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文檔簡介
1第七屆全國大學生數學競賽決賽ò、二年級試題解答(數學類,2016年3月福州)一、(本題20分)填空題(每小題5分)(4)(1,0,1),或(-1,0,-1),或(1,t,-1),或(-1,t,1),t∈R.二、(本題15分)由于形如αx+βy+γ=0的平面與S只能交于直線或空集,所以可以設平面σ的方程為z=αx+βy+γ,它與S的交線為圓.令x=cosθ,y=sinθ,則σ與S的交線可表示為由于Γ(θ)是一個圓,所以它到一個定點P(a,b,c)的距離為常數R.于是有恒等式利用我們可以將上式寫成Acos2θ+Bsin2θ+Ccosθ+Dsinθ+E=0,其中A,B,C,D,E為常數.由于這樣的方程對所有θ∈[0,2π]恒成立,所以A=B=C=D=E=0.特別地,我們得到2于是得到Q=0,β=士1,平面σ的法向量為的非零倍數.三、(本題15分)證明存在可逆方陣T,使得T-1AT=為對角陣.令T-1BT=,則為實對稱方陣,且tr((AB)2)=tr(()2),tr(A2B2)=tr(22).令=diag(a11,···,ann),=(bij)n×n.則于是四、(本題20分)先證:當0<x<時,有證明設Γ的圓心為O,Qi=7BiOBi+1,Bn+1=B1,則P先證:當0<x<時,有3故g(x)嚴格單調遞增,因而g(x)>g(0)=0.(1)式得證.五、(本題15分)證明a(t)dt,則y(x)=Ce-F(x)+f(t)eF(t)-F(x)dt.0注意到故4六、(本題15分)解令g(x)=f(x)-x,則有對于x>0,根據積分平均值定理,存在x1∈(0,x),使得g(x)=g(x1).設x0=inf{t∈(0,x)jf(t)=f(x)}.則有g(x0)=g(x).若x0>0,則重復上面的過程,可知存在y0∈(0,x0),使得g(y0)=g(x0)=g(x).這與x0的取法矛盾.因此,必有x0=0.這說明g(x)=g(0).同理,對x
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