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π（2）設函數z=z(x,y)由方程所決定，其中F(u,v)具有連續偏導解：方程對x求導，得到同樣，方程對y求導，得到y（3）曲面z=x2+y2+1在點M(1,-1,3)的切平面與曲面z=x2+y2所圍區域的體積為π。 解：曲面z=x2+y2+1在點M(1,-1,3)的切平面：2(x?1)?2(y+函數f在的傅立葉級數在x=0收斂的值3/2。解：由傅里葉收斂定理，易知f(0)=3/2.（5）設區間(0,+∞)上的函數u(x)定義為e?xt2dt，則u的初等函數表達式為 2x解：顯然，O(0,0,0)為M的頂點，A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)在M上。由A,B,C三點決定的平面x+y+z=1與球面x2+y2+z2=1的交線L是M的準線。----------------------------4分即u=xt,v=yt,w=zt。-------------------------------------消除t，得到圓錐面M的方程xy+yz+zx=0。-------------------------------------------12分三、（12分）設f(x)在(a,b)內二次可導，且存在常數α,β,使得對于?x∈(a,b)f則f(x)在(a,b)內無窮次可導。證明1.若β=0。f2f(x),…,f(n)(x)=αnf(x)。從而f(x)在(a,b)內無窮次可導。----------------------------------4分其中A1=1/β,B1=α/β。-----------------------6分f1f"(x)+B1f'(x)。---------------------8分設f(n)(x)=A1f(n?1)(x)+B1f(n?2)(x),n>1，則f(n+1)(x)=A1f(n)(x)+B1f(n?1)(x)。故f(x)任意階可導。-----------------------------------12分由----------------------------------用S1(x)，S2(x)和S3(x)分別表示上式右端三個冪級數的和函數。依據ex的展開式得到2ex?1,S2(x)=ex?1又S3ex?1+----------14分0證明1）若?x∈[0,1]，f(x)≤4，則dx≤4dx=1----------------4分故dx=0，-----------所以對于任意的x∈[0,1]，f(x)=4,由連續性知f(x)≡4或f(x)≡?4。0)>4-----2<4。若不然，對任何x∈[0,1]，f(x)≥4恒成立，或者f(x)≤?4恒成立，與dx=0矛盾。再由f的連續性及1)=4。---------六、（16分）設f(x,y)在x2+y2≤1上有連續的二階偏導數，fx+2fx+f≤M。若f(0，0)=0，fx(0,0)=fy(0,0)=0，證明證明：在點(0,0)展開f(x,y)得由于||(u,2

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