PAGEPAGE6其次節圓與方程第1課時系統學問——圓的方程、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系圓的方程1．圓的定義及方程定義平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心：(a，b)半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2．點與圓的位置關系點M(x0，y0)，圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理論依據點到圓心的距離與半徑的大小關系三種狀況(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點在圓上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?點在圓外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?點在圓內[提示]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的結構都認為是圓，肯定要先推斷D2＋E2－4F的符號，只有大于0時才表示圓．[謹記常用結論]eq\a\vs4\al(,若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則有：,1當F＝0時，圓過原點.,2當D＝0，E≠0時，圓心在y軸上；當D≠0，E＝0時，圓心在x軸上.,3當D＝F＝0，E≠0時，圓與x軸相切于原點；E＝F＝0，D≠0時，圓與y軸相切于原點.,4當D2＝E2＝4F時，圓與兩坐標軸相切.,)eq\a\vs4\al([小題練通])1.eq\a\vs4\al([人教A版教材P124A組T4])圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1，1)和B(1,3)，則圓C的方程為____________．答案：(x－2)2＋y2＝102.eq\a\vs4\al([教材改編題])經過點(1,0)，且圓心是兩直線x＝1與x＋y＝2的交點的圓的方程為________________．答案：(x－1)2＋(y－1)2＝13.eq\a\vs4\al([教材改編題])圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是________．答案：(x－1)2＋(y－1)2＝24.eq\a\vs4\al([易錯題])已知圓的方程為x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，肯定點為A(1,2)，要使過定點A的圓的切線有兩條，則a的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))5．若坐標原點在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內部，則實數m的取值范圍是________．答案：(－eq\r(2)，eq\r(2))6．在平面直角坐標系中，經過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為________________．答案：x2＋y2－2x＝0直線與圓的位置關系1．直線與圓的位置關系(半徑r，圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形量化方程觀點Δ＜0Δ＝0Δ＞0幾何觀點d＞rd＝rd＜r2．圓的切線(1)過圓上一點的圓的切線①過圓x2＋y2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0y＝r2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(2)過圓外一點的圓的切線過圓外一點M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點斜式設出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.(3)切線長①從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一點M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②兩切點弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點M與圓心的距離d與兩切點弦長b的積，即b＝eq\f(2ar,d).[提示]過一點求圓的切線方程時，要先推斷點與圓的位置關系，以便確定切線的條數．3．圓的弦問題直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：(1)幾何法：因為半弦長eq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).(2)代數法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.[謹記常用結論]過直線Ax＋By＋C＝0和圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＞0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λAx＋By＋C＝0.,eq\a\vs4\al([小題練通])1.eq\a\vs4\al([教材改編題])若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數a的取值范圍是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.eq\a\vs4\al([教材改編題])直線y＝ax＋1與圓x2＋y2－2x－3＝0的位置關系是()A．相切 B．相交C．相離 D．隨a的改變而改變解析：選B∵直線y＝ax＋1恒過定點(0,1)，又點(0,1)在圓(x－1)2＋y2＝4的內部，故直線與圓相交．3.eq\a\vs4\al([教材改編題])已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關系是________．解析：由題意知點M在圓外，則a2＋b2＞1，圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，故直線與圓相交．答案：相交4.eq\a\vs4\al([易錯題])過點(2,3)且與圓(x－1)2＋y2＝1相切的直線的方程為________________．解析：當切線的斜率存在時，設圓的切線方程為y＝k(x－2)＋3，由圓心(1,0)到切線的距離為1，得k＝eq\f(4,3)，所以切線方程為4x－3y＋1＝0；當切線的斜率不存在時，易知直線x＝2是圓的切線，所以所求的直線方程為4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝05．以M(1,0)為圓心，且與直線x－y＋3＝0相切的圓的方程是________．答案：(x－1)2＋y2＝86．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點，則|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圓心C(0，－1)，半徑r＝2.圓心C(0，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(|1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內切內含圖形量的關系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[提示]涉及兩圓相切時，沒特殊說明，務必要分內切和外切兩種狀況進行探討．[謹記常用結論]圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時：1將兩圓方程干脆作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；2兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；3x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λx2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0表示過兩圓交點的圓系方程不包括C2.eq\a\vs4\al([小題練通])1.eq\a\vs4\al([人教A版教材P133A組T9])圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的長為________．答案：2eq\r(2)2.eq\a\vs4\al([教材改編題])若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，則實數a＝________.答案：±2eq\r(5)或03.eq\a\vs4\al([教材改編題])圓x2＋y2＝r2與圓(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，則半徑r＝________.解析：由題意，得2r＝eq\r(32＋－12)，所以r＝eq\f(\r(10),2).答案：eq\f(\r(10),2)4.eq\a\vs4\al([易錯題])若兩圓x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共點，則實數m的取值范圍是________．答案：[1,121]5．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：選C圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，因為圓C2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝eq\r(25－m)(m＜25)．從而|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5.由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋eq\r(25－m)＝5，解得m＝9，故選C.6