【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸得。<0<1<6,

故選：D.

4.(2023?山東?中考真題)實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子正確的是()

IIII?

a0bc

A.c(b-a)<0B.b(c-a)<0C.a(b-c)>0D,a(c+6)>0

【分析】根據(jù)數(shù)軸可得，a<0<b<c,再根據(jù)a<0<6<c逐項(xiàng)判定即可.

【詳解】由數(shù)軸可知a<0<b<c,

/.c(fe-a)>0,故A選項(xiàng)錯誤；

/.&(c-a)>0,故B選項(xiàng)錯誤；

a(Z;-c)>0,故C選項(xiàng)正確；

a(c+￡>)<0,故D選項(xiàng)錯誤；

故選：C.

考向二：整式

【題型5因式分解】

因式分解時，首選提公因式，再考慮公式法將括號中的整式進(jìn)行因式分解。

1.(2024?山東威海?中考真題)因式分解：(x+2)(x+4)+l=.

【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開，然后利用完全平方公

式分解因式即可.

【詳解】解：(%+2)(%+4)+1

—爐+4%+2%+8+1

=x2+6尤+9

=(x+3『

故答案為：(x+3)2.

2.(2024?山東東營?中考真題)因式分解：2d-8x=.

【分析】本題考查因式分解，掌握用公式法分解因式、提公因式法分解因式是解題關(guān)鍵.先提公因式2x,

再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：2尤3—8尤=2》(尤2-4)=2X(X+2)(X-2),

故答案為：2x（x+2）（x-2）.

3.（202牛山東?中考真題）因式分解：x2y+2xy=

【答案】孫（x+2）

【分析】本題考查了因式分解，直接提取公因式W即可.

【詳解】解：原式=孫（％+2）,

故答案為：.

【題型6整式化簡求值】

1、常見必會計(jì)算公式：①m"（如〃是正整數(shù)）②（am）n=amn（m,〃是正整數(shù)）

③（ab）n=anbn（〃是正整數(shù)）④心+〃"=〃帆一"（〃網(wǎng)，m,〃是正整數(shù)，m>n）⑤（。±力）2=a2±2ab+b2

⑥（a+（）（a-b）=a2-b2

2、完全平方公式的常見變形：

/+*（「+/2abab=（。+為2=.,+4ab

2

=（a-b）+2ab

_（a+bf+（a-bf~2

2（a+b）2-（a-bf

一4

3、其他技巧：整式的化簡計(jì)算，其實(shí)就是去括號法則與合并同類項(xiàng)法則的聯(lián)合應(yīng)用，所以兩個法則的注

意事項(xiàng)也是整式化簡的注意事項(xiàng)。

L（2024?山東濟(jì)南?中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

65

A.3x+3y=6孫B.（孫］=xyC.3（x+8）=3x+8D./?/x

【分析】本題考查了去括號，合并同類項(xiàng)，積的乘方，同底數(shù)塞的乘法，掌握去括號，合并同類項(xiàng)，積的

乘方，同底數(shù)幕的乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則運(yùn)算判斷，即可解題.

【詳解】解：A、3尤與3y不是同類項(xiàng)，不能合并，不符合題意；

B、（肛2）3=x3y6,選項(xiàng)運(yùn)算錯誤，不符合題意；

C、3（x+8）=3x+24,選項(xiàng)運(yùn)算錯誤，不符合題意；

D、/?三x5,選項(xiàng)運(yùn)算正確，符合題意；

故選：D.

2.（2024?山東青島?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A.a+2a=3a2B.o'^a1=?3

C.（―〃）2./=—Cl5D.（2a,=2.6

【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)幕的乘除法、積的乘方逐項(xiàng)運(yùn)算即可判斷

求解，掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、〃+2a=3a,該選項(xiàng)錯誤，不合題意；

B、a5^a2=a3,該選項(xiàng)正確，符合題意；

C、（-〃）2.〃3=〃5,該選項(xiàng)錯誤，不合題意；

D、（2Q3）2=4〃6,該選項(xiàng)錯誤，不合題意；

故選：B.

3.（2024?山東東營?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A.X2-x3=x6B.（x-1）2=x2-1

C.（盯2）2=//D.（一=-4

【分析】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，完全平方公式，積的乘方，負(fù)整數(shù)募，根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則逐個判斷

即可.

【詳解】解：A、x2?x3x5,故A不正確，不符合題意；

B、（x-1）2=x2-2x+l,故B不正確，不符合題意；

C（xy2^=x2y4,故C正確，符合題意；

D、卜=4,故D不正確，不符合題意；

故選：C.

4.（2024?山東德州?中考真題）把多項(xiàng)式--3尤+4進(jìn)行配方，結(jié)果為（）

【分析】本題主要考查完全平方公式，利用添項(xiàng)法，先加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方使式子中出現(xiàn)完全平方

式，再減去這個項(xiàng)，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法.

根據(jù)利用完全平方公式的特征求解即可；

【詳解】解：X2-3X+4

=Y-3x+（-|）2-（-|）2+4

故選B

4Z?

5.(2024?山東濟(jì)寧?中考真題)已知"2—26+1=0,則一^的值是.

a

【分析】本題考查了代數(shù)式的求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整體思想的運(yùn)用.根據(jù)對已知條件進(jìn)行變形得

到"+1=26,代入進(jìn)而即可求解

【詳解】解：—26+1=0,

a2+1—2b

,4b4b

"a2+l~2b~'

故答案為：2

6.(2024?山東濟(jì)寧?中考真題)先化簡，再求值：

x(y-4x)+(2x+y)(2x-y),其中x=！，y=2.

2

【分析】先將原式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，以及平方差公式化簡，去括號合并同類項(xiàng)得到最簡結(jié)果，再把x

與y的值代入計(jì)算即可求出結(jié)果.

此題考查了整式的混合運(yùn)算及化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：x(y-4x)+(2x+y)(2x-y)

=xy-4x2+4x2—y2

=孫一)2,

當(dāng)x=y=2時，

原式=gx2-2?=1-4=-3.

7.(2023?山東?中考真題)已知實(shí)數(shù)加滿足療-a-1=0,貝1m-3/-徵+9=.

【分析】由題意易得病-m=1,然后整體代入求值即可.

【詳解】解：:—機(jī)―1=0,

m2-m=1?

2m3-3m2-m+9

=2m(病—mj—m2—m+9

=2m—rr^-m+9

=m—m2+9

=-(m2—mj+9

=—1+9

=8；

故答案為8.

8.（2023?山東淄博?中考真題）先化簡，再求值：（x-2y）2+x（5j-x）-4/,其中彳=年1,丫=與1

【分析】直接利用整式的混合運(yùn)算法則化簡進(jìn)而合并得出答案.

【詳解】原式=爐+4/一4孫一%?+5孫一4y2

二孫，

當(dāng)x=由±y=避二1時，

22

百個小+1^/5—14

原式=xy=-----x------=—=1.

224

考向三：二次根式

【題型7有意義】

—

①對于二次根式有意義，需保證被開方式20,若二次根式在分母上，則被開方式>0;②逅表示的是

a的算術(shù)平方根，也表示面積為a的正方形的邊長，只有在求a的平方根時，結(jié)果才可能是正負(fù)；③

在判斷同類二次根式時，需要先將根式化簡，再判斷；④歷的整數(shù)部分如果是b,那么它的小數(shù)部

分是迎-b

.....................................3.......................................................

1.（2024?山東煙臺?中考真題）若代數(shù)式[后在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為.

【分析】本題考查代數(shù)式有意義，根據(jù)分式的分母不為0,二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：x-l>0,

解得：%>1；

故答案為：x>l.

2.（2023?山東?中考真題）若代數(shù)式正有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）

x-2

A.xw2B.x>0C.x>2D.x20且xw2

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件得到不等式組，解不等式組即可得到答案.

【詳解】解：?.?代數(shù)式正有意義，

x-2

[x-2w0

解得x20且xH2,

故選：D

3.（2013?湖北恩施?中考真題）25的平方根是.

【分析】根據(jù)平方根的定義，求數(shù)。的平方根，也就是求一個數(shù)x,使得x2=a,則x就是。的一個平方根.

【詳解】v（±5）2=25,

二25的平方根是±5.

4.（2023?山東?中考真題）面積為9的正方形，其邊長等于（）

A.9的平方根B.9的算術(shù)平方根C.9的立方根D.5的算術(shù)平方根

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可.

【詳解】解：???面積等于邊長的平方，

面積為9的正方形，其邊長等于9的算術(shù)平方根.

故選B.

5.（2023?山東煙臺?中考真題）下列二次根式中，與應(yīng)是同類二次根式的是（）

A."B.76C.胡D.712

【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，逐個進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、74=2,與應(yīng)不是同類二次根式，不符合題意；

B、通與也不是同類二次根式，不符合題意；

C、*=2夜，與正是同類二次根式，符合題意；

D、712=2A/3,與應(yīng)不是同類二次根式，不符合題意；

故選：C.

6.（2023?山東臨沂?中考真題）設(shè)m=5卜屈,則實(shí)數(shù)m所在的范圍是（）

A.m<-5B.—5<m<-4C.-4<m<-3D.m>-3

【分析】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，然后估算即可求解.

【詳解】解：加=52-屈=后-屈=6-3行=-2行,

?：2下=曬,屬〈病〈后

/.-5<-2A/5<-4,

即一5<機(jī)<T,

故選：B.

【題型8化簡計(jì)算】

在進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算時，有時先將二次根式化成最簡二次根式再進(jìn)行乘除運(yùn)算，有時直接將被開

方式進(jìn)行乘除運(yùn)算后再進(jìn)行化簡，在計(jì)算直線應(yīng)該先考慮哪種方式更簡便，再動筆計(jì)算。

1.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）—一—

A.72+73=A/5B.72x5/5=710

c.2+V2=1D.7（-5）2=-5

【分析】此題考查二次根式的運(yùn)算法則，根據(jù)二次根式的加法法則對A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法

則對B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對D進(jìn)行判斷.

【詳解】A.&與否不能合并，所以A選項(xiàng)錯誤；

B.應(yīng)乂下=屈，所以B選項(xiàng)正確；

C.24-5/2=5/4^2=5/2,所以C選項(xiàng)錯誤；

D.7（-5）2=|-5|=5-所以D選項(xiàng)錯誤.

故選：B.

2.（202牛山東威海,中考真題）計(jì)算：JR-&-"=.

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：A/12-78-5/6=2^-473=-273

故答案為：-2A/3.

3.（2023?山東濰坊?中考真題）從一0、石，而中任意選擇兩個數(shù)，分別填在算式（口+。）2+0里面的"口"

與"。”中，計(jì)算該算式的結(jié)果是.（只需寫出一種結(jié)果）

【分析】先利用完全平方公式計(jì)算二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的除法即可得.

【詳解】解：①選擇-忘和石，

則（-應(yīng)+可+應(yīng)=（2-2#+3b0

=（5-2新卜也

=5-0-2幾十后

=-V2-2A/3.

2

②選擇和6,

貝應(yīng)+伺2+血=（2_2舊+6,后

=（8-2A/12）＜V2

=8+0-2厄+0

=4五-2前.

③選擇6和6，

則（6+扃+收=（3+2萬+6,后

=（9+6夜/0

=9+&+6亞+逝

=|0+6.

故答案為：|V2-2A/3（或40-2"或。應(yīng)+6,寫出一種結(jié)果即可）.

考向四：分式及運(yùn)算

【題型9分式的計(jì)算】

0O后?

①最簡公分母：系數(shù)：各個系數(shù)的最小公倍數(shù)；取所有字母；相同字母取最大指數(shù)；②整式與分式相

加減時，將整式整體加括號，看作分母為1的分?jǐn)?shù).

1.（2024?山東濟(jì)南?中考真題）若分式的值為0,則x的值是_________.

2x

【分析】直接利用分式值為零的條件，則分子為零進(jìn)而得出答案.

【詳解】???分式二的值為0,

x-l=0,2x^0

解得：x=l.

故答案為：1.

4Y2

2.（2024?山東威海?中考真題）計(jì)算：-*-+—=_________

%-22—x

【分析】本題考查分式的加減，根據(jù)同分母分式的加減法則解題即可.

4%2

【詳解】-----1-----

x—22—x

4x2

x—2x—2

4-x2

x—2

x—2

=-x—2.

故答案為：-x-2.

3.（2024?山東德州?中考真題）化簡：1一專網(wǎng)+空1

m-9m+3

【分析】先計(jì)算分式除法，然后計(jì)算分式減法即可;

【詳解】解：⑴原式二1一遙官-mn+3

m

=1—

m+1

m+l—m

m+1

]

m+1'

4.(2023?山東臨沂?中考真題)

2

下面是某同學(xué)計(jì)算/一-的解題過程:

Q—1

2

解：———a-1

a—1

=_￡__(aT>①

Q—1CL—1

_a2-(tz-1)2②

a—1

/-a+a-1

a—1

上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出正確的解題過程.

【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：

從第①步開始出錯，正確的解題過程如下：

?2一?2(o+l)(?-l)

Q—1a—1ci—1

4Z—1Q—1

1

CL—1

【題型10分式化簡求值】

分式求值時，和整式不一樣，需要注意所代入的數(shù)值是否會使得原計(jì)算式子有意義。

a』1-a-b

1.(2024?山東淄博?中考真題)化簡分式:+---并---求---值(請從小宇和小麗的對話中確定〃,

a2—2clb+〃a-b

b的值)

b是大于1且小

于石的整數(shù)。

小宇小麗

【分析】本題考查分式的化簡求值，無理數(shù)估算；根據(jù)對話可求得“，b的值，將原分式化簡后代入數(shù)值計(jì)

算即可.

【詳解】解：依題意，a=—3,1＜方〈番且6為整數(shù)，又2VA3,貝肥=2,

a~_b~1_a_b

-a2---l-a-b--+b7--a---b1-

(a-bja-b

a+b1-a-b

=---+------

a-ba-b

1

a-b，

當(dāng)〃=-3,Z?=2時，原式=—：；―.

-3-25

2.(2024?山東濰坊?中考真題)先化簡，再求值：f?+l--W"1"，其中a=g+2.

1a-lja-\

【分析】先括號內(nèi)通分，分子分解因式，除法換作乘法，約分化簡，再代入。值，合并即得.

【詳解】

(131〃+2

(ci—lj〃_]

a2-1-3。+2

CL—ICI—I

(a+2)(a—2)a—l

a—1〃+2

—ci—2；

當(dāng)Q=V3+2時，

原式=6+2-2=G

2

o-l

3.(2024?山東青島?中考真題)先化簡——，再從-2,0,3中選一個合適的數(shù)作為。的值代

a??

入求值.

【分析】利用分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則對分式進(jìn)行化簡，根據(jù)分式有意義的條件可知4HO,1,-1,再從-2

和3任選一個數(shù)代入化簡后的結(jié)果中計(jì)算即可；

本題考查了解一元一次不等式組，分式的化簡求值，分式有意義的條件，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：

/a2+l1c2a

原式=x___________

aa(Q+1)(〃_1)

_a__—__2_Q_+_1x.______a_____

ci+—1)

a—1

Q+1

,:a手0,1,—1,

3-lI

.?.當(dāng)“=3時’原式=而二萬

當(dāng)a=-2時'原式高=3.

4.（2024?山東煙臺?中考真題）利用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算,按鍵順序如下:FlFinFlR-

（m7m—4、4-—2m

若〃?是其顯示結(jié)果的平方根，先化簡：--+—-再求值.

\m-39-m）m+3

【分析】本題考查了分式的化簡求值，先利用分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則對分式化簡，然后根據(jù)題意求出加的

值，把機(jī)的值代入到化簡后的結(jié)果中計(jì)算即可求解，正確化簡分式和求出機(jī)的值是解題的關(guān)鍵.

m7m-44-2m

【詳解】解:------1------2-

m-39-mm+3

m7加-4)2(2-m)

m-3m2-9Jm+3

m(m+3)7m-4m+3

+—3)+—3)2(2—m)

2

m+3m7m—4mx+__3_____

+—3)+—3)2(2—m)

m2-4m+4m+3

_____________x________

(m+3)(m-3)2(2-m)

(m-2)2m+3

+-2(m-2)

m-2

-2(m-3)

_m—2

6—2m'

:32—5=4,

.132-5的平方根為±2,

「4一2mwO,

.?.根。2,

又?.?加為32-5的平方根，

/.m=—2,

、——2_2__2

二原式一6—2x(-2)一二,

5.(2024?山東日照?中考真題)

先化簡，再求值：(2-「+汩’其中X滿足/_2x-l=0.

\x—xx-2x+117x

【分析】

根據(jù)分式混合運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行化簡，得——；，再把5-2芯-1=0變形為V-2x=l,然后利用整體代入的

x-2x+l

方法計(jì)算即可.

【詳解】解：

目#_%+3xx

原式

_(x+3)(x-l)-x2x

x(x-l)22x-3

2x-3x

=X(X-1)2,2X-3

1

(x—1)2

1

f—2%+1

當(dāng)九2_2工—1=0時，X2-2X=1,

「?原式

6.(2023?山東東營?中考真題)

先化簡，再求值：一￡二十(-27-』］，化簡后，從-2<x<3的范圍內(nèi)選擇一個你喜歡的整數(shù)作為x的

x+2x+lVx+1x)

值代入求值.

24

【答案】二r當(dāng)％=2時，原式二三.

x+13

【分析】

先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后將字母的值代入

求解.

【詳解】解：

x(x—l)2x—(x+l)

原式=六八

(x+1)+

x(x-l)x(x+l)

(x+l)2X-]

x+1

由題意可知：xw—1,xwO,xwl,

-.4

「?當(dāng)x=2時，原式=§.

a—4(/7+2CL—1A

7.(2。23?山東濱州?中考真題)先化簡，再求值：丁-E一—，其中〃滿足

?4+6cos60°=0.

【分析】先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號內(nèi)的，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，根據(jù)負(fù)整數(shù)

指數(shù)塞，特殊角的三角函數(shù)值，求得4Q+3=0的值，最后將4。+3=0代入化簡結(jié)果即可求解.

a—4?Q+2CL—1

【詳解】解:

aIa2-2QQ2—4。+4

Q—4(〃+2)(Q—2)a[a-\)

------i-----------2-------------2

。a(a-2)a(a-2)

Q-4(a+2)(a-2)-a(a-1)

a

_a-4Q(Q_2)2

-X-z7

aa—4—ci+a

=("2)2

=6—4a+4；

?〃+6cos60°=0,

即/_4々+3=0,

二原式=。2—4“+3+1=0+1=1.

8.(2023?山東?中考真題)先化簡，再求值：工+—匚『其中x,y滿足2x+y-3=0.

x+y)x"-y"

【分析】原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時將除法變?yōu)槌朔ǎs分得到最簡結(jié)

果，將2x+y-3=0變形整體代入計(jì)算即可求解.

(x-y)(x+y)

【詳解】解：原式+

_3x2+3xy+x2-xy^(x-y)(x+y)

(x-y)(x+y)》

4尤2+2孫/尤_y)(x+y)

(x-j)(x+y)x

=4%+2y；

由2x+y—3=0,得至II2%+y=3,

則原式=2(2x+y)=6.

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(建議用時：15分鐘)

1.(2024?山東?一模)禽流感病毒的形狀一般為球形，直徑大約為0.000000102m,數(shù)Q000000102用科學(xué)記

數(shù)法表示為()

A.1.02x10-7B.1.02x10-8C.10.2xl0~8D.102xl0~9

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義即可得.

【詳解】解：0.000000102=1.02x10-7,

故選：A.

2.(2024?山東青島?一模)下列計(jì)算正確的是()

A.3a1=—B.a2+2a=2a3

3a

C.(-a).=-a，D.(_a)+(-a)=—a

【分析】本題考查了負(fù)整指數(shù)累，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)幕的乘法與除法，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.3?-'=-,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

a

B.a?與2a不能合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.(-a)3-a2=-a3-a2=-a5,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.(-a)3=(-a)32=-a,故該選項(xiàng)正確，符合題意.

故選：D.

3.（2024?山東?一模）下列實(shí)數(shù)中是無理數(shù)的為（）

7122

A.—B.2C.——D.0.9

37

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義解答即可.

【詳解】解：A、、是無理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

B、2是整數(shù)，屬于有理數(shù),，故本選項(xiàng)不合題意；

22

C、，是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

D、0.9是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

故選：A.

4.（2024?山東?一模）某市去年第四季度財(cái)政收入為41.76億元，用科學(xué)記數(shù)法（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）表示

為（）元

A.41xl08B.4.1xl09C.4.2xl09D.41.7xl08

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中k|a|<10,n為整數(shù)，由于41.76億=4176000

000,整數(shù)位數(shù)有10位，所以可以確定n=10-l=9.即可得到答案.

【詳解】解：41.76億元=4176000000元=4.176x109元=4.2XK）9元，

故選：C.

5.（2024,山東?一模）-2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊考試滿分全攻略同步備課備考系列（華東師大版2024））

-2024的相反數(shù)是（）

A.-2024B.2024----D.----

20242024

【分析】本題考查相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵；

求一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上一個負(fù)號即可.

【詳解】解：-2024的相反數(shù)是2024；

故選：B.

6.（2024?山東青島?一模）去年年底，國產(chǎn)CPU—龍芯3A6000在北京發(fā)布，標(biāo)志著我國自主研發(fā)的CPU在

自主可控程度和產(chǎn)品性能方面達(dá)到新高度.龍芯3A6000采用的工藝制程為0.000000012m,將0.000000012

用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.12x10^B.1.2x10-8C.1.2x10-D.1.2xl07

【分析】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，一般形式為。xllT1,其中1引4<10,“為由

原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定，確定。與力的值是解題的關(guān)鍵.用科學(xué)記數(shù)法表示

較小的數(shù)，一般形式為其中14時<10,〃為整數(shù)，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：0.000000012=LZxKT8,

故選：B.

7.（202牛山東?一模）9的算術(shù)平方根是（）

A.3B.81C.±3D.±81

【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，兩個實(shí)數(shù)6若滿足"=匕且。為非負(fù)數(shù)，那么a就叫

做6的算術(shù)平方根，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：9的算術(shù)平方根是3,

故選：A.

8.（2024?山東?一模）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（a-5）2=a2-25B.x4+x2=x6

C.-2b（4a-b2）=-8ab-2b3D.（x2y）3=x6y3

【分析】根據(jù)完全平方公式，合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，積的乘方等運(yùn)算法則分別計(jì)算，分別判斷

即可.

【詳解】解：A、-5）2=a2-10a+25^a2-25,本選項(xiàng)不符合題意；

B、尤4與/不是同類項(xiàng)，不能合并，本選項(xiàng)不符合題意；

C、-2b（4a-）=-Sab+2b3-Sab-2b3,本選項(xiàng)不符合題意；

D、1、）3=了6,3,本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

9.（2024?山東?一模）g的倒數(shù)是（）

「11

A.5B.—5C.-D.—

55

【詳解】解：1的倒數(shù)是5.

故選A.

10.（2024?山東?一模）據(jù)初步統(tǒng)計(jì)，2016年高青縣實(shí)現(xiàn)地區(qū)生產(chǎn)總值（GDP）約為205.48億元.其中205.48

億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.205.48x107元B.20.548xlO9%C.2.0548xl0107CD.2.0548x10"元

【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,〃為

整數(shù).確定”的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)

原數(shù)絕對值210時，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，〃是負(fù)數(shù).

【詳解】解：205.48億元用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為：