2024學年第一學期上師寶分期末考試

一、填空題(12題共54分，16題每題4分,7i2題每題5分)

一(7°

1.函數(shù)-x+3的定義域是.

【答案】{x|x<3且xwl}

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出相應的不等式組，即可求解.

【詳解】由題意,函數(shù)

X-1H0

則,解得％<3且xw1,

—x+3>0

所以函數(shù)的定義域為{x|x<3且xwl}.

故答案為：{x|x<3且xwl}.

2.半徑為2的扇形面積為8,則其圓心角的弧度數(shù)是.

【答案】4

【解析】

【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式和弧長公式求解即可.

【詳解】設圓心角的弧度數(shù)為a,弧長為/,半徑為r,面積為S,則

11,

S=-lr=—ar=>8=2a=>a=4.

22

故答案為：4

JI3

3.已知sin(--?)=—,貝I]cosO-a)=.

3

【答案】-1

【解析】

【分析】已知等式左邊利用誘導公式化簡求出cosa的值，原式利用誘導公式化簡后把cose的值代入計算

即可求出值.

jr3

【詳解】解：sin(——a)=cosa=-,

25

/.cos(/^r-a)、=-cosa=——3,

3

故答案為：—-■

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的誘導公式，熟練掌握誘導公式是解決本題的關鍵，屬于基礎題.

4.方程4，—2工—6=0的解為.

【答案】x=log23

【解析】

【分析】換元/=2*＞0,可得出—6=0,解此方程，求出正數(shù)/的值，即可得出了的值.

【詳解】令7=2工＞0，由4*—2*—6=0，可得『——6=0，解得/=3或/=一2(舍去).

即2工=3，解得％=R)g23.

故答案為X=log23.

【點睛】本題考查指數(shù)方程的求解，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，解題的關鍵就是利用換元法將

方程變?yōu)槎畏匠糖蠼猓疾檫\算求解能力，屬于中等題.

5.若機且加2-5〃7+1=0，/_5〃+1=0，貝。/+“2的值為.

【答案】23

【解析】

【分析】由題可得加，〃為方程好一5%+1=0的兩個不等根，然后根據(jù)韋達定理即得.

【詳解】因為機且/-5〃z+l=0，n2-5n+l=0?

所以加，”為方程尤2_5%+1=0的兩個不等根，

所以7%+〃=5,77#1=1,

所以根2+/=(根—2mn=52—2x1=23.

故答案為：23.

6.函數(shù)＞=工單調(diào)遞減區(qū)間為.

X

【答案】(-00,0),(0,+oo)

【解析】

【分析】利用反比例函數(shù)單調(diào)性直接求得答案.

【詳解】函數(shù)y=」是反比例函數(shù)，其單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,。),(0,+8).

故答案為：(-00,0),(0,+oo)

7.關于無不等式|x—II-|%+4但。的解集為R,則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(—8,—5]

【解析】

【分析】令/(x)=|x-l|Tx+4|,通過對X的取值范圍的討論，去掉絕對值符號，可求得

/(x)min=-5,依題意，即可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】令/(x)=|x—l|—|x+4|,

當x<—4時，/(x)=l-x-(-x-4)=5,

當YVxVl時，/(%)=l-x-(x+4)=-2x-3e[-5,5],

當x>l時，/(x)=%-1-(%+4)=-5,

二當XN1時，/(X)min=-5.

?.?關于》的不等式|%—1|—|%+4以。的解集為口，二。</(；0而11=—5.

實數(shù)。的取值范圍是(―叫—5].

故答案為：(-oo,-5].

8.已知關于尤的不等式利2+3依+a—2<0的解集為R,則實數(shù)。的取值范圍___________.

【答案】[一|,0

【解析】

【分析】根據(jù)題意對。進行分類討論，結合了=以？+3奴+。-2的開口與判別式即可.

【詳解】當a=0時，—2<0,滿足題意；

8

當awO時，易得avO且(3a)9-4a(a-2)<0,即5〃2+8〃<0，解得一二<。<0.

綜上，實數(shù)〃的取值范圍為1-1,0.

故答案為：

9.設a,6均為正數(shù)，則函數(shù)/（可式/+〃）x+"的零點的最小值為

【答案】——##-0.5

2

【解析】

【分析】求函數(shù)/（%）的零點，結合基本不等式分析求解.

【詳解】因為均為正數(shù)，則/+/>0,ab>0,

又因為儲+/7222az7,當且僅當a=b時，等號成立，

一ab、1

可得x=一--~~-r>--,

a'+b-2

所以函數(shù)/（X）的零點的最小值為

故答案為：.

2

10.設點尸是以原點為圓心的單位圓上的一個動點，它從初始位置4（0,1）出發(fā)，沿單位圓順時針方向旋轉

角e（o<e<3）后到達點6,然后繼續(xù)沿單位圓順時針方向旋轉角g到達點八，若點舄的縱坐標是

-則點片的坐標是

【答案】（#,g）

【解析】

【分析】先確定初始位置4（o,i）所在射線對應的角，由此得到6，鳥所在射線對應的角，由三角函數(shù)的

定義求解即可.

兀

【詳解】解：初始位置4（0,1）在5的終邊上，

6所在射線對應的角為T曰T-6,

2所在射線對應的角為丁-夕，

6

JT1

由題意可知，sin（——。）二——，

則9一。=一9,解得。=工,

663

片所在的射線對應的角為

26

由任意角的三角函數(shù)的定義可知，點片的坐標是(COS*吟)，即(孚3).

故答案為：(￥1).

11.設/(%)=依2—(。+1卜+1,31],若函數(shù)y=〃x)在定義域上滿足：①是非奇非偶函數(shù);

②既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；③有最大值，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(一-1)一[一L-g]

【解析】

【分析】對①：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得。片-1；對②：分類討論可得二次項系數(shù)小于零，且對稱軸為

。+1(1

x=^—e,求出。的取值范圍；對③：結合②中所求的范圍驗證即可.

2a122J

【詳解】對①：/(X)+/(―x)=—(a+1)x+1]+a(―x)~—(a+1)(―x)+1=20,

即/(-X),

故/(%)不是奇函數(shù)；

若/(X)是偶函數(shù)，則

/(%)-/(-%)=[ax?_(a+l)x+l]--(tz+l)(-x)+l=-2(a+l)x=0,

可得a+l=0,即a=—1；

故若/(%)是非奇非偶函數(shù)，則“W-1；

對③：若/(%)在上有最大值，則有：

當a=0時，則/(x)=f+1在-上單調(diào)遞減，無最值，不合題意;

當awO時，則/(%)=依2-(a+l)x+l為二次函數(shù)且對稱軸為％=今已，

a<0

由題意可得,1?+11,解得a<—!，

——<------<-2

122a2

故若/(%)在1-5,萬]上有最大值，則。〈-萬；

對②：若a<—L則/(%)=依2開口向下，且對稱軸為％=卓1《

22〃122J

故/(%)在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；

綜上所述：實數(shù)0的取值范圍為(-8,T)L-3]

故答案為：-1)1'一萬]

x+1%〉0

12.已知函數(shù)/'(x)=12/尤<0，若函數(shù)丁=/(4%—3)—a恰有三個不同的零點，則實數(shù)。的取值

范圍是?

【答案】(2,3]

【解析】

【分析】函數(shù)y=/(4x—3)-。恰有三個不同的零點，令f=4x—3,可以看成函數(shù)y=/?)—a恰有三個

不同的零點，即函數(shù)了⑺的圖像與直線,=。有三個交點.根據(jù)函數(shù)/(幻的單調(diào)性和最值，結合函數(shù)的圖

像即可求解.

【詳解】當x>0時，函數(shù)/(x)是對勾函數(shù)，

I——f_1

因為X+%T=x+—?2jxx—=2,當且僅當<x,即x=l時，取最小值.

X'X[x>0

所以函數(shù)最小值為2,且在(0,1)上為減函數(shù)，在(L+Q0)上為增函數(shù).

當xWO時，???丫=2一，是減函數(shù)，且2f21，所以y=-2-，為增函數(shù)，且

所以函數(shù)/(x)=4—2-x為增函數(shù)，且/(x)V3,

故函數(shù)圖像如圖所示.

令/=4x—3,函數(shù)y=/(4x—3)—a恰有三個不同的零點，可以看成函數(shù)y=/?)—a恰有三個不同的零

點，

故函數(shù)于⑺的圖像與直線y=a有三個交點.

由圖像可知2<aW3.

故答案為：(2,3].

二、選擇題(4題共18分，1314每題4分,1516每題5分)

13.“ae，]”是“a是第一象限角”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義，結合角的概念，即可得答案.

【詳解】若則a一定是第一象限角，充分性成立；

7T

若。是第一象限角，則2左兀<a<2E+—,左￡Z,

2

無法得到a一定屬于[o,]],必要性不成立.

所以“ae[o,|J”是“a是第一象限角”的充分不必要條件.

故選：A

14.若a>b>c,Q+Z?+C=O,則下列各是正確的是()

A.ab>acB.ac>bc

C.a\b\>\b\cD.ab>bc

【答案】A

【解析】

【分析】首先判斷。>0>c,再根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷選項.

【詳解】.a>b>c,Q+Z?+C=O,:.a>O>c,Z?有可能是正數(shù)，負數(shù)，0,

/.ab>ac,故A正確；

a>b,c<0,:.ac<bc,故B不正確；

同之0,當b=O時，。網(wǎng)=?,故C不正確;

當〃<0時，不正確，故D不正確.

故選：A.

15.已知圖1對應的函數(shù)為y=/(%),則圖2對應的函數(shù)是()

C.y=/(H)D.y=-f(-x)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)y=/(—x)與y=/(九)圖象關于y軸對稱判斷B,判斷函數(shù)y=/(—國)，/(附的

奇偶性，再結合其與函數(shù)/。)的圖象關系，判斷AC,再根據(jù)函數(shù)y=-/(-%)關于原點對稱判斷D,

【詳解】函數(shù)y=/(-%)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關于>軸對稱，不滿足要求，B錯誤;

設g(尤)=/(-|尤|)，由已知函數(shù)g(x)的定義域為R，定義域關于原點對稱，

g(-%)=f(+M=/(TM=g⑴，

當xWO時，函數(shù)y=/(-W)的圖象與函數(shù)y=/Q)的圖象相同，且圖象關于y軸對稱，A正確;

設〃(x)=/(W),由已知函數(shù)h(x)的定義域為R,定義域關于原點對稱，

h(x)=/(H)=/(W)=h(x),

當xNO時，函數(shù)y=/(|x|)的圖象與函數(shù)y=/O)的圖象相同，且圖象關于y軸對稱，C錯誤；

函數(shù)y=—/(—x)的圖象與函數(shù)y=/O)的圖象關于原點對稱，D錯誤；

故選：A.

16.設函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)=-x2-7x,則不等式/(x)—/(x—1)<0的解集

為()

A.(—2,4)B.(—3,4)C.(—2,3)D.(—3,3)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結合函數(shù)的奇偶性分析可得函數(shù)的解析式，結合不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象

的遞減區(qū)間，分析可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設無>0,則—X<0,

所以/(一x)=-x2+7x,

因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(—x)=-x2+7x=-/(x),

所以/(x)=f—7x,

77

即無20時，/(X)=X2-7X,此時函數(shù)在［0,萬)上單調(diào)遞減，在(萬,+oo)單調(diào)遞增；

當x<0時，/(x)=—V—7x,此時函數(shù)在(—s,―萬)上單調(diào)遞增，在(一:,0)單調(diào)遞減；

77

所以函數(shù)/(x)在(-5,萬)上單調(diào)遞減，

若/(%)—/(x—1)<0,即/(x—l)>/(x),又由x—l<x,且/(一3)=/(-4)"(3)=/(4),必有

x—1>一■4

“時，/(x)-/(x-l)<0,

x<4

解得：—3<x<4,所以不等式/(x)—/(x—1)<0的解集為(—3,4).

故選：B.

【點睛】方法點睛：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，解決此類問題中，奇偶性和

單調(diào)性的作用如下：

(1)奇偶性：統(tǒng)一不等式兩側符號，同時根據(jù)奇偶函數(shù)的對稱性確定對稱區(qū)間的單調(diào)性；

(2)單調(diào)性：將函數(shù)值的大小關系轉化為自變量之間的大小關系.

三、解答題(14+14+14+18+18=78分)

17.己知sin。=~,cos6=—―-,且，6(囚,兀］.

\+a1+a12J

(1)求實數(shù)。的值；

(2)求tan色+。+cot(兀一

【答案】(1)-

9

⑵士

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關系求解a=：或1,結合角所在象限求出從而得到答案;

(2)在第一問的基礎上，得到正弦和余弦，進而求出正切和余弦，利用誘導公式求出答案.

【小問1詳解】

由題意得：，匕金］+<3￡-lA=］,解得：。=2或1

(1+a)1+aJ9

因為6€(三,兀］,所以sin￡=^~->0,cos0=~~-<0,解得：ae|-1|,綜上：a=-.

〔2)1+a1+aI3；9

【小問2詳解】

,_,.八1一a4.3?-l3,,八sind4八3

由(z1x)倚zc：sin0—-----=—,cos0—------=—,故tan9=-------=—,cot0——,故

1+6/51+Q5cos034

tan［/+，］+cot(兀一，)=-2cot0==-1

18.已知實數(shù)x滿足9工_12?3'27?0.

(1)求x的取值范圍；

⑵若函數(shù)/(x)=log2(2x”og④手，求/(X)是大值和最小值，并求此時X的值.

【答案】(1)X?l,2］；(2)當X=1或2時，/(%)_=-2；當％=0時，

【解析】

【分析】

（1）令3，="0,原不等式等價于3）（-9）<0,解得/的范圍，進而可得x的取值范圍；

（2）對函數(shù)/（九）化簡可得y=（log2尤1-log?x-2,令log2X=ni,由可得OWnzWl,計算

二次函數(shù)y=根2-“7-2,0W加W1的最值即可.

【詳解】⑴令3,=/>0,則d-12?/27?0，所以（r—3）（r—9）W0,

解得：3<t<9,即3<3工<9，解得1W%W2,

所以x的取值范圍是[1,2],

l°g&&T°g應2)

⑵/(x)=log2(2x).log^

2x-2=(log2X-g9

=(1+log2%)(log2%-2)=(log2%)-log2

4

令log2X=m,由可得OWaWl,則,=m——

2Hr

19

所以加=10g2X=5即x=￡時，=--.

當根=log2X=0或I即x=l或2時，ymax=（l—g]——2，

綜上所述：當x=l或2時，/（力四=-2；當x=0時，/（文廣-，

【點睛】關鍵點點睛：求對數(shù)復合型函數(shù)值域的關鍵點是利用換元法令。=log“X,將原函數(shù)轉化為關于f

的一元二次函數(shù)，求二次函數(shù)的值域即可，注意/的取值范圍.

19.第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行，本屆亞運會的吉祥物是一套機器

人，包括三個：“琮琮”代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址，“蓮蓮”代表世界遺產(chǎn)西湖，“宸宸”代表世界遺產(chǎn)京杭

大運河.某公益團隊計劃舉辦杭州亞運會吉祥物的展銷會，并將所獲利潤全部用于社區(qū)體育設施建設.已知

每套吉祥物的進價為（50+。）元，其中。與進貨量成反比，當進貨1萬套時，。為9元，據(jù)市場調(diào)查，當

每套吉祥物的售價定為x元時（x<10。），銷售量可達到10-二萬套，若展銷的其他費用為1萬元，且

所有進貨都銷售完.

（1）每套吉祥物售價定為70元時，能獲得的總利潤是多少萬元?

（2）當尤為多少時，每套吉祥物的凈利潤最大？

【答案】（1）50（2）90

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)題目條件得到進貨量與。的關系式，根據(jù)吉祥物售價定為70元時求出銷售量，并求出

進貨單價，求出總利潤；

（2）求出每套吉祥物的利潤，結合基本不等式求出最值，得到答案.

【小問1詳解】

設共進貨z萬套，則。=幺，

i-o

因為當z=l時，。=9,故9=—,解得左=9,即。=—.

每套吉祥物售價為70元時，銷售量為z=10-7=3（萬套）,

9

此時進貨單價為50+1=53（元）,

故總利潤為3x(70—53)—1=50(萬元);

【小問2詳解】

根據(jù)題意得，進價為‘0+二7丁=5°+五=（元），

1U-------

10

所以每套吉祥物的利潤為

=X-

H-------

100—九100-x

<50-2/(100-%)-

當且僅當100—x=10°,即x=90時取等號,

100—x

所以當x=90時，每套吉祥物的凈利潤最大.

20.已知函數(shù)“x）=a--3x+5,且不等式“X）<3的解集為｛乂1<x<b}-

(1)求實數(shù)。涉的值；

(2)己知g(x)=〃ir+7—3zn,若存在％e[2,3],x2e[l,4],使得/&)=8(%)成立，求實數(shù)"，的

取值范圍.

【答案】(1)a=l,b=2

(2)(-<?,-2][1,+co)

【解析】

【分析】(1)由題意判斷出即Lb是方程依2一3x+2=0的兩根，即可求解；

(2)設/(%)=三—3x+5,xe[2,3]的值域為A,g(x)=的+7-3%彳日1,4]的值域為B,判斷出

AB^0,列不等式組，求出加的范圍.

【小問1詳解】

不等式〃x)<3,即62_3%+2<0，

因為不等式/(尤)<3的解集為{乂1<x<4,即是方程依2_3%+2=0的兩根，

將x=l代入方程得a—3+2=0,解得。=1,

再由韋達定理得lx〃=2,故b=2.

【小問2詳解】

因為存在%e[2,3],x2e[l,4],使得〃%)=8后)成立，

設/(%)=*-3x+5,xe[2,3]的值域為A,g(x)=nu+7—3狐X6工4]的值域為3,則AB手0,

3

/(x)=X2—3X+5的對稱軸為%=-,故"X)在[2,3]上單調(diào)遞增，

則/(2)W/(x)W/(3),即尤)<5,所以A=[3,5],

當機=0時，g(x)=7,3={7},不滿足題意；

當機>0時，g(x)在[1,4]上單調(diào)遞增，

則g⑴4g(x)Wg(4),即7-2mWg(x)W7+zn,所以3=[7-2相,7+〃“，

7-2m<5

由ABw0,得解得加21；

m+l>3

當加<0時,g(%)在[1,4]上單調(diào)遞減,

則g(4)Wg(x)Wg(l),即7+〃zWg(x)W7—2m,所以3=[7+私7—2〃小

m+7<5

由A得、rcc，解得加4―2,

7-2m>3

綜上所述，me(TO,-2]5L+8).

，/、f3\x<0

21.已知函數(shù)〃x)=〈

log3x,x>0

(1)求不等式x-/(x)WO的解集；

(2)設k、m均為實數(shù)，當e,同時，/(%)的最大值為1,且滿足此條件的任意實數(shù)x及

加的值，使得關于x的不等式/(%)<m2-(^+2)m+4Z:-3恒成立，求人的取值范圍；

(3)設t為實數(shù)，若關于x方程/[/(x)]-log3(?-x)=0恰有兩個不相等的實數(shù)根耳、々且

藥<々，試將3國—上—3|+1083±+卜2-1|表示為關于?的函數(shù)，并寫出此函數(shù)的定義域.

【答案】⑴(一8,1]

(2)[2,+oo)；

(3)21—4,定義域為(1,4].

【解析】

,、fx<0fx>0

【分析】(1)把x?/(x)W0轉化為7八或〈八，分別求得不等式組的解集，即可求解；

|^3>0|^log3x<0

(2)根據(jù)題意求得加的范圍，把不等式/(%)<(左+2)機+4k-3恒成立，轉化為恒

左之一〃廠+2〃z+4恒成立,結合基本不等式，即可求解;

4-m

XX<1

⑶由題意得到/"(y(x))=<9

9，轉化為412分別是方程y=^-X,log3X=/-X的根,

log3(log3x),X>1

A

且看<1<々</，并求得，的范圍，進而求得3>-|^-3|+log3^+|x2-l|關于f的函數(shù)，即可求解.

【小問1詳解】

x<0fx>0

等價』或』

3">0[log3x<