i重難題型?解題技巧攻略

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專題07三角形中的四心問題與奔馳定理的應用

*>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01重心....................................................................................1

題型02外心...................................................................................2

題型03內心...................................................................................3

題型04垂心...................................................................................4

題型05奔馳定理...............................................................................6

0---------------題型探析?明規律------------

題型01重心

【解題規律?提分快招】

一、三角形的重心

1.定義：三角形三條中線的交點為三角形的重心，重心為中線的三等分點；

2.重心的性質：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.

②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等.

在平面向量的應用：（1）設點6是小ABC所在平面內的一點，則當點6是仆ABC的重心時，有

GA+GB+GC=O或PG=；（PA+PB+PC）（其中P為平面內任意一點）；

（2）在向量的坐標表示中，若G、A、B、C分別是三角形的重心和三個頂點，且分別為G（x,y）、

X1+?+X3Y1++Y3

A（x,,yj、B（X2,y2）,C（x3,y3）,則有G（^,）.

【典例訓練】

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）已知在ABC中，G為11Ase的重心，。為邊中點，貝|（）

A.AB+AC=2AGB.AD=3AG

C.AB-AC=AD2-BD2D.ABAD=ACAD

2.（2024?全國?二模）點O,P是VABC所在平面內兩個不同的點，滿足OP=。4+O8+OC，則直線OP經過

VABC的（）

A.重心B.外心C.內心D.垂心

3.（2024高三?全國?專題練習）6是VA5c的重心,a,b,c分別是角A,8,C的對邊，若aGA+bGB+—cGC=0,

3

則角A=（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

二、多選題

4.（2024.遼寧?二模）VABC的重心為點G,點O,尸是VABC所在平面內兩個不同的點，滿足

OP=OA+OB+OC>貝U（）

A.O,P,G三點共線B.OP=2OG

C.2OP=AP+BP+CPD.點P在VABC的內部

三、填空題

5.（2024.四川南充.模擬預測）已知點。是VABC的重心，OA=2,OB=3,OC=3,貝U

OAOB+OAOC+OBOC=.

四、解答題

6.（2024?浙江溫州?模擬預測）VABC的角A,B,C對應邊是a,b,c,三角形的重心是O.已知

OA=3,OB=4,OC=5.

⑴求a的長.

（2）求VABC的面積.

題型02外心

【解題規律?提分快招】

一、三角形的外心

1.定義：三角形三邊的垂直平分線的交點為三角形的外心，外心到三個頂點的距離相等；

2.外心的性質：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經過三角形的三個頂點.

②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而

一個圓的內接三角形卻有無數個.

3.外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓.

在平面向量的應用：若點O是△ABC的外心，貝11OA|=|OB|=|OC|或

（OA+OB）BA=（OB+OC）CB=（OC+OA）AC=0；

【典例訓練】

一、單選題

1.（2024?天津北辰?三模）在VABC中，|相|=2四，。為VABC外心，且AO.AC=1，則，ABC的最大值

為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2024?安徽?模擬預測）已知VABC的外心為G,內角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且a:6:c=5:5:8.若

CACB=-28,貝1JCGC8=（）

A.不B.50C.25D.25收

3.（23-24高三下?新疆?階段練習）在VABC中，AC=2幣,。是VA3C的外心，M為8C的中點，AO=8，

N是直線上異于M、。的任意一點，則就.昵=（）

A.3B.6C.7D.9

4.（24-25高三上?遼寧?期中）設VABC的外心為0,重心為G,并且滿足|圖nsi/A+sin咽+sii?C,則當

|。6最大時，VABC的外接圓半徑為（）

A-TB-1C-TD-1

二、多選題

5.（2024?全國?模擬預測）已知。為VABC的外心，AB+AC=CO,貝I（）

A.08與AC不共線B.08與OA+OC垂直

C.cosZOAC=—D.cosZ.BOC=—

44

三、填空題

6.（2024?四川涼山?三模）在VABC中，已知A5=1,AC=3,點G為VABC的外心，點。為VABC重心,

則。G.gC=.

題型03內心

【解題規律?提分快招】

一、三角形的內心

1.定義：三角形三個角的角平分線的交點為三角形的內心

2.內心的性質：①三角形的內心到三角形三邊的距離相等

②三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角.

3.內切圓

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做

圓的外切三角形

在平面向量的應用：若點1是仆ABC的內心，則有|BC「IA+|CA|JB+|AB|JC=O

【典例訓練】

一、單選題

22

1.（23-24高三下?山西晉城?階段練習）已知與，工是橢圓C:\+2=l（a>b>0）的兩個焦點，M為C的頂

ab

點，若.乙的內心和重心重合，則C的離心率為（）

A.且B.也C.1D.-

3223

ADDA

2.（2024?四川南充?三模）已知點尸在VABC所在平面內，若以?（----------）=PB-（----------------）=0,則

|AC|\AB\\BC\\BA\

點尸是VABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.內心

3.（2024高三.全國.專題練習）若滿足a.OA+6.OB+°OC=0，則。為VA3C的（）

4.（2025高三?全國?專題練習）設ABC的內角A,B,C的對邊分別為。,b,c,PABC所

在平面上的一點，PAPB=-PAPC+—PA1=-PBPC+—PB2,則點pABC的（）

bbaa

A.重心B,外心C.內心D.垂心

二、填空題

22

5.（2024.全國?模擬預測）已知橢圓+與=1（。>匕>0）的左、右焦點分別為耳耳,P為橢圓上不與頂點

ab

重合的任意一點，/為的內心，記直線OP，。/的斜率分別為K&，若匕=；幻，則橢圓E的離心率

為.

22

6.（2024.全國?模擬預測）已知尸為橢圓上+二=1上任意一點，耳B為左、右焦點，/為，尸片工的內心,

98

記鳥，△/尸片，△/尸鳥的面積分別為S,&,S2,則與七的值為

kJ

題型04垂心

【解題規律?提分快招】

一、三角形的垂心

1.定義：三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心；

在平面向量的應用：若H是△ABC的垂心，則心.而=而?的=阮.前或

.2q.2.7___09

HA+BC=HB+AC=HC+AB"

【典例訓練】

一、單選題

1.（23-24高三下?廣東汕尾?期末）在VABC中，AB=AC,點。為VA5C的垂心，且滿足AO=xAB+yAC,

cos/BAC——,則%+y=（）

A.—B.-1C.—D.—

242

2.（23-24高三下?廣東惠州?期中）已知三棱錐P-ABC中，若R4,PB,PC兩兩互相垂直，作尸平面A3C,

垂足為。，則點。是VABC的（）

A.外心B.內心C.重心D.垂心

3.（2025高三?全國?專題練習）設。是平面上一定點，A,B,。是平面上不共線的三點，動點尸滿足

A3AC

OP=OA+A+--------------,2e[0,+oo),則點尸的軌跡經過VABC的()

|AB\cosB|AC|cosCJ

A.內心B.夕卜心C.垂心D.重心

4.（23-24高三下.貴州貴陽?期末）已知點O、N、尸在VA3C所在平面內，且=|。@=|。4,

NA+NB+NC=0^PAPB=PB-PC=PC-PA,則點O、N、P依次是VABC的（）

A.外心、重心、垂心B.重心、外心、垂心

C.重心、外心、內心D.外心、重心、內心

二、多選題

5.（23-24高三下?重慶渝中?階段練習）在等腰V4JC中，已知=4,C4=C3=8,若"W、G、/分別為VABC

的垂心、外心、重心和內心，則下列四種說法正確的有（）

A.AHBC=0B.AW-BC=24

C.AGBC=16D.AIBC^n

6.（24-25高三上?四川達州?階段練習）拋物線有如下光學性質：平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線

反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線V=4x的焦點為￡。為坐標原點，從點打如為乂^。＞尤＞0）發出平

行于x軸的光線經過拋物線上的點N反射后再經過拋物線上另一點則（）

A.存在點P使得點P,N,O,M.都在以尸為圓心的圓上

B.存在點尸使得點歹是,的垂心

C.存在點尸使得點尸是的重心

D.點M到直線PN的最短距離為4

三、填空題

7.（23-24高三下?北京東城?階段練習）在三角形ABC中，點。是三角形4BC所在平面內一點，VABC的三

個內角A,民C的對邊分別是,則下列給出的命題:

①若OA.OB=OB.OC=OC-OA,則點。是三角形ABC的垂心;

②若向量A尸=彳（A3+AC）（A6R）,則點P的軌跡通過VABC的重心；

/\/、

ArARBCBA

③若。411-I?-OB-?r-1?=0,則點。是三角形ABC的內心；

ACABBC

UI\\）UI網

@^（0A+0B）AB=（0B+0C\BC=G,則點0是三角形ABC的內心.

其中正確的命題是：.（填寫正確結論的編號）

四、解答題

8.（23-24高三下?廣西桂林?階段練習）已知VABC的內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,a=6,

Z?+12cosB=2c.

⑴求A的大小；

（2）請在下列三個條件中選擇一個作為己知條件，使VABC存在，并解決問題：

M為VABC內一點，A"的延長線交于點。，求VABC的面積.

①M為VABC的外心，40=4；

②M為VABC的垂心，MD=6

③〃為VA3C的內心，AD=3y/3.

題型05奔馳定理

【解題規律?提分快招】

一、奔馳定理

5ACOA:5AAOB

1.奔馳定理：O是小ABC內一點，且xUX+yOB+zOA=0?則5ABm:=X：y：Z

2.奔馳定理推論：。是△ABC所在平面內一點，且xUX+y而+xUX=6,,則：

①SABOC：^I^AOC'-^l^AOB—X\y.z

②SRBOC_IX|_SA，OC_IyI.SA，OB_IZ|

SAABCx+y+z'S^ABCx+y+z，S&ABCx+y+z

由于這個定理對應的圖像和奔馳定理的圖標很相似，我們把它稱為奔馳定理.

二、奔馳定理的證明

奔馳定理：。是AABC內一點，且％?3+y?無+Z?歷=6，貝1]5"0相5484：5.08=%：）；：2

已知。是AABC內的一點，她0。,人40。,兒405的面積分別為梟，SB,Sc,求證:

SA.OA+SB.OB+SC>OC=O

法一證明：延長0A與邊相交于點。則處=4M組=?也=『D-'D=J

S

0D=￡￡0B+m0C=BQB+Sc歷

BCBCSB+ScSB+Sc

??OD_S^OD_SCOD_SBOD+S(JOD_S4-^-OA

.-.0D=

S304+

%SBOA^COASCOASB+Scs+s

DCr

5B+SC°B

:,SA.OA+SB.OB+SC.OC=O

20。,0為4AiBiCi

5AA05^\OA\\OB\smZAOB1

SAAQB]；104110耳1sinNA0與盯

SAAOC110A||0CIsinZAOC1

SAA0G：I04||0GlsinNAQG位

SAAQg=xySAAOB,

SAA0C；=xzSAAOC,

xySAAOB=xzSAA0C,

SAAOB_z

SAAOC-y

得證.

三、三角形四心與奔馳定理的關系及證明

①。是"BC的重心：S^BOC:S^COA:S^A0B=l:lAt^OA+OB+OC=0.

證明：由重心分三角形面積相等及奔馳定理易得SABOC：SACOA：SNOB=1:1:1^>OA+OB+OC=0

②O是AABC的內心：S^oc:S^COA:5AA05=a:b:coaOA+bOB+cOC=0

證明：SABOC=-a-r,SACOA=-b-r,SMOB=-c-r（廠為AABC內切圓的半徑），所以

S&B0CSACOA:SAAOB=a:b:c,再由奔馳定理可得aO4+005+cOC=6

③O是AABC的外心：SAB0C:S0:-SAAOB=sin2A:sin2B:sin2Cosin2AOA+sin2BOB+sin2C0C=0.

證明：1|OB|-|5c|sinZCOB,由同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得/CO5=2/A,所以

2

S^oc=-OBOCsm2A=-Rsm2A（R為AABC外接圓的半徑），同理可得5入84=工氏？sin23,

ZAZJC/C22ZUU/i2

2

SMOB=-^Rsin2C,所以S^oc:SACOA:3根05usinZAisinZBisinZC,再由奔馳定理可得

sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=6

④尸是AABC的垂心：Sgpc:S^CPA:SgpB=tanA:tanB:tanC=tanAPA+tanBPB+tanCPC=6

c

生

ADB

pr\pr）

證明：如圖尸為△ABC的垂心，則有tanA=——,tanB=—,所以由4:|人。=tanA:tan從所以

S.PC:S?c=；|CP|?忸斗；|。斗=忸4|A。=tanA:tanB，同理可得SMPC:SMPB=

tanB:tanC,所以：5人人尸「蘇八其的=tanA:tanB:tanC,再由奔馳定理可得

Sgpc:SKPA:S^PB=tanA:tantanC<^>tanAPA+tanBPB+tanCPC=6

【典例訓練】

一、多選題

1.（23-24高三上.河北保定?階段練習）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應

的圖形與“奔馳”轎車的標志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：己知。是VABC內一點，

BOC,△AOC,VA03的面積分別為%,SB，%,則邑?。4+品?O3+Sc0.設。是VABC內一

點，VABC的三個內角分別為A,B,C,BOC,△AOC,VA03的面積分別為%,SB,Sc,若

30A+40B+50C=0,則以下命題正確的有（）

A

A.SA:SB:SC=3:4:5

B.。有可能是VABC的重心

C.若。為VABC的外心，則sin4:sinB:sinC=3:4:5

D.若。為VA2C的內心，則VA2C為直角三角形

2.（23-24高三下?重慶沙坪壩?期末）平面向量中有一個優美的結論，有趣的是，這個結論對應的圖形與“奔

馳”轎車的log。非常相似，該結論如下：如圖，已知。是VABC內部一點，將BOC,△AOC,VA08的

面積分別記為鼠，SB，SC,貝州/。4+5鼠03+/。。=0.根據上述結論，下列命題中正確的有（）

12

B.若4。=二48+（4?,則/%￡=2:1:2

JT

C.若。為VA3C的內心，且5Q4+12O8+13OC=0，則NAC3=5

D.若。為VABC的垂心，則tan/54C0A+tan/ABC?02+tanNACHOC=0

3.（23-24高三上.江西新余.期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常

優美的結論.奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯.它的具體內容是：己

知M是VABC內一點，ABMC,AMC,的面積分別為〃，品，名，且

SAMA+SBMB+SCMC=O.以下命題正確的有（）

A.若SA：SB：SC=1：1：1,則M為VABC的重心

B.若M為VABC的內心，則BC.MA+AC."B+A3.Me=0

C.若M為VABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,貝han4AC:tanNASC:tan/3C4=3:4:5

D.若/54C=45。，ZABC=60°,M為VABC的外心，則叢：邑：S0=6：2:1

二、填空題

4.（23-24高三下.湖南?期中）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標志而來，是平面向量中一個非常優

美的結論，奔馳定理與三角形的四心（重心、內心、外心、垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內容是：如圖，若

「是VABC內一點，.BPC,_APC,_AP3的面積分別為〃,現,品，則有4-上4+5鼠總+51尸。=0.已知。為

VABC的內心，且cos/A4c=；,若4。=根43+加4。，則相+〃的最大值為.

*>----------題型通關?沖高考-----------*>

一、單選題

1.（23-24高三下.河北張家口?期末）已知三棱錐V-ABC中，VA±BC,VB1AC,作V。，平面ABC,垂足

為0,則。為VABC的（）

A.外心B.內心C.重心D.垂心

2.（2024高三.全國?專題練習）已知三角形A3C的外心為0,ABAC=0,cosZAOC=1,則4?在8C上

的投影向量為（）

A.-BCB.--BCC.-BCD.--BC

3333

3.（24-25高三上?北京通州?期中）已知G是VABC的重心，過點G作一條直線與邊AB,AC分別交于點E,

F（點、E,尸與所在邊的端點均不重合），設AB=xAE，AC=yAF,則'的最小值是（）

xy

4

A.1B.-C.2D.4

3

4.（24-25高三上?湖北?開學考試）在三棱錐S-ABC中，三個側面與底面A3C所成的角均相等，頂點S在

VABC內的射影為0,則。是VABC的（）

A.垂心B.重心C.內心D.外心

22

5.（2024高三.全國?專題練習）已知雙曲線E:土-匕=1的左、右焦點分別為耳耳，右頂點為A,點、P是E

42一

右支上一點，點”是尸月月的重心，若林1，片乙，則點尸到E的兩條漸近線的距離之和為（）

A.4mB.45/3C.4夜D.4

6.（23-24高三下?浙江?期中）設。為VABC的內心，AB=AC=13,3c=10,AO=mAB+nAC（m,neR）,

則"?+“=（）.

A.—B.—C.—D.—

36181836

7.（2024高三?全國?專題練習）若VABC的三邊為a,b,c,有冼=6，則。是丫鉆。的（）

A.外心B.內心

C.重心D.垂心

8.（24-25高三?上海?課堂例題）已知VABC,點P是平面ABC外一點，點。是點P在平面ABC上的投影.

①點P到VABC的三個頂點的距離相等；

②點P到VABC的三邊的距離相等且O點在VABC內；

③PA_LPB,PB工PC,PCIPA.

當點尸分別滿足以上條件時，點0一定是VABC的（）

A.外心、垂心、內心；B.垂心、內心、外心；

C.內心、外心、垂心；D.外心、內心、垂心.

9.（23-24高三下?河北?期中）平面向量中有一個非常優美的結論：已知。為VABC內的一點，BOC,&AOC,

VA03的面積分別為%,SB，SC,則邑-。4+58-03+5}0。=0.因其幾何表示酷似奔馳的標志，所以

稱為“奔馳定理”.已知。為VABC的內心，三個角對應的邊分別為a,b,c,已知a=3,6=2若，c=5,

則80-AC=（）

A.273-8B.-2C.y/6-7D.372-9

2.2

10.（24-25高三上?河北邢臺?開學考試）若。是；ASC的外心，S.^-（AB-AO）+^-（AC-AO）=-AO2,

則sinB+sinC的最大值是（）

A.出+也B.典C.-D.20

222

11.（24-25高三上?吉林長春?期中）如圖，在等腰直角中，AS=AC=3,點尸是邊48上異于端點的

一點，光線從點尸出發經3C,C4邊反射后又回到點P,若光線QR經過ABC的重心，貝h/Q?的周長等

APB

A.2百B.26

C.4際D.573

二、多選題

12.（23-24高三下?湖北荊州?階段練習）已知ASC內角A,氏C的對邊分別為a,6,c,。為ASC的重心，

cos4=：,力。=2,貝！J（）

A.AO=-AB+-ACB.ABAC<3

44-

C.ASC的面積的最大值為3而D.。的最小值為2述

13.（23-24高三下.江蘇揚州.期中）已知VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列說法中正確

的是（）

A.若向量AB=（1,0）,AC=（0,1）,則AABC的外心為BC中點

B.若點G為VABC的重心，則GA+GB+GC=0

C.若點。為VABC所在平面內一點，S.OAOB=OAOC，則QB=OC

D.若點/為VA5c的內心，貝!JaZA+b/B+c/C=O

14.（23-24高三下?山東濟寧?開學考試）邊長為1的正三角形ABC的內心為0,過。的直線與邊A8,AC交

于尸、。，貝I（）

A.前向4B.當AOCQ時,此時款f

1,111

c.|op「+的最大值為18D.網2+"@2的最小值為15

15.（23-24高三下?湖南岳陽?階段練習）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應

的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：己知。是

VABC內一點，BOC,△AOC,VA03的面積分別為鼠，SB,Sc,且-QI+SB-03+Sc.設

。是銳角VABC內的一點，/B4C、/ABC、ZACS分別是的VABC三個內角，以下命題正確的有（）

A.若04+202+3。。=。，則梟：SR:=1：2:3

B.若但=煙=2,ZAOB=y,20A+30B+40C=0,貝！

.71

C.若。為VABC的內心，30A+40B+50C=0，則NC=；y

D.若。為VA3C的垂心，OA+2OB+3OC=0,則cos/AOB=