安徽阜陽市臨泉縣第一中學(xué)2025屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題理試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合（），若集合，且對(duì)任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（）A． B． C． D．2．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．3．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為40，則的最小值是（）A． B． C． D．24．已知三棱錐中，是等邊三角形，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．已知，則（）A． B． C． D．26．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．7．集合，則（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．已知，則（）A． B． C． D．11．當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（）A． B． C． D．12．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若直線與圓相切，則雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)，且，tan∠PF2F1＝﹣2，則雙曲線的離心率為_____．14．若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是直線：上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)．已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)__________．16．已知函數(shù)，若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì)，健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”，提高廣大市民對(duì)全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度，推出了健身促銷活動(dòng)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：健身時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元（不足l小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來該健身館健身，設(shè)甲、乙健身時(shí)間不超過1小時(shí)的概率分別為，，健身時(shí)間1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)的概率分別為，，且兩人健身時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).（1）設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）此促銷活動(dòng)推出后，健身館預(yù)計(jì)每天約有300人來參與健身活動(dòng)，以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，預(yù)測(cè)此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額.18．（12分）已知函數(shù)，記不等式的解集為.（1）求；（2）設(shè)，證明：.19．（12分）已知數(shù)列滿足：對(duì)任意，都有.（1）若，求的值；（2）若是等比數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，，求證：若成等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列.20．（12分）設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）時(shí)，若，，求證：．21．（12分）底面為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因?yàn)椋阅茏鳛榧系幕祝蔬x：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】由題意，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，得展開式的通項(xiàng)為，則展開式的通項(xiàng)為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點(diǎn)睛：此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低檔題，也是常考知識(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)所求問題，通過確定未知的次數(shù)，求出，將的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算，從而問題可得解.3．B【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點(diǎn)，再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)圖像知：當(dāng)時(shí)，有最大值為，即，故..當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.4．D【解析】

根據(jù)底面為等邊三角形，取中點(diǎn)，可證明平面，從而，即可證明三棱錐為正三棱錐.取底面等邊的重心為，可求得到平面的距離，畫出幾何關(guān)系，設(shè)球心為，即可由球的性質(zhì)和勾股定理求得球的半徑，進(jìn)而得球的表面積.【詳解】設(shè)為中點(diǎn)，是等邊三角形，所以，又因?yàn)椋遥云矫妫瑒t，由三線合一性質(zhì)可知所以三棱錐為正三棱錐，設(shè)底面等邊的重心為，可得，，所以三棱錐的外接球球心在面下方，設(shè)為，如下圖所示：由球的性質(zhì)可知，平面，且在同一直線上，設(shè)球的半徑為，在中，，即，解得，所以三棱錐的外接球表面積為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和相關(guān)計(jì)算，正三棱錐的外接球半徑求法，球的表面積求法，對(duì)空間想象能力要求較高，屬于中檔題.5．B【解析】

結(jié)合求得的值，由此化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，求得表達(dá)式的值.【詳解】由，以及，解得..故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.6．C【解析】

可設(shè)，根據(jù)在上為偶函數(shù)及便可得到：，可設(shè)，，且，根據(jù)在上是減函數(shù)便可得出，從而得出在上單調(diào)遞增，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到、、的大小關(guān)系，從而得到的大小關(guān)系.【詳解】解：因?yàn)椋矗郑O(shè)，根據(jù)條件，，；若，，且，則：；在上是減函數(shù)；；；在上是增函數(shù)；所以，故選：C【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的定義，減函數(shù)及增函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法和過程：設(shè)，通過條件比較與，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.7．D【解析】

利用交集的定義直接計(jì)算即可.【詳解】，故，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，注意常見集合的符號(hào)表示，本題屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng)，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，，所以；當(dāng)軸時(shí)，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.9．B【解析】

可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.10．D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減，對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)椋裕允菧p函數(shù)，又因?yàn)椋裕裕訟,B兩項(xiàng)均錯(cuò)；又，所以，所以C錯(cuò)；對(duì)于D，，所以，故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，兩個(gè)式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系，有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值，進(jìn)而得到大小關(guān)系.11．A【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行，直至不滿足條件退出循環(huán)體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運(yùn)行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12．B【解析】

先設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，根據(jù)題意，得到，再由，根據(jù)勾股定理求出，從而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，因?yàn)槭且詧A的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形，所以，又因?yàn)閳A與直線的切點(diǎn)為，所以，又，所以，因此，因此有，所以，因此漸近線的方程為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)正弦定理得，根據(jù)余弦定理得2PF1?PF2cos∠F1PF23，聯(lián)立方程得到，計(jì)算得到答案.【詳解】∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，①又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，△PF1F2中用余弦定理，得2PF1?PF2cos∠F1PF23，②①②聯(lián)解，得，可得，∴雙曲線的，結(jié)合，得離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.14．【解析】

由知x＞0，故.令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在（0，e）上遞增，在（e，+）上遞減.故，即.15．【解析】

依題意畫圖,設(shè),根據(jù)圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角,可得,通過勾股定理得,再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出,進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解:依題意畫圖,設(shè)以為直徑的圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為,且,又因?yàn)闉閳A的直徑,則所對(duì)的圓周角,則,則為點(diǎn)到直線：的距離.所以,則.又因?yàn)辄c(diǎn)在直線：上,設(shè),則.解得,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,考查了兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,是基礎(chǔ)題.16．【解析】

由題意首先研究函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于a的不等式，求解不等式即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，很明顯，且存在唯一的實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，考查函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，即方程有6個(gè)根，也就是有6個(gè)根，即與有6個(gè)不同交點(diǎn)，注意到函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，繪制函數(shù)的圖像如圖所示，觀察可得：，即.綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析，40元（2）6000元【解析】

（1）甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用都是0元、20元、40元三種情況，因此甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和共有9種情況，分情況計(jì)算即可（2）根據(jù)（1）結(jié)果求均值.【詳解】解：（1）由題設(shè)知可能取值為0，20，40，60，80，則；；；；.故的分布列為：020406080所以數(shù)學(xué)期望（元）（2）此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額預(yù)計(jì)為：（元）【點(diǎn)睛】考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求法，中檔題.18．（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此解不等式求得不等式的解集.（2）將不等式坐標(biāo)因式分解，結(jié)合（1）的結(jié)論證得不等式成立.【詳解】（1）解：，由，解得，故.（2）證明：因?yàn)椋裕裕?【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式的證明，屬于基礎(chǔ)題.19．（1）3；（2）；（3）見解析.【解析】

（1）依據(jù)下標(biāo)的關(guān)系，有，，兩式相加，即可求出；（2）依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知，求出首項(xiàng)和公比即可。利用關(guān)系式，列出方程，可以解出首項(xiàng)和公比；（3）利用等差數(shù)列的定義，即可證出。【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意，都有，所以，，兩式相加，，解得；（2）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，因?yàn)閷?duì)任意，都有，所以有，解得，又，即有，化簡(jiǎn)得，，即，或，因?yàn)椋?jiǎn)得，所以故。（3）因?yàn)閷?duì)任意，都有，所以有，成等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，由等差數(shù)列的定義知，也成等差數(shù)列。【點(diǎn)睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義以及賦值法的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，綜合運(yùn)用數(shù)列知識(shí)的能力。20．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)參數(shù)的取值，討論的正負(fù)，即可求出關(guān)于的單調(diào)性即可；（2）首先通過構(gòu)造新函數(shù)，討論新函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】（1），令，則，令得，當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在性定理知，，不妨設(shè)，使得，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）證明：構(gòu)造函數(shù)，，，，整理得，，（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，，這里不妨設(shè)，欲證，即證由（1）知時(shí)，在上單調(diào)遞增，則需證，由已知有，只需證，即證，由在上單調(diào)遞增，且時(shí)，有，故成立，從而得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)含參分類討論單調(diào)性，借助構(gòu)造函數(shù)和單調(diào)性證明不等式，屬于難題.21．（1）見解析；（2）【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理證明平面，再證明線線垂直即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，再利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】（1）證明：連接，由平行且相等，可知四邊形為平行四邊形，所以.由題意易知，，所以，，因?yàn)椋?/p>