第章1.(10分)立方體的邊長為a,作用有力系如圖4-1所示。其中三個力的大小均為F,兩個力偶的力偶矩大小均為M=Fa,方向如圖。若欲(1)所加的力為(2)在圖中畫出該力的示意圖。2.(10分)A、B兩物塊質量均為m,靜止如圖4-2所示疊放，設各接觸(1)若用手慢慢地去拉B塊，其運動現象為-0(2)若用手突然快速拉B塊，其運動現象為(3)在上述兩種情況下，A所能獲得的最大水平加速度3.(10分)加速度α轉動，方向如圖4-3所示。在圖示位置，將齒輪A的慣性力系向0點簡化，則在坐標系Oxyz中：(1)力系的主矢為-0(2)主矩為-04.(10分)均質細桿AB,長為L,重量為P,由繩索水平靜止懸掛，如圖4-4所示。在突然剪斷右端繩索的瞬時：(1)若忽略繩索的變形，則A端繩索的約束力大小為_,AB桿的角加速度大小為-0(2)若考慮繩索的彈性變形，則A端繩索的約束力大小為,AB桿的角加速度大小5.(10分)如圖4-5所示，AB桿的A端沿圓槽0運動，B端與輪軸鉸接。輪軸沿直線軌道只滾不滑。圓槽0半徑為R,輪軸內外半徑分別為R?、R?,AB長為L。圖示瞬時，已知A點速度DA,AB桿中點M的切向加速度第4章2000年第四屆全國周培源大學生力學競賽(2)M點的加速度大小為。6.(15分)圖4-6所示系統在鉛垂面內運動，剛性桿1、2、3、4長度均為a,質量不計。均質剛桿AB質量為m',長為L。C、D兩質點的質量均為m,且m'=2m。則：(1)系統的自由度為0(2)當系統作微小運動時，其運動微分方程為(3)當系統作微小運動時，桿3與桿4的相對運動規律為-07.(10分)在光滑水平桌面上，質點A、B的質量均為m,由一不計質量的剛性直桿連接，桿長為l。運動開始時θ=0,A點在坐標原點，速度為零，B點速度為vj,如圖4-7所示。則系統在運動過程中：(1)直桿轉動的角速度θ=_0(2)A點的運動軌跡是,B點的運動軌跡是_0(3)直桿的內力Fr=_08.(15分)圖4-8所示為一個簡單的“不倒翁”模型，由空殼ADBE和配重C組成。不計空殼質量，其底部輪廓線ADB是半徑為R的圓弧，且充分粗糙。配重C在空殼內的y軸上，質量為m。若要求“不倒翁”直立時平衡且穩定，則：(1)配重C的質量m_o(a)越大越好；(b)越小越好；(c)可為任意值；(d)條件不夠不能確定。9.(10分)如圖4-9所示，設Oxyz為參考坐標系，矩形板(三角形為其上的標志)可繞0點作定點運動。為了使矩形板從狀態1(yOz平面內)運動到狀態2(x0y平面內),根據歐拉轉動定理，該轉動可繞某根軸的一次轉動實現，則在Oxyz坐標系中：全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版(1)該轉軸的單位矢量為_0(2)轉角為_04.2材料力學試題1.(25分)如圖4-10所示，狹長矩形截面直桿單側作用有軸向均布剪切載荷，其單位長度上的大小為q。(1)任意截面上的軸力FN(x)=,彎(2)如果平面假設與胡克定律成立，則任意橫(4)任意橫截面上切應力T(x,y)=-02.(20分)今有兩個相同的L形元件，用螺栓連接，以傳遞拉力F。幾何尺寸如圖4-11所示。L形元件是剛體，螺栓是線彈性體，其拉壓彈性模量為E,許用正應力為設兩個L形元件間無初始間隙，也無預緊力，并設在變形過程中兩個螺母與L形元件始終貼合，螺栓與L形元件在孔壁間無相互作用力，則： (3)兩個L形元件相對轉角△θ=-0(4)許用拉力[F]=03.(20分)矩形等截面懸臂梁高h,寬b,長l。重P的重物從高處落到自由端并附著于它。梁的質量不將梁設計成兩段等長的階梯梁梁高h保持不變，各段梁寬度可按要求設計。在梁內最第4章2000年第四屆全國周培源大學生力學競賽大沖擊正應力不變的條件下，按最省材料原則，階梯梁在靠自由端一段寬b?,靠固定端一段寬b?,則(3)階梯梁比等截面梁節省材料(用分數或百分數表4.(15分)如圖4-12所示，簡支梁AB承受均布載荷q,在C、D兩點的兩個相等的集中力F,在B點的集中力偶M的作用。U5.(20分)如圖4-13所示，曲桿AB的軸線是半徑為R的四分之一圓弧，桿的橫截面是直徑為d的實心圓，d<<R,桿的A端固定，B端自由，并在B端作用有垂直于桿軸線所在平面的集中力F。已知材料的彈性模量E、切變模量G與許用拉應力[σ]。(1)按第三強度理論，許用載荷[F]=_(2)在載荷F的作用下，自由端繞桿軸線的轉角θ?=圖4-136.(20分)如圖4-14所示，為傳遞扭矩T,將一實心圓軸與一空心圓軸以緊配合的方式連接在一起。設兩軸間均勻分布的配合壓強p、摩擦因數f、實心軸直徑d、空心軸外徑D及連接段長度L均為已知。兩軸材料相同。(1)兩軸在連接段全部發生相對滑動時的臨界扭接段L的扭矩圖。(假定材料力學關于圓軸扭轉的公式全部成立)4.3理論力學試題參考答案及詳細解答(2)力的作用線沿O'B連線，方向由0'指向B2.(1)A、B塊同時向左運動，無相對運動(2)(順時針)全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版(2),其中θ:表示第i根桿的轉角(3),A、φ為常數(或簡諧運動)(2)A、B的運動軌跡均為圓滾線(或旋輪線、擺線)(2)C在OD之間，含D不含09.(1)轉軸的單位矢量為。(如果把矩形換為正方形，不影響結果，但容易計算。此(2)轉角為120°,轉向與n相反。(在立方體中易看出該矩Mo=Mj+k)-Fak-Faj,如圖4-15所示。因為M=Fa,所以Mo=0。因此為了平衡，可以加一個力FR=-Fo,作用注：如果力系向其他點簡化，則還要多一些步驟來確定作(2)力的作用線沿O'B連線，方向由0'指向B。2.解：(1)A、B塊同時向左運動，無相對運動。(2)B塊向左運動，A塊跟不上B的運動而落下。(3)如圖4-16所示，以A塊為研究對象，有F≤fFN=fmg第4章2000年第四屆全國周培源大學生力學競賽 第4章2000年第四屆全國周培源大學生力學競賽3.解：如圖4-17a所示，由OA桿的運動可以求出A點的速度和加速度，也可求出齒輪A的角速度和Aa)加慣性力和慣性力矩，如圖4-17b所示，有向0點簡化，有4.解：如圖4-18a所示，若繩不可伸長，對AB桿，由Jcα=ZMc得b)如圖4-18b所示，由A點加速度分析，此瞬時a=0,因此有聯立式(4-1)、式(4-2)、式(4-3),解出如果繩子可伸長，在剪斷右繩的瞬時，左繩還沒有來得及變根據式(4-1),有a)圖4-196.解：如圖4-20所示，系統自由度為3,廣義坐標選根據L=T-V,代入設各轉角是微V=-mgdcosθm(R2+d2-2Rdcosθ)0-mRdsi圖4-22b)TL3十L3L圖4圖4-24第4章2000年第四屆全國周培源大學生力學競賽qx(3)在任意位置x截取dx微段，注意到任意截面上合剪力Fs為零，由微段平衡(4)從dx微段中再截取一微段如圖4-26所示，所截橫截面面積為w。根據平衡條件2.解：研究L形元件孔內一段螺栓(圖4-27a)軸線伸長兩L形元件相對轉角全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版如圖4-27b所示，由一個L形元件的平衡∑FA=0,FNa+M-Fb=0聯立式(4-7)和式(4-8),解得由式(4-6)3.解：(1)相應靜載荷的自由端撓度為(2)設階梯梁沖擊載荷為P',則有(3)設b?=αb,其中α是小于等于1的正因數，則第4章2000年第四屆全國周培源大學生力學競賽先求靜載荷P作用于自由端靜撓度(圖4-28)。在靜載荷P作用下M(x)=Px在單位力作用下M(x)=x立對于靠自由端一段梁,其中是等截面梁的抗彎截面系數。對于靠固定端由階梯梁和等截面梁在固定端最大動應力相等，有4.解：本題應用卡氏定理(2)如圖4-29所示，設Fc=F,Fo=F,則(3)的幾何意義是均布載荷q對應的廣義位移，即梁彎曲變形前后兩軸線所圍成的面積。5.解：(1)如圖4-30a所示，桿的彎矩和扭矩方程分別為全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版最大應力發生在,即固定端A(2)在B端加單位力偶(圖4-30b)6.解：(1)在連接段L全部發生相對滑動時，兩軸之間存在均布切向力fp,內軸承受均布扭矩(2)此時，兩軸兩端各一段相對滑動，中間一段無滑動。在中間無滑動段，兩軸扭轉角變化率為第4章2000年第四屆全國周培源大學生力學競賽如圖4-31所示，內實心軸在左端扭矩為T,右端為0,中間一段為常左和右兩段扭矩斜率為T+773230a4.5.1理論力學試題點評本次理論力學競賽的難度不大，只有個別題目需要注第1題是力系平衡與簡化的問題，是逆問題。原則上可以任意找一點進行力系簡化，得到一個力的主矢量和主矩，然后再進一步簡化為一個力。當然能否簡化為一個力是有條件的，而且也不是所有學生很容實際上如果把力系向0'點簡化，直接得到力的主矢量為Fo=F(-i-j+k),主矩為M=0,從而可第2題是摩擦問題，也與生活經驗有關。在第(2)問中A的加速度小于B,會落下。因為A的最大加速度為am=fg,而B的加速度可以由于主動力增加而增加。第3題是動靜法的問題，加上慣性力和慣性力矩后，直接簡化就可以。這里只需要注意角速度與角加速度是反向的，同時在加慣性力時，不要漏了慣性力矩。整個計算很容易。第4題是個典型的概念問題。第(1)問中繩子不可伸長，利用剛體平面運動微分方程，補充A點加速度與質心加速度的運動學關系后，可以得到答案。第(2)問中繩子可以伸長，更簡單，A處的繩子在另一側繩子剪斷的瞬時來不及變形，拉力不變。第5題是剛體平面運動問題，屬于常規的作業題。在解題時有兩個地方要注意：一是M點的“切向加速度”是什么方向?不注意容易錯。二是在分析M點加速度時，如果利用了)就會使計算第6題是分析力學的問題，不過自由度為3,比平時作業多些。具體的分析是按部就班地列動能、勢能、拉格朗日函數等。需要注意的地方：1、2兩桿始終平行，只有1個自由度；3、4兩桿的相對運動規律不需要求解整個系統的動力學方程，只需要把某兩個動力學方程相減，就可以得到結果。第7題是點的運動學問題，可以用動量定理和動量矩定理的積分形式，也可以用微分形式。采用積分形式更簡便些。由于系統質心平動，相對質心轉動，因此，AB的運動等效于直徑為l的圓沿y軸作純滾動，兩點的軌跡均是旋輪線。在過質心的平動坐標系中，B作勻速圓周運動，易得出繩子的張力。因此，本題從幾何的觀點分析更簡單，而用微分形式的方法要積分，不直觀。第8題是振動方程的周期與穩定性問題。配重的質量不是越大越好，而是可以任意。這與通常的經驗全國周培源大學生力學競賽賽題詳解及點評2021版不符合，原因是其他部分的空殼不考慮質量。具體的處理方法有很多，關鍵是得到系統的振動微分方程，在線性化后為θ,即只要R>d>0,振動方程就不會發散，且周期為第9題是剛體轉動問題，用常規方法處理有難度，用幾何的方法則可以直接看出結果。常規的方法是建立坐標系與矩形板固結，根據坐標系在轉動前后的位置，可以得到坐標轉換矩陣，然后通過求矩陣的特征值和特征矢量，尋找在兩個坐標系中具有相同分量的矢量，該矢量就是轉軸，而坐標轉換矩陣的跡與轉角有關。這是很復雜的方法，可能超出了基本要求。解答采用幾何方法。關鍵點之一是意識到：轉軸和轉角的大小與矩形板尺寸無關，這樣一來，用正方形進行分析就更簡單。實際上本題還有更簡單的做法：如果把原圖中的標志線畫在0'C,轉動一次后到CA,再轉動一次后到AO',再轉動一次回到初始位置(圖4-32)。因此知道三次轉動為一周，每次轉動就為120°,而轉軸也很容易看出是立方體的對角線OB'。也就是說，概念清楚、空間想象力好的學生可能在幾秒鐘第四屆全國大學生力學競賽于世紀之交舉行。為了迎接新世紀，國家教育委員會(現教育部)頒布了