第01講數列的概念

學習目標

課程標準學習目標

1.通過實例了解數列的概念，明確數列與數集的區別，

理解數列的項與項數的含義，理解數列的函數特征。

1.理解數列的概念.

2.根據給定的項數，求出相應數列的通項公式，并理

2.掌握數列的通項公式及應用.

解通項公式的含義。

3.能根據數列的前幾項寫出數列的一個通

3.知道數列的分類：有窮數列和無窮數列等。

項公式.

4.掌握數列的表示方法。

5.通過觀察、歸納、猜想等方法，探索數列的規律。

思維導圖

數列的概念及一般形式

數列的概念與辨析

L根據規律求數列的項

數列的分類及表示

＜數列的分類及判斷

數列的概念-根據數列的單調性求參數

數列的通項公式:求數列項的最值

根據數列的前幾項求通項

數列與函數

根據通項公式求值

ts知識清單

知識點01數列的概念及一般形式

（1）數列的定義：按照一定次序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項，各項

依次成為這個數列的第1項（或首項），第2項……，組成數列的數的個數稱為數列的項數。

（2）數列的一般形式可以寫成%,%，。3,……，%，……，其中4表示數列的第

”項（也稱〃為。"的序號，其中H為正整數，即〃eN+）,稱為數列的通項。此時一般將

整個數列簡記為{%}

【解讀】與集合中元素的性質相比較，數列中的項的性質具有以下特點:

①確定性：一個數是或不是某一數列中的項是確定的，集合中的元素也具有確定性；

②可重復性：數列中的數可以重復，而集合中的元素不能重復出現（即互異性）；

③有序性：一個數列不僅與構成數列的“數”有關，而且與這些數的排列順序有關，而集合中的元素

沒有順序（即無序性）；

④數列中的每一項都是數，而集合中的元素還可以代表除數字外的其他事物.

【即學即練1】下列結論中正確的是（）

A.數列的項數是無限的

B.數列中各項與順序無關

C.數列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}

D.數列1,3,5,7與數列7,5,3,1不是同一數列

【答案】D

【解析】數列按項數分類可分為有窮數列與無窮數列，

即數列的項數可以是有限的，也可以是無限的，故A錯誤；

數列與順序有關，

構成數列的數是有順序的，而集合中的元素是無序的，故C錯誤；

根據數列定義，兩數列的數排列次序不相同，不是相同的數列，故D正確.故選：BD.

知識點02數列的分類及表示

1、數列的分類

分類標準類型滿足條件

有窮數列項數有限

項數

無窮數列項數無限

遞增數列%+1>%

遞減數列<%其中"GN+

項與項間的大

常數列

小關系%+1=%

從第二項起，有些項大于它的前一項，有

擺動數列

些項小于它的前一項的數列

2、數列的表示：數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.

【即學即練2】下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是（）

ill

A.1,—,—,—,...B.一1,—2,—3,—4

，34

111廠

j

C.-1,一~Tf-~~f...D.1,fVn

24o

【答案】c

【解析】A,B都是遞減數列，D是有窮數列，只有C符合題意.故選：C.

知識點03數列的通項公式

一般地，如果數列的第〃項。“與〃之間的關系可以用劣=火"）來表示，其中大〃）是關于〃的不含其他未

知數的表達式，則稱此關系式為這個數列的通項公式.

【解讀】①數列的通項公式實際上是一個以正整數集N+或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝為定義域的函

數解析式.

②和所有的函數關系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數列都有通項公式.

③有通項公式的數列，其通項公式在形式上不一定是唯一的.

【即學即練31下列結論中，正確的是（）

A.數列可以看作是一個定義在正整數集（或它的有限子集。,2,3,…,〃｝）上的函數

B.數列的項數一定是無限的

C.數列的通項公式的形式是唯一的

D.數列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,…不存在通項公式

【答案】A

【解析】對于A,由數列定義知，A正確；

對于B,數列1,2,3,4,5只有5項，該數列項數有限，B錯誤；

對于C,數列-1』,-1」,-1」,…的通項公式可以為。“=（-1）",

f-l,H=2k-1*

也可以為對=<，左?N*,該數列通項公式不唯一，C錯誤；

=2k

—,n=2k-l

對于D,該數列的通項公式可以為也,=i#eN*,D錯誤.故選：A

即,〃=2左

I2

知識點04數列與函數

從函數的觀點看，數列可以看作是特殊的函數，關系如下表：

定義域正整數集N+（或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝）

解析式數列的通項公式

值域由自變量從小到大依次取正整數值時對應的函數值構成

表示方法（1）通項公式（解析法）；（2）列表法；（3）圖像法

【即學即練4】（多選）下列結論中正確的是（）

A.數列可以看作是一個定義在正整數集（或它的有限子集｛123,…，科）上的函數

B.數列若用圖像表示，則從圖像上看都是一群孤立的點

C.數列的項數是無限的

D.數列｛2〃+1｝是遞增數列

【答案】ABD

【解析】由數列的定義知，數列是特殊的函數，

其定義域是正整數集或它的有限子集｛1,2,3,…選項A,B正確；

由于數列有有窮數列與無窮數列之分，即數列的項數可以是有限的，也可以是無限的，C不正確;

對于%=2〃+1,得到4M>%,,所以，數列｛2〃+1｝是遞增數列，D正確，故選：ABD

04題型精講

題型01數列的概念與辨析

【典例1】（2024高二?全國?專題練習）下列說法正確的是（）

A.數列4,7,3,4的首項是4

B.數列｛%｝中，若％=3,則從第2項起，各項均不等于3

C.數列3,6,8可以表示為｛3,6,8｝

D.a,-3,-1,1,b,5,7,9,11一定能構成數列

【答案】A

【分析】根據數列的定義可判斷各項的正誤.

【詳解】對于A,數列4,7,3,4的第1項就是首項，即4,故A正確.

對于B,同一個數在一個數列中可以重復出現，故B錯誤.

對于C,數列和數的順序有關，集合中元素具有無序性，故C錯誤.

對于D,當。力都代表數（數列的各項都是數）時，能構成數列,

當中至少有一個不代表數時，不能構成數列，

因為數列是按確定的順序排列的一列數，故D錯誤.

故選：A.

【變式1】（24-25高二上?全國?課后作業）若數列｛%｝的通項公式為%=4〃-5,則關于此數列的圖象敘述

正確的是（）

A.此數列不能用圖象表示

B.此數列的圖象僅在第一象限

C.此數列的圖象為直線>=4x-5

D.此數列的圖象為直線y=4x-5上滿足xeN+的一系列孤立的點

【答案】D

【分析】根據數列的圖象是直角坐標系里一個個散點，一一判定選項即可.

【詳解】數列｛與｝的通項公式為4,=4〃-5,

它的圖象就是直線了=以-5上滿足xeN,的一系列孤立的點，所以A、C錯誤，

當〃=1時，4=-1,該點在第四象限，

當〃上2且〃eN+時，??>0,此時數列圖象在第一象限，所以B錯誤.

故選：D.

【變式2】（2024高三?全國?專題練習）將正整數的前5個數排列如下：

①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.

其中可以稱為數列的有（）

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】根據數列的定義知識即可求解.

【詳解】根據數列是按"一定順序”排列著的一列數，所以①②③④都正確，故D項正確.

故選：D.

【變式3］（23-24高二上?山西?期末）下列說法中，正確的是（）

A.數列2,4,6,8可表示為集合｛2,4,6,8｝

B.數列1,2,3,4與數列4,3,2,1是相同的數列

C.數列｛/+〃｝的第左項為后2+后

D.數列0,1,2,3,4,…可記為｛〃｝

【答案】C

【分析】利用數列定義即可逐個選項判斷即可得解.

【詳解】對于A,由數列的定義易知A錯誤；

對于B,兩個數列排列次序不同，是不同的數列，故B錯誤；

對于C,數列｛/+"｝的第左項為r+%,故C正確；

對于D,因為OeN,所以“eN,這與數列的定義不相符，故D錯誤.

故選：C.

【變式4】（24-25高二上?全國,課后作業）下列說法中，不正確的是（）

A.數列L3,5,7可表示為｛1,3,5,7｝

B.數列1,。,T-2與數列-2,7,0』是相同的數列

C,數列的項可以相等

D.數列仇c和數列c,6,。一定不是同一數列

【答案】ABD

【分析】根據數列的概念判斷各選項即可.

【詳解】對于A,{1,3,5,7}不表示數列，故A錯誤；

對于B,數列具有有序性，故B錯誤；

對于C,數列的項可以相等，故C正確；

對于D,當a=c時，數列。,6,c和數列c,6,。表示同一數列，故D錯誤.

故選：ABD.

題型02根據規律求數列的項

【典例2］（23-24高二下?陜西渭南?期中）已知數列血，2,屈,2逝，屈,2月，…，則這個數列的第

25項為（）

A.2而B.5A/2C.7D.473

【答案】B

【分析】根據數列前的幾項歸納出%=A,〃eN*,即可求出結果.

（詳解】由題知an=V2n,〃eN*,所以&5=,2x25=5五,

故選：B.

【變式1］（23-24高二下?四川成都?期中）在數列1,-2,4,-8,16,...中，這個數列的第7項是（）

A.-64B.64C.128D.-128

【答案】B

【分析】根據所給數列的部分項歸納數列通項公式即可得解.

【詳解】由數列1,-2,4,-8,16,可知通項公式為。,=（-2尸，

所以的=（-2）6=64.

故選：B

【變式2】（24-25高二上?福建龍巖?期中）已知數列1,-1,2,-2,3,-3,…，根據該數列的規律，100

是該數列的第（）

A.100項B.101項C.199項D.200項

【答案】C

【分析】由數列中的數字規律可知每一組由兩項組成，計算可得結果.

【詳解】根據該數列的規律可將數列進行分組，每一組含有兩個互為相反數的組合，

因此100即為第100組的第一個數，其前面有99組，每一組有兩項，

因止匕100是該數列的第2x99+1=199項.

故選：C

【變式3】（23-24高二下?河北張家口?開學考試）將正偶數按如圖所示的規律排列：

2

468

1012141618

20222426283032

則4048在第行，從左向右該行的第個數.

【答案】4588

【分析】由已知歸納出規律，計算出前"行所有數和的個數后，可確定4048所在的行及其順序號.

【詳解】4048是第2024個數，

由已知得前"行所有的個數為1+3+5+…+(2〃-1)="0+

442=1936,452=2025,44?<2024<452,

2024-44x44=88,

所以數字4048在第45行，第88個數.

故答案為：45；88.

【變式4】(24-25高二?上海?隨堂練習)以下數表的構造思路來源于我國南宋數學家所著的《詳解九章算法》

一書中的“楊輝三角”：

12345-20142015201620172018

3579..........4029403140334035

81216..................806080648068

2028..........................1612416132

該表由若干行數字組成，從第二行起，每一行中的數字均等于其"肩上"兩數之和，表中最后一行僅有一個數，

則這個數為.

【答案】2019x22016

【分析】結合題意，利用從第二行起，每一行中的數字均等于其"肩上"兩數之和，使用數列的知識求解即可.

【詳解】觀察每一行第一個數的規律：

第一行的第一個數為1=2X2L

第二行的第一個數為3=3x2°,

第三行的第一個數為8=4x2、

第四行的第一個數為20=5x22,…，

第n行的第一個數為%=(〃+l)x2"-2,

表中一共2018行，

.,.第2018行的第一個數即%oj8=2019x22°i6.

故答案為：2019x22°叱

題型03數列的分類及判斷

【典例3］（24-25高二上?全國?課后作業）下面四個數列中，既是無窮數列又是遞增數列的是（）

.111.兀.2兀.3兀

A.…sin于sm7Psm了,…

c--I，-；，…D.1,V2,V3,---,A/21

【答案】C

【分析】利用無窮數列、遞增數列的定義逐項判斷即得.

【詳解】對于A,數列1,；,/,…是遞減數列，A不是；

對于B,sin—=sin—,數列sinsin?,sin即■，…不是遞增數歹|J,B不是;

77777

對于C,,數列-1,…是遞增數列，是無窮數列，C是；

248248

對于D,數列1,也,…，，亓是有窮數列，D不是.

故選：C

【變式1】（24-25高二上?全國,課后作業）已知數列%=（-；）"，則該數列是（）

A.遞增數列B.遞減數列C.擺動數列D.常數列

【答案】C

【分析】根據給定的通項公式，結合單調數列、擺動數列的定義判斷即得.

【詳解】數列%=（1）",則*=-*＜o,%=白＞。，

因此。2"＞。2“一1，。2,＞出用，數歹US”｝是擺動數歹!J.

故選：C

【變式2】（24-25高二上?全國,課堂例題）下列數列中，為遞增數列的是,為遞減數列的是,為

常數列的是.

①1,0.84,0,842,0,843,

②2,4,6,8,10,...；

③7,7,7,7,...；

（⑷4）13，19'J2_7’X81,.

⑤10,9,8,7,6,5,4,3,2,1.

【答案】②①④⑤③

【分析】根據數列單調性的定義，即可判斷.

【詳解】由數列的單調性，易知②是遞增數列；①④⑤是遞減數列；③是常數列.

故答案為：②；①④⑤；③

【變式3】（24-25高二上?全國,課前預習）下列數列哪些是遞增數列？哪些是遞減數列？哪些是常數列？哪

些是擺動數列？

@2017,2018,2019,2020,2021,2022；

②畛箕

③

④__1_J___1_1

。一說，汨，-3^4，4^5""；

⑤1,0,-1,0,1,0,...；

⑥9,9,9,9,9,9.

【答案】①②是遞增數列；③是遞減數列；⑥是常數列；④⑤是擺動數列

【分析】根據遞增數列，遞減數列，常數列，擺動數列的概念進行判斷.

【詳解】（1）遞增數列，因為從第2項起，每一項都大于它的前一項;

（2）遞增數列，因為從第2項起，每一項都大于它的前一項;

（3）遞減數列，因為從第2項起,每一項都小于它的前一項;

（4）擺動數列，因為從第2項起，數列中有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項;

（5）擺動數列，因為從第2項起，數列中有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項;

（6）常數數列，各項均為9,故為常數數列.

題型04根據數列的單調性求參數

【典例4］（24-25高二上?江蘇蘇州?階段練習）已知數列｛%｝是遞增數列，且對于任意

neN*,a?=n2+2An+l,則實數4的取值范圍是（）

33

A.A>—1B.A<—1C.>——D.4<—

22

【答案】C

【分析】利用二次函數的單調性，結合〃￡N*可得.

【詳解】因為⑸=（〃+2）2+1-儲，且數列｛%｝是遞增數列，

33

所以_丸<即

故選：c

【變式1】（2024?貴州?模擬預測）已知數列｛%｝滿足%="3（4eR）,貝/數列｛。“｝是遞增數歹廣的充要

n

條件是（）

A.k<0B.k<lC.k>0D.k>\

【答案】B

【分析】根據條件，利用遞增數列滿足%M>。,，即可求解.

【詳解】因為。，=2H-+--k---1（左eR）,所以n+kn+k—l_\-k

nn+1n(ji+l)n

由%+「%=、而>0,得到左<1,所以“數列｛%｝是遞增數歹『'的充要條件是左<1,

故選：B.

【變式2】（24-25高三上?安徽,階段練習）"彳42"是"數列｛/-而｝為遞增數列"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據數列為遞增數列的定義求得2的范圍，再由充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】由“數列｛"2-訓為遞增數列”，

得（77+1）2-2（〃+1）-（〃2一訓=2"+1-/1>0,

所以九<2〃+1恒成立，所以彳<3,

由442得2<3,由文<3不一定有X42,

故"XW2"是"數列,2-4力｝為遞增數列"的充分不必要條件.

故選：A.

(6-/>+8,n<4,什,.

【變式3】（24-25高二上?湖南長沙?期中）己知數列｛。,｝的通項與tn-3n>5，〃eN,右｛叫是遞增

數列，則實數f的取值范圍是（）

A.（1,6）B.（4,6）C.卜等）D.[4,6）

【答案】B

【分析】根據題意，列出不等式組求解即可.

6—，>0/<6

【詳解】解：由已知得"1,即11,解得4<%<6.

4（6-%）+8</t><—8

故選：B.

題型05求數列項的最值

【典例5】（24-25高三上?廣東汕頭?開學考試）已矢口數列%=則數列｛%｝的前100項中

的最小項和最大項分別是（）

A.%,“100B.%5，。44C.“45，"1D.%4'"100

【答案】B

J2024-J2025

【分析】先化簡。“=1+（〃eN*）,再借助函數的單調性分析得解.

"一/2024

"-J2025n-V2024+V2024-V2025V2024-V2025

【詳解】氏==1+(”eN*

"-J2024"-J2024n72024

因為442<2024<452,

所以〃444時，數列｛%｝單調遞增，且%>1；"245時，數列｛（｝單調遞增，且見<1.

在數列｛%｝的前100項中最小項和最大項分別是。45，。44.

故選：B.

【變式1］（24-25高二上?全國■課前預習）已知數歹ijq=-"2+4〃+2,則該數列中最大項的序號是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】根據數列的函數特性進行判斷即可.

【詳解】因為。,=一（〃一2）2+6,"N+，

所以當〃=2時，取得最大值.

故選：A.

【變式2】（24-25高二上?全國,課前預習）已知數歹U%=-/+4〃+2,則該數列中最大項的序號是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】根據數列的函數特性進行判斷即可.

【詳解】因為％=-（〃-2）2+6,?eN+,

所以當〃=2時，取得最大值.

故選：A.

【變式3】（23-24高二下?貴州畢節?階段練習）（多選）已知數列｛"“｝的通項公式為a“=（〃+2）］gj,則下

列說法正確的是（）

A.卬是數列｛與｝的最小項B.%是數列｛%｝的最大項

C.%是數列｛%｝的最大項D.當〃25時，數列｛%｝遞減

【答案】BCD

【分析】設第〃項為｛%｝的最大項，根據J〉”"1列出不等式組，求解即可判斷BCD,利用數列的單調性

及范圍判斷A.

【詳解】設第"項為｛%｝的最大項,

n<5

,所以

n>4

又〃eN*,所以〃=4或〃=5,

故數列｛%｝中&與。5均為最大項，且的=。5=1?，

當月25時，數列｛4｝遞減，故BCD正確,

當"趨向正無窮大時，氏=（〃+2>《]無限趨向于0且大于0,且％=]>0,

所以％不是數列｛%｝的最小項，且數列｛%｝無最小值，故A錯誤.

故選：BCD

【變式4】（24-25高二上?上海,階段練習）已知數列｛%｝滿足為正整數，則該數列的最大項是

第項.

【答案】2和3

【分析】結合對勾函數的單調性求解即可.

n1

【詳解】^=776=~6,

n+—

n

?.?y=x+：在（0,指）上單調遞減，（加,+對單調遞增，

且電=%=5故該數列的最大項是第二項和第三項.

故答案為：2和3

題型06根據數列的前幾項求通項

【典例6】（24-25高二上?山東荷澤?階段練習）若數列｛6｝的前四項依次為2,12,112,1112,則｛七｝的一

個通項公式為（）

-1

A.an=10"+2B.%=（"-1）（45〃-80）+2

【答案】D

【分析】通過觀察前幾項的規律即可求解.

【詳解】由2=10-8,12=100-88,112=1000-888,1112=10000-8888,

可得｛%｝的一個通項公式為。“=10"-|x(10"-1)=四手.

故選：D.

【變式1】(24-25高二上?山東青島?階段練習)數列…的一個通項公式凡=

2244

A.f-lT1B.f-^TC.(-1)<-<D.㈠):

Sl2jVH2j

【答案】D

【分析】由數列中每一項的特點可分析得到通項公式的結構.

【詳解】由于數列的符號正負項間隔出現，故符號為(-1)日，

(萬丫-1(萬丫T

且每項為牛，故數列的一個通項公式為%=(-1)向彳.

12J12J

故選：D.

【變式2](24-25高二上?全國?課后作業)數列1,一走」,_1一

…的一個通項公式%=()

2244

1

4-r…rD.(-1)節(/yV'

【答案】D

【分析】觀察每項的特點，分別確定項的符號以及每一項的聯系，即可找出數列的通項公式.

【詳解】通過觀察這一列數發現，奇數項為正,偶數項為負，

故第"項的正負可以用(-1)向表示；

而HL一[2卜2-[2卜一廠]卜4=〔2卜—

(萬丫一

故數列的通項可為4=(-1)牛,

12J

故選：D

，，-"l，!■，…的通項公式可以為()

【變式3](23-24高二下?安徽?期末)數列-2,-

A.(-1)"^^B.(_1)〃上

'72〃+1'72?-1

/八〃-12〃.(_廠2

C.(-1)-------D

'72〃+11721

【答案】B

【分析】根據題意逐一檢驗選項即可.

【詳解】對于選項A：令〃=1,可得-；，不合題意;

對于選項B：代入檢驗均可，符合題意；

對于選項C：令〃=1,可得：，不合題意；

對于選項D：令〃=1,可得2,不合題意；

故選：B.

題型07根據通項公式求值

【典例7]（24-25高二上?河南?期中）已知數列｛%｝的通項公式為%=/+6,且2和7是｛%｝中的兩項，則

b=（）

A.-3B.-2C.1D.3

【答案】B

【分析】根據數列的通項公式，可得到兩個方程，解方程可得解.

【詳解】設。?,=2,%=7｛m<k,m,左為正整數），

貝（1加2+6=2,*+6=7，

即有k2-m2=（后一加）（左+加）=5=1x5,

\k-m=1[k=3

可得十解得

[K+m=j[m=2

可得b=7-9=-2.

故選：B.

（一1）〃+為奇數/eN*

【變式1】（23-24高二下海南?期中）已知一個數列的通項公式4=?一中乩*，則生=

（-1）叫+1為偶數,

（）

A.-3B.3C.-5D.5

【答案】C

【分析】將"=2代入通項公式即可.

【詳解】因為"=2為偶數，

所以g=（-1）3X2X2-1=-5

故選：C

【變式2]（24-25高二上?全國?課后作業）已知數列｛??｝的通項公式為a?=n-+2n,若第2m項是第m項的3

倍，則加=.

【答案】2

【分析】根據題意，由數列的通項公式列出方程，代入計算，即可求解.

【詳解】由題得又a2m=4"/+4私%“=加2+2加，所以4加2+4加=3加2+6相,

解得m=0（舍去）或〃7=2.

故答案為：2

【變式3］（24-25高二上?全國?課后作業）已知數列｛%｝的通項公式為則須=，若4,=大，

則"=.

【答案】占12

【分析】根據數列的通項公式計算求出為。，再根據項的值計算求參.

111

【詳解】..嗎。=際=商.

11

由知=（「「心，得〃2+2〃一168=0，解得〃=12或幾=一14（舍去）.

磯〃+2）168

故答案為：——;12.

120

'e____________________

05

一、單選題

i.下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是（）

A.1,,—,—,...B.—1,-2,-3,—4

234

111

C?-1,~~，一~，???D.1,Jr2，V3，…，?yn

248

【答案】C

【分析】由無窮數列的概念，數列的單調性利用排除法判斷.

【詳解】A,B都是遞減數列，D是有窮數列，只有C符合題意.

故選：C.

2.（23-24高二上?江蘇淮安?階段練習）已知數列出乖后72n-32n+1,則歷是這個數列的（）

A.第20項B.第21項

C.第22項D.第23項

【答案】D

【分析】

由歷=72x23+1即可得.

【詳解】V47=72x23+1,故為第23項.

故選：D.

3.（22-23高二下?全國,課后作業）數列｛4｝的通項公式是%=〃+1,〃eN*,則它的圖象是（）

A.直線B.直線上孤立的點

C.拋物線D.拋物線上孤立的點

【答案】B

【分析】根據數列的知識確定正確答案.

【詳解】數列。"對應點為（1,2）,（2,3）,（3,4）,…,

所以圖象是直線V=x+1上孤立的點.

故選：B

4.（24-25高二上?甘肅白銀?期中）已知數列1,-3,5,-7,9,…，則該數列的第985項為（）

A.-1971B.1971C.-1969D.1969

【答案】D

【分析】根據數列的前幾項，得出數列的通項公式，即可求解.

【詳解】因為數列為1,-3,5,-7,9,…，

所以該數列的通項公式為??=（-lF（2n-l）,得到嘖=（-Ip1（22x985-1）=1969,

故選：D.

5.（23-24高二下?浙江?期中）大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解

釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項都代表太極衍生過程中曾經經歷過的兩儀數量總和，

它是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題目，該數列從第一項起依次是0,2,4,8,12,18,

24,32,40,50,…,則（）

A.數列第16項為144B.數列第16項為128

C.200是數列第18項D.200不是數列中的項

【答案】B

【分析】根據數列已知項可分奇數項和偶數項得規律即可判斷各選項.

【詳解】由此數項的前10項的規律可知，

當〃為偶數時，a?=—,

當"為奇數時，，

1zr2

對于AB,al6=—=128,所以A錯誤，B正確，

1?2

對于C,陽=—=162^200,所以C錯誤，

2

對于D,若200中偶數項，貝U土=200,得〃=20,

2

所以200是此數列的第20項，所以D錯誤，

故選：B

6.(23-24高二上?貴州貴陽?階段練習)數列-1,y,-;，；，…的一個通項公式為4=(

）

A(-D"R(T嚴「(T嚴口(一D"

nnn+\n+1

【答案】A

【分析】利用觀察法即可得解.

【詳解】觀察數列-1,…

可知其分母為"，其分子是交替出現，故分子可為(-1)",

所以該數列的一個通項公式為。“=a.

n

故選：A.

/、1(3——6,x<10x/、*

7.(24-25高二上?全國?課后作業)己知函數〃x)=：_9若數列｛r氏｝滿足%=/(〃),,且

ICI,X>1U

｛%,｝是遞增數列，則實數。的取值范圍是()

A.(1,3)B.(1,2]C.(2,3)D.

【答案】C

【分析】由函數解析式得到數列的通項公式,由分段函數的單調性法則列出不等式，從而求得實數。的取值

范圍.

（3-a）w-6,?<10

【詳解】由題意知4

a"-9,?>10

因為數列｛%｝是遞增數列，

所以當“W10時，3-a>0,即a<3；

當〃>10時，a>1,且可o<“u，

所以(3-4)、10-6<儲-9,即/+10”24>0,即(。+12)("2)>0,

所以a<-12或a>2.

綜上可得。的取值范圍為(2,3).

故選：C.

4/7-199

8.(23-24高二上?安徽馬鞍山?階段練習)已知％=二，則這個數列的前100項中的最大項與最小項分

72n-99

別是（）

A.q,°5oB.%,Go。C.%9,asoD.^49,^100

【答案】C

【分析】分離常數，得到當1V〃W49,〃eN*時，a?>2,且隨著”的變大，。,變大，當504〃4100,?eN

時，為<2,且隨著〃的變大，。〃變大，從而得到答案.

……477-1994?-198-101

【詳角牟］。”=--------=-----------=2------------,

“2〃-992〃-992〃-99

當13<49,〃eN*時，2〃-99<0,a?=2--^—>2,且隨著〃的變大，。“變大，

2/1-99

當50W”W100,〃eN*時，2〃-99>0,a?=2--l—<2,且隨著〃的變大，。“變大，

2n-99

故這個數列的前100項中的最大項與最小項分別是%9，%）.

故選：C

二、多選題

9.（23-24高二下?四川成都,期中）下面四個結論正確的是（）

A.數列1,2,3,4和數列1,3,4,2是相同的數列

B.數列2,5,2,5,2,5,...是無窮數列

C.數列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點

D.數列的通項公式是唯一的

【答案】BC

【分析】根據數列的定義判斷A,根據數列的分類判斷B,根據數列為特殊的函數判斷C,根據通項公式概

念判斷D.

【詳解】由數列中項是有次序的，可知A錯誤；

根據數列中項數是無限個，可判斷數列為無窮數列，故B正確；

由于數列看作函數時，自變量是從1開始的正整數，故圖象為一群孤立的點，故C正確；

數列的通項公式不是唯一的，如%=sinT，a“=cos”里可以表示同一個數列，故D錯誤.

故選：BC

10.（24-25高二上,全國?課后作業）（多選）下列有關數列的說法正確的是（）

A.數列的圖象是一群孤立的點

B.如果一個數列不是遞增數列，那么它一定是遞減數列

C.數列0,2,4,6,8,...的一個通項公式為

D.數列1,V2,2,2行,4,…的一個通項公式為a,=（亞廣1

【答案】AD

【分析】利用數列的概念、通項公式一一判定選項即可.

【詳解】對于選項A,因為數列是一類特殊的函數，其自變量〃eN+，

所以數列的圖象是一群孤立的點，故A正確；

對于選項B,常數列既不是遞增數列，也不是遞減數列，故B錯誤；

對于選項C,當"=1時，％=2/0,故C錯誤；

24

對于選項D,因為%=（V2）°,a2=V2,a3=（V2）,tz4=（也了，&=（V2）,---,

所以該數列的一個通項公式為a“=（V2）-1,故D正確.

故選：AD.

11.（24-25高二上?江蘇鹽城?階段練習）若數列｛%｝的通項公式為4=-2/+13〃，則（）