1第二屆中國大學生數學競賽預賽試卷參考答案及評分標準(非數學類，2010)一(本題共5小題，每小題5分，共25分)、計算下列各題(要求寫出重要步驟).(1)設x,=(1+a)·(1+a2)…(1+a2"),解將x,恒等變形(2)求解(3)設s>0,求解因為s>0時，,所以，2(4)設函數f(t)有二階連續的導數，r=√x2+y2,,求(5)求直：與直線l?的距離.解直線l?的對稱式方程為記兩直線的方向向量分別為Z=(1,1,0),T?=(4,-2,-1),兩直線上的定點分別為P(0,0,0)和P?(2,1,3),a=PP?=(2,1,3).Z×Z?=(-1,1,-6).由向量的性質可知，兩直線的距離二(本題共15分)、設函數f(x)在(-0,+)上具有二階導數，并且f"(x)>0,,且存在一點x。,使得f(x?)<0.證明：方程f(x)=0在(-0,+0)恰有兩個實根.證1.由必有一個充分大的a>x。,使得f'(a)>0.f"(x)>0知y=f(x)是凹函數，從而f(x)>f(a)+f'(a)(x-a)(x>a)當x→+0時，f(+0)+f'(a)(x-a)→+00.故存在b>a,使得f(b)>f(a)+f'(a)(b-a)>03同樣，由,必有c<x?,使得f'(c)<0.f"(x)>0知y=f(x)是凹函數，從而f(x)>f(c)+f'(c)(x-c)(x<c)當x→-時，f(-o)+f'(c)(x-c)→+00.f(d)>f(c)+f'(c)(d-c)>0下面證明方程f(x)=0在(-0,+o)只有兩個實根.用反證法.假設方程f(x)=0在(-0,+0)內有三個實根，不妨設為x?,x?,x?,且x?<x?<x?.對f(x)在區間[x?,x?]和[x?,x?]上分別應用洛爾定理，則各至少存在一點ξ(x?<ξ<x?)和ξ?(x?<??<x?),使得f(ξ)=f(S?)=0.再將f(x)在區間[S,S?]上使用洛爾定理，則至少存在一點η(G<η<ξ?),使f"(η)=0.此與條件f"(x)>0矛盾.從而方程f(x)=0在(-0,+0)不能多于兩個根.…(15分)證2.先證方程f(x)=0至少有兩個實根.由,必有一個充分大的a>x。,使得f'(a)>0.拉格朗日中值定理，對于x>a有f(x)-[f(a)+f'(a)(x-a)]=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)]=f'(ξ)(x-a)-f'(a)(x-a)=[f'(ξ)-f'(a)](x-a)其中a<ξ<x,a<η<x.注意到f"(η)>0(因為f"(x)>0),則4又因f'(a)>0,故存在b>a,使得f(b)>f(a)+f'(a)(b-a)>0………………(6分)下面證明方程f(x)=0在(-00,+)只有兩個實根.(以下同證1)……(15分)三(本題共15分)、設函數y=f(x)由參數方程(t>-1)所確定.且 處相切.求函數y(t).…………(3分)…………(9分)5所以,知四(本題共15分)、設a>0,,證明：(1)當α>1時，級數收斂；(2)當α≤1,且S,→0(n→)時，級發散.證明令f(x)=x1-",x∈[S,1,S,].將f(x)在區間[S,|,S,]上用拉格朗日中值定..顯然的(2)當α=1時，因為a,>0,S,單調遞增，所以因為S,→+00對任意n,當p∈N,從而.所以級數6五(本題共15分)、設1是過原點，方向為(a,β,γ)(其中α2+β2+γ2=1)的直線，均勻橢(其中0<c<b<a,密度為1)繞1旋轉.(1)求其轉動慣量；(2)求其轉動慣量關于方向(a,β,γ)的最大值和最小值.為r,則點P到旋轉軸l的距離的平方為d2=r2-(r.1)2=(1-α2)x2+(1-β2)y2+(1-γ2)z2-2a由積分區域的對稱性可知………………(2分)……………由轉到慣量的定義(2)考慮目標函數V(a,β,γ)=(1-α2)a2+(1-β2)b2+(1-γ2)c2在約束a2+β2+γ2=1下的條件極值.設拉格朗日函數為L(α,β,y,A)=(1-α2)a2+(1-β2)b2+(1-γ2)c2+λ(α2+β2+γ2-1)令L=2a(A-a2)=0,Lg=2β(A-b2)=0,L=2γ(A-c2)=0,L=a2+β2+γ2-1=07比較可知，繞z軸(短軸)的轉動慣量