人教數學（A版）培訓手冊之三十七──“矩陣與變換”簡介矩陣是研究圖形（向量）變換的基本工具，有著廣泛的應用，許多數學模型都可以用矩陣來表示。本專題將通過平面圖形的變換討論二階方陣的乘法及性質、逆矩陣和矩陣的特征向量等概念，并以變換的觀點理解解線性方程組的意義，初步展示矩陣應用的廣泛性。

一、內容與要求

1．理解二階矩陣的概念

2．二階矩陣與平面向量（列向量）的乘法、平面圖形的變換

（1）以變換的觀點認識矩陣與向量乘法的意義。

（2）證明矩陣變換把平面上的直線變成直線，即證明

A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ。

（3）通過大量具體的矩陣對平面上給定圖形（如正方形）的變換，認識到矩陣可表示如下的線性變換：恒等、反射、伸壓、旋轉、切變、投影。

3．變換的復合──二階方陣的乘法

（1）通過變換的實例，了解矩陣與矩陣的乘法的意義。

（2）驗證二階方陣乘法滿足結合律。

（3）通過具體的幾何圖形變換，說明矩陣乘法不滿足交換律和消去律。

4．逆矩陣與二階行列式

（1）通過具體圖形變換，理解逆矩陣的意義；通過具體的投影變換，說明逆矩陣可能不存在。

（2）會證明逆矩陣的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等簡單性質，并了解其在變換中的意義。

（3）了解二階行列式的定義，會用二階行列式求逆矩陣。

5．二階矩陣與二元一次方程組

（1）能用變換的觀點認識解二元一次方程組的意義。

（2）會用系數矩陣的逆矩陣解系數矩陣可逆的二元一次方程組。

（3）會通過具體的可逆的系數矩陣，從幾何上說明線性方程組解的存在性，唯一性。

6．變換的不變量

（1）掌握矩陣特征值與特征向量的定義，能從幾何變換的角度說明特征向量的意義。

（2）會求二階方陣的特征值與特征向量（只要求特征值是兩個不同實數的情形）。

7．矩陣的應用

（1）利用矩陣A的特征值、特征向量給出Anα簡單的表示，并能用它來解決問題。

（2）初步了解三階或高階矩陣。

（3）了解矩陣的應用。

二、內容安排及說明

1．課時分配

本專題分為四講，共18課時，具體分配如下（供參考）：

第一講

線性變換與二階矩陣

約5課時

一

線性變換與二階矩陣

約2課時

二

二階矩陣與平面向量的乘法

約1課時

三

線性變換的基本性質

約2課時

第二講變換的復合與二階矩陣的乘法

約4課時

（3）在第二講中，通過實例考察在直角坐標系內連續施行兩次線性變換的作用效果是否能用一個線性變換表示，引入線性變換的復合，介紹二階矩陣的一種重要運算——矩陣的乘法，并通過應用進一步理解矩陣的乘法；類比實數乘法的運算律，研究二階矩陣乘法的運算律，證明矩陣的乘法滿足結合律，通過學生熟悉的某些二階矩陣所對應的線性變換對單位正方形區域的作用結果，得到矩陣的乘法不滿足交換律和分配律．

（4）在第三講中，類比實數的乘法運算中的一條重要性質：“如果，則”，分別把恒等變換和單位矩陣作為數１類比對象，通過線性變換引進逆矩陣，并通過線性變換和生活中的常識理解逆矩陣的性質；引進二階行列式，利用它研究逆矩陣，解決如何判斷二階矩陣是否可逆以及如何求可逆矩陣的逆矩陣的問題；本講還從線性變換的角度來認識解二元一次方程組的意義，并利用逆矩陣求解系數矩陣可逆的二元一次方程組．

（5）在第四講中，通過研究兩個熟知的重要線性變換的“不變”直線和“不變”向量，引入線性變換的一種重要的不變量——矩陣的特征向量；并從這兩個線性變換出發，討論特征向量的性質；給出特征值、特征向量的計算方法；利用特征向量的性質，得到的簡單表示，并應用這種簡單表示解決一類實際問題（人口遷移問題）．4．重點和難點

本專題的重點是通過平面圖形的變換引入二階矩陣，認識矩陣與向量乘法的意義，討論線性變換的基本性質、二階矩陣的乘法及性質、逆矩陣和矩陣的特征向量的概念與性質等，并以變換的觀點理解解線性方程組的意義。

矩陣的內容比較抽象，本專題的難點是線性變換的基本性質、矩陣乘法的運算律（這可能是學生第一次遇到不滿足交換律、消去律的運算）、矩陣的特征值與特征向量的概念等。

三、編寫中考慮的幾個問題

1．展現基本概念、重要結論的發生發展過程

這樣的編寫意圖貫穿本專題內容的始終。教科書采取了“問題情境——引導探究——抽象概括”的方式，安排了從具體線性變換的實例中抽象概括出基本概念和重要結論的活動，以引導學生經歷基本概念、重要結論的發生發展過程。例如，教科書在引入矩陣特征值、特征向量時，首先設置了一個探究欄目：“對于線性變換，是否存在平面上的直線，使得該直線在這個線性變換的作用下保持不變的呢？是否存在向量，使得該向量在這個線性變換的作用下具有某種“不變性”呢？”接著從兩個具體的線性變換“關于軸的反射變換和伸縮變換”入手，分別考察在這兩個線性變換作用下“不變”的向量，得到

進而抽象概括出它們的共同本質特征，存在數以及非零向量使得

從而給出矩陣的特征值、特征向量的概念；教科書進一步利用這兩個實例抽象概括出特征值、特征向量的性質。同樣的，在引入二階矩陣、矩陣和向量的乘法、矩陣的乘法、逆矩陣等基本概念時，在討論線性變換的基本性質、矩陣乘法的運算律、逆矩陣的性質、用變換的觀點來認識解二元一次方程組的意義時，都充分地展現了它們的發生發展過程。這樣既使學生感覺到這些概念和結論是自然的而不是強加于人的，同時也有助于對這些基本概念、重要結論的理解。

總之，在基本概念和結論的內容安排中，強調了“過程性”。

2．強調把矩陣看作線性變換的本質，強調幾何直觀

矩陣的有關概念和結論比較抽象，教科書充分利用幾何直觀、利用矩陣所對應的線性變換來介紹這些抽象的概念和結論，從而有效地化解了矩陣內容的抽象性。由于平面上的線性變換與二階矩陣是一一對應的，因此，本專題在研究二階矩陣時，常常通過研究矩陣對應的幾何變換（線性變換）來進行。對于每個概念和結論，總是先通過具體的線性變換從幾何直觀上獲得感知，進而抽象出矩陣中一般性的概念或結論，再從理論上對結論進行嚴格證明。例如，通過旋轉角是的旋轉變換，引入矩陣與向量的乘積來表示這個旋轉變換，這樣，使學生認識到，某些幾何變換可以用矩陣來表示，豐富學生對矩陣幾何意義的理解；在得出線性變換的基本性質的過程中，先通過旋轉變換從幾何直觀上感知，通過關于x軸的反射變換從幾何直觀上感知，然后再分別進行嚴格的理論證明，進而綜合得到線性變換的基本性質，這樣就使原本抽象、難以理解的結論變得自然、易于理解；通過兩個連續施行兩次具體的線性變換的實例，引入二階矩陣的乘法；并且通過學生熟悉的幾何變換的實例，說明矩陣的乘法不滿足交換律和分配律；通過旋轉變換、切變變換等具體的線性變換，并借助于幾何圖形、充分利用幾何直觀，引入逆矩陣的概念，引出并理解逆矩陣的性質；通過分別考察在兩個幾何變換（關于軸的反射變換、伸縮變換）作用下的“不變”直線，進而考察“不變”向量，引入矩陣的特征值、特征向量的概念，并通過這兩個幾何變換感知特征向量的性質；教科書還從線性變換的角度來認識解二元一次方程組的意義。

總之，本專題中，矩陣中的所有概念和結論都是先通過具體的幾何變換使學生獲得感知的，借助幾何直觀，有利于學生理解抽象的代數內容，從而也降低了矩陣內容的抽象程度。

借助幾何變換（線性變換）研究二階矩陣是本專題的基本出發點。

3．強調數學思想方法的滲透和運用

本專題中涉及類比、從特殊到一般、從具體到抽象、“數形”結合等多種數學思想方法。在引入概念、得出結論的過程中，適當滲透并運用數學思想方法是教材編寫中考慮的一個重要問題。

(1)類比

類比解析幾何中研究曲線與方程的方法，討論線性變換與二階矩陣。曲線與方程是一一對應的，由曲線的性質可以研究對應的方程，由方程的性質也可以研究對應的曲線．與此類似，二階矩陣與平面上的線性變換也是一一對應的，因而，我們既可以通過二階矩陣來研究對應的線性變換，也可以通過平面上的線性變換來研究對應的二階矩陣．本專題中，更多地是通過線性變換來研究對應的二階矩陣。

類比實數乘法的運算律研究矩陣乘法的運算律。教科書首先回憶“實數的乘法運算滿足一定的運算律，即對于實數，有結合律：（ab）c=a（bc）；交換律：ab=ba；消去律：設，如果，那么；如果，那么。”進而設置一個探究欄目“類比實數乘法的運算律，二階矩陣的乘法是否也滿足某些運算律？”研究矩陣乘法的運算律。

(2)從特殊到一般、從具體到抽象

教科書通過“思考”“探究”等欄目，引導學生經歷從特殊到一般、從具體到抽象的過程，獲得一般性的概念和結論，使學生理解概念和結論。

例如，教科書在引入矩陣的乘法時，先首先設置了一個探究欄目：“在直角坐標系xOy內，連續施行兩次線性變換，其作用效果是否能用一個變換表示？是否存在一個二階矩陣與這個新變換對應？如果存在，這個二階矩陣與原來的兩個線性變換的二階矩陣有什么關系？”，然后由簡單到復雜，分別考察依次施行兩個旋轉變換的作用效果、依次施行旋轉變換和切變變換的作用效果，進而研究依次施行兩個一般的矩陣與所對應的線性變換的作用效果，最終引入矩陣的乘法。

又如，教科書在研究逆矩陣的求法時，首先設置了一個探究欄目：“我們知道，二階矩陣不一定可逆的．對任意給定的二階矩陣A，如何判別它是否可逆？若可逆，如何求其逆矩陣呢？”接著從兩個具體的矩陣，入手進行研究，發現第一個矩陣是可逆的、第二個矩陣不可逆；并進一步分析出第一個矩陣可逆的原因是，第二個矩陣不可逆的原因是；這樣就為討論一般的二階矩陣何時可逆提供了方向：“對一般的二階矩陣，是否也有類似的結論？即當時，可逆；當時，不可逆呢？”最后，通過嚴格的理論推導得出一般結論。

四、對教學的幾個建議

1．準確把握教學要求

“矩陣與變換”是課程標準中的新增內容，教學中應準確把握內容的要求。本專題只對具體的二階矩陣加以討論，而不討論一般m×n(aij)階矩陣以及形式的表示。二階矩陣的內容比較抽象，應通過具體的線性變換的實例來組織教學，切忌從理論到理論只進行抽象的推導。例如，矩陣的引入要從具體的實例開始，通過具體的實例讓學生認識到，某些幾何變換可以用矩陣來表示，豐富學生對矩陣幾何意義的理解；要從具體的線性變換直觀地理解矩陣的乘法，并通過具體的實例讓學生理解矩陣乘法的運算律；要在具體的實例中使學生理解逆矩陣、理解特征向量的實際意義及其不變性；結合具體實例能用線性方程組或用行列式來求解簡單二階矩陣的逆矩陣和特征值；逆矩陣的唯一性也要結合具體的線性變換來理解其合理性。

2．緊密結合幾何變換（線性變換），引入矩陣的有關概念、得出矩陣的性質

在本專題的教學中，從引入二階矩陣的有關概念到得出矩陣的性質，都應緊緊抓住二階矩陣與平面上的線性變換一一對應的關系，緊密結合幾何變換（線性變換）。通過幾類重要的幾何變換引入二階矩陣；通過旋轉角是的旋轉變換，引入矩陣與向量的乘積來表示這個旋轉變換，這樣，使學生認識到，某些幾何變換可以用矩陣來表示，豐富學生對矩陣幾何意義的理解；先通過重要的幾何變換感知和，再得出線性變換的基本性質；通過兩個連續施行兩次具體的線性變換的實例，引入二階矩陣的乘法；并且通過學生熟悉的幾何變換的實例，說明矩陣的乘法不滿足交換律和分配律；通過旋轉變換、切變變換等具體的線性變換，并借助于幾何圖形、充分利用幾何直觀，引入逆矩陣的概念，引出并理解逆矩陣的性質；通過考察在關于軸的反射變換、伸縮變換作用下的不變直線，進而考察“不變”向量，引入矩陣的特征值、特征向量的概念，并通過這兩個幾何變換感知特征向量的性質；教科書還從線性變換的角度來認識解二元一次方程組的意義。

總之，在本專題的教學中，矩陣中的每個概念和結論，都應先通過具體的幾何變換使學生獲得感知，借助幾何直觀有利于學生理解抽象的代數內容，從而也降低了教科書的抽象程度。在教學中，只要有可能就要與具體的幾何變換相結合。

3．加強相關知識的聯系性，強調數學思想方法

實數乘法運算的性質與矩陣乘法運算的性質的聯系。

“數形”結合、類比、從特殊到一般、從具體到抽象數學思想方法。

例如，類比實數的乘法運算中的一條重要性質：“如果，則．