i重難題型?解題技巧攻略

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專題16排列組合中的常見題型與技巧應用

檢-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01特殊元素、特殊元素位置法..............................................................1

題型02捆綁法.................................................................................2

題型03插空法.................................................................................3

題型04間接法.................................................................................4

題型05倍縮法.................................................................................5

題型06排數問題...............................................................................6

題型07分組、分配問題.........................................................................7

題型08染色問題...............................................................................8

O----------------題型探析,明規律----------?>

題型01特殊元素、特殊元素位置法

【解題規律?提分快招】

對有限制條件的元素（或位置）要優先考慮，位置優先法和元素優先法是解決排列組合問題最常用的方法。

若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其他元素；若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求,

再處理其他位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件。

【典例訓練】

一、單選題

1.（2024高三?全國?專題練習）將字母a,b,c,d,e,7排成一排，其中a必須在6的左邊，則不同的安排

方法種數為（）

A.260B.300C.360D.380

2.（24-25高三上?江蘇常州?期末）某班一天上午有4節課，下午有2節課，現要安排該班一天中語文、數

學、英語、體育、藝術、通技各一節課的課表，要求數學課排在上午，體育課排在下午，不同的排法種數

是（）

A.96B.192C.384D.768

3.（23-24高三下.山西太原.期末）北京時間2024年4月26日，神舟十七號航天員乘組和神舟十八號航天

員乘組勝利會師“天宮”.隨后，兩個乘組要拍張“全家福”照片，向全國人民報平安.已知兩個乘組各3人，每

個乘組有一名指令長.拍照時，要求站兩排，前排2人，后排4人.若兩個指令長在前排，則不同的排法種數

為（）

A.24B.48C.360D.720

4.（23-24高三下?江蘇連云港?期中）現有5名男生（含1名班長）、2名女生站成一排合影留念，要求班長

必須站中間，他的兩側均為兩男1女，則總的站排方法共有（）

A.216B.432C.864D.1728

5.（24-25高三上?湖北隨州?期末）在某次太空游行中，宇航員們負責的科學實驗要經過5道程序，其中A,

8兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實驗不同程序的順序安排共有（）

A.18種B.36種C.72種D.108種

6.（2025高三?全國?專題練習）中國體育代表團在2024年巴黎奧運會上取得了40枚金牌的輝煌成績.某視

頻自媒體平臺選出關注度比較高的A6C，O，E等10名金牌獲得者，再從中選出6名，準備連續6天分別向

觀眾介紹，且每天只介紹1名，則A,8必須介紹且在前3天介紹，C2E至少選2名進行介紹的所有方法

種數為（）

A.720B.1680C.4320D.5040

題型02捆綁法

【解題規律?提分快招】

捆綁法指將聯系密切或必須排在一起的元素“捆綁”成一個整體，再與其他元素進行排列，同時要注意合并后

內部元素也必須排列.（注意捆綁元素是同元還是不同元），“捆綁”將特殊元素特殊對待，能大大降低分析問

題的難度.采用捆綁法分析排列組合問題，剩余元素的處理應考慮其是排列問題還是組合問題,對于組合問題

需將“順序’帶來的影響消除掉.

【典例訓練】

一、單選題

1.（24-25高三上?江西南昌?期末）現有6位同學站成一排照相，其中甲、乙兩位同學相鄰的排法種數為（）

A.A；B.2A；C.葭D.2A：

2.（24-25高三上?廣西梧州?期末）北京時間2024年6月2日，嫦娥六號成功著陸月球背面，開啟人類探測

器首次在月球背面實施的樣品采集任務.某天文興趣小組在此基礎上開展了月球知識宣傳活動，活動結束后

該天文興趣小組的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數為（）

A.2880B.1440C.720D.576

3.（24-25高三下?全國?課后作業）一位語文老師在網上購買了四書五經各一套，四書指《大學》《中庸》《論

語》《孟子》，五經指《詩經》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書整齊地放在同一層書架上，若四

書，五經必須分別排在一起，且《大學》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數為（）

A.5760B.5660C.5642D.5472

4.（24-25高三下?全國?課后作業）春節是團圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”.通

過海選，現有6個自編節目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節目的演出順序有如下要

求：“雜技節目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（）

A.240種B.188種C.144種D.120種

5.（2024高三.全國?專題練習）2024年春節放假安排：農歷除夕至正月初六放假，共7天.某單位安排7

位員工值班，每人值班1天，每天安排1人.若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相

鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（）

A.1440種B.1360種

C.1282種D.1128種

題型03插空法

【解題規律?提分快招】

插空法在分析元素不相鄰問題時較為常用，即先將無特殊要求的元素排列好，而后看其產生多個滿足題意

的空，再將不能相鄰的元素插入，使其滿足題目的相關要求.

【典例訓練】

一、單選題

1.（24-25高三上?遼寧?期末）國慶期間，中華世紀壇舉辦“傳奇之旅：馬可?波羅與絲綢之路上的世界”展覽，

現有8個同學站成一排進行游覽參觀，若將甲、乙、丙3個同學新加入排列，且甲、乙、丙互不相鄰，保

持原來8個同學順序不變，則不同的方法種數為（）

A.84B.120C.504D.720

2.（2025高三?全國?專題練習）現需將編號分別為1,2,3,4,5的五人每人安排一天值班，則編號恰好奇

偶相間的排班方法數共有（）

A.8B.12C.24D.36

3.（23-24高三下.廣東?期中）某種產品的加上需要經過A,B,C,D,E,F,G七道工序，要求A,8兩道

工序必須相鄰，C,。兩道工序不能相鄰，則不同的加工順序有（）

A.960種B.836種

C.816種D.720種

4.（福建省漳州市2024-2025學年高三上學期期末考試數學試題）據典籍《周禮?春官》記載，“宮、商、角、

徵、羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此五音.若把這五個音階全用上，排成一個五

音階音序，貝U“宮”和“角”之間恰好有一個音階的排法種數為（）

A.12B.18C.24D.36

5.（24-25高三上?江蘇常州?期末）有四名男生，三名女生排隊照相，七個人排成一排，則下列說法正確的

是（）

A.如果四名男生必須連排在一起，那么有576種不同排法

B.如果三名女生必須連排在一起，那么有576種不同排法

C.如果三個女生中任何兩個均不能排在一起，那么有720種不同排法

D.如果女生不能站在兩端，那么有720種不同排法

6.（24-25高三上?浙江?開學考試）將若干個除顏色外完全相同的紅色小球和黑色小球排成一列，要求所有

的紅球互不相鄰，當小球的總數為8時，滿足條件的不同排列方法的總數之和為（）

A.20B.36C.54D.108

題型04間接法

【典例訓練】

一、單選題

1.（24-25高三上?廣東深圳?期末）某學校高三年級開設了乒乓球、羽毛球和籃球三門課，甲、乙兩位同學

每人從中選擇一門，且允許多位同學選擇同一門課.若至少有一位同學選擇了乒乓球，則這兩位同學不同

的選課方法共有（）種.

A.2B.4C.5D.9

2.（24-25高三上?江蘇常州?期中）有甲、乙等5名同學咨詢數學史知識競賽分數.教師說：甲不是5人中分

數最高的，乙不是5人中分數最低的，而且5人的分數互不相同.則這5名同學的可能排名有（）

A.42種B.72種C.78種D.120種

3.（24-25高三上?山東日照?期末）從包含甲、乙兩人的7人中選出3人分別擔任班長、團支書、學習委員，

則甲、乙至多有1人被選中的不同選法有（）

A.60種B.120種C.180種D.210種

4.（24-25高三上?貴州遵義期末）設集合4={-1,0/},集合8={（菁,9,刈=那么集合3中

滿足打村+上上1的元素的個數為（）

A.12B.18C.22D.24

5.（24-25高三上?河南駐馬店?階段練習）某中學高三年級入學進行了一場為期一周的軍訓，在軍訓過程中，

教官根據班級表現從各個維度進行評分，最終評出“先進集體”“作風優良班級”“紀律優良班級”“素質優良班

級”四個獎項.已知總共有三個班級獲獎，其中有兩個班級均獲得了“先進集體”，剩余三個獎項每個獎項均

只有一個班級獲得，則所有的頒獎方式有（）

A.57種B.60種C.114種D.120種

題型05倍縮法

【解題規律?提分快招】

部分不同元素在排列前后的順序固定不變（不一定相鄰）的排列問題，稱之為定序（排列）問題.定序問

題可以用倍縮法.

【典例訓練】

—＞單選題

1.（24-25高三上?廣東?開學考試）從2024年伊始，各地旅游業爆火，少林寺是河南省旅游勝地.某大學一

個寢室6位同學A,民CAE,尸慕名而來，游覽結束后，在門前站一排合影留念，要求A8相鄰，C在。的

左邊，則不同的站法共有（）

A.480種B.240種C.120種D.60種

2.（24-25高三下?全國?課后作業）春節是團圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”.通

過海選，現有6個自編節目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節目的演出順序有如下要

求：“雜技節目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（）

A.240種B.188種C.144種D.120種

3.（23-24高三下?湖北武漢?期中）三根繩子上共掛有8只氣球，繩子上的球數依次為2,3,3,每槍只能打

破一只球，而且規定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數是（）

4.（23-24高三下?安徽合肥?階段練習）一班有5名棋手，出場次序已經排定，二班有2名棋手，現要排出

這7人的出場順序，如果不改變一班棋手出場次序，那么不同排法有（）種

A.12B.20C.30D.42

5.（23-24高三下?江蘇鎮江?期中）某單位開展聯歡活動，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等

獎、鼓勵獎共五種獎項.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發現這5人的獎項都不相同.甲說:

“我不是鼓勵獎”；乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎項介于丁和戊之間”.根據以上信息，這5人的獎

項的所有可能的種數是（）

A.15B.18C.22D.26

題型06排數問題

【解題規律?提分快招】

對于有限制條件的數字排列問題，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置，同時注意

隱含條件：o不能在首位.

【典例訓練】

一、單選題____

1.（2024?全國?模擬預測）對于各數位均不為。的三位數詼，若兩位數元和瓦均為完全平方數，則稱正

具有“T性質”，則具有“T性質”的三位數的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（23-24高三下?江蘇無錫?階段練習）用0.1,2,3,4這5個數字組成沒有重復數字的三位數，其中偶

數共有（）

A.24個B.26個C.30個D.42個

3.（2024?山東淄博?一模）小明設置六位數字的手機密碼時，計劃將自然常數e。2.71828…的前6位數字2,

7,1,8,2,8進行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數字不相鄰，且相同數字之間有一個數字，則小

明可以設置的不同密碼種數為（）

A.24B.16C.12D.10

4.（2024高三.全國?專題練習）從1,3,5,7中任取2個數字，從0,2,4,6,8中任取2個數字，組成

沒有重復數字的四位數，其中能被5整除的四位數共有（）

A.252個B.300個

C.324個D.228個

5.（2024?浙江?模擬預測）用數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，則數字3在五位數中位于1

和5之間（可以不相鄰）的概率為（）

A.—B.-C.-D.-

10553

6.（24-25高三上?河北邯單B?階段練習）中國古建筑聞名于世，源遠流長.如圖1,某公園的六角亭是中國常

見的一種供休閑的古建筑，六角亭屋頂的結構示意圖可近似地看作如圖2所示的六棱錐P-ASCD所.該公

園管理處準備用風鈴裝飾六角亭屋頂P-ABCDE尸的六個頂點A,B,C,D,E,F,現有四種不同形狀的

風鈴可供選用，則在相鄰的兩個頂點掛不同形狀的風鈴的條件下，頂點A與C處掛同一種形狀的風鈴的概

圖1圖2

9127

A.B.D.

616112

題型07分組、分配問題

【解題規律?提分快招】

①整體均分問題，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以

為均分的組數），避免重復計數.

②局部均分問題，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有機組元素個數相等，則分組時應除

以根!，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數.

③不等分問題，只需先分組，后排列，分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數.

【典例訓練】

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）某學校寒假期間安排3名教師與4名學生去北京、上海參加研學活動，每地要求

至少1名教師與2名學生，且教師甲不去上海，則分配方案有（）

A.36種B.24種C.18種D.12種

2.（24-25高三上?江西贛州?期末）2024年是紅軍長征出發九十周年，習近平總書記考察江西于都五周年，

為弘揚紅色文化、促進健康生活方式，江西省體育局、贛州市人民政府共同舉辦了一場2024于都紅色半程

馬拉松比賽.某單位6名志愿者準備分成三組前往比賽途徑的中央紅軍長征出發地紀念碑、金山大道、于

都體育中心這三個站點進行志愿者活動，要求每組至少有1名且最多有3名志愿者，則不同安排的方法數

為（）

A.540B.450C.360D.180

3.（24-25高三上?遼寧遼陽?期末）元旦假期，某旅游公司安排6名導游分別前往沈陽故宮、本溪水洞、鞍

山千山、盤錦紅海灘四個景區承擔義務講解任務，要求每個景區都要有導游前往，且每名導游都只安排去

一個景區，則不同的安排方法種數為（）

A.1280B.300C.1880D.1560

4.（2024高三.全國.專題練習）近年來，國內中、短途旅游人數增長顯著，2024年上半年旅游人數更創新

高，充分展示了國內文旅消費潛力.甲、乙、丙、丁四位同學打算去北京、成都、貴陽三個地方旅游，每

位同學只去一個地方，每個地方至少去1人，則甲、乙都去北京的概率為（）

A.-B.—C.—D.—

3183672

5.（24-25高三上?湖北武漢?期末）某校舉辦中學生運動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊5名同學分別報名參

加跳遠，跳高，鉛球，跑步4個項目，每名同學只能報1個項目，每個項目至少有1名同學報名，且甲不能

參加跳遠，則不同的報名方法共有（）

A.60種B.120種C.180種D.240種

6.（23-24高三下?福建福州?階段練習）正值元宵佳節，赤峰市“盛世中華?龍舞紅山”紀念紅山文化命名七十

周年大型新春祈福活動中，有5名大學生將前往3處場地A,8,C開展志愿服務工作.若要求每處場地都要有

志愿者，每名志愿者都必須參加且只能去一處場地，則當甲去場地A時，場地8有且只有1名志愿者的概

率為（）

題型08染色問題

【解題規律?提分快招】

解決涂色問題的一般思路

①按區域的不同，以區域為主分步計數，用分步乘法計數原理分析.

②以顏色為主分類討論，適用于“區域、點、線段''等問題，用分類加法計數原理分析.

③將空間問題平面化，轉化為平面區域的涂色問題

【典例訓練】

一、單選題

1.（24-25高三上?全國?單元測試）用紅、黃、藍、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區域A,8c涂

色，要求同一區域用同一種顏色，相鄰區域使用不同顏色，則共有涂色方法（）

C.840種D.960種

2.（23-24高三下.廣東肇慶?階段練習）如圖，現有4種不同顏色給圖中5個區域涂色，要求任意兩個相鄰

區域不同色，有多少種不同涂色方法（）

B.72C.288D.144

3.（23-24高三下?福建莆田?階段練習）如圖所示，在圖形內指定A,B,C,￡）四個區域，現有4種不同的顏色

供選擇，要求在每個區域里涂1種顏色，且相鄰的兩個區域涂不同的顏色，則不同涂法的種數為（）

AB

\CD/

A.48B.72C.84D.108

4.（24-25高三上?遼寧?期末）《九章算術》第一章“方田”問題二十五、二十六指出了三角形田面積算法：“半

廣以乘正從”.數學社團制作板報向全校師生介紹這一結論，給證明圖形的六個區域涂色，有三種顏色可用，

要求有相鄰邊的區域顏色不同，則不同的涂色方法有（）

好半;

廣

A.48種B.96種C.102種D.120種

5.（23-24高三下.黑龍江哈爾濱?期中）如圖，給ABCDEF六個點涂色，現有五種不同的顏色可供選用，要

求每個點涂一種顏色，且每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）種.

A.1440B.1920C.2160D.3360

6.（2024.浙江?模擬預測）五行是華夏民族創造的哲學思想，多用于哲學、中醫學和占卜方面，五行學說是

華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存

在相生相克的關系.下圖是五行圖，現有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色

（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏

色），則不同的涂色方法種數有（）

水金

市

A.3125B.1000C.1040D.1020

*>----------題型通關?沖高考-----------*>

一、單選題

1.（23-24高三下?天津?期中）為迎接勞動節社區編排了一場演出，其中一個節目共有7人參加，其中4名

男生3名女生，要求男女相間站成一排，并且女生甲必須站在正中間，則共有（）種站隊方法.

A.144B.64C.48D.56

2.（23-24高三下?江蘇南通?期中）某校表彰大會，共表彰6人,每個年級兩人，6人排成一排拍照留念,

則高三兩名學生相鄰，高三兩名學生不相鄰的排法有（）種.

A.72B.144C.240D.288

3.（23-24高三下?江蘇南通?階段練習）江蘇海安是江海文明的發源地，物華天寶，人杰地靈.海安曾有名勝“三

塘十景”，可惜時光變遷，戰火摧殘，多數已面目全非.隨著海安城市人文建設的深化，“三塘十景”逐一復原

重建.海中高三年級幾名同學打算利用周末時間尋訪“十景”：東郊文社、南城桃塢、西寺晚鐘、北園菊圃、

鳳山早霞、三里風帆、鏡虹水閣、韓阡翠柏、雙橋曲徑、桂嶺秋香.因時間有限，計劃從中隨機選取4個依

次游覽，若選中東郊文社，則東郊文社不是第一個游覽的情況有（）

A.2016種B.1512種C.1426種D.1362種

4.（2024高三.全國?專題練習）高中學生小李計劃在高考結束后，和其他小伙伴一塊去旅游，有三個自然風

光景點A,B,C和三個人文歷史景點a,b,c可供選擇.由于時間和距離原因，只能從中任取四個景點進

行參觀，其中第一個參觀的景點一定不是4最后參觀的一定是人文歷史景點，則不同的旅游順序有（）

A.54種B.72種C.120種D.144種

5.（24-25高三上?上海?假期作業）某班5位同學參加周一到周五的值日，每天安排一名學生，其中學生甲

只能安排到周一或周二，學生乙不能安排在周五，則他們不同的值日安排有（）

A.288種B.72種C.42種D.36種

6.（23-24高三下?吉林遼源?階段練習）用5種不同顏色的粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區

域不能用同一種顏色的粉筆，則該板報共有多少種不同的書寫方案？（）

英吧v

理綜

產界數學

語文學苑\天地

A.240B.480C.120D.200

7.（23-24高三下.陜西寶雞.階段練習）張老師與甲、乙等5名學生畢業合照，要求照相時師生站成一排，則

張老師必須站排頭或排尾，且甲與乙站在一起的概率為（）

8.（23-24高三下.北京通州?期末）某工廠生產一種產品需經過一，二，三，四共4道工序，現要從A,B,

C,D,E,尸這6名員工中選出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果員工A不能安

排在第四道工序，則不同的安排方法共有（）

A.360種B.300種C.180種D.120種

9.（23-24高三下?浙江寧波.階段練習）某電視臺計劃在春節期間某段時間連續播放6個廣告，其中3個不

同的商業廣告和3個不同的公益廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是公益廣告，且商業廣告不能3

個連續播放，則不同的播放方式有（）

A.144種B.72種C.36種D.24種

10.（2024?遼寧?模擬預測）某同學筆袋里有10支筆，其中8支黑色，2支紅色.被甲同學借走2支.已知甲借

走的有一支是紅色，則另一支也是紅色的概率為（）

A.1B.之C,1D」

94517

11.（23-24高三下?云南曲靖?期末）小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數字.如下圖所示，我們可

以用火柴棒拼出1至9這9個數字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以適

當的方式全部放入表格||||中（沒有放入火柴棒的空位表示數字“0”），那么最多可以表示無重復數字的

三位數的個數為（）

D.48

12.（23-24高三下?江蘇南京?階段練習）《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準備了一道名為“茄蜜”的佳

肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新

筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄餐”時不同的下鍋順序共有（）

A.6種B.12種C.18種D.36種

13.（2024.黑龍江哈爾濱.三模）3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女，則不同的排法種數為

（）

A.240B.720C.432D.216

14.（23-24高三下.河北石家莊?階段練習）某校在開展“深化五育并舉、強大核心素養”活動中，選派了5名

學生到A、8、C三個勞動實踐點去勞動，每個勞動實踐點至少1人，每名學生只能去一個勞動實踐點，不

同的選派方法種數有（）

A.60B.90C.150D.300

15.（24-25高三上?山西大同?開學考試）某商場舉辦購物抽獎活動，其中將抽到的各位數字之和為8的四位

數稱為“幸運數”（如2024是“幸運數”），并獲得一定的獎品，則首位數字為2的“幸運數”共有（）

A.32個B.28個C.27個D.24個

16.（23-24高三下.河南洛陽?期中）洛陽市牡丹文化節期間，5名志愿者準備到3個博物館參加志愿服務，

若每個博物館至少接受1名志愿者，則不同的分配方案有（）

A.90種B.150種C.240