熱點01集合與復數

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

集合：集合：

2022年，第1題，考察集合的補集該內容為北京卷的必考內容，多借助不等式的解集、

2023年，第1題，考察集合的交集集合的定義域和值域考查集合的交、

2024年，第1題，考察集合的并集并、補運算，關鍵要抓住集合元素的屬性，特別是分

復數：清點集和數集，考直難度較低；

2022年，第2題，考察復數的概念及幾何意義復數：

2023年，第2題，考察復數的概念及幾何意義本節內容是北京卷的必考內容，一般考有復數的概念

2024年，第2題，考察復數的運算及幾何意義以及復數的運算

熱點題型解讀

題型1元素與一集合的關系及應一用..題型8復數的模長及應用

題型2子集（真子集）的個數問題題型7復數的幾何意義■

集合和復數

題型3根據集合之間的關系求參數題型6復數的運算

題型4集合的交并補運算題型5根據集合的運算結果求參數

題型1元素與集合的關系及應用

應用集合元素的特性解題的要點：

（1）集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是什么.

（2）構成集合的元素必須是確定的（確定性），而且是互不相同的（互異性），在書寫時可以不考慮先后順序

（無序性）.

（3）利用集合元素的特性求參數問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據互異性對集合中元

素進行檢驗，要注意分類討論思想的應用.

1.（2024?北京?三模）已知集合4=閨3<1},若則。可能是（）

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【詳解】由lnx<l,得0cx<e,則4={x|0<x<e},4N={x|x40或Ne},

由得ae%/,顯然選項ABC不滿足，D滿足.

故選:D

2.（2023?北京東城?一模）已知集合/={小2-2<0},B.asA,則a可以為（）

3

A.-2B.-1C.-D.Vr2-

【答案】B

【詳解】：X2-2<0,-V2<x<V2</={x|—后<x<亞},

可知-2E4萬隹40史/,故A、C、D錯誤；-1e/,故B正確.

故選：B

3.（2023?北京海淀?模擬預測）設集合M={2加-1,%-3},若-3eM,則實數加=（

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

【答案】C

【詳解】設集合加={2加-1,加-3},若一3e“，

-32m-1二-3或冽-3二—3,

當2加一1二一3時，m=-\,此時M={-3,-4}；

當初一3二-3時，加=0,此時〃={-3,-1}；

所以m=一1或0.

故選：C

4.（2025?廣東?模擬預測）若機￡{1,3,4,冽2},則冽可能取值的集合為（）

A.{0,1,4}B.{0,3,4}C.{-1,0,3,4}D.{0,1,3,4}

【答案】B

【詳解】由{1,3,4,機2},得加2工1,則加

由加w{1,3,4,機2},得加=3,此時加2=9,符合題意；

或加=4,此時加2=16,符合題意；或加=/，則加=0,此時加2=0,符合題意，

所以用可能取值的集合為{0,3,4}.

故選：B

5.（2023?北京房山?二模）設集合4={（xj）|x-歹之0,辦+〉之2,%-即V2},則（）

A.當a=1時，把AB.對任意實數。，（1,1）

C.當a<0時，(1,1)任/D.對任意實數。，（1,1）任/

【答案】C

【詳解】當。=1時，A={（x,y）\x-y>0,x+y>2,x-y<2},

1-1>0

將（1,1）代入/得：T+1N2成立，故即A錯誤；

1-1<2

若。=0時，此時將（1,1）代入辦+>=122不成立，即B錯誤；

當。<0時，此時將（U）代入ax+〉=a+122不成立，即C正確；

1-1>0

若。=2時，此時將（1,1）代入/得2+122成立，即D錯誤；

1-2<2

故選：C.

題型2子集（真子集）的個數問題

如果集合A中含有n個元素，則有

（1）/的子集的個數有2"個.（2）/的非空子集的個數有2"-1個.

/的真子集的個數有個（A的非空真子集的個數有個.

（3）2"-14）2"-2I

1.（2020―北京豐臺二模）集合/=1€2卜2<二2}的子集個數為（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【詳解】解：V^={xeZ|-2<x<2}={-l,0,l}）

???集合/的子集個數為2,=8個，

故選：D.

【點睛】本題考查集合的子集的個數，屬于基礎題.

2.（2024?貴州遵義?模擬預測）已知集合/={0,1,2},5={1,2,3）,若集合C={zeN*匕=中,xe/且yw8},

則C的子集的個數為（）

A.8B.16C.32D.64

【答案】C

【詳解】由條件可知，xy=0xl=0x2=0x3=0,xy=lxl=l,lx2=2xl=2,1x3=3,2x2=4,2/6,

所以集合C={1,2,3,4,6},集合C的子集的個數為25=32個.

故選：C

3.(2024?四川成都?模擬預測)若集合Z={xeN|lWxW5},則集合力的真子集有()個.

A.7B.15C.31D.63

【答案】C

【詳解】由題意可知：集合/={尤eNilVx〈5}={1,2,3,4,5},共5個元素，

所以集合/的真子集有25-1=31個.

故選：C.

4.(2025?寧夏?模擬預測)集合卜|登|?°/?2，的真子集個數是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

［詳解］由題意得［x||^|w0,xezj={x|_l<x42,xeZ}={0,l,2},

所以該集合的真子集個數為23-1=7.

故選：C

5.(2024?廣西南寧?三模)集合{(xj)|x+y42,xeN,ywN}子集的個數是.

【答案】64

【詳解】由題可知，{(x,j)|x+y<2,xeN,yeN}={(O,O),(O,l),(O,2),(l,O),(l,l),(2,O)},有6個元素，

所以該集合的子集有26=64個，

故答案為:64.

題型3根據集合之間的關系求參數

!0O@百

由集合間的關系求參數的2種方法：

(1)當集合為連續數集時，常借助數軸來建立不等關系求解，此時應注意端點處是實點還是虛點.

(2)當集合為不連續數集時，常根據集合包含關系的意義，建立方程求解，此時應注意分類討論思想的

運用.

I________________________________________________________________________________________________

1.(2024?北京海淀?二模)已知集合力={-1,0,1,2},3="|。4》<3},若/［5,則。的最大值為()

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】C

【詳解】由于4=所以aV-1,

故。的最大值為-1,

故選：C

2.(2024?四川?一模)已知集合/={止1VX42},B={x\-a<x<a+\\,則“a=l”是“4仁8”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【詳解】當。=1時，S={x|-l<x<2},此時/=即。=1可以推出

\-a<1

若所以，、中得到所以推不出。=1,

即“0=1”是Zu8”的充分不必要條件，

故選：A.

3.（2024?陜西銅川?三模）己知集合/={x|x<a},2={N-2<x<3},若/衛3,則實數的取值范圍為

（）

A.（-oo,-2）B.（一叫-2]

C.（3,+功D.[3,+co）

【答案】D

【詳解】因為5=/,

所以

所以由數軸得枕23.

即比的取值范圍為[3,+co）.

故選：D.

--------------O-------------O—<>--------?

-23rnx

4.（2023映西渭南?一模）設三元集合“,%1卜{/,。+瓦0},則清t+，22=.

【答案】1

【詳解】依題意卜，11={/,4+6,0},”0,

陽a。

所以</=1,所以b=o,a=—1,

awl

此時兩個集合都是{T,0,l},符合題意.

所以/。22+/。22=（7）2022+0=]

故答案為：1

5.(2024?河北秦皇島?三模)若集合/={x]?4a},S={x|x2-2x-3<0),且413,則。的取值范圍為

()

A.[0,1]B.[0,73]C.(-?,1]D.(-a>,V3]

【答案】D

【詳解】由/一2X-3V0,gp(x+l)(x-3)<0,解得-1VXV3,

所以8={X|X2-2X-340}=[T3],

當a<0時，4={x]?4a}=0,符合

當。20時，由4<a,解得0<x<a2，

所以/=k|y[x<aj=-Jx10<x<a2j,

因為418,所以廠",解得OWawG

[a20

綜上可得。的取值范圍為卜咫君]

故選：D

題型4集合的交并補運算

---------------運------------------------------------------------------------------------------T

aaae

將集合中的運算關系轉化為兩個集合之間的關系。若集合能一一列舉，則用觀察法得到不同集合中元素之間

的關系;與不等式有關的集合，利用數軸得到不同集合間的關系。

1.(2024?北京海淀?三模)已知集合M={刈(尤+3)(》-1)40},2V={x||x|<2},則MuN=()

A.(-2,1]B.[-3,2)C.(-2,3]D.[-1,2)

【答案】B

【詳解】因為M={x|-34X41}=[T1],N={X]-2<X<2}=(-2,2),

所以〃uN=[-3,2).

故選：B

2.(2024?北京大興?三模)若集合Z={xeN|2，<4},2={-2,-1,0,1,2},則4口2=()

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1)

C.{0,1}D.{1}

【答案】C

【詳解】A=[xeN|2X<4}={xeN|2J<22}={xeN|x<2}={0,1},又8={-2,-1,0,1,2}

所以/08={0,1}

故選：C

3.(2024?北京西城?三模)設集合/={處尤+1<0},B={x\-2<x<2},則集合/U8=()

A.(7,2]B.[-2,-1)C.(-1,2]D.(-co,+co)

【答案】A

【詳解】由x+l<0得至|》<一1,故“={x|x<-l},

又8={x|-2VxV2},所以/U8=(-*2].

故選：A.

4.(2024?北京順義?三模)已知集合屈={0,1,2},N=?_3x<0},則()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{x|0<x<3}D.{x[0<x<3}

【答案】B

【詳解】不等式I-3x<0的解集為{x[0<x<3},

所以N={x[0<x<3},又M={0,l,2},

所以"nN={l,2},

故選：B.

5.(2024?北京?三模)已知"={x|log2(xT)Wl},5=|x||x-3|>2},則4nB=()

A.空集B.{x|xW3或%>5}

C.{x\x<3^x>5S.x^l}D.以上者B不對

【答案】A

[詳解]^=(A-|log2(x-l)<log22j=(x|o<x-l<2}={x|l<x<3},

3={無歸-3>2或％-3<-2}={4無<1或工>5},

所以Nc8=0.

故選：A

題型根據集合的運算結果求參數

,一區一5

00與百

法一：根據集合運算結果確定集合對應區間的端點值之間的大小關系，確定參數的取值范圍.

法二：（1）化簡所給集合；（2）用數軸表示所給集合；

（3）根據集合端點間關系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗.

【注意】（1）確定不等式解集的端點之間的大小關系時，需檢驗能否取“="；（2）千萬不要忘記考慮空集。

1.（2024?北京?模擬預測）已知集合/={3,e],集合8={機,”},若/cB={l},貝I]加+〃=（）

A.4B.2C.0D.1

【答案】D

【詳解】因為/={3,e"'},8={機,”}且Nc8={l},

則leZ,所以e"'=l,解得機=。，

又IwB,所以〃=1,

所以機+〃=1.

故選：D

2.（2024?北京西城?二模）已知集合/={T0,l},B^{x\x>c}.若/。8={0,1},貝壯的最小值是（）

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】C

【詳解】???^n5={0,l},/={一1,0,1},B={^x>c\,.-.-l<c<0,

即c的最小值為-1.

故選：C.

3.（2024?陜西商洛?一■模）已知集合4={》|-2<工<5},8={乂2。一1<》<2。+6},若NcB={x[3<x<5},則

a=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】由題意可得2a-l=3,解得a=2.

故選：B.

4.（2024?黑龍江吉林?二模）已知全集。=/U2={l,2,3,4,5,6},/口（a3）={2,4},則集合5=（）

A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{123,4,5,6}D.{1,3,5,6}

【答案】D

【詳解】因為/n&8）={2,4},所以{2,4}￡4{2,4}qa3,

所以2e3,4e8,

又全集U=NU8={1,2,3,4,5,6},

所以8={1,3,5,6}.

故選：D.

5.（2024?江蘇常州?三模）集合/={x|-14x+lW6},8=k加一1<x<2加+1,機eR},^A\JB=A,則實

數加的取值范圍為.

【答案】（-叫-2]口[-1,2]

【詳解】由=且4={%|-24x45},

當5=0時，BqA,貝ij加一122m+1,即加4-2,

m-1>-2

當時，若BqZ,貝I卜加>一2,解得—1W加42,

2m+1<5

綜上，實數7"的取值范圍為（-雙-2]3-1，2].

故答案為：（-8,-2]。卜1,2].

題型6復數的運算

0。混

利用復數的四則運算計算即可

【注】V有如下性質：如果JCN+,那么有嚴+1=7,*+2=-1,嚴+3=T.，嚴+4=1.

1.（2024?北京大興?三模）已知（加-學為純虛數，則實數根=（）

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】D

【詳解】因為（m—i）2=/-2mi+i2=m2-l-2mi,

f2-l=0

又（加-i）2為純虛數，所以m.八,解得加=±1.

'7[~2mw0

故選：D

2.（2024?北京?三模）若復數z=a-l+5（a+l）i為純虛數，其中。eR,i為虛數單位，則空C=（）

1-ai

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】A

【詳解】由z=a-l+5（a+l）i是純虛數可知。=1,所以￡±C=1±1=0±匯=j,

1-ai1-i2

故選：A

3.（2024?北京昌平?二模）己知復數2=小，貝Uz；=.

1

【答案】2

【詳解】由題意可得z="=-i（l+i）=l-i,

所以z=l+i,

所以z；=（l-i）（l+i）=l-i?=2,

故答案為：2.

4.（2024?北京?三模）若尹；是純虛數，則實數。的值為________.

1-（21

【答案】2

2+i(2+i)(l+cfi)2-4+(2a+l)i

【詳解】

1-oi(l-m)(l+ai)1+a2

因為言是純虛數,

2—Q=0

所以2a+l/0'得"=2?

故答案為：2

5.（2024?北京海淀?二模）若（x+iy=2i（xeR）,則》=

【答案】1

【詳解】因為（x+iy=2i,

所以x?+2xi+i2=2i,BPx2-l+2xi=2i,

」=°，解得x=L

所以

故答案為：1.

題型7復數的幾何意義

!O0O0

利用復數與點的對應解題的步驟

（1）找對應關系:復數的幾何表示法即復數z=a+bi（a,beR）可以用復平面內的點Z（a,b）來表示，是解

決此類問題的根據.

（2）列出方程:此類問題可建立復數的實部與虛部應滿足的條件，通過解方程（組）或不等式（組）求解.

l'"（2024.4t^Wi^-茬夏年而近一氯口而用蒞吊萱藪藥而二石7向簍藪二7--'

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【詳解】因為10—。）=?一出=一1一出對應點為（一1,一。），

所以—a=2,

即得a=-2.

故選：D.

2.（2024?北京西城?三模）在復平面，復數z對應的點坐標為（1,-1）,則三=（）

A.iB.-iC.1-iD.1+i

【答案】B

【詳解】z對應的點坐標為（1,-1）,所以z=l-i,

所以itrE=/i）（?T=F=

故選：B.

3.（2024?北京?三模）已知復數l+i=——，貝丘在復平面上對應的點位于（）

z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【詳解】由小一,得到“詈(-2+i)(l-i)13

---------=---1-1

222

1313

所以z=-]-立，其對應點為（-于-9,位于第三象限.

故選：C.

4.（2024?北京?三模）在復平面內，復數z的共輾復數對應的點的坐標是則z的虛部是（）

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】A

【詳解】因為復數2的共輾復數對應的點的坐標是（一1,1）,所以亍=-l+i,

所以z=-l-i,即Z的虛部是—1.

故選：A.

5.（2024?北京通州?二模）在復平面內，復數z對應的點的坐標為（1,-1）,則3=（）

2

A.-1+iB.-2+2iC.1-iD.2-2i

【答案】A

【詳解】由題意可得z=l-i,

2i2i2i(l+i)

所以一=——=7-7=i-l=-l+i

叨入z1-i(l-i)(l+i)

故選：A.

題型8復數的模長及應用

目。一百

（1）兩個復數不全為實數時不能比較大小，而任意兩個復數的模均可比較大小.

（2）復數模的意義是表示復數對應的點到原點的距離，公式為

22

|z|=\a+bi\=r-yla+b（r>0,rGJ?）.

z+1

1.(2024?北京?模擬預測)若==i,則1|=()

z-1

1

A.V2B.—C.1D.

22

【答案】C

【詳解】由==i,可得z+l=i(z-l),

z-1

-1-i(?i)(l+i)

所以Z==-1

1-i(l)(l+i)

故亍=i,|5|=l,

故選：C

2.(2024?浙江金華?一模)在復平面中，若復數z滿足一1=i,則月=()

z-1

A.2B.1C.GD.72

【答案】D

【詳解】-=i,z—].=-=—i,z=l-i,IzlVl2+11=V2.

z-1111

故選：D.

3.（2024?河南?模擬預測）若復數z滿足（l+i）z=l+5i,i為虛數單位，三為z的共軌復數,則「-2i|

【答案】5

【詳解】由（l+i）z=l+5i可得z=*(l+5i)(l-i)l-i+5i-5i26+4i.、

~=3+21?

(l+i)(l-i)1-i22

則可得I=3-2i，因此|3-2i_2i|=|3-4i|=j3?+(-4)2=5.

故答案為：5

4.（2025?安徽?一模）設。€氏2=也，其中i為虛數單位.貝『2>1”是“目>麗”的（）

1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】因為z=，^="3i,所以目=廂3.令忖>而，解得0>1或°<一1,

故“a>1”是，|z|>V10”的充分不必要條件.

故選：A

5.（2024?吉林?模擬預測）復數z滿足歸-5|=匕-1卜歸+小則忖=.

【答案】3^2

【詳解】設復數z=x+yi(x,yeR),

由匕-5|=匕-1|,可得復數z對應的點在以(5,0)和(1,0)為端點的線段的垂直平分線上，所以x=3,

由|zT|=|z+i|可得復數z對應的點在以(1,0)和(0,-1)為端點的線段的垂直平分線上，所以y=-x,

x=3

聯立,解得所以z=3-3i,

y=-x

經檢驗，z=3-3i^^|z-5|=|z-l|=|z+i|,

則|z|=j3?+(—3)2=3收.

故答案為：3vL

限時提升練

1.(2024?北京,高考真題)已知集合M={x|-3<x<l},N={x|-14x<4},則()

A.{x|-l<x<l}B.{小>-3}

C.{x|-3<x<4}D.{x|x<4|

【答案】C

【詳解】由題意得MuN={x|-3<x<4}.

故選：C.

2.(2024?北京通州?三模)已知。為整數集，/={xeZ,|/N4},則&N=()

A.{—1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【答案】A

【詳解】因為/={xeZ,|x224},所以&4={尤eZ|x?<4}={xeZ|-2<尤<2}={-1,0,1},

故選：A.

3.(2024?北京通州?二模)已知集合。={-1,0,1,2,3},A={1,2},5={0,2,3),貝()

A.{3}B.{0,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3)

【答案】B

【詳解】由題意知，&/={-1,0,3},則(阜/卜8={0,3}.

故選：B.

4.(2024?北京朝陽?二模)已知集合/=卜6肉％2<10},2={2,3,4,5}則/門8=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

【詳解】由題意知，/={xeRM<io}={xeR|_jm<x<J而},

又5=[2,3,4,5},

所以4門8={2,3}.

故選：B

5.（2024?北京豐臺?二模）已知集合。={1,2,3,4,5},/={1,3},8={2,3},則（Q㈤c（：8）=（）

A.{3}B.{1,2}C.{4,5}D.{1,2,3}

【答案】C

【詳解】集合。={1,2,3,4,5},4={1,3},3={2,3},

1/={2,4,5},您={1,4,5},@/)c&3)={4,5}.

故選：C

6.(2024?北京東城?一模)如圖所示，U是全集，48是。的子集，則陰影部分所表示的集合是(

A.AcBB.A\JBC.D.1（/口8）

【答案】D

【詳解】由韋恩圖可知陰影部分所表示的集合是卻(NUB).

故選：D.

7.(2023?北京,高考真題)己知集合M={x|x+2N0},N={jdx-l<0},則()

A.{x|-2<x<l}B.{xI-2<x<1}

C.{x\x>-2}D.{x|x<l}

【答案】A

【詳解】由題意，M={x\x+2>0]={x\x>-2],N={x|x-l<0}={x|x<l},

根據交集的運算可知，MnN={x\-2<x<l].

故選：A

z

8.(2024,北京考真題)已知丁=-1-i,則2=().

1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】C

【詳解】由題意得2=i(-l-i)=>i.

故選：C.

9.(2024?北京西城?二模)在復平面內，復數z對應的點的坐標是(6,-1),貝()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【詳解】復數z對應的點的坐標是(g,-1),所以z=g-i,z=V3+i,

所以z,亍=—i)(V^+i)=—i2=3+1=4.

故選：D.

10.(2024?北京門頭溝?一模)在復平面內，復數z滿足iz=3-4i,則z的虛部為()

A.3iB.-3i

C.3D.-3

【答案】D

【詳解】解：因為復數z