微專題22計數原理與概率統計壓軸小題

典型例題

例1.(2022?全國?高三專題練習)我們想把9張寫著1~9的卡片放入三個不同盒子中，滿足每個盒子中都有

3張卡片，且存在兩個盒子中卡片的數字之和相等，則不同的放法有種.

【答案】198

【解析】

【分析】

首先列出至少有兩個卡片之和相等的盒子的情況，然后利用全排列即可求解.

【詳解】

由題意可知，設存在的這兩個盒子中卡片的數字之和相等，設其相等的和為x.

當X=ll時，共有1種情況，即{(L3,7),(2,4,5)}；

當x=12時，共有3種情況,即{(1,2,9),(3,4,5)},{(1,3,8),(2,4,6)},{(1,5,6),(2,3,7)}；

當龍=13時,共有5種情況，即{(1,3,9),(2,4,7)},{(1,3,9),(2,5,6)},{(1,4,8),(2,5,6)},{(1,5,7),(2,3,8)},

{(1,5,7),(3,4,6)}；

當尤=14時，共有7種情況，即{(1,4,9),(2,5,7)},{(1,4,9),(3,5,6)},{(1,5,8),(2,3,9)},{(1,5,8),(3,4,7)},

{(1,6,7),(2,3,9)},{(1,6,7),(2,4,8)},{(2,4,8),(3,5,6)}；

當x=15時，共有2種情況，即{(1,5,9),(2,6,7),(3,4,8)},{(1,6,8),(2,4,9),(3,5,7)}

當x=16時,共有7種情況,即{(1,6,9),(3,5,8)},{(1,6,9),(4,5,7)},{(1,7,8),(2,5,9)},{(1,7,8),(3,4,9)},

{(2,5,9),(3,6,7)},{(2,6,8),(3,4,9)},{(2,6,8),(4,5,7)}；

當x=17時，共有5種情況，即{(1,7,9),(4,5,8)},{(2,7,8),(3,5,9)},{(3,5,9),(4,6,7)},{(3,6,7),(4,5,8)},

{(1,7,9),(3,6,8))；

當x=18時，共有2種情況，即{(2,7,9),(4,6,8)},{(3,7,8),(4,5,9)}；

當x=19時，共有1種情況，即{(3,7,9),(5,6,8)}；

綜上所述，共有1+3+5+7+2+7+5+2+1=33(種)情況，

不同的放法共有：33團=198種.

故答案為：198.

例2.(2022?全國?高三專題練習)設隨機變量J服從正態分布N(0』)，則下列結論正確的是.(填序

號）

①P（團<a）=P（€<a）+P（J>-a）（a>0）；

②尸（周<a）=2Pq<a）-l（a>0）.

③P（團<a）=1-2PM<a）（a>0）.

④尸（周<a）=l-P（尚>“）（a>0）.

【答案】②④##④②

【解析】

【分析】

隨機變量J服從正態分布N（0,l）,根據概率和正態曲線的性質，即可得到答案.

【詳解】

因為P（團<a）=P（-a<J<a）,所以①不正確；

因為P（用<a）=P（F<J<a）

=P（J<a）-P（J<-a）=尸（J<a）-P（4>a）

=尸（自<a）-（l-P（<^<a））=2P（自<?）-1,

所以②正確，③不正確；

因為尸（團<a）+尸（忸>a）=l,所以尸（用<a）=JP（團>a）（a>0）,所以④正確.

故答案為：②④.

例3.（2022.全國?高三專題練習）如圖，將一個大等邊三角形分成三個全等三角形與中間的一個小等邊三角

形，設DR=2,.若在大等邊三角形內任取一點P,則該點取自小等邊三角形內的概率為.

FiD

AB

4

【答案】

【解析】

【分析】

設=由正弦定理可得工=,從而可求sine的值，再由正弦定理可得A2F,

3sincc?1m。,

sin120sma

CQk2

進而根據所求概率為產=-T代入即可求解.

S.ABCAB2

【詳解】

解：設“5—由題意可得《=＞吧修’化簡得由"手3有

sina=—j=

V52

AD—DF

又由正弦定理可得即A32,

sinZADBsinZABD

sin120°sina

——DF22.2A

所以所求概率為沁4_DnzF?_?2]sina_4

-ab2-13Jsin21200-13

—AB

4

4

故答案為：—.

例4.（2022.全國?高三專題練習）將楊輝三角中的每一個數C；都換成分數二^土了，就得到一個如圖所示

的分數三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可以看出：（二尸+71所=3,令

（〃+i）G5+DGnCn_1

111111

S〃是｛〃〃｝的前〃項和,貝2=

3123060nC：i(〃+1)C；

1

T

11

12

111

3

1X11

412124

1X111

T203020

1XX111

I30606030

111111

742105140427

n1

【答案】—+----

2n+1

【解析】

【分析】

由題設關系，應用累加法可得+%=；，進而可得｛4｝的通項公式，再應用裂項相消法求

【詳解I

-----1------1-------1----=--1--------1--------11-------=1-----------------------1-------1--------1-----=-------1------

5+1)。：5+1)戲&'nCh仁t5-1)。二'5-DCL("1)器25-2)。"'

---1---1----1--=---1---------1---1----1--=—1

4G4C；3C；，3C；3C；2C；，

一一一11111111

將上述各式相加，得/+…+不+鼻=萬，即(+%=3,

(n+l)C?(〃+l)QnCn_x1232(n+l)Cn2

、

.Q=-1---------1----=--1---(/---------1--)

…〃2n(n+l)2〃〃+1'

???s">+一1?

n1

故答案為:—+------

2n+1

例5.(2022?全國?高三專題練習)已知等差數列{。,},對任意〃eN+都有

+a,C；+4最+--+??C：=?-2"+1成立，則數列—的前,項和(=__________

+1aa

[?+l?+2J

n

［答案］9可

【解析】

【分析】

根據二項式的性質化簡可得6?2"+〃d.2"T=〃.2"+L求出通項公式，再由裂項相消法即可求出.

【詳解】

設等差數列的公差為d,則%=%+(〃—1)d,因為+%&++…+。“+C：=n-2向,

所以ag++/C；+…+%C：=n-2用

=q?+C"..+C：)+d?+2C：+3C：+…+〃C；)

=勺2"+nd?t+C；T+…+CI；)=q?2"+T-l,

所以％?2"+"d?2"T=n-2n+1,所以2%+〃(d—4)=0對〃eN*恒成立,

所以4=0,d=4,所以等差數列｛。”｝的通項公式(=4(〃-1),

所以1=—1—

4+/〃〃+24nx4(n+l)16(Mn+1J

所以數列I---I的前“項和（=2（1--=]=[/[、.

[an+la?+2J16（n+\）16（n+l）

n

故答案為：16（n+l）-

例6.（2022.全國?高三專題練習）數列｛%｝共12項，且4=1,4=2,關于x的函數

力⑺=；一%爐+（d_1卜+1,“eN-若x=是函數的極值點，且曲線的、=力。）在點

（%，力（@））處的切線的斜率為3,則滿足條件的數列｛%｝的個數為.

【答案】336

【解析】

【分析】

求導，由題意可得出問+|-%|=1,根據導數的幾何意義，即可求得%=。或4,分類討論，即可求得滿足

條件的數列｛%｝的個數.

【詳解】

因為力（x）=g_a.x2+（a；-l）x+l,則力'（同=/_2%元+（M一1）=@一%）2-1,

2

由已知可得（a?+l-an）-l=O,則\an+1-an\=l.

由題意可得力'（&）=（弓2—”4）——1=3，可得瓦―%|=2,?4=2,可得％2=。或4.

①當％2=。時'"4—4=（%—41）+（%—。2）+（。4—%）=2—1—1,

得4+1-4（，=1,2,3）的值有2個1,1個-1,

一包=（。5—。4）+（“6一”5）+，，,+（62—%1）=。—2=-2,

得4+1-q（，=4,5,…,11）的值有5個-1,3個1,

此時，數列｛〃〃｝的個數為C；《=168個；

②當先=4時，&-%%—生）+（。4—%）=2—1=1,

得4+1-q?=1,2,3）的值有2個1,1個-1,

%2—。4=(05—04)+(“6—05)+,,,+(弓2—G1)-2=—2,

得0+1-6。=4,5,…,11）的值有5個-1,3個1,

此時，數列｛%｝的個數為C；C；=168個.

綜上所述，數列｛瑪｝的個數為168+168=336.

故答案為：336.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查數列個數的求解，解題的關鍵在于確定的值的個數，結合組合計數原理和分

類加法計數原理求解.

例7.（2022?全國?高三專題練習）考查等式：C°C：-m+D+…+&CL,=C：（*）,其中〃，九reN*,rW根＜〃

且祖.某同學用概率論方法證明等式（*）如下：設一批產品共有“件，其中，”件是次品，其余為正品.現

從中隨機取出廠件產品，記事件&=｛取到的『件產品中恰有七件次品｝，則P（4）=隼葭，k=0,l,2,...,

,.顯然4，A，…，4為互斥事件，且口4=。（必然事件），因此

I=P（Q）=P（4）+P（A）+L+P（AJ=+QCi；+L+C￡Q,,所以

Ci

C+CX1+---+c1cLi=c;,即等式（*）成立.對此，有的同學認為上述證明是正確的，體現了偶然性

與必然性的統一；但有的同學對上述證明方法的科學性與嚴謹性提出質疑.現有以下四個判斷：①等式（*）成

立，②等式（*）不成立，③證明正確，④證明不正確，試寫出所有正確判斷的序號.

【答案】①③

【解析】

【分析】

構造概率模型，從中隨機取出廠件產品，記事件&=｛取到的產品中恰有上件次品｝,利用古典概型概率公式

求得其概率，根據4，A，…，4為互斥事件，且&uAuL口4=。（必然事件），即可判斷.

【詳解】

設一批產品共有〃件，其中加件是次品，其余”一小件為正品.

現從中隨機取出廠件產品，記事件4=｛取到的產品中恰有左件次品｝,

則取到的產品中恰有k件次品共有c：c;二種情況，

又從中隨機取出『件產品，共有C：種情況，％=0,I,

「k「r-k

故其概率為P（AJ=」產，k=0,1,r

4，…，4為互斥事件，且A）U4UL口4=。（必然事件）,

因此I=P(O)=P(4)+P(4)+L尸⑷=

C：

所以CXi+c/Ci-+L+G—,即等式（*）成立.

從而可知正確的序號為：①③.

故答案為：①③.

【點睛】

關鍵點點睛：本題以概率為依托，證明組合中的等式問題，解題的關鍵是構造概率模型，利用古典概型的

概率公式求概率，題目新穎.

例8.（2022.全國?高三專題練習）如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F,G,X八個點涂色，

要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段上的點顏色不同，則不同的涂色方法有種.

A

【解析】

【分析】

分瓦EG,“涂4種，3種或2種顏色，再分別計算涂色的方法種數.

【詳解】

①對瓦￡G,H涂4種顏色，對于剩下的各剩2種顏色，且相鄰的都含一種顏色是相同的，即當某

個點取一種顏色時，其他點的顏色是確定的，那么A氏CD共有2種情況，共有A：x2=48種，

②對E,F,G,H涂3種顏色，對于瓦從4種顏色中取3種，即q=4,從這3種顏色中取1種來作

重復的一種，即C；=3,再對這四種顏色進行排列，重復的那種只能在對角，有2個對角，再對其他不重復

的2種進行排列&=2,即2周=4對于剩下的A,8,C,￡）同①一樣，各剩2個顏色，當其中一點取一種顏色

時，其他點顏色是確定的，共有2種，故共有.2=4x3x2x2x2=96種，

③E,￡G,H涂2種顏色，則選2種顏色，涂在對角位置，有廢x2=12種方法，A,民C,D共2種顏色，故

共有C：x2x2=24種方法，

所以一共有48+96+24=168種方法.

故答案為：168

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查排列，組合，計數原理的綜合應用，本題的關鍵是正確分類E,EG"的涂色方法種

數，并且先涂瓦RG,H,再涂AB,C,O.

過關測試

一、單選題

1.（2022?全國?高三專題練習）設E（x）是離散型隨機變量的期望，則下列不等式中不可能成立的是（）

A.E（X+lnX）＞E（X）+ln（E（X））B.E（X2lnX）＞E2（X）ln（E（X））

C.E（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））D.E（X2sinX）＞E2（X）sin（E（X））

【答案】A

【解析】

【分析】

根據各選項的期望，分別判斷y=x+lnx、y^x2\nx,y=x+sin尤、y=Ysinx在定義域內是否存在下凹

區間即可.

【詳解】

A：由y=x+ln尤且定義域為（0,+oo）,則了=1+,，/=-4-＜0,即y為上凸函數，有

XX

五嶼〈甘+ln—，所以E（X+lnX）＜E（X）+ln（E（X））；

33

B：由y=x21nx且定義域為（0,+8）,則/=2xlnx+x,y"=21n尤+3,顯然伯方,+?＞）上丫"＞°，即＞在（”,+（?）

為下凹函數，生地要也!＞（%產）2in幺產，所以存在E（x21nX）＞E2（x）in（E（x））；

C：由y=x+sinx,貝ljy'=l+cosx,yn=-sinx,顯然在［（2左一1）萬,2左萬］,^GZ±/＞0,即＞在［（2左一1）肛2左左］,

左eZ為下凹函數，有％+sm%+sm%＞上產+$出土產，所以存在E（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））；

jr

D：由yn/sinx,貝！Jy'=Zxsinx+Jcosx,yn=（2-x2）sinA:+4A:COSX,顯然存在（0,萬）上y"＞0,即,在

（0二）為下凹函數，有五堊五土里嶼＞（土土強）2sin五士三，所以存在E（X2sinX）＞E2（x）sin（E（X））.

2222

故選：A.

【點睛】

關鍵點點睛：利用函數二階導數的幾何意義判斷各選項對應函數定義域內是否存在下凹區間即可.

2.（2022?江蘇?高三專題練習）已知（1+尤+/）"=雹°+7＞+7＞2+…+穹，?"，〃wN*,其中T為（l+x+x。”

展開式中x’項系數，i=0，L2,…,2〃，則下列說法不正確的有（）

A.T；=T產,z=0,1,2,--,14

B.T；+T；=北

C.力146;=2力

i=lz=0

D."是"，T；,T；，…,4"是最大值

【答案】B

【解析】

【分析】

146

由三項式系數塔與楊輝三角構造相似可得A,D正確，根據計算可得穹+7；3H＜3,牛=2工31,所以C

z=li=0

正確.

【詳解】

由題意知，三項式系數塔與楊輝三角構造相似，其第二行為三個數，且下行對應的數是上一行三個數之和，

當”=7時，

4

=C；(1+尤)7+C；(1+X)6尤2+C；(1+尤)5/+C：(1+X)f+C；(1+x)3尤8+C；(1+x)2？°+C^(l+尤)《酸+〈/

=1+7%+28/+77/+245/+266x5+357x6+393丁+357x8+266/+245/°+77產

+28.X12+7X13+X14

故看=7；g,丁；是穹,T；,T；,…,年4的中間項，故"最大，所以A,D正確；令x=0可知：

1=4。+7；：.0+7；2.0+.+窘”.0=10；

當”=7時，(1+彳+尤2丫=1+管》+劈/+...+"4尤I","=c；+c；=7+21=28,q3=c；C：+C；=42+35=77,

&3=C；G+C；=112,所以"+看片穹，所以B不正確；

141414

令x=l可知，3,=T；+駕+T；+...+T：=￡駕=1+￡駕,即37-l=E"；

z=0i=li=l

bQ7_i146

又因為223'=2(3°+31+32+...+3與=2-冒=37-1.故￡"=2￡3',C正確.

故選：B.

3.(2022.新疆.一模(理))如圖，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或

右上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構成，如1-3-4-5-6-7就是一條移動路線，則從數字

“1”到“7”，漏掉兩個數字的移動路線條數為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

分類分步排列即可.

【詳解】

由題意1和7是不能漏掉的，所以由以下路線：

(1,3,5,6,77(1,3,4,6,77(1,3,4,5,77(1,2,4,6,7),(1,2,4,5,7),(1,2,3,5,7)共6條，

故選：B.

4.(2022.重慶南開中學模擬預測)“楊輝三角”是中國古代數學杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角

的左腰上的各數出發，引一組平行線，從上往下每條線上各數之和依次為1,1,2,3,5,8,13,L,則

下列選項不正確的是()

■才.

『,A,641

八二二5一’101051

?15201561

A.在第9條斜線上，各數之和為55

B.在第"("25)條斜線上，各數自左往右先增大后減小

C.在第〃條斜線上，共有2"+1-(--個數

4

D.在第11條斜線上，最大的數是C；

【答案】A

【解析】

【分析】

根據從上往下每條線上各數之和依次為：1,1,2,3,5,8,13,…，得到數列規律為。“+。用=。"2判斷

A選項，再根據楊輝三角得到第"條斜線上的數為：CT，CL，Q_3，CL，C_5，~，CM，C；(2一,,進而判斷BCD.

【詳解】

從上往下每條線上各數之和依次為：1,1,2,3,5,8,13,L,

其規律是“"+a?+l=a?+2>

所以第9條斜線上各數之和為13+21=34,故A錯誤；

第1條斜線上的數：%

第2條斜線上的數：C,1；

第3條斜線上的數：C?,C,\

第4條斜線上的數：cf,d.

第5條斜線上的數：

第6條斜線的數：C；c，《，

...,

依此規律，第n條斜線上的數為：3m，…F，c/,…,

在第11條斜線上的數為C*,c；,c；,c；,c；,c；,最大的數是C；,

由上面的規律可知：〃為奇數時，第〃條斜線上共有等=畢個數；

24

“為偶數時，第〃條斜線上共有共有個數，

24

所以第〃條斜線上共2'+l-（T）”,故C正確；

4

由上述每條斜線的變化規律可知：在第〃（九.5）條斜線上，各數自左往右先增大后減小，故B正確.

故選：A.

5.（2022?福建泉州?高三開學考試）若數列｛%｝的通項公式為%=（-1尸，記在數列｛%｝的前〃+2（〃eN*）項

中任取兩項都是正數的概率為2,則（）

A.P,=—

13

B.<段+2

C.<七

D.^2?-1+P2n<&+1+&+2-

【答案】AB

【解析】

【分析】

由已知得數列｛%｝的奇數項都為1,即奇數項為正數,數列｛%｝的偶數項為-1,即偶數項為負數，當〃=1時，

由此判斷A選項；

將2〃-1代入，求得&T；將2〃代入，求得￡“；將2〃+1代入，求得己.；將2/2代入，求得&+”再運

用作差比較法，可判斷得選項.

【詳解】

解：因為數列｛〃“｝的通項公式為為=（-l）i,所以數列｛。“｝的奇數項都為1,即奇數項為正數，數列｛”“｝的

偶數項為T,即偶數項為負數,

又數列｛%｝的前"+2（〃eN*）項中，任取兩項都是正數的概率為Pn,

當”=1時，即前3項中，任取兩項都是正數，概率為故A正確；

將2〃-1代入，數列｛4｝的前2"+l（〃wN*）項中，有（"+1）個正數，〃個負數，任取兩項都是正數的概率為

,M9+1）_〃+1

2，，-1CM（277+1）?（277）477+2，

將2"代入，數列｛a“｝的前2〃+2（〃eN*）項中，有（〃+1）個正數，（〃+1）個負數，任取兩項都是正數的概率為

p：C3_77（〃+1）_n

2"C；“+2（2〃+1＞（2"+2）4”+2'

將2〃+1代入，數列｛《,｝的前2"+3（〃eN*）項中，有（〃+2）個正數，（〃+1）個負數，任取兩項都是正數的概率

一C<5+1）5+2）〃+2

!+1匾（2n+3）-（2n+2）4〃+6

將2〃+2代入，數列｛風｝的前2w+4（“eN*）項中，有（"+2）個正數，（〃+2）個負數，任取兩項都是正數的概

C2幾+2）_n+1

率為&+2=7產

（2n+3）-（2n+4）4〃+6

nnn〃+1-2八

-<故正確;

所以2"-in+2-4n+24n+6-（4?+2）-（4n+6）'所以B

_n+1n=$＞。，所以*也

故c錯誤;

4〃+24〃+2

n+l+〃）［〃+2+n+1

（&一1+&）-（&+1+g〃+2）=

4n+24n+2J（4〃+64n+6

2n+l2n+3_11

4n+24n+622

所以^2n-l+￡〃=^2n+l+￡〃+2,故D錯誤,

故選：AB.

6.（2022?全國?高三專題練習）由1,2,3,4,5組成的沒有重復數字的五位數，從中任意抽取一個，則其

恰好為“前3個數字保持遞減，后3個數字保持遞增”（如五位數“43125”，前3個數字“431”保持遞減，后3

個數字“125”保持遞增）的概率是（）

A.—B.—C.—D.一

2012106

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根據已知條件“定位”中間數字，其次在剩余的四個數字中任取兩個數字，放置在首或末位，則其余數字

排列方式唯一確定.最后由古典概型計算公式即可得解

【詳解】

由1,2,3,4,5組成的沒有重復數字的五位數共A；=12。個，前3個數字保持遞減，后3個數字保持遞增，

說明中間數字為1;

在剩余的四個數字中任取兩個數字，按照遞減順序，僅有一種排列方式放置在首兩位（或末兩位），則剩余兩

位數字排列方式唯一確定，放置在最后兩位（或首兩位）=

因此“前3個數字保持遞減，后3個數字保持遞增”的五位數有C：=6個，

所以所求的概率尸=卷=

故選：A.

7.（2022?全國?高三專題練習）已知數列｛即｝滿足幻=0,且對任意"GN*,的+7等概率地取m+1或。〃-1,

設m的值為隨機變量5，貝U（）

A.P（+=2）B.E（與）=1

C.P?5=0）<P（缶=2）D.P?5=0）<P（+=0）

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可知。2=1或42=—1,且尸（。2=1）=尸（。2=-1）=；,進而可求g3的期望，可判斷AB;再結合

條件求尸?5=0）,可判斷CD.

【詳解】

依題意。2=1或。2=—1,且尸（。2=1）=尸（。2=—1）=；,

&3=。3的可能取值為2,0,-2

Pe=2）="=；，

=xlxl

P?3=0)2

222-

11

P(&3=—2)=—x—=

224

(0)=2XLOX；+(—2)

Ex—=0,由此排除A和B；

424

自4=〃4的可能取值為3,1,—L-3

P(§4=3)=gp(匕3=2)=-

28

尸(5=2)+?=0)_3

P?4=1)

28

P?=O)+P?=—2)_3

P(^4=-1)

28

(自4=-3)=yP?3=-2)=|

自5=〃5的可能取值為4,2,0,-2,-4

P?=D+P&=T)3

P?5=0)

28

—尸(芻=3)+1(4=1)_1

P(§5=2)

24

所以P(*=0)>P(&5=2),排除C.

31

因為尸?5=0)=7，P(匕3=0)=7，所以尸(自5=0)<P?3=0),故D正確.

O/

故選：D.

2021

8.(2022?全國?|WJ二專題練習)已知(l+x)2°2l=%+〃[X+〃2x2+〃3/H-----1-dt2021x,則

“2020+2“2019+3“2018+4“2017+,,'+2020。]+2021”。—)

A.2021x22021B.2021x22020

C.2020x22021D.2020x22020

【答案】B

【解析】

【分析】

根據給定條件結合組合數計算公式變形和式的通項(2021-幻％442021,再借助二項式性質即可得

解.

【詳解】

依題意，Ok=C；02i，kWN,kM2021,

2021*

當*i時，(2021-k)a=(2021-k)C^=2021C^-k-',=2021C^-

k02l021l4V/4J.rv)?/V?021

2021-------------------------------=2021(C*021-C露)，

L2020-(fc-l)]!.(A:-l)!20212020

~2021一

々202。+2a2019+3a2018+4〃2017+?■,+2020<1]+20214=)：(2021—左)+2021%

_k—\_

202120212021

=》021(原-6總)]+2021圓=2021kA-1

乙\c口2021-乙V口c2020

k=lk=0k=\

=2021(22021-22020)=2021x22020.

故選：B

9.（2022?全國?高三專題練習）已知x,y,zeN*,且x+y+z=10,記隨機變量J為無，y,z中的最大值，則

E?=()

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出方程的全部正整數解，即基本事件總數，占為x,y,z中的最大值，則J可能的取值為4,5,6,7,8,然

后分別求出對應的概率即可.

【詳解】

根據隔板法，將10看做10個完全相同的小球排成一排，中間形成的9個空，放入兩塊隔板，可求得

尤+y+z=10正整數解有C；=36組，J可能的取值為4,5,6,7,8,不妨設x=max{x,y,z},貝U=x,下分類

討論：

%=8,(x,j,z)=(8,1,1)；x=7,(x,y,z)=(7,1,2),(7,2,1)

%=6,(羽Xz)=(6,1,3),(6,3,1),(6,2,2)；

%=5,(羽Xz)=(5,1,4),(5,4,1),(5,2,3),(5,3,2)；%=4,(x,y,z)=(4,3,3),(4,4,2)

但根據x，y，z的對稱性，上述每一組解的結果數還要乘以3,于是則有：

=8)=—=—,P(J=7)=—=—,P(J=6)=—=—,

3612366364

尸?=5)=竺=,，尸(自=4)=9=」

363366

=--8+--7+--6+--5+--4=—

v71264363

故選：D

10.（2022.全國?高三專題練習（理））圓周上有10個等分點，以這10個等分點的4個點為頂點構成四邊形，

其中梯形的個數為（）

A.10B.20C.40D.60

【答案】D

【解析】

【分析】

把10個點看成5條線段的組合，再利用組合公式計算即可.

【詳解】

梯形的兩條邊平行，可以從5組平行于直徑的5條平行弦中選取，也可以從5組不平行于直徑的4條平行

弦中選取，去除矩形后，梯形共有60個.

故選：D

11.（2022?全國?高三專題練習（文））已知遞增正整數數列｛%｝滿足為+2eN*）,則下列結論中正確

的有（）

（1）%、的、的可能成等差數列；

（2）%、電、的可能成等比數列；

（3）｛。“｝中任意三項不可能成等比數列；

（4）當”,3時，。“+2>%+~“恒成立.

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根據題意得到數列間的關系+2,不放假設q22,a2>4,%26可判斷（1）；假設生、電、的是

等比數列退出矛盾可判斷（2），進而可判斷（3）；同（2）一樣證明｛4｝中任意三項不可能成等比數列；當“23

時，%=可判斷（4）；

【詳解】

4+1X(%+|-1)x(仆+1-2)X…X(。用一七+1)

因為an+2=C：二

a?X(an-1)X---X2X1

因為{%}是遞增正整數數列，所以%N.i+l,

當%=%7+1時，??+1=C：；-=C；=a?,不滿足題意；

所以4241+2,若4=1,則%=。2，不滿足題意；

所以q22,a2>4,a3>6f

不妨取％=2,%=4,%=6,此時〃i、的、生成等差數列，故（1）正確;

若生、。2、。3成等比數列，則。22=%。3,

%X(%—1)X(〃2—2)X…X(%—q+1)〃3X(〃2—1)X(%—2)X…X(%-%+1)

所以

axx(^-l)x...x2xl%x(q—l)x…x2xl

—1)x(4一2)x…x(%—q+1)

=c"；=%T,

(q-1)x…x2x1

所以外=%T即％=外+1與％,2T+2矛盾，故（2）錯誤;

同理假設a.—，an,an+l成等比數列則an=an_xan+x,

(a“一l)x(%2)x...x(a“一%]+1)

所以為=。：二「=%-1,

(a?_i-l)x--><2xl

與6+i善4+2矛盾故（3）正確;

當〃23時，an+2—C工且an+1>an+2

aa2

aM=C0"=C-'~">C=""十|X（""+1—1）>a+.a,

九+2an+ian+lan+x?n+\n

故（4）正確；

故選：D

【點睛】

幾I

本題主要考查數列與組合數相結合的綜合題，組合數公式c；=”,這是正確計算的關鍵，其次也

要注意式子的化簡與放縮等.

12.（2022?浙江?高三專題練習）設集合5={-20,21,5,-H,-15,30,a},我們用/（S）表示集合S的所有元素之

和，用g⑸表示集合S的所有元素之積，例如:若A={2},則/（A）=g（A）=2；若八{2,3},則/⑻=2+3,

g（B）=2x3.那么下列說法正確的是（）

A.若。=0,對S的所有非空子集4，/(A)的和為320

B.若。=0,對S的所有非空子集即〃耳)的和為-64。

C.若。=-1,對S的所有非空子集C,,8(＜；)的和為-1

D.若。=-1,對S的所有非空子集。,，g(p)的和為0

【答案】C

【解析】

【分析】

對于選項A、B：

當“=0時，S={-20,21,5,-11,-15,30,0},則〃S)=10.

由〃s)的定義，計算出所有"S)的值，即可判斷；

對于C、D：

根據g(S)的定義，計算g(S),進行判斷.

【詳解】

對于選項A、B：

當a=0時,5={-20,21,5,-11,-15,30,0},則/(S)=10.

(I)當S的所有非空子集中只有一個元素時，顯然所有的/(4)的和為10；

(2)當S的所有非空子集中有兩個元素時，共有C；=21個子集，且21個子集共有42個元素，所以S的每

一個元素都被取到6次(每個元素被取到的可能性相等)，此時所有的的和為6x/(S)=60；

同理，以此類推，可類推出子集有3、4、5、6、7個元素時，/(A)之和分別為

C[x3)=7X6X5X3X1()=150；

7v73x2x17

C^x47X6X5X4X4X1()=200：

7v74x3x2xl7

C[x57X6X5X4X3X5X10=150；

7v75x4x3x2xl7

Cfx67x6x5x4x3x2

/(s)=x-xl0=60

76x5x4x3x2xl7

C；x77x6x5x4x3x2xl7

〃S)=x—xlO=10.

77x6x5x4x3x2xl7

故A、B錯誤;

對于C、D：

當a=—1時，S={-20,21,5,-11,-15,30,-1}.

（1）當子集中有7個元素時，g（B7）=（-l）x（-20）x21x5x（-ll）x（-15）x30,

（2）當子集中有6個元素時，記此為不含元素-1的子集，則有g（%）=-g（37）.

77

其他含-1的子集分別即為練（24注7）,則有（見）=-8（與）+1>（生）.

i=li=2

7

同理可以得到：當當子集中有5個元素時，記之為不含元素-1的子集，則有g（%）=-￡g（線J

i=2

77

其他含-1的子集分別即為練（24W7）,則有￡g（%）=-g（B7）+￡g（%），

z=li=2

所以對于由〃（〃<7）個元素的子集，都可以分成兩類：含-1的與不含-1的，其中，不含一1的部分剛好為（〃+1）

元素中含-1的子集元素積之和的相反數，那么相加可以抵消，指導最后僅有一個元素的子集時，僅有含-1

的一個子集未被抵消，則s的所有g（G）之和為-1，故c正確，D錯誤.

故選:C

【點睛】

數學中的新定義題目解題策略：

⑴仔細閱讀，理解新定義的內