江西省九江市2024-2025學年高一上學期期末考試數學試卷

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一、單選題

1.已知集合M=d+x<6},N={-2,-l,0,l,2},則（）

A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1}C.{-1,0}D.{-1,0,1,2）

2.已知某地最近10天每天的最高氣溫（單位：°C）分別為23,17,17,21,22,20,16,

14,21,19,則10天最高氣溫的第75百分位數是（）

A.15B.21C.21.5D.22

3.若%>1,則二的最小值是（)

x-1

A.72B.2C.3D.2V2

4.下列命題中正確的是（）

A.ac2>be2,則aNbB.若a>網，則

什11

C.若貝D.右一<不，則a

ab

函數〃尤）=工+零點所在區間為（

5.65-1)

A.(1,2)B.(0,1)c.(-1,0)D.(-2,-1)

6.若命題祗?1,3],渥+（4-2）x-2W0”是真命題,則。不能等于（）

A.0B.1C.2D.3

7.設函數〃x）=（在區間（0,1）上單調遞減，則。的取值范圍是（）

A.(—00,0]B.[—2,0]C.(0,2]D.[2,+00)

/、\21OS9X0<x<2

8.已知函數冗〉2(。>0且〃工1)的值域為R，則實數〃的取值范圍是()

A.(0,1)B.(V2,2]C.(1,2]D.(l,+oo)

二、多選題

9.有一組原樣本數據玉，尤2,…,X”,由這組數據得到新樣本數據如必，…,K，其中

%=2%+。(7=1,2「..,〃),°為非零常數，貝|()

A.新樣本數據的平均數是原樣本數據的平均數的2倍

B.新樣本數據的中位數是原樣本數據的中位數的2倍

C.新樣本數據的標準差是原樣本數據的標準差的2倍

D.新樣本數據的極差是原樣本數據的極差的2倍

10.拋擲一枚質地均勻的骰子一次，事件A="出現點數為奇數”，事件3="出現點數為3”,

事件C="出現點數為3的倍數”，事件。="出現點數為偶數”，則以下選項正確的是()

A.8與。互斥

B.A與?；閷α⑹录?/p>

C.尸(0=；

D.P(AC)=P(B)

11.已知連續函數滿足：①有/(x+y)=/(x)+/(y)T；②當x>0時,

/(x)<l；③/⑴=-2.則以下說法中正確的是()

A./(0)=1

B.f(3x)=3/(^)-2

C.在［-2,2］上的最大值是6

D.不等式仆)>/(5尤)+6的解集為

三、填空題

12.已知函數〃0=彳3+1,若〃a)+〃2a-3)40,則實數。的取值范圍是.

13.如圖，某電子元件由A,民C三種部件組成，現將該電子元件應用到某研發設備中，經

過反復測試，A,3,C三種部件不能正常工作的概率分別為J,g，!，各個部件是否正常工作

相互獨立，AB同時正常工作或C正常工作則該電子元件能正常工作，那么該電子元件能正

常工作的概率是.

試卷第2頁，共4頁

14.已知正實數a,/滿足。+lna=ln尸+ln(ln/?)=2,則耶=.

四、解答題

15.已知集合A=2y321,8=｛尤|x2-4x+4-m2<0,m>Q].

(1)若加=2,求人口(a8);

⑵若“xeA”是“xe3”成立的充分不必要條件，求機的取值范圍.

16.4月23日是世界讀書日，首屆全民閱讀大會在北京開幕.習近平總書記希望孩子們養成

閱讀習慣，快速閱讀，健康成長；希望全社會都參與到閱讀中來，形成愛讀書，讀好書，善

讀書的濃厚氛圍.某研究機構為了解當地中學生的閱讀情況，通過隨機抽樣調查了200位中

學生，對這些中學生每天的閱讀時間(單位：分鐘)進行統計，將這些學生每天閱讀的時間

分成五段：[。,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100](單位：分鐘)，得到如圖所示的頻率分

(1)求頻率分布直方圖中。的值，并估計這200位學生每天閱讀的平均時間(同組數據用區間

的中點值代替)；

⑵現在從[20,40)和[40,60)兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人

進行交流，求這2人每天閱讀的時間所在區間不同的概率.

17.已知函數〃司=2工+最一l(aeR).

⑴若〃尤)為偶函數，求。的值;

⑵討論“X）的零點個數.

18.已知函數〃尤）=ln（Jl+x2-x）-ox+6（a>0,6eR）.

⑴求〃x）的定義域；

⑵證明：曲線y=/（x）是中心對稱圖形；

（3）設玉Tog2。？/=2°，2,無3=0.2°3,試比較/（周）,/伍）,/優）的大小.

19.若函數“尤）的圖象恒過（0,0）和。,1）兩點,則稱函數〃力為“0-1函數

⑴試寫出一個“0-1函數”的二次函數；

（2）若函數g（x）=log“（x+〃z）-a￡+l（a>。，且awl）是“0-1函數”，求alna的值；

⑶設G（x）=〃-1（6>0,且五1）,定義在R上的函數"（%）滿足：①有

”（%々+1）=〃（演+1）〃（/+1）-（占+々），②G["（X）]是“0—1函數”.求證：G（x）,H（x）均

是“0-1函數”.

試卷第4頁，共4頁

《江西省九江市2024-2025學年高一上學期期末考試數學試卷》參考答案

題號12345678910

答案BBCBDDACCDABD

題號11

答案ABD

1.B

【分析】解不等式化簡集合4再利用交集的定義求得答案.

【詳解】解不等式尤2+%<6,即/+尤-6<0,解得—3<X<2,

則M={x「3<x<2},N={—2,—l,0,L2},所以”nN={-2,—1,0,1}.

故選：B

2.B

【分析】根據百分位數的定義，將數據重新排列計算即可求得結果.

【詳解】將10天的最高氣溫按照從小到大的順序重新排列如下：

14,16,17,17,19,20,21,21,22,23,

又10x75%=7.5,不是整數，因此取重新排列的第8個數即可，

即第75百分位數是21.

故選：B

3.C

【分析】利用基本基本不等式求出最小值.

【詳解】x+—!—=(x-l)+」一+122］。-1>」一+1=3，當且僅當x-l=」一，即x=2時,

x-1x-1Vx-1x-1

取等號，

所以x+工的最小值為3.

x-l

故選：C

4.B

【分析】根據不等式的性質即可結合選項逐一求解.

【詳解】解：對于A,若c=。，則。力無法比較大小，故A錯誤；

對于B,若。>同，則。為正數，兩邊平方得/>4,故B正確；

對于C,若?>況,貝故C錯誤;

答案第1頁，共9頁

對于D,若。=-2,6=1,滿足但是。<6,故D錯誤.

ab

故選：B.

5.D

【分析】利用指數函數的性質及零點存在性定理判斷零點所在區間.

【詳解】當龍>。時，〃尤)=卜-1)+。>0,此時無零點；

當尤<0時，/(X)在(一叫。)上單調遞增，>/(-1)=->0,/(-2)=--1<0,

ee4

所以(-2,-1)上存在一個零點；

綜上，零點所在區間為(-2,-1).

故選：D

6.D

【分析】根據命題為真分離參數求得:在［L3］上的最大值，可得結果.

【詳解】由依?+(a—2)x-240,可得。4^±^=工，

X+XX

故選：D.

7.A

【分析】由指數復合函數的區間單調性有羨40,即可求參數范圍.

【詳解】?.,函數y=在R上單調遞減，且/(W在區間(0,1)上單調遞減，

函數y=x(x-a)在區間(0,1)上單調遞增，

—W0,即a<0,

2

°的取值范圍是(-00,。］.

故選：A

8.C

【分析】設/(x)="-a(x>2)的值域為A,可知(2,+e)aA,分0<a<l和兩種情況,

結合指數函數性質運算求解.

【詳解】當0<xW2時，可知/(x)=21og2X的值域為(-8,2］,

答案第2頁，共9頁

設=優-a（x>2）的值域為A,依題意得（2,+8）uA.

當0<a<l時，/（X）在（2,+oo）上單調遞減，

即當x>2時，A=（^-a,a2-a）,不符合題意；

當a>l時，/在（2,m）上單調遞增，

即當x>2時，A=（a~—a,+e）,可得4―解得l<a<2；

綜上所述：實數。的取值范圍是。,2].

故選：C.

9.CD

【分析】根據數據平均數、中位數、標準差、極差的定義及性質分析判斷各項的正誤.

【詳解】對于A：設丁=、+%++/，則產3*）+（2/+。++（2%+°）=+c,且cH0,

nn

錯誤；

對于B：設原樣本數據的中位數為當，則新樣本數據的中位數為％=2%+c,且cwo,錯誤；

對于C：由O（y）=22D（x）+O（c）=4O（x）,知新樣本數據的標準差是原樣本數據的標準差

的2倍，正確；

對于D：設原樣本數據的極差為x1mx-x血則新樣本數據的極差為

2

Xnax-ymin=（^+°）-（2工1111n+。）=2（X1mx-%），正確.

故選：CD

10.ABD

【分析】寫出A民CD以及樣本空間所包含的基本事件，逐一判斷各個選項即可.

【詳解】由題意4={1,3,5},3={3},。={3,6},。={2,4,6},樣本空間為。={1,2,3,4,5,6},

對于A,BQ￡）=0,這意味著民。不可能同時發生，故A正確；

對于B,AcO=0,AuQ=U,這意味著4。中有且僅有一個事情發生，故B正確；

71

對于c,P（C）=-=-,故c錯誤；

63

對于D,因為AcC=8={3},所以P（AC）=P（B）=J,故D正確.

6

故選：ABD.

答案第3頁，共9頁

11.ABD

【分析】利用題設條件通過賦值法代入，即可判斷A,B；對于C,先由條件②，推出/(x)

在R上的單調性，再由③推出"-2)=7,排除C項；對于D,利用C的結論/(-2)=7,

將f(3f)>〃5司+6化成/(3/)>“5尤-2),再利用函數單調性即可解得.

【詳解】對于A：由①，尤=》=0時，有/(O)=〃O)+/(O)—1,即"0)=1,故A正確；

對于B：由①，取…,可得〃2力=/("+/(力-1=2/(耳_1,

再取y=2x,/(3x)=/(2x)+/(x)-l=2/(x)-l+/(x)-l=3/(x)-2,故B正確；

對于C：設\/尤［,%eR且再<%，則％-占>。，由②得

由①,取kr,可得/(O)=/(x)+/(f)—l,即Q(x)+/(—x)=2.

由①再取y=F，x=%，可得/(電—石)=/(%)+/(-％)-1=/優)+2-/(%)-1,

即/仁)—/(%)=/(4-%)—1<。即/(%)</&)，故"X)在R上單調遞減.

由③，得/⑵=2/⑴-1=—5.又因/⑵+/(—2)=2,則/(—2)=2—/⑵=7,

故/⑴在［-2,2］上的最大值為7,故C錯誤；

對于D：因/(3/)>〃5尤)+6,〃-2)=7,則/(3尤2)>/(5尤)+〃-2)-1,即

因/(X)在R上單調遞減，貝u3/<5X-2,解得§<X<1,故D正確.

故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查抽象函數的單調性、最值的應用，屬于難題.

對于C項的確定是關鍵，要考慮利用②證明函數單調性，由③通過求得/(-2)=7排除此項，

同時，又要運用該值等價轉化D項不等式.

12.(-oo,l］

【分析】由奇偶性定義判斷函數奇偶性，根據幕函數的單調性及解析式判斷函數單調性，再

應用奇偶性、單調性解不等式求參數范圍.

答案第4頁，共9頁

【詳解】由"X)定義域為R,且〃-尤)=(-刈3+(-爐=-13+彳1=一”封，則"X)為奇

函數.

又函數y=V,y=x(均為R上的增函數，則“X)為R上的增函數.

由題設〃a)4-42—3)=/(3—2a),即aV-2a+3,解得心1,

故實數。的取值范圍是(9』.

故答案為：(-8』

3

13.-/0.75

4

【分析】設上半部分正常工作為事件M,下半部分正常工作為事件N,該電子元件能正常

工作為事件E.則P(E)=1-尸(祈)P(M，分別計算出尸(/),尸(N),根據對立事件即可得

尸便)，尸(W)即可解出.

【詳解】解：設上半部分正常工作為事件下半部分正常工作為事件N,該電子元件能

正常工作為事件E.

???尸(河)=[1一;jx(l—?.尸(湎)=1-2(河)=1一；=；,

1_1__113

???P(N)=-,:.尸(N)=1-0(N)二萬,P(E)=1-尸(河)尸(N)=1—5x耳=[,即該電子元件能正

常工作的概率是彳3.

4

3

故答案為：—.

4

14.e2

【分析】根據題設a,In6均為方程x+lnx-2=0的根，由解析式判斷/(x)=x+lnx-2的單

調性，利用零點存在性定理確定零點唯一性，結合對數運算性質求參數值.

【詳解】?.,c+ln(z=2,ln/?+ln(ln/?)=2,

a,In6均為方程％+In尤一2=0的根，

,.?/(x)=x+Inx—2在(0,+ao)上單調遞增，M/(l)=-l<0,/(2)=ln2>0,

\有唯一零點，即a=ln￡=>2-lna=ln/?nlna+ln￡=2,

答案第5頁，共9頁

afi=e2.

故答案為：e2

15.(l)An(4B){x|-2<x<0^4<x<5}

⑵［4")

【分析】(1)化簡集合A8,由集合的運算即可得解；

(2)由題意得A是8的真子集，進一步列不等式即可求解.

【詳解】(1)A=^x^<2x<32^={x\-2<x<5},

B|x2-4x<0^={x10<x<4}.

:.dkB={x|x<0或x>4},

Ac5={x|-2VxvO或4<x?5}.

(2)是成立的充分不必要條件，A是4的真子集.

又3={x|x2—4x+4-m2<0,m>0^=1x|2—m<x<2+m,m>01.

m>0fm>0

.?「2-加W-2等號不同時成立，即加24,解得加24,經檢驗“=”滿足題意.

2+m>5m>3

***m的取值范圍是［4,+oo).

16.(l)a=0.01,54(分鐘)；

⑵%.

15

【分析】(1)根據頻率和為1求參數，再結合頻率直方圖求平均數即可；

(2)應用分層抽樣確定不同區間抽取的人數，再應用列舉法求古典概型的概率.

【詳解】⑴由頻率分布直方圖，得20(0.0025+a+0.02+a+0.0075)=1,即a=0.01,

.?.這200位學生每天閱讀的平均時間為

x=10x0.05+30x0.2+50x0.4+70x0.2+90x0.15=54(分鐘).

nO1

(2)每天閱讀的時間在［20,40)和［40,60)內的人數比為,則分層抽樣抽取的6人中,

在［20,40)內的有2人,記為48,在［40,60)內的有4人,記為c,d,e,f,

答案第6頁，共9頁

這6人中隨機抽取2人的試驗的樣本空間為

O={AB,Ac,Ad,Ae,Af,Be,Bd,Be,Bf,cd,ce,cf,de,df,ef),共15個樣本點，

閱讀的時間所在區間不同的事件M={Ac,Ad,Ae,省,a,&/,慶，跋},共8個樣本點.

Q

，這2人每天閱讀的時間所在區間不同的概率為P(M)=].

17.(l)a=l；

(2)答案見解析.

【分析】(1)應用偶函數的性質有-2T)=0恒成立，即可求參數值；

(2)設/=23問題化為分析a=+；?>0)解的個數，分類討論判斷原函數零點

的個數.

【詳解】(1)依題意，得了(f)=/(x),即2工+(_1=2一工+?]

即(”1)(2"-27)=0恒成立，得。=1.

(2)令〃x)=0,得〃=一(2')2+2工

設f=2",貝|4=-『+1=一[-3)+；”0)

由函數在(o,g)上單調遞增，在g,+s)上單調遞減，且最大值為:，

當時，/(元)無零點；

當。=；或。<0時，/(X)有一個零點；

當0<a<；時,“X)有兩個零點.

18.(1)R.

(2)證明見解析

⑶/⑺>/(玉)>〃％)

【分析】⑴根據67丁-工>0即可求解，

(2)計算/(x)+/(-x)的值，即可根據中心對稱的性質求解，

答案第7頁，共9頁

(3)利用單調性的定義可得=單調遞減，即可根據對數復合函數的單調性

求解.

【詳解】(1)由yjl+x2-X>0得A/1+X2>X①

J1+V>?,即①式恒成立，的定義域為R.

(2)

/(%)+/(-%)=In[yjl+x2-x^-ax+b+\n^Jl+x2+x)+av+b=21+ln(Jl+x?+x)(Jl+x?-x)=2b

■■曲線y=/(x)是中心對稱圖形，對稱中心為(。))

(3)令g(尤)=Jl+爐-x,設任意占，無26R，且占<々，

"1+X；+J1+X；

*2）［尤1+*2-（11+龍；+