專題20解三角形

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)一：基本定理公式

（1）正余弦定理：在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a1=b2+c2-2bccosA；

abc

公式.—2Rb2=(^+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c2=622+Z?2—2abeosC

.b2+c2-a2

cosA=---------------；

(l)a=2RsinA,Z?=2HsinB,c=2HsinC；2bc

常見c2+O2-b2

(2)sinA=，sinB=，sinC=；cosB=---------------；

變形2R2R2R2ac

a2+b2-c2

cosC=---------------.

lab

(2)面積公式：

S.ABC=—absinC=—bcsinA=—acsmB

A222

S,ABC=^=^a+b+c)-r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R,r.)

知識(shí)點(diǎn)二：相關(guān)應(yīng)用

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊oa::c=sinA:sin6:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊

a>boA>5osinA>sin5ocosA<cosB

③4分比a+b+c_a+b_b+c_a+c__b_c

sinA+sin3+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC內(nèi)角和定理：A+B+C=7i

①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=QCOSB+/?cosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，一tanC=tan(A+5)=tan"+tan'=tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC

1-tanA-tanB

小./A+B、CA+B.C

④sin(-------)=cos—；cosz(-------)=sin——

2222

⑤在AABC中，內(nèi)角AB,。成等差數(shù)列oB=二,A+C=二.

33

知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)際應(yīng)用

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.

視線西卡A北了1A-|UH標(biāo)上1］

絹、視線?南'良―東I

圖①圖②圖③圖④

（2）方位角

從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角.

（1）北偏東a,即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.

（3）南偏西等其他方向角類似.

（4）坡角與坡度

（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角6為坡角）.

（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（如圖④，，?為坡度）.坡度又稱為坡比.

【方法技巧與總結(jié)】

1.方法技巧：解三角形多解情況

在△ABC中，已知a,6和A時(shí)，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

C

AccX

圖形

AB\?…/BAJ........BA'B

AB

bsinA<a<ba>b

關(guān)系式a=bsinAa>ba<b

解的個(gè)

一解兩解一解一解無解

數(shù)

2.在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要

選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有”,4c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到4+3+。=萬.

【題型歸納目錄】

題型一：正弦定理的應(yīng)用

題型二：余弦定理的應(yīng)用

題型三：判斷三角形的形狀

題型四：正、余弦定理與的綜合

題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

題型六：倍角關(guān)系

題型七：三角形解的個(gè)數(shù)

題型八：三角形中的面積與周長(zhǎng)問題

【典例例題】

題型一：正弦定理的應(yīng)用

例1.(2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)高三開學(xué)考試)在AABC中，A=30。，BC=1,則AABC外接圓的半徑為()

A.1B.gC.2D.3

例2.(2022?青海玉樹?高三階段練習(xí)(文))在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,且AABC

的面積5=中(4+02—62).

(1)求角8的大小；

(2)若a+0Z?=2c，求sinC.

例3.(2022?全國(guó)?高考真題)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長(zhǎng)

的三個(gè)正三角形的面積依次為岳應(yīng)㈤，已知5-邑+$3=#，sinB=g.

(1)求AABC的面積；

(2)若sinAsinC=正，求b.

3

例4.(2022.安徽?合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c

3

若sinA=1,A=23,角。為鈍角，b=5.

⑴求sin（A-B）的值；

（2）求邊c的長(zhǎng).

例5.（2022?湖北?黃石市有色第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，內(nèi)角A民C的對(duì)邊分別為。，b,c,

已知2cosc（acosB+AosA）=c.

⑴若cosA=半，求sin（2A+C）的值；

（2）若,=夜，AABC的面積為轉(zhuǎn)，求邊。，6的值.

2

例6.（2022?青海西寧?二模（理））在①a=6；②a=8；③a=12這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下

面問題中，若問題中的三角形存在，求cosA的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在AABC，它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,面積為S,且6+62-02=4S,

c=50，?

【方法技巧與總結(jié)】

（1）己知兩角及一邊求解三角形；

（2）已知兩邊一對(duì)角；.

'大角求小角一解（銳）

［兩解一sinA<1（一銳角、一鈍角）

小角求大角一〈一解一sinA=l（直角）

無解一sinA>1

（3）兩邊一對(duì)角，求第三邊.

題型二：余弦定理的應(yīng)用

例7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,若AABC的面

積為S,且4AQS=（a+，y—c?,則sin］。—（）

A.1B.1C.—D.避

222

例8.（2022.青海玉樹.高三階段練習(xí)（理））在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且°=2而，

cosA=--,sin8=2sinC,貝!|6=（）

4

A.1B.2C.3D.4

例9.（2022?青海?大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模（理））在AABC中，a,b,c分別是角A,B,C

的對(duì)邊.若a,b,c成等比數(shù)列，且a?-c?=（a-＞為，則A的大小是（）

A.3B.七C.2D.名

6336

例10.（2022?河南安陽?模擬預(yù)測(cè)（理））在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足

2b2-3c2-ac=0,sin（A+B）=2sinA,則tanC=.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對(duì)角，求第三邊.

（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，

〉0,則AABC為銳角三角形

若余弦值＜=0,則AABC為直角三角形.

＜0,則AABC為鈍角三角形

題型三：判斷三角形的形狀

例11.（2022?吉林?三模（理））在AABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a?-及=d一立be且

bcosC=asinB,貝（IAABC是（）

A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形

例12.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是°、

b、c,^-+7--=—J—,則AABC的形狀是（）

abca+b-c

A.等邊三角形

B.C為直角的直角三角形

C.C為頂角的等腰三角形

D.A為頂角的等腰三角形或8為頂角的等腰三角形

例13.（2022.青海?海東市教育研究室一模（理））AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若

c2+b1cos2A-2ZJCCOSA,則AABC為（）

A.等腰非等邊三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

例14.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知“6（7中，三內(nèi)角4,民。滿足23=4+（7,三邊〃力,。滿足62=℃,

則△ABC是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.鈍角三角形

例15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)AABC的三個(gè)內(nèi)角A氏C滿足23=A+C,又sir?3=sinAsinC,

則這個(gè)三角形的形狀是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.鈍角三角形

A卜_i_z-?

例16.（2022.全國(guó)-局二專題練習(xí)）在AABC中，ZA）王汨，NC的對(duì)邊分別為。，b,c,cos--=——,

22c

則AABC的形狀一定是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【方法技巧與總結(jié)】

（1）求最大角的余弦，判斷AA3C是銳角、直角還是鈍角三角形.

（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形.

題型四：正、余弦定理與的綜合

例17.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））如圖，在AABC中，。是AC邊上一點(diǎn)，NA5C為鈍角，NDBC=90°.

（1）證明：cosZADB+sinC-0；

（2）若AB=2A/7,BC=2,再從下面①②中選取一個(gè)作為條件，求的面積.

①sin/ABC=電紅；?AC=3AD.

14

注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

例18.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在①AB=2AT>,②sinNACB=2sinNACD,③1.c=25.。這三

個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

已知在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=n,BC=CD=2,且______.

（1）證明：tanZABC=3tan/K4C；

（2）若AC=3,求四邊形ABC。的面積.

例19.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在①sin2c=8cosC,②c（2+cos5）=gbsinC,③

AsinA+gacos5=0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求該三角形

的面積；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,民。所對(duì)的邊分別為"c,且b=7,c=5,?

例20.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）TXABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,已知△ABC的面

積為卜nC.

⑴證明：sinA=2sinB；

3

(2)若〃cosC=]/?,求cosA.

例21.（2022.江蘇泰州.模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知邊

上的高等于

(1)求證：sinA=sinBsinC；

ch

⑵若NB4c=45。，求丁+—的值.

bc

例22.（2022?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè)）在AASC中，內(nèi)角4氏。的對(duì)邊分別為“也。，btanA+btanB=^^.

cosA

⑴求角8；

（2）。是AC邊上的點(diǎn)，若CD=1,AD=BD=3,求sinA的值.

【方法技巧與總結(jié)】

先利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化

求解.

題型五：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

例23.（2022?陜西?西安中學(xué)一模（理））為了測(cè)量隧道口A、B間的距離，開車從A點(diǎn)出發(fā)，沿正西方

向行駛4000米到達(dá)。點(diǎn)，然后從。點(diǎn)出發(fā)，沿正北方向行駛一段路程后到達(dá)C點(diǎn)，再從C點(diǎn)出發(fā)，沿東

南方向行駛400米到達(dá)隧道口8點(diǎn)處，測(cè)得80間的距離為1000米.

⑴若隧道口3在點(diǎn)。的北偏東6度的方向上，求cos。的值;

(2)求隧道口A3間的距離.

例24.(2022?上海市建平中學(xué)高三期中)如圖，某沿海地區(qū)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通A、2兩地，A處位

于東西方向的直線上的陸地處，8處位于海上一個(gè)燈塔處，在A處用測(cè)角器測(cè)得tanZBAN=±,在A

4

處正西方向1km的點(diǎn)C處，用測(cè)角器測(cè)得tanN3CN=l.現(xiàn)有兩種鋪設(shè)方案:①沿線段在水下鋪設(shè)；②在

岸上選一點(diǎn)P,設(shè)NBPN=9,先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿線段改在水下鋪設(shè)，預(yù)算

地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為2萬元/km、4萬元/km.

(1)求A、2兩點(diǎn)間的距離；

(2)請(qǐng)選擇一種鋪設(shè)費(fèi)用較低的方案，并說明理由.

例25.(2022?廣東湛江?二模)如圖，一架飛機(jī)從A地飛往8地，兩地相距200km.飛行員為了避開某一

區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場(chǎng)起飛以后，就沿與原來的飛行方向成6角的方向飛行，飛行到C地，再沿與原來的

飛行方向成45。角的方向繼續(xù)飛行60&km到達(dá)終點(diǎn).

C

,45°

A

(1)求A、C兩地之間的距離;

⑵求tan。.

例26.(2022?山東泰安?高三期末)在某海域A處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東60。方向，相距。海里的B處有一

可疑船只，此可疑船只正沿射線y=^x(xN0)(以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東，正北方向分別為x軸，)軸正

方向，1海里為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系)方向勻速航行.巡邏船立即開始沿直線勻速追擊攔截，巡

邏船出發(fā)，小時(shí)后，可疑船只所在位置的橫坐標(biāo)為從.若巡邏船以30海里/小時(shí)的速度向正東方向追擊，則恰

好1小時(shí)與可疑船只相遇.

(1)求“,b的值；

(2)若巡邏船以5&T海里/小時(shí)的速度進(jìn)行追擊攔截，能否據(jù)截成功？若能，求出據(jù)截時(shí)間，若不能，請(qǐng)

說明理由.

例27.(2022?遼寧?大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個(gè)小島，小島B

位于小島A北偏東75。距離60海里處，小島8北偏東15。距離306-30海里處有一個(gè)小島C.

⑴求小島A到小島C的距離；

(2)如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C,求游船航行的方向.

例28.(2022?黑龍江大慶?高三階段練習(xí)(理))如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底B在

同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D.現(xiàn)測(cè)得ZBCD=a=35°,NBDC=￡=100°,CD=400m.在點(diǎn)C測(cè)得

塔頂A的仰角為50.5。.

■7B

c

D

(1)求3與。兩點(diǎn)間的距離(結(jié)果精確到Im)；

(2)求塔高AB(結(jié)果精確至!Jim).

參考數(shù)據(jù)：取點(diǎn)sin35°=0.811，0sin80°=1.393，tan50.5°=1.2.

【方法技巧與總結(jié)】

根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識(shí)求解.

題型六：倍角關(guān)系

例29.(2022?北京豐臺(tái)?二模)在AABC中，a=2,b=?,A=2B,貝iJcosB=.

例30.(2022.全國(guó)?高考真題(文))記入4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

(1)若A=23,求C；

(2)證明：2/=62+02

例31.(2022?江蘇?華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí))在AASC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

且，=4.

(1)若sinC=2sin8,acosC=4,求AABC的面積；

(2)若4=23,且AABC的邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，求

例32.(2022?上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí))已知AABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.

⑴若A<3<C,B=j,AABC的外接圓半徑為R,ac=2R?(l-2cosAcosC),求A的大小；

(2)若a=3,b=2,A-2B,求。邊的長(zhǎng).

例33.(2022?山東?高三開學(xué)考試)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,邊長(zhǎng)均為正

整數(shù)，且》=4.

(1)若角B為鈍角，求△ABC的面積；

(2)若A=23,求a.

例34.（2022?天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知AABC的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為a,dc,且

匕=3,c=l,A=2B.

(1)求。的值；

(2)求cos(2A+的值.

題型七：三角形解的個(gè)數(shù)

例35.（2022?江西?二模（文））設(shè)在AABC中，角4、3、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若滿足a=6,b=m,B=j

的AABC不唯一，則機(jī)的取值范圍為（）

B.(0,A/3)

7T

例36.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（理））在△ABC中，ZA=-,b=6,下面使得三角形有兩組解的a的值

可以為（）

B.3下C.2A/7D.3#)

例37.（2022.河南.許昌高中高三開學(xué)考試（文））在三角形ABC中G4點(diǎn)在BC上方），若A=q,18c=2

邊上的高為〃，三角形ABC的解的個(gè)數(shù)為“，則以下錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)h>3時(shí)，71=0B.當(dāng)/?=3時(shí)，77=1

C.當(dāng)0<〃41時(shí)，n=0D.當(dāng)1</?<3時(shí)，n=2

例38.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））已知在AABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，則

根據(jù)條件解三角形時(shí)恰有一解的一組條件是（）

,1A、TC

A.a=3,Z?=4,A=一

一71

C.<7=1,b=2,A=一a=2,b=3,A=—

3

例39.（2022?河南?南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））△ABC中，已知下列條件：①人=3,c=4,5=30。；②

。=51=8,4=30。；③c=6/=3疝8=60。；④c=9/=12,C=60。，其中滿足上述條件的三角形有兩解的

是（）

A.①④B.①②C.①②③D.③④

題型八：三角形中的面積與周長(zhǎng)問題

例40.(2022?湖南.模擬預(yù)測(cè))在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,己知C=2A.

(1)求證：c=2acosA；

(2)若c=2acosA,A<B<C,b=10,且a+c=2Z?,求AABC的面積.

jr

例41.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))從①A=§,②a=30sin3這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中,

并完成解答.

已知銳角AABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，且sin?3=5狂A+sin?C-esinAsinC.

⑴求角B；

(2)已知8，且______,求sinC的值及AABC的面積.

例42.(2022?全國(guó)?高考真題(理))記"WC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

(1)證明：24=〃+/；

25

(2)若a=5,cosA=三，求△ABC的周長(zhǎng).

例43.(2022.四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))在△回(?中，角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,

c.Ae^0,,A/3sinA+cosA=y/3.

(1)求tan2A的值；

(2)若b=2百，a=2,b2>a2+c2,求c和面積S的值.

例44.(2022.四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))在△ABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,

c.J^sinA+cosA=抬\b=2^3.請(qǐng)?jiān)購臈l件①：a=2,sin2B>sin2A+sin2C;條件②：a<b,

?cosAcosC=csin2A+-a.這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

2

⑴tan2A的值；

(2)c和面積S的值.

例45.（2022.北京?高考真題）在AASC中，sin2C=A/3sinC.

⑴求“；

（2）若6=6,且AABC的面積為6石，求AABC的周長(zhǎng).

例46.（2022?青海?大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模（文））在AABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分

別為“、b、c,S.2bcosB=ccosA+acosC.

⑴求角8的大小；

（2）若。+2c=16,且AABC的面積為8g,求AABC的周長(zhǎng).

例47.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知AASC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,

b,c,且asin（A+B-C）=csin（B+C）.

（1）求角C的值；

⑵若2a+6=6,且AABC的面積為由，求AABC的周長(zhǎng).

例48.（2022?廣東深圳?高三階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為。也c,b=不，

c=4,2cos]B-^\+J7sinC=3.

⑴求B；

（2）若C為銳角，求AABC的面積.

例49.（2022?浙江?高考真題）在AABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a2,c.已知4a=&,cosC=1.

（1）求sinA的值；

（2）若匕=11,求△回（?的面積.

【過關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2022.江西師大附中三模（理））滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永

徽四年，因唐代詩人王勃詩句“落霞與孤鷲齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而流芳后世.如圖，小明同學(xué)為測(cè)量滕王

閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB,高為12m,在它們的地面上的點(diǎn)M（8,M,。三點(diǎn)共

線）測(cè)得樓頂4滕王閣頂部C的仰角分別為15°和60。，在樓頂A處測(cè)得閣頂部C的仰角為30。，則小明

估算滕王閣的高度為（）（精確到1m）

A.42mB.45mC.51mD.57m

2.（2022?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測(cè)（文））記44SC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,sinC=@,

7

c=2,b=3,則cosB的值為（）

A.一也B.五C.土五D.土也

1414147

4

3.（2022,江西?模擬預(yù)測(cè)（理））在448。中，內(nèi)角48,。所對(duì)的邊分別為〃也°,且風(fēng)口5+南11。=耳4114,

sinAtanA

則的值為（）

sinBsinC

A.4B.5C.6D.7

4.（2022?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,sinC=^

7

b=3,c=2.貝hosB的值為（

V7

A.也B.

1414

C.土五d

14-4

57r

5.（2022?江西宜春?模擬預(yù)測(cè)（文））△ABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為"c,若4=a=2A/7，

6

c=6b,則△ABC的面積為（）

A.276B.76C.73D.273

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在△ABC中，已知AB=5,BC=3,C4=4,則通?反（）

A.16B.9C.-9D.-16

7.（2022.北京昌平.二模）在△ABC中，NB=45°,c=4,只需添加一個(gè)條件，即可使△A3C存在且唯一.

條件：①。=3行；②b=2非;③cosC=-1中，所有可以選擇的條件的序號(hào)為（）

A.①B.①②C.②③D.①②③

Ar

8.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在AABC中，三邊長(zhǎng)”,b,c滿足a+c=3b,貝ijtan耳tan,的值為（）

11

A.-B.-

54

C.1D.-

23

二、多選題

9.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,。.已知時(shí)!14=（36-小苗8,

且cosA=g,則下列結(jié)論正確的是（

)

A.a-\-c=3bB.tanA=2^/2

D.△ABC的面積為述/

C.△ABC的周長(zhǎng)為4c

9

10.（2022.河北.石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中，AB=3,AC=5,3C=7,O為△回（7外接圓的圓心,

/為AABC內(nèi)切圓的圓心，則下列敘述正確的是（）

?C外接圓半徑為竽B.AABC內(nèi)切圓半徑為正

A.

2

C.AOBC=8D.A/BC=1

（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在△ABC中各角所對(duì)得邊分別為。，b,下列結(jié)論正確的有（）

ab

A.則△ABC為等邊三角形;

cosAcosBcosC

B.已知(a+Z?+c)(〃+Z?-c)=3aZ?,貝U/C=60。;

C.已知a=7,b=46,c=5,則最小內(nèi)角的度數(shù)為30°;

D.在a=5,A=60。，b=4,解三角形有兩解.

12.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,且滿足

sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,則下列結(jié)論可能成立的是（）

A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.C=90°

三、填空題

a+b+c

13.（2022?河北?高三期中）已知△ABC中角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,P=--,貝5c

的面積s=jMp-a）（0-6）S-c）,該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出.若AABC的

周長(zhǎng)為15,(sinA+sinB):(sinB+sinC):(sinC+si