難點特訓(二)和相交線平行線有關的壓軸大題

1.如圖，點A在直線上，A3、AK分別與直線交于點B、C,ZMAB+ZKCF=90°.

(1)如圖1,求證：EF//MN；

(2)如圖2,作一CBA與NBC4的角平分線交于點G,求NG的度數；

⑶如圖3,作與/ECK的角平分線交于點請問N/7的值是否為定值，若為定值請求出定

值，若不是，請說明原因.

【答案】⑴見解析

(2)ZBGC=135°

⑶回”的值是為定值，/H=45°

【分析】(1)由垂直定義可得ZMAB+ZKCF=90°,然后根據同角的余角相等可得ZNAC=ZKCF,

從而判定兩直線平行.

(2)根據角平分線的性質和直角三角形兩個銳角互余，可得出NCBG+ZBCG=45°,再利用三角

形內角和180°即可求解.

(3)設==x,則NKCF=90-x,再結合角平分線的性質和平行線的性質即可求解.

【詳解】(1)證明：^ABrAK,

^\ZMAB+ZNAC=90o,

又回NMAB+NKCF=90°,

SZNAC=ZKCF,

QMN〃EF.

(2)解：^\AB±AK

SABAC=90°,

回NCSA+/ACS=90°,

回86平分/。04,

EZCBG=-ZCBA,

2

同理N3CG=《NBCA,

0NCBG+ZBCG=-(ZCBA+ZBCA)=45°,

2

0ZBGC=180°-(ZCSG+NBCG)=135°.

(3)解：設/M4B=x

貝ljNABC=x,

ZKCF=90-x,

12AH平分/BAN,

^\ZHAN=-ZBAN=90°--x,

22

^ZHAC=-x,

2

同理NHCK=gNBCK=45°+：尤，

0ZH=45°.

【點睛】本題考查了角平分線的性質、平行線的判定及性質、直角三角形兩銳角互余知識，解決本

題的關鍵是熟練掌握知識點，找到角的關系，列出等式求解.

2.綜合與實踐：折紙中的數學

【知識初探】如圖1，長方形紙條ABG”中，AB//GH,AH//BG,ZA=NB=NG=NH=90。,將

長方形紙條沿直線CO折疊，點A落在A處，點8落在"處，B'C交AH于點E.

圖1

⑴若NECG=50。，則NCDE=,若NECG=x。,則NCDE=.

【類比再探】如圖2,在圖1的基礎上將/"EC對折，點H落在直線EC上的4處，點G落在G'處,

得到折痕

圖2

⑵折痕所與8有怎樣的位置關系？說明理由；

⑶直接寫出所有與ZADC相等的角.

【拓展延伸】

(4汝口圖2,已知長方形ABG"的邊AB=2,AH=a(a>20),當折痕￡F=時，四邊形CDE尸的

面積有最小值為.

【答案】(1)65。，90。-夫。

(2)CD=EF,理由見解析

⑶/A'DC,NDCG,ZEFG,ZEFG',ZDCH',ZB'EF

⑷2&，4

【分析】(1)由翻折的性質可知，/BCD=/DCE,當NECG=50。時，當/ECG=x。時，分別根

據三角形內角和定理即可求解；

(2)由翻折的性質可知NDCE=NDCB,NCEF=NHEF,則〃CE=NCEF,可得CD〃EF,

根據平行線的性質得出ZDCE=NFEC,/DEC=NFCE證明ADCE沿AFEC即可得證；

(3)根據翻折的性質與平行線的性質即可求解.

(4)根據題意，可知當CELDE時，DE=EC=2,此時四邊形QEFC的面積最小，勾股定理求得

所的長，即可求解.

(1)

解：如圖1中,

圖1

由翻折的性質可知，NBCD=/DCE,

當NECG=50°時，NDCE=1(180°-50°)=65°,

當NECG=x°時，/DCE=-(180°-x°)=90°--%°,

22

故答案為：65°,90。-g無。；

(2)

如圖2中，結論：CD=EF,CD//EF.

-,-AH//BG,

:.NBCE=NHEC,

由翻折的性質可知NDCE=ZDCB,ZCEF=ZHEF,

:.ZDCE=ZCEF,

:.CD//EF,

:.ZDCE=ZFEC

ED//CF,

/DEC=NFCE

又EC=CE

團△OCE之△EEC

:.CD=EF.

(3)

由翻折的性質可知NADC=NA'DC,/EFG=NEFG,

?:AH〃BC,

:.ZADC=ZDCG,

,CD//EF,

:./EFG=/DCG,

?:ND〃BH〃FG,

.\ZADC=ZDCH\NEFG'=NB'EF

二.與/ADC相等的角有：NA'。。，ADCG,NEFG,ZEFG,ZDCH,ZB'EF.

(4)

如圖3中，

圖3

?.?AH〃BG,

:.NEDC=NDCB,

?.?/DCB=/DCE,

:"EDC=/DCE,

/.DE=EC,

???當CELO石時，DE=EC=2,此時四邊形DEFC的面積最小，最小值=2x2=4,

止匕時EF=A/22+22=20.

故答案為：20,4.

【點睛】本題考查了折疊的性質，平行線的性質與判定，全等三角形的性質，勾股定理，掌握折疊

的性質與平行線的性質是解題的關鍵.

3.如圖，圖①是一種網紅彈弓的實物圖，在兩頭上系上皮筋，拉動皮筋可形成平面示意圖如圖②

和圖③，彈弓的兩邊可看成是平行的，即AB-。，各活動小組探索NAPD與/A,NC之間數量

關系時，有如下發現，

圖①圖②圖③圖④

⑴在圖②所示的圖形中，若NA=30。，/。=35。，貝UN4P￡>=

（2）在圖⑧中，若NA=150。，ZAPD=60°,則ND=

⑶有同學在圖②和圖③的基礎上，面出了圖④所示的圖形，其中45〃。，請判斷/a,4,々

之間的關系，并說明理由.

【答案】⑴65。

(2)150°

(3)Z/?=180°-Z(z+Z^

【分析】（1）如圖所示，過點P作尸。〃48,利用平行線的性質得到

ZAPQ=ZA=30。，ZDPQ=ZD=350由此即可得到答案；

（2）如圖所示，過點P作PQ〃AB,利用平行線的性質得到

ZAPg=180°-ZA=30°,ZD=1800-ZDPQ,在求出/D尸。的度數即可得到答案；

（3）如圖所示，過點尸作PQ〃AB,由平行線的性質得到/3尸。=180。一NBNDPQ=ND,再

由NBPD=NBPQ+ZZDPQ=180。一N3+/D即可得到結論.

【詳解】（1）解：如圖所示，過點尸作尸0〃A3,

S\AB//CD,

^\AB//PQ//CD,

0ZAPQ=ZA=30°,ZDPQ=ZD=35°,

回ZAPD=ZAPQ+ZDPQ=65°,

故答案為：65°；

圖②

(2)解：如圖所示，過點尸作PQ〃A3,

團AB〃CD,

^\AB//PQ//CD,

[?]ZAPQ=180°-ZA=30°,ZD=1800-ZDPQ,

團NAPD=60。,

0ZDPQ=ZAPD-ZAPQ=30°

0ZD=15O°,

故答案為：150。；

圖③

(3)解：N/?=180。—Na+N7,理由如下：

如圖所示，過點P作PQ〃A5,

回AB〃CD,

^\AB//PQ//CD,

國NBPQ=180。—NB,NDPQ=ND,

團NBPD=ZBPQ+ZZDPQ=180°-ZB+ZD,

團N/7=18O°—Na+Ny.

BA

圖④

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵.

圖1圖2圖3

（1）（問題）如圖1,若AB〃CD,EL4EP=40°,EIPFD=130o,求貼P尸的度數；

⑵（問題遷移）如圖2,AB//CD,點尸在的上方，問即E4,SPFC,跖尸尸之間有何數量關系？

請說明理由；

⑶（問題拓展）如圖3所示，在團的條件下，已知三a,^PEA的平分線和OP尸C的平分線交于

點G,用含有a的式子表示回G的度數.

【答案】⑴0￡7/=90。

⑵即9理由見解析

（3）1?

【分析】⑴過尸點作尸用/CD,根據平行線的性質和判定即可得到答案；

（2）過點P作PH〃AB,則PH〃CD,根據平行線的性質得出國PEA=EIHPE,進而得到回FPH=?PFC,然后

得出SPE/,SPFC,融尸廠三個角之間的關系；

⑶令AB與PF交于點0,連接EF,在回EFG中，利用三角形內角和定理進行計

算，由⑵可知，0PFC=0PEA+0P,得到EIPEA=I3PFC-a,即可得出答案.

【詳解】（1）解：過P點作尸”//CD

EB

圖1

可得：El+ELPFD=180°

fflEIPF￡>=130o

001=50°

y^ABUCD

國PH//AB

可得：團2=EL4EP=40°

故：ELE1尸尸=01+回2=90°

(2)^PFC=^PEA+^EPF

理由：如圖2,過點、P作PH//AB

圖2

可得：回1=附區4

^AB//CD

PHUCD

可知：^PFC=^HPF

由于E/ff戶=m+EI￡P尸

0^PFC=m+^EPF

即：SPFC=^PEA+BEPF

(3)令43與尸尸的交點為。，連接所，如圖3

G

P

CFD

圖3

在回GFE1中，國G=180°-(EIGFE+EIGE/)

0^GEF=y^PEA+^OEF

^GFE=0PFC+0OFE

回I3G￡F+EIGFE=JSPEA；+SPFC+SOEF+SOFE

由國可知^FC^PEA+^EPF

El^PEA=^\PFC-a

y^ABncD

可得：BEOF^SPFC

團在回OEF中有：

團O廠E+團O跖=180°-甌。￡=180°-即尸。

則^GEF+^\GFE=^(0PFC-Gt)+1aPFC+18O°-0P^C

=180°-yCt

fflG=180°-(,BGEF+BGFE)

=180°-(1800-ga)

=21a

【點睛】本題考查了平行線的性質，以及三角形的內角和定理，以及角的和差倍分，平行線的性質：

兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行同旁內角互補；三角形內角和定

理：三角形三個內角的和等于180。；

5.閱讀理解：如圖1,已知點/是8C外一點，連接N3,AC.求皿C+SB+團C的度數.

ED

BC

圖1

⑴閱讀并補充下面推理過程.

解：過點/作EZ)a8C,008=,EIC=.

^EEAB+SBAC+^\DAC=180°.

aas+曲c+iac=180°.

解題反思：從上面的推理過程中，我們發現平行線具有“等角轉化”的功能，將配4C,勖，團C"湊"

在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決.

方法運用：

(2)如圖2,已知480ED,求0S+EL8CD+0D的度數.

圖2

深化拓展：

⑶如下圖，已知N施CZ),點C在點。的右側，a4DC=60°,平分awe,點8是直線48上的

一個動點(不與點/重合)，AB<CD,BE平分財BC,BE,OE所在的直線交于點E,點E在48

與C。兩條平行線之間.若a48C=〃。，請你直接寫出勖ED的度數.(用含〃的代數式表示)

圖3備用圖

【答案】⑴曲3,W)AC

(2)360°

⑶g〃。+30。或210。-

【分析】(1)根據平行線的性質即可得到結論；

(2)過C作CF〃AB根據平行線的性質得到ND+NR笫=180。，ZB+ZBCF=180°,然后根據已

知條件即可得到結論；

(3)點3在點/左側時，過點￡作砂〃AB,然后根據兩直線平行內錯角相等，即可求NBED的

度數；點2在點/右側時，過點￡作跖〃先由角平分線的定義可得：/ABE和/CDE,然

后根據兩直線平行內錯角相等及同旁內角互補來求解.

【詳解】(1)解：WD//BC,

0C=0r>^C.

故答案為：^EAB,虱)NC；

(2)解：如下圖，過C作CF〃AB.

^AB//DE,

SCF//DE,

SB\D+^FCD=180°.

SCF//AB,

EE3+a8CF=180°,

OEIB+EISCD+EIZ)=0S+0SCF=0D+0FCZ)=360°；

(3)解：如下圖，點8在點4左側，過HE作EF//AB.

^ABUCD,

^ABUCDUEF,

^\ABE^BEF,^CDE=^DEF.

團8￡平分EL48C,DE平分ELWC,^ABC=n°,EL4￡>C=60°,

^ABE=^ABC=^n°,SCDE=^^ADC=30°,

^EBED=^iBEF+^iDEF="^-w°+30°；

如下圖，點8在點Z右側，過點、E作EF〃AB.

EI8E平分明5C,DE平分EL4DC,^ABC=n°,EL4￡>C=60"

miBE=BL4BC=^n°,回CDE=ga40c=30。

酎B//CD,

^ABI/CD/IEF,

團勖跖=180°-^\ABE=lS0°-^n°,SCDE=^DEF=30°,

^BED=^BEF+^DEF^180°--n°+30°=210°--H°.

22

故答案為：|■"。+3O。或21O。-1■〃。

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，角平分線的定義，解題的關鍵是：正確添加輔助線，及

作出（3）中的圖形.

6.將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點。按如圖方式疊放在一起.

（1汝口圖（1）若ZBOD=35。，貝（Ja4OC=—；若ZAOC=135°,則站OD=—；

（2汝口圖（2）若NAOC=140。，則魴。。=一；

⑶三角尺AOB不動，將三角尺COD的OD邊與OA邊重合，然后繞點O按順時針或逆時針方向任

意轉動一個角度，當乙40￡>(0。<44。。<90。)等于多少度時，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，

直接寫出西。。角度所有可能的值，不用說明理由.

【答案】(1)145。；45°

(2)40°

(3)30°,45°,75°,60°

【分析】(1)若NBOD=35。，則由403=90。求得ZAOD的值，從而求得—AOC的值；同理，由

NAOC=135。，/COD=90。求得ZAC?的值，從而求得—30D的值.

(2)由ZAOC+NCO￡)+N￡)O3+ZAOB=360°,ZAOC=140°,NCOD=ZA03=90°,求得/BOD

的值.

(3)根據題設條件，將三角尺COD的OD邊與邊重合，然后繞點。按順時針或逆時針方向進

行旋轉，找到符合條件的位置，進而計算m角度即可.

⑴

解：若ZBOD=35。,貝|/40￡>=90。一/30￡)=55。，

團ZAOC=ZAOD+ZCOD=550+90°=145°.

若ZAOC=135°,則ZAOD=ZAOC-ZCOD=135°-90°=45°,

回ZBOD=ZAOB-ZAOD=90°—45°=45°.

⑵

解：0ZAOC+ZCOD+ZDOB+ZAOB=360°,

又回ZAOC=140°,NCOD=ZAOB=90°,

0ZDOB=360°-ZAOC-ZCOD-ZAOB,

0Z/X?B=4O°.

(3)

解：當三角尺CO。繞點。按順時針轉動時，

如圖1,OD±AB,

EIZA=60o,0ZAOD=90°-ZA=30°.

D

A

圖1

如圖2,CDVOB,

回NODC=45°,0ZDOB=90°-ZODC=45°,

C

圖2

如圖3,CD1.AB,CD交AB于點、E,交OB于點、F,

EZB=30°,0ZEFB=90°-AB=60°.

ElZODC=45°,

0NDOF=NDFB-ZODC=15°.

0ZAOD=90°-ZDOB=75°.

當三角尺COD繞點。按逆時針轉動時,

如圖4,OC.LAB,

回N6=30。，0ZCOB=90°-ZB=60°.

團ZAOC=90°-ZBOC=30°,

團ZAOD=90°-ZAOC=60°

圖4

綜上，符合條件的幺OD的值為：30°,45°,75°,60°.

【點睛】本題考查了根據已知條件求角度，掌握互余兩角的定義與性質是解題的關鍵.

7.已知回CD線段E尸分別與月3、相交于點￡、F.

圖①圖②

⑴如圖①，當酎=20。，EL4PC=70。時，求EIC的度數；

(2)如圖②，當點P在線段既上運動時(不包括E、尸兩點)，的、的尸。與國C之間有怎樣的數量?

試證明你的結論.

【答案】⑴50。

(2)EL4+EC=EL4PC,見解析

【分析】(1)過尸作尸。的2,通過兩直線平行，內錯角相等，可得的+回。=財?。，即可得出答案;

(2)證明同(1).

【詳解】(1)解：過尸作尸。加8,

EB

圖①

迎4羽CD,PO^\AB,

朋碗P。回C，

配L4=20°,

回朋尸。=胤4=20°,團。=團。尸。，

回陰尸。=70°,

^\C=^CPO=^\APC-^\APO=70°-20°=50°；

(2)解：胤4+回C=H4PC,理由如下：

過尸作尸。冊8,

圖②

EL4S0CD,POEL45,

SAB^POSCD,

aa4P0=EL4,0C=0CPO,

^EAPC=SAPO+SCPO=EL4+fflC.

【點睛】本題考查平行線的性質，是一種常考題型，根據結論可得"左拐之和=右拐之和"，熟悉平

行線性質即可證明.

8.如圖1,把一塊含30。的直角三角板ABC的5c邊放置于長方形直尺。斯G的斯邊上.

(2)現把三角板繞8點逆時針旋轉”。.如圖2,當0<〃<90,且點。恰好落在。G邊上時，

①請直接寫出N2=。(結果用含〃的代數式表示)

②若N1與N2恰好有一個角是另一個角的：倍，求〃的值

(3)若把三角板繞8點順時針旋轉力。.當0<〃<360時，是否會存在三角板某一邊所在的直線與

直尺(有四條邊)某一邊所在的直線垂直？如果存在，請直接寫出所有n的值和對應的那兩條垂線；

如果不存在，請說明理由.

【答案】⑴120°,90°；(2)①90°+。°；②n的值為T或與；(3)當n=30°時，ABSDG(EF)；

當n=90°時，BCSDG(￡F),ACSDE(GF)；當n=120°時，ABE1DE(GF)；當"=180°時，ACSDG(EF),

BC0DE(GF)；當。=210°時，/IB0DG(EF)；當"=270°時，BC0DG(EF),AC0DE(GF)；當"=300°

時，AB^DE(GF).

【分析】(1)根據鄰補角的定義和平行線的性質解答；

(2)①根據兩直線平行，同旁內角互補求出勖CG,然后根據周角等于360。計算即可得到回2；②

根據鄰補角的定義求出0ABE,再根據兩直線平行，同位角相等可得回1二m5￡,再分回1=1■回2和回2=

1-01分別求解即可；

4

(3)結合圖形，分AB、BC、NC三條邊與直尺垂直討論求解.

【詳解】解：(1)El=180°-60°=120°,

02=90°；

故答案為：120,90；

(2)①如圖2,BDGBEF,

EHSCG=18O°-0C5F=180°-w°,

0EL4C5+ELBCG+02=36OO,

fflE2=360°-EL4CS-a8CG=360o-90°-(180°-〃°)=90°+?7°；

故答案為：90。+”。；

②aa48c=60°,

EBABE=180°-60°-?°=120°-n°,

^DG3\EF,

盟：1=朋8￡=120°-〃°,

若回1=2回2,貝Ij120。-〃。=』(90°+〃°),解得n=W；

443

若回2=』團1,則90。+〃。='(120。-"。)，解得n=也;

443

所以n的值為g或爭

(3)當〃=30°時，AB^G(￡尸)；

當”=90。時，BC^DG(E尸)，AC^DE(GF)；

當〃=120。時，ABWJE(G尸)；

當〃=180。時，AC^DG(EF),BC^DE(GF)；

當"=210。時，AB^DG(EF)；

當〃=270。時，BC^DG(EF),AC^DE(GF)；

當"=300。時，ABWE(GF).

【點睛】本題考查了角的計算，垂線的定義，主要利用了平行線的性質，直角三角形的性質，讀懂

題目信息并準確識圖是解題的關鍵.

9.已知AB〃C。，點M、N分別是/8、CO上的點，點G在/8、CD之間，連接MG、NG.

⑴如圖1,若GM1GN,求ELO/G+I3CNG的度數;

(2汝口圖2,若點P是CD下方一點，MG平分0&WP,ND平分EIGNP,已知西兒g=32。，求0MGN+EIMPN

的度數；

⑶如圖3,若點E是N8上方一點，連接EM、EN,且GM的延長線“平分mME,2VE平分國CNG,

20ME7V+EIMG7V=1O5O,求EL4ME的度數?

【答案】⑴90。

(2)96°

(3)50°

【分析】(1)過G作依據兩直線平行，內錯角相等，即可得到a4MG+回CNG的度數；

(2)過G作GK〃月3,過點尸作P0〃/3,設團GND=a,利用平行線的性質以及角平分線的定義，

求得朋fGN=32°+a,EAffW=64°-a,即可得至!]團06^+0^??/=32。+(1+64。-a=96°；

(3)過G作GK〃/2,適E作ETHAB,設明SGND=y,利用平行線的性質以及角平分線

的定義，可得團1例"=13m"回煙0=90。-：了-2方^MGN=x+y,再根據20A/EN+[3G=：1O5。，即可

得到2(90°-：y-2x)+x+y=105°,求得x=25°,即可得出EL4ME=2x=50.

【詳解】(1)如圖1,過G忤GH/AB,

圖1

^AB//CD,

^\GH//AB//CD,

SEAMG^WGM,^CNG=WGN,

0MGWG,

^MGN=SMGH+SNGH=^AMG+SCNG=90°；

(2)如圖2,過G作GK〃4B,過點尸作尸。〃/2,設國GND=a,

圖2

SGK//AB,ABHCD,

@GK“CD,

回醵GN=^\GND=a,

0GK"AB,m/G=32°,

^\MGK=^\BMG=32°,

^MG平分魴MP,

盟GMP=^MG=32°,

[WAfP=64°,

⑦PQHAB,

HWPQ=耽。=2?/G=64°,

^ND平分團G7VP,

^\DNP=^\GND=a,

^ABUCD,

^\PQ//CD//GK,

mQPN=^DNP=^KGN=a,

^\MGN=^MGK+^\KGN=32°+a,^\MPN=^MPQ-團。?N=64°-a,

^MGN+^MPN^32°+a+64°-a=96°；

(3)如圖3,過G作GK〃/5,過E作ETHAB,設配4MF=x,^\GND=y,

圖3

SAB,FG交于M,MF平分EL4Affi,

WBFME=^\FMA=^BMG=x,

mAME=2x,

0GK”AB,

mMGK=^\BMG=x,

田ET//AB,

^\TEM=^\AME=2x,

出CD//AB,AB"KG,

0GK//CD,

^KGN=^\GND=y,

^MGN=x^y,

團團CW=180°,NE平分①CNG,

回團CWG=180°-歹，0C7VE=-0CA^G=90°--y,

22

出ETHAB,AB"CD,

RETHCD,

回團用V=B1CN石=90°—

2

^BMEN^TEN-國陽0=90°—；歹-2x,團以GN=x+y,

回2tWEN+WGN=105°,

02(90o-1y-2x)+x+y=105°,

盟=25°,

皿ME=2x=50°.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定的綜合運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角,

利用平行線的性質以及角的和差關系進行推算.

10."一帶一路"讓中國和世界更緊密，"中歐鐵路"為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了A,。兩座可

旋轉探照燈.假定主道路是平行的，即PQ//CN,AB為PQ上兩點，AD平分/CAB交CN于點、D,E

為A。上一點，連接3瓦4/平分N應LD交BE于點

(2)作AG交C。于點G,且滿足Nl=g/ADC,當/2+?/GAP=180。時，試說明：AC//BE-

(3)在(1)問的條件下，探照燈4。照出的光線在鐵路所在平面旋轉，探照燈射出的光線AC以

每秒5度的速度逆時針轉動，探照燈。射出的光線DN以每秒15度的速度逆時針轉動，ON轉至射

線。C后立即以相同速度回轉，若它們同時開始轉動，設轉動時間為f秒，當DN回到出發時的位置

時同時停止轉動，則在轉動過程中，當AC與?V互相平行或垂直時，請直接寫出此時/的值.

【答案】(1)100°；(2)見解析；(3)2s或Us或12.5s或17s或21.5s

【分析】(工)利用平行線的性質和角平分線的性質可解；

(2)通過計算，利用內錯角相等，兩直線平行進行判定即可；

(3)分五種情況畫圖，列出關于/的式子即可解答.

【詳解】解：⑴???PQ/g

.-.ZC4B+ZC=180°,ZPAC=20°.

?.?ZC=20°,

/.ZC4B=160°.

???AT>平分/C4B,

.\ZCAD=8O°.

/.ZEAP=ADAC+APAC=100°.

故答案為：100。.

(2)-PQ//CN,

.\ZADC=ZBAD.

Z1=-ZADC

3f

Z1=-ZBAD.

3

?.?AF平分/BAD,

.?.ZBAD=2ZEAF.

Z1=-ZEAF.

3

ZGAF=Z1+ZEAF=-ZEAF.

3

???Z2+-ZGAF=180°,

5

.\Z2+2Z￡XF=180°.

.?.Z2+Z^4T>=180°.

?/Z2+Zz4￡B=180°,

:.ZBAD=ZAEB.

?.,/BAD=NCAD,

.\ZCAD=ZAEB.

:.AC//BE.

(3)360°4-15°=24(5).

當AC//QN時，則ZACD=4/DN,如圖,

:.ZPAC=ZACD.

.\ZPAC=HDN.

由題意，NB4c=20+5%,ZHDN=15t

二20+5%=15/.

/.t=2s.

當ACLDN時，貝ijNOVD=90。，如圖,

:PAIICD,

.-.ZACD=ZPAC=20+51.

ZNDH=15t,

/.ZAOC=180-15r

.\20+5r+180-15/=90.

當ACLDN時，貝UNOVD=90。，如圖,

:.ZACD=ZPAC=20+5t.

-.-ZMX?=15r-180,

/.20+5r+15?-180=90.

.1=12.5s.

當ND//AC時，貝ljNMX?=NACH,如圖,

由題意，ZMDN=15t-180,NR4c=20+5"

.\ZNDC=18O0-ZMDN=36O-15t.

'：PA//CD,

ZACH=APAC=20+5"

」.20+5/=360—15%.

/.f=175.

當DN1AC時，ZDNC=90°,如圖，

???NMX?=360—151.

ZNDC+ADCN=90°.

NNCD=180—(20+5。，

/.360—15/+180—(20+5r)=90.

:.t=2\.5s.

綜上，，的值為2s或Ils或12.5s或17s或21.5s.

【點睛】本題考查了平行線的性質和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵，注意：平行

線的判定定理有：①同位角相等，兩直線平行，②內錯角相等，兩直線平行，③同旁內角互補，

兩直線平行，反之亦然.

11.已知直線ABI3CD,

(1)如圖1,直接寫出回BME、既、E1END的數量關系為；

(2)如圖2,0BME與I3CNE的角平分線所在的直線相交于點P,試探究即與E1E之間的數量關系，

并證明你的結論；

【分析】（1）根據平行線的性質和三角形外角定理即可解答.

（2）根據平行線的性質，三角形外角定理，角平分線的性質即可解答.

（3）根據平行線的性質和三角形外角定理即可解答.

【詳解】解：（1）如圖1,0AB0CD,

EI0END=0EFB,

EBEFB是AMEF的外角，

00E=0EFB-0BME=0END-0BME,

故答案是：E1E=EEND-I3BME；

(2)如圖2,13AB國CD,

a3CNP=RINGB,

0ENPM是AGPM的外角，

E)0NPM=ENGB+aPMA=0CNP+[3PMA,

I3MQ平分I3BME,PN平分I3CNE,

00CNE=20CNP,EFME=20BMQ=20PMA,

回AB回CD,

回團MFE二團CNE=2回CNP,

團團EFM中，回E+團FME+R]MFE=180°,

回回E+2回PMA+2回CNP=180°,

即團E+2(0PMA+0CNP)=180°,

回回E+2回NPM=180°；

(3)如圖3,延長AB交DE于G,延長CD交BF于?H,

團AB團CD,

回團CDG二團AGE,

加ABE是4BEG的外角,

mE=0ABE-回AGE二?ABE-回CDE,①

回回ABM二一R1MBE,0CDN=-0NDE,

nn

11

回團ABM二——團ABE二團CHB，團CDN二——回CDE二團FDH,

n+1n+1

盟CHB是aDFIH的外角，

111、小

?F=0CHB-0FDH=——0ABE---------0CDE=——(z回ABE-回CDE),②

n+1n+1n+1

1/p1

由①代入②,可得回F二——團E,即二=」一.

n+1NEn+1

故答案是：士

12.問題情境：如圖1,AB//CD,ZPAB^130°,ZPCD=120°,求/APC的度數.

圖2

小明的思路是：過尸作PE〃43,通過平行線性質來求/APC.

⑴按小明的思路，易求得/APC的度數為度；（直接寫出答案）

（2）問題遷移：如圖2,AB//CD,點尸在射線31上運動，記NPAB=a,"CD=。,當點尸在8、

。兩點之間運動時，問/APC與。、夕之間有何數量關系？請說明理由；

⑶在（2）的條件下，如果點尸在3、。兩點外側運動時（點尸與點0、B、。三點不重合），請寫

出/APC與a、夕之間的數量關系，并說明理由.

【答案］⑴110

（2）ZAPC=?+/?,見解析

（3）ZCPA=j3-a,見解析

【分析】（1）根據平行線的性質，同旁內角互補，進行計算即可；

（2）過點尸作小〃AB,利用平行線的判定和性質即可得解；

（3）根據P分別在3。的延長線上和在DB的延長線上分類討論，利用平行線的判定和性質進行求

解即可.

【詳解】（1）解:過點P作

^\AB//CD,

團PE〃CD,

0ZA+ZAPB=180°,ZC+ZCPE=180°,

0ZPAB=130°,/尸CD=120。，

0ZAPE=5O°,ZCPE=60°,

0ZAPC=ZAPE+ZCPE=110°.

⑵解：ZAPC=a+/3,

理由：如圖2,過P作PE〃AB交AC于E,

圖2

SAB//CD,

^\PE//CD,

回a=/APE,B=々CPE,

團ZAPC=ZAPE+NCPE=e+6；

(3)解：如圖所示，當P在延長線上時,

過點P作尸E〃CD交。N于E,則PE〃鉆，

0ZAPE=?,ACPE=p,

SZCPA=ZAPE-ZCPE=a-j3■,

如圖所示，當尸在D3延長線上時，

過點、P作PE〃CD交ON于E,則PE〃AB,

?4CPE=/3,ZAPE=a,

aZCPA=ZCPE-NAPE=/3-a.

【點睛】本題考查利用平行線的判定和性質證明角之間的關系.熟練掌握平行線的判定和性質是解

題的關鍵.平行線中遇到拐點問題，通常過拐點作平行線進行解題.

13.如圖1,AB//CD,G為AB、C￡>之間一點.

圖2圖3

⑴若GE平分G/平分/EFC.求證：EG工FG；

44

⑵如圖2,若NAEP=g/AEF,=，且所的延長線交/3的角平分線于點出,

叱的延長線交/CEP的角平分線于點N,猜想/M+/N的結果并且證明你的結論；

(3)如圖3,若點H是射線EB之間一動點，FG平分/EFH,MF平分/EFC,過點G作

于點Q,請猜想㈤F與/尸GQ的關系；并證明你的結論.

【答案】⑴見解析

(2)NM+/N=120。，見解析

⑶NEHF=2/FGQ,見解析

【分析】⑴由平行線的性質可得/但+/EFC=180。，再由角平分線的定義得/G跖=所,

NEFG=g/EFC,從而利用三角形的內角和可求解；

⑵過點加作MH//AB,過點、N作NK//CD,從而可得到AB〃MH//NK〃CD,結合平行線的性

質及角平分線的定義可求得一￡MF+/硒F的度數；

(3)由垂直可得NG42=90。-NFGQ,再由角平分線的定義可求得//"C=2/GF0,再由平行線

的性質得一團F+/RFC=180。，從而可求解.

【詳解】(1)證明：?.■A3〃C。，

NAEF+ZEFC=180°,

?.?GE平分ZA￡F,GF平分NEFC,

NGEF=-NAEF,NEFG=-NEFC,

22

NGEF+NGFE=1{ZAEF+NEFC)=90°,

ZG=180。-(/GET+NGF玲=90°,

:.EGLFG-,

(2)解：NM+/N=120。，

證明：過點/作MH〃/IB,過點、N作NK//CD,如圖2所示:

圖2

■：ABIICD,

:.AB//MH//NK//CD,ZAEF+/即C=180。，

:.NAEM=/EMH,NHMF=NMFC,NAEN=NENK,NKNF=NNFC,

NEMF=NEMH+ZHMF=ZAEM+/MFC,NENF=NENK+NKNF=NAEN+NNFC,

44

?/ZAEP=-ZAEF,ZCFP=-ZEFC,EM平分NAEP,FN平分/MFC,

22

NAEM=-ZAEF,NNFC=-ZEFC,

99

2442

NEMF=-NAEF+-NEFC,NENF=-/AEF+-NEFC,

9999

:.NEMF+NENF

2442

=—NAEF+—NEFC+—NAEF+—NEFC

9999

22

=—NAEF+—NEFC

33

=[(NAEF+NEFC)

=120°；

(3)解：ZEHF=2ZFGQ,

證明：???GQLFM,

NGFQ=900-NFGQ,

；FG平分NEFH,MF平分/EFC,

NGFQ=NGFE+NQFE=；(/HFE+NEFC)=|NHFC,

NHFC=2NGFQ,

:ABIICD,

/EHF+NHFC=180°,

ZEHF=180°—NHFC=180°—2/GFQ=2NFGQ.

【點睛】本題主要考查平行線的性質，垂線，解答的關鍵是結合圖形分析清楚各角之間的關系.

14.已知：直線E尸分別與直線48,CD相交于點G,H,并且S4GE+0Z汨￡=180。.

(1)如圖1,求證：AB^CD-

(2)如圖2,點陰■在直線。之間，連接GM,HM,求證：0M=a4GAf+0CW；

(3)如圖3,在(2)的條件下，射線G"是aBGM的平分線，在〃”的延長線上取點N,連接GN,

若皿V=EL4GM,回尸GN,求EIA田G的度數.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）60。

【分析】（1）根據已知條件和對頂角相等即可證明；

（2）如圖2,過點“作MREUB,可得/BElCDiaM?.進而可以證明；

（3）如圖3,令姐GM=2a,0Cffl/=p,則E7V=2a,0M=2a+p,過點〃作SIGN,可得

=EW=2a,回G/f7=MGN=2B，進而可得結論.

【詳解】（1）證明：如圖1,EB4GE+E1Z汨E=180°,^AGE=BBGF.

EHSG尸+0Z汨E=180",

EL45ECD；

（2）證明：如圖2,過點“作必?&48,

又EIABEICD,

^ABSCDSMR.

^GMR=^AGM,^HMR=^CHM.

EBGMf=^\GMR+SRMH=EL4GM+^CHM.

(3)解：如圖3,令的GM=2a,^CHM=^>,則瞅=2a,W=2a+P，

圖3

回射線GX是姐GM的平分線，

團ZFGM=|ZBGM=1(180°-ZAGM)=90°-a,

^\AGH=^AGM+^FGM=2a+9Q°-a=90°+a,

⑦NM=NN+=NFGN,

2

回2a+￡=2a+《N尸GN,

aa尸GN=2。，

過點"作HT^GN,

則EA田T=E2V=2a,SGHT=SFGN=2^,

^\GHM=^MHT+^\GHT=2a+20,

SCHG^CHM+^\MHT+SGHT=0+2a+20=2a+30,

^ABSCD,

0EL4G//+0C/7G=18O",

E90°+a+2a+3|3=180°,

Ea+P=30°,

^S\GHM=2（a+P）=60°.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，對頂角的性質，角平分線的性質，解決本題的關鍵是掌

握平行線的判定與性質.

15.如圖1,已知兩條直線A8,8被直線所所截，分別交于點E,點/，EM平分/AEF交CD

于點以，且NFEM=NFME.

（1）猜想直線A8與直線CD有怎樣的位置關系？說明你的理由；

（2）若點G為直線CO上一動點（不與點”，廠重合），EH平分NFEG交CD于點、H,過點H作

HNLEM于息N,設NEHN=（z,ZEGF=/3.

①如圖2,當點G在射線ED上運動時，若尸=56。,求。的度數；

②當點G在直線8上運動時，請直接寫出a和尸的數量關系.

【答案】（1）AB^CD,理由見解析過程；（2）28。；（3）a=|■夕或。=90。-3夕

【分析】（1）結論：AB//CD.只要證明Z4EM=ZEWD即可.

（2）①依據平行線的性質可得WG=124。，再根據即平分/FEG,EM平分NAEF,即可得到

ZHEN=|ZAEG=62°,再根據MV_LME,即可得到RtAEHN中，ZEHN=90°-62°=28°；②分兩種情

況進行討論：當點G在點P的右側時，af,當點G在點尸的左側時，。=90。-：夕.

【詳解】解：（1）結論：AB//CD.

?/EM平分NAEF交于點以，

:.ZAEM=ZMEF,

?：ZFEM=ZFME.

..ZAEM=ZFME,

：.AB//CD.

ZBEG=ZEGF=￡=56。，

ZAEG=124°f

-：ZAEM=ZEMF,ZHEF=ZHEG,

ZHEN=ZMEF+ZHEF=-ZAEG=62°,

2

\HN±EM,

.\ZHNE=90°,

.\a=ZEHN=900-ZHEN=28°.

②結論：&=：￡或a=90。一

理由：①當點G在尸的右側時，可得￡=

-.-AB//CD,

/.NBEG=/EGF=0,

:.ZAEG=lSO°-fi,

?：ZAEM=ZEMF,ZHEF=AHEG,

:.NHEN=NMEF+NHEF=gzAEG=90。一；0,

\HN±EM,

.\ZHNE=90°,

:.a=ZEHN=900-ZHEN=^fi.

②當點G在尸的左側時，可得&=9()o-g/.

理由：-.-AB//CD,

:.ZAEG=ZEGF=/3,

又???咫平分NFEG,EM平分NAEF,

...ZHEF=-ZFEG,ZMEF=-ZAEF,

22

z.ZMEH=ZMEF-ZHEF

=^(ZAEF-ZFEG)

=-ZAEG

2

=>

又,；HNLME,

RtAEfflV中,ZEHN=900-ZMEH,

即a=90。-%

【點睛】本題考查三角形的內角和定理，熟練掌握三角形內角和，平行線的性質，角平分線的定義

等知識是解題的關鍵.

16.如圖，AB〃CD,點、P,。為直線。，A3上兩定點，0°<NPAQ<180°.

(2)若PM平分/CPN,QW平分ZAQN,ZPNQ=1W-

①如圖2,點N在PQ左側時，求的角度；

②如圖3,點N在尸。右側，求NPMQ的角度；

(3)如圖4,PM平分■NCPN,平分NAQN,N/WQ=120。，點N在PQ右側，若NCPM與NAQM

的角平分線交于點“一與ZAWi的角平分線交于點M?；此次類推，則2期。

=.(直接寫出結果)

【答案】⑴N2=Z1+N3

⑵①55。；②125。

【分析】(1)根據平行線的性質與判定即可求解；

(2)①根據(1)的結論,結合角平分線的定義NPMQ=NCPM+ZAQM=g(NCPN+NAQN)=55°；

②點N在PQ右側時，過點N作NG〃AB,則GN〃CD,可得ZPMQ=NCPM+NAQW

=g(/CPN+ZAQN)=125。；

(3)根據(2)的結論，分別寫出前幾個角的度數，找到規律即可求解.

【詳解】(1)解:如圖，過點N/〃AB,