實(shí)數(shù)【八大題型】

色題型梳理

題型5絕對(duì)值的非負(fù)性題型1實(shí)數(shù)的分類

題型6實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算題型2實(shí)數(shù)與數(shù)軸

題型7絕對(duì)值的幾何意義題型3相反數(shù)和倒數(shù)的應(yīng)用

題型8數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題題型4化簡絕對(duì)值

辦實(shí)基砒,建g兔整知盥體東

1實(shí)數(shù)的分類

（（正有理數(shù)）

有理數(shù)0有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)J（負(fù)有理藜1

（無理數(shù)｛栽翳｝無限不循環(huán)小數(shù)

2實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

2.1數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方形、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

2.2相反數(shù)

（1）相反數(shù)的概念

像3和一3,:和一!這樣，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù).

（2）相反數(shù)的幾何意義

（1）在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)，是互為相反數(shù)；則0的相反數(shù)是0.

（2）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（0除外）在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等.

（3）相反數(shù)的性質(zhì)

若a,b互為相反數(shù)，則a+6=0.

2.3絕對(duì)值

(1)絕對(duì)值的幾何定義

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記作|a|.

(2)絕對(duì)值的代數(shù)定義

一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)；。的絕對(duì)值是0.

用字母表示為：

如果a>0,貝！J|a|=a；如果a<。，貝！J|a|=—a；如果a=0,則|a|=。.

即⑷=｛二臂累).

2.4倒數(shù)

乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù).

用字母表示為：ax!=l(aK0),就是說a和:互為倒數(shù)，a的倒數(shù)是，：的倒數(shù)是a.

3科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)大于10的數(shù)表示成ax10”的形式(其中1<a<10,n是正整數(shù))，這種記數(shù)法是科學(xué)

記數(shù)法.

4近似數(shù)的精確位

一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到那一位，就說這個(gè)近似數(shù)的精確到那一位.

5實(shí)數(shù)的運(yùn)算

5.1實(shí)數(shù)運(yùn)算次序

(1)先乘方，再乘除，最后加減；

(2)同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

(3)如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行.

5.2實(shí)數(shù)的運(yùn)算律

(1)加法交換律：a+b=b+a；

(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(6+c);

(3)乘法交換律：ab=ba；

(4)乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc);

(5)乘法分配律：a(Jj+c)=afo+aco

基本方法饃塊化學(xué)打，壁造解散俄力

【題型1】實(shí)數(shù)的分類

1A?,Ji

【典題1】-2.4,3,-2020,-y,0.1010010001...,-0.15,0,-(-30%),-|-4|

(1)正數(shù)集合：｛...)

⑵無理數(shù)集合：｛

(3)分?jǐn)?shù)集合：｛…｝；

(4)非正整數(shù)集合：｛…｝;

【典題2】下列說法中，①任意一個(gè)數(shù)都有兩個(gè)平方根.②聞的平方根是±3.③-125的

立方根是±5.鱷是一個(gè)分?jǐn)?shù).⑤9是一個(gè)無理數(shù).其中正確的有（）個(gè).

A.2B.3C.4D.5

【鞏固練習(xí)】

1.下列實(shí)數(shù)中，有（）個(gè)有理數(shù).

今3兀、V4,V27>9、0.01001000100001...

A.2B.3C.4D.5

2.在實(shí)數(shù)表近、y、V9>0.1010010001中，無理數(shù)有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

3.下列各數(shù)為負(fù)數(shù)的是（）

A.|-3|B.0C.V2D.

4.關(guān)于實(shí)數(shù)0.5和字下列判斷中，正確的是（）

A.都不是分?jǐn)?shù)B.都是分?jǐn)?shù)

C.0.5是分?jǐn)?shù)，苧不是分?jǐn)?shù)D.0.5不是分?jǐn)?shù)，手是分?jǐn)?shù)

【題型2】實(shí)數(shù)與數(shù)軸

【典題1】在數(shù)軸上表示數(shù)：0,—（+5）,|-1.5|,-3|,-（-3）,5.按從小到大的順

序用“〈”連接起來.

-5-4-3-2-161234^

【典題2】如圖，點(diǎn)/、B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a、b、C,且。4+0B=0C,則下

列結(jié)論中：①abc<0；②a（b+c）>0；③a-c=b；④解+卷+?=1-其中正確的個(gè)數(shù)

有（）.

CAOB

_________I_________I1I_________

ca0b

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【鞏固練習(xí)】

1.數(shù)。和數(shù)6在直線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如下圖，數(shù)6可以用下列算式（）表示.

-----1---------1--------1——11——i1------>

-2-10a162

A.u+—B.a——C.uX—D.a+§

2.數(shù)軸上的點(diǎn)M表示一2,將點(diǎn)M向右平移5個(gè)單位后，再向右平移3個(gè)單位到點(diǎn)N,那么

點(diǎn)N表示的數(shù)是（）

A.6B.-3C.-10D.-6

3.如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)48所表示的數(shù)分別為一3,1.若點(diǎn)C在數(shù)軸上，且48=3。則點(diǎn)

C表示的數(shù)是（）

4IIIh

-3-2-101

A.8B.5C.5或一4D.5或一11

4.數(shù)軸上點(diǎn)4B、C、。對(duì)應(yīng)的有理數(shù)都是整數(shù)，若點(diǎn)B對(duì)應(yīng)有理數(shù)b,點(diǎn)C對(duì)應(yīng)有理數(shù)c,且

3c=9,則數(shù)軸上原點(diǎn)應(yīng)是（）

ACBD

A.2點(diǎn)B.B點(diǎn)、C.C點(diǎn)D.D點(diǎn)、

5.如圖，半徑為1個(gè)單位長度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一圈，圓上一點(diǎn)由原點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)

P,這個(gè)點(diǎn)P表示的數(shù)為,它是數(shù).

6.如圖，數(shù)軸上依次有4B,C三點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a,b,c,若BC=2AB=6,

a+b+c=O,則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為.

ABC

_?______?_____________?__4

【題型3】相反數(shù)和倒數(shù)的應(yīng)用

【典題1】下列各對(duì)數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A.一（-2）和2B.+（—3）和一（+3）

C.舞口一（一2）D.—（―5）和一|+5|

【典題2】已知a,6互為相反數(shù),c,d互為倒數(shù),x是絕對(duì)值等于2的負(fù)數(shù),則乂2—①+6+cd）

X+（a+6）2023+（—cd）2024的值為（）

A.3B.7C.3或7D.無法計(jì)算

【鞏固練習(xí)】

1.下列幾組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A.23和一32B.（—1）2023和—12002c.一（一6）和一|一6|

D.（一3）3和—33

2.如圖所示，點(diǎn)在數(shù)軸上，則將加、n、0、—m,―幾從小到大排列正確的是（）

_________1111111A

m0-n

A.—m<—n<0<m<nB.m<n<0<—m<—n

C.—n<—m<0<m<nD.m<n<0<—n<—m

3.若5x與2—3x互為相反數(shù)，貝詠等于（）

A.1B.-1C.-D.-

4.已知a,6互為相反數(shù)，c是絕對(duì)值最小的負(fù)整數(shù)，〃?，〃互為倒數(shù)，則詈+c3—3an的值

為()

A.2B.-2C.4D.-4

5.若a,b(a豐0,匕70)互為相反數(shù)，〃是正整數(shù)，貝U()

A.a2n和b2n互為相反數(shù)B.a2n+l和b2n+l互為相反數(shù)

C.a2和爐互為相反數(shù)D.屋和6n互為相反數(shù)

【題型4】化簡絕對(duì)值

【典題1】已知三角形的三邊長為4、X、10,化簡：|x-5|+|x-15|-

【典題2】已知a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,

IIII>

cb0a

(1)判斷下列各式與0的大小：

①b+a0；②a—b0；③be0；

（2）化簡式子:|a|—|a+fo|+|c—fa|+|a+c|.

【鞏固練習(xí)】

1.已知表示有理數(shù)a,b的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則高+卷的值是（）

----1------------1——?------>

a0b

A.-2B.-1C.0D.2

2.實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡一|可+J（a—b）2的結(jié)果是（）

-------1-------------------------1--------------1>

a0b

A.—aB.ciC.—bD.b

3.若<a<V3,則化簡A/Q2—2a+1—|a一2|的結(jié)果是（）

A.2d—3B.—1C.一CLD.1

4.若|久+4|=7,貝卜的值是（）

A.3B.-11C.3或一11D.3或11

5.a,b,c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|=\b\.

___I____?______?______I?

cb0a

(1)比較a,—a,—c的大小；(用>連接)

(2)化簡\CL+b\—\CL—b\+\CL+c\—\b—c\.

【題型5］絕對(duì)值的非負(fù)性

【典題1】若|y+2024|+（%—2023）2+|2022—z|=0,則（％+y1的值是（）

A.-1B.1C.0D.2

【鞏固練習(xí)】

1.已知比+丫+2|+(2%—3)7—1)2=0,則x,y的值分別是()

345

A.1,-B.1,一■=■C.-1,一~D.-1,-1

b54

2.如果|a+2|與(b—1尸互為相反數(shù)，那么代數(shù)式(a+6)2。17的值是()

A.1B.-1C.±1D.2008

3.若。一2)2+Jy+5+|z+l|=0,貝!Ixyz的值是()

A.10B.-10C.3D.-3

【題型6]實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算

【典題1](1)10+(-15)-(-17)；

(2)(+0.125)-(-31)+(-31)-(+1.75)；

(3)(-3)2-60-22x|+|-2|；

(4)-32X+(|-|+|)x(-24).

【鞏固練習(xí)】

1.下列運(yùn)算正確的是()

A.(一3尸x(—2)+(―6)=9B._(_I)?。。x(—2)4=—8

C.(—8)x3+(―2尸=12D.12—7x(—4)+8+(—2)2=42

2.定義新運(yùn)算“十”如下：當(dāng)a2b時(shí)，。十人二必―a；當(dāng)a<6時(shí)，a?b=ab+a.其算符

號(hào)意義不變，按上述規(guī)定計(jì)算(—2)十(―9()

A.-1B.-2C.—5D.-4

3.計(jì)算

131

-+

(1)10+(-14)-(-18)-13(2)(—24)x3-4-6-

37

(3)(-78)+]+(-12)(4)-16--X[2-(-3)2]

4.計(jì)算

⑴—32+(—23+1+G—0)x24；⑵*x(-0.9)2.

【題型7］絕對(duì)值的幾何意義

【典題1】閱讀材料：田的幾何意義是數(shù)軸上數(shù)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離，即因=|%-0|,

也可以說因表示數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離.這個(gè)結(jié)論可以推廣為|xi-犯1表示數(shù)

軸上數(shù)句與數(shù)冷對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，根據(jù)材料的說法，試求：

(l)|x+3|=4；

(2)若x為有理數(shù)，代數(shù)式3-|x+2|有沒有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值及此時(shí)x的值

是多少？如果沒有，請(qǐng)說明理由；

(3)若x為有理數(shù)，則|x—+—3|有最值(填“大”或“小”)，其值為.

【鞏固練習(xí)】

1.先閱讀下列解題過程，再解答問題：解方程：|%+3|=2.

解：當(dāng)％+3NO時(shí)，原方程可化為％+3=2,解得第=—1；

當(dāng)久+3＜0時(shí)，原方程可化為X+3=—2,解得久=—5.所以原方程的解是X=—1或

x=—5.

(1)解方程：|3%-1|-5=0；

(2)若|x-a|+|x+1|的最小值為4,求a的值.

2.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中的一種重要思想，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合.我們知道，\a\

表示數(shù)軸上a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離.這個(gè)結(jié)論可推廣為：若4B在數(shù)軸上分別表示

有理數(shù)a、b,則4B兩點(diǎn)之間的距離可表示為距離4B=|a—4.例如，數(shù)軸上表示2和3的

兩點(diǎn)之間的距離為|2—3|=1,表示一2和一3的兩點(diǎn)之間的距離為|(一2)—(-3)|=1.利用

數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示2和一1的兩點(diǎn)之間的距離為一.

(2)若6表示一個(gè)有理數(shù)，數(shù)軸上表示小和-1兩點(diǎn)之間的距離可表示為一(用含小的式子表

示).

(3)若%表示一個(gè)有理數(shù)，且一4＜無＜2,則設(shè)-2|+|x+4|=_.

(4)若x表示一個(gè)有理數(shù)，且|x++|久一3|=5,貝！.

3.我們知道一個(gè)數(shù)萬的絕對(duì)值的幾何意義是：在數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)萬的點(diǎn)離原點(diǎn)(表示數(shù)0)

的距離，在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)x,y的點(diǎn)之間的距離可以表示為—如|x+2|+|x—1|

可以表示點(diǎn)x與點(diǎn)1之間的距離跟點(diǎn)x與一2之間的距離的和，根據(jù)圖示易知：當(dāng)點(diǎn)久的位置

在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間(包含點(diǎn)A和點(diǎn)B)時(shí)，點(diǎn)x與點(diǎn)A的距離跟點(diǎn)x與點(diǎn)B的距離之和最小,

且最小值為3,即|久+2|+|x—1|的最小值是3,且此時(shí)的x的取值范圍為一2WxW1.請(qǐng)

根據(jù)以上閱讀，解答下列問題：

AXB

]_______________I______?___________Ia

—2x01

(1)表示3的點(diǎn)與一1的點(diǎn)之間的距離表示為；

(2)|%+2|+|%|+|久一1|的最小值是此時(shí)％的值為；

(3)當(dāng)|久+1|+|x|+|x—2|+|x—可的最小值是4.5時(shí)，求出a的值及％的值.

【題型8】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題

【典題1】【閱讀理解】

定義：點(diǎn)/,B,C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到/的距離是點(diǎn)C到8的距離2倍，我們就稱點(diǎn)

C是有序點(diǎn)對(duì)園切的樂點(diǎn).例如：如圖1,點(diǎn)N表示的數(shù)為一1,點(diǎn)8表示的數(shù)為2,點(diǎn)C

表示的數(shù)為1,則點(diǎn)C到點(diǎn)/的距離CA=2,點(diǎn)C到點(diǎn)8的距離CB=1,那么點(diǎn)C是有序

點(diǎn)對(duì)園B］的樂點(diǎn)；但點(diǎn)C不是有序點(diǎn)對(duì)［B,川的樂點(diǎn).

ADCBXS111Y

-j-----,-----,_(t(__t_I---L_>.—1'-------'----------------------'--------~??

-4-3-2-101234-4-3-2-10123456

圖1圖2

H002555~*

圖3

【知識(shí)運(yùn)用】

⑴判斷，如圖1,點(diǎn)。有序點(diǎn)對(duì)［B,C］的樂點(diǎn)，點(diǎn)。有序點(diǎn)對(duì)［C,B］的樂點(diǎn)(兩空

均填“是”或“不是”)；

⑵如圖2,x、y為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)x所表示的數(shù)為-3,點(diǎn)y所表示的數(shù)為6.數(shù)軸上的點(diǎn)S

在線段盯上，點(diǎn)S所表示的數(shù)是多少時(shí)的點(diǎn)是有序點(diǎn)對(duì)［居y］的樂點(diǎn)；

(3)如圖3,E、尸為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)E所表示的數(shù)為25,點(diǎn)尸所表示的數(shù)為55.有一只電

子螞蟻尸從表示一10的點(diǎn)出發(fā)，以5個(gè)單位每秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒；

①當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)￡左邊時(shí)，用含/的代數(shù)式表示點(diǎn)P和點(diǎn)￡的距離PE=_，點(diǎn)P和點(diǎn)9的距

離PF=

②當(dāng)/為何值時(shí)，P是E、尸兩點(diǎn)所組成的有序點(diǎn)對(duì)的樂點(diǎn)？

【鞏固練習(xí)】

1.如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)4表示的數(shù)為6,B是數(shù)軸上在點(diǎn)4左側(cè)的一點(diǎn)，且48兩點(diǎn)間的距離

為10.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)a出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

(t>0)秒.

<—QBO?—PA

_________III1I?

06

(1)數(shù)軸上點(diǎn)8表示的數(shù)是，點(diǎn)P表示的數(shù)是；

(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),

則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇？

2.已知數(shù)軸上4、B兩個(gè)點(diǎn)表示的有理數(shù)分別為a,b,且(a-1/+g+2|=0.

~BO_A*~BO~~A~”

備用圖

(1)求a,6的值；

(2)從絕對(duì)值的定義來看，我們知道數(shù)軸上任意兩點(diǎn)X1，尤2間的距離公式為|X1—冷1；點(diǎn)C在

數(shù)軸上表示的數(shù)是c,且與4、B兩點(diǎn)的距離和為11,求c的值.

(3)小蝸牛甲以1個(gè)單位長度/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)向其左邊6個(gè)單位長度外的食物爬去，3s后位

于點(diǎn)4的小蝸牛乙收到它的信號(hào)，以2個(gè)單位長度/s的速度也迅速爬向食物，小蝸牛甲到達(dá)

后背著食物立即返回，與小蝸牛乙在數(shù)軸上D點(diǎn)相遇，則點(diǎn)D表示的有理數(shù)是什么？從出發(fā)

至此時(shí)，小蝸牛甲共用去多少時(shí)間？

3.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)M,N對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為一6和8,數(shù)軸上一條線段4B從點(diǎn)M出發(fā)（剛開始

點(diǎn)4與點(diǎn)M重合），以每秒1個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸在M,N之間往返運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)N立刻返

回），線段4B=2,設(shè)線段48的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

《邛

—k

-6018

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