1第七屆全國大學生數學競賽決賽三、四年級試題解答(數學類,2016年3月福州)一、(本題20分)填空題(每小題5分)(4)(1,0,1),或(-1,0,-1),或(1,t,-1),或(-1,t,1),t∈R.二、(本題15分)由于形如αx+βy+γ=0的平面與S只能交于直線或空集,所以可以設平面σ的方程為z=αx+βy+γ,它與S的交線為圓.令x=cosθ,y=sinθ,則σ與S的交線可表示為由于Γ(θ)是一個圓,所以它到一個定點P(a,b,c)的距離為常數R.于是有恒等式利用我們可以將上式寫成Acos2θ+Bsin2θ+Ccosθ+Dsinθ+E=0,其中A,B,C,D,E為常數.由于這樣的方程對所有θ∈[0,2π]恒成立,所以A=B=C=D=E=0.特別地,我們得到2于是得到Q=0,β=士1,平面σ的法向量為的非零倍數.三、(本題15分)證明存在可逆方陣T,使得T-1AT=為對角陣.令T-1BT=,則為實對稱方陣,且tr((AB)2)=tr(()2),tr(A2B2)=tr(22).令=diag(a11,···,ann),=(bij)n×n.則于是四、(本題20分)先證:當0<x<時,有證明設Γ的圓心為O,Qi=7BiOBi+1,Bn+1=B1,則P先證:當0<x<時,有3故g(x)嚴格單調遞增,因而g(x)>g(0)=0.(1)式得證.五、(本題10分)證明首先,令G1=(u1),G2=(v1),G3=(u2),G4=(v2),244},則T、H均為G的阿貝爾子群.進一步,由(8,13)=1可知2={e},G3∩G4={e}.結果,T=G1G2為內直積分解,H=G3G4為內直積分解.其次,分別計算u1v1與u2v2的階.若(u1v1)x=e,則uv=e,由T=G1G2為內直積分解得u=v=e,從1v1)=8×13,即有T=(u1v1).同理知:o(u2v2)=8×13,即有H=(u2v2).注意到u1v1=u2v2,故T=H.第三,u242.第四,再次考慮到u1v1=u2v2以及T=G1G2為內直積分解,因此有u1=u2,v1=v2.最后,直接計算可知,u1u2的階為4,v1v2的階為13.六、(本題10分)證明令E1=E—Q,其中Q是有理數集,則E1無內點,且m(E1)=m(E).(i)存在閉集E2CE1,使得a<m(E2)<m(E1)=m(E).對m(E1)>a+q>a的正實數q,由測度的連續性知,存在ACE1,使得m(A)=a+q.由可測集的定義,對,存在閉集E2CA,使得m(A—E2),于是m(E2)=m(A)—m(A—E2)>a+q—=a>a.又m(E2)≤m(A)=a+q<m(E1),即a<m(E2)<m(E1)=m(E).(ii)令f(x)=m(E2∩[—x,x]),x∈R,可證f(x)是連續單增函數,且f(0)=0,limf(x)=m(E2)>a.x→+∞由連續函數的介值定理知:存在r>0,使得f(r)=m(E2∩[—r,r])=a.令F=E2∩[—r,r],則F為無內點的有界閉集,且FCE,m(F)=a.七、(本題10分)23為曲線√的Frenet標架:2.則有其中τ為曲線√的撓率.設β=e2:[0,l]→S2,為球面上的簡單閉曲線,它的弧長參數為.于是有5球面在β(s)點的單位法向量為~β,曲線β(s)的切向量為=—曲線β(s)在球面上的法向量e2為于是,曲線β在球面上的測地曲率故有其中用到閉曲線性質:k(0)=k(l),τ(0)=τ(l).由于B為簡單閉曲線,它圍成球面一個單連通區域D.由Gauss-Bonett定對球面而言,Gauss曲率K=1,故區域D的面積jDj=2π,為球面面積的一半.八、(本題10分)解1.令q(x)=x3—p(x).我們證明q(x)具有形式:q(x)=xJ2(x),其中J(x)為一次多項式.首先說明q(x)的根都為實數.實際上q(x)必有一實根α1,若另兩個為一對共軛復根,則q(x)具有形式:q(x)=(x—α1)(x2+ax+4b<0.由于q(x)>0,α1≤0,q(x)>x(x+a/2)2,q(x)dx> x(x+a/2)2dx.這與jjq(x)jj1達到最小矛盾!因此,q(x)的三個根都為實數,設為α1,α2,α3.6若q(x)的三個根互不相等,則αi≤0,q(x)dx>x3dx>x(x-1/2)2dx,矛盾!因此q(x)有兩個根相等,設α2=α3.故q(x)=(x-α1)(x-2)2,并且α1=0時q(x)dx會更小.由于q(x)dx2-x時,jjx3-p(x)jj1最小.2.令q(x)=x4-p(x).類似于1的分析,q(x)的根都為實數,且都為重根,即q(x)=J2(x),J(x)為二次多項式.設J(x)=x2+ax+b,則f(a,b):= 解得a=-1,b=.九、(本題10分)所以是一個將D映入D,將0映到0的解析函數,根據Schwarz引理,有兩邊平方得,jf(z)j2≤jzj2(4-4Ref(z)+jf(z)j2),即,(1-jzj2)jf(z)j2≤4jzj2(1-Ref(z)).7由于(Ref(z))2≤jf(z)j2,從上式可得十、(本題10分)解用An表示事件“經n次試驗后,黑球出現在甲袋中”,A-n表示事件“經n次試驗后,黑球出現在乙袋中”,Cn表示事件“第n次從黑球所在的袋中取出一個白球”.記pn=P(A