查漏補(bǔ)缺02：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

題型01指對(duì)募代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值

題型02瞰函數(shù)的圖象與性質(zhì)

題型03對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

題型04幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

題型05指對(duì)尋函數(shù)大小

題型06指對(duì)嘉函數(shù)綜管應(yīng)用

題型01函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間問題

題型02函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

題型03已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

^^01利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式遜02根據(jù)切線情況求參數(shù)

題型03利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

。考點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

費(fèi)的運(yùn)算法則遜04構(gòu)造函數(shù)解不等式

題型05利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

懿與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系題型06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值獻(xiàn)極值的定義題型07利用導(dǎo)數(shù)研究榜式成立問題

級(jí)最值的定義

■郭考點(diǎn)大過頭

考點(diǎn)一：函數(shù)的概念與性質(zhì)

?核心提煉?查漏補(bǔ)缺

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的有關(guān)概念

1、函數(shù)的三要素:

(1)在函數(shù)y=/(x),xeA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;

(2)與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏x)|尤GA｝叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合2

的子集.

(3)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：y=/(x),xeA.

2、相等函數(shù)與分段函數(shù)

(1)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的

依據(jù).

(2)分段函數(shù)：在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量*取值的不同區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)稱為

分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。分段函數(shù)雖然是由幾個(gè)部分

構(gòu)成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)，各部分函數(shù)定義域不可以相交。

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性

1、單調(diào)函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)式尤)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值I],%，

當(dāng)王</時(shí)，都有/'(匹)</(%2)，那么就說函數(shù)#尤)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。

當(dāng)西<%2時(shí)，都有/(再)>/(%)，那么就說函數(shù)加。在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。

2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

若函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=/k)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D

叫做y=/次)的單調(diào)區(qū)間.

3、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

若函數(shù)/(乃與g(x)在區(qū)間。上具有單調(diào)性，則在區(qū)間。上具有以下性質(zhì)：

(1)/(x)與/(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

(2)/(x)與—/(%)的單調(diào)性相反.

(3)當(dāng)a>0時(shí)，/(X)與/(x)單調(diào)性相同；當(dāng)。<0時(shí)，/(X)與單調(diào)性相反.

(4)若/(幻沙，則/(%)與具有相同的單調(diào)性.

(5)若/(%)恒為正值或恒為負(fù)值，則當(dāng)a>0時(shí)，/(x)與，^具有相反的單調(diào)性；

/(x)

當(dāng)。<0時(shí)，/(%)與」一具有相同的單調(diào)性.

/(%)

(6)/(x)與g(x)的和與差的單調(diào)性(相同區(qū)間上)：

簡(jiǎn)記為：/+/=/;(2)、+'=';(3)/-、=/；(4)

(7)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)],

若f=g(尤)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)函數(shù)，且在區(qū)間(g(a),g(b))或(g(6),g(a))上是單調(diào)函數(shù)

若f=g(?與>=式。的單調(diào)性相同，則y=/[g(現(xiàn)為增函數(shù)

若f=g(x)與y=/)的單調(diào)性相反，則y=/[g(x)]為減函數(shù).簡(jiǎn)稱“同增異減”.

知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)無，都

偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱

有/(_x)=/(x),那么函數(shù)於(是偶函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

/(-%)=-/(X),那么函數(shù)/(X)是奇函數(shù)

2、函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論

(1)/(x)為奇函數(shù)=/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；/(x)為偶函數(shù)=/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

(2)如果函數(shù)/Q)是偶函數(shù)，那么y(x)=/(N).

(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即/Q)=0,xG。，其中定義域。是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非

空數(shù)集.

(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).

知識(shí)點(diǎn)4函數(shù)的周期性

1、周期函數(shù)的定義

對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有/(x+T)=/(x)，那

么就稱函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.

2、最小正周期：如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的

最小正周期.

知識(shí)點(diǎn)5函數(shù)的對(duì)稱性

1、關(guān)于線對(duì)稱

若函數(shù)y=/(x)滿足/(a+x)=/S-x),則函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線了=巴心對(duì)稱，特別地，當(dāng)。=6=0時(shí)，

2

函數(shù)y=F(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù).

2、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

若函數(shù)y=f(x)滿足/(2a-%)=2Z>-/(x),則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,6)對(duì)稱，特別地，當(dāng)a=0,b=0時(shí)，

/(x)=-/(-x)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)/(x)是奇函數(shù).

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

【題型1求函數(shù)的定義域】

求函數(shù)定義域的依據(jù)：函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍

1、分式的分母不能為零.

2、偶次方根的被開方數(shù)的被開方數(shù)必須大于等于零，即依（其中〃=2左，左eN*）中xNO,

奇次方根的被開方數(shù)取全體實(shí)數(shù)，即祗（其中〃=2左+l#eN*）中，x&R.

3、零次幕的底數(shù)不能為零，即x°中XH0.

4、如果函數(shù)是一些簡(jiǎn)單函數(shù)通過四則運(yùn)算復(fù)合而成的，那么它的定義域是各個(gè)簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的交集。

【注意】定義域用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示熟記，不能用“或”連接，而應(yīng)用并集符號(hào)“U”連接。

2

1.(24-25高三上?山東?月考)函數(shù)＞=下不二同的定義域是()

A.(TIO)B.(-10,4)C.(-w,^)(10,4^o)D.[-4,10]

2.（24-25高三下?全國(guó)?開學(xué)考試）下列集合中，與集合{尤1尤20}不相等的是（）

A.{x\y=>fx}B.{y|y=?}

C.{j|y=eY}D.{y|^=ln（%2+l）}

3.（24-25高三下?遼寧?月考）已知/（x）=lnx,則函數(shù)/{/"⑺]}的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（O,e）B.（e,+e）C.（0,1）D.（1,+十）

4.（24-25高三下?江蘇?合格測(cè)試）己知函數(shù)y=的定義域?yàn)閇0』，則函數(shù)y=了"十1的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

2x+l

【題型2求函數(shù)的值域】

求函數(shù)值域的七種方法

1、單調(diào)性法：如果一個(gè)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則由定義域結(jié)合單調(diào)性可快速求出函數(shù)的最值（值域）.

2、圖象法：作出函數(shù)圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會(huì)考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合.

3、配方法：主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍.

4、換元法：換元法是將函數(shù)解析式中關(guān)于尤的部分表達(dá)式視為一個(gè)整體，并用新元f代替，將解析式化歸

為熟悉的函數(shù)，進(jìn)而解出最值（值域）.

5、分離常數(shù)法：主要用于含有一次的分式函數(shù),

立工ax+b.ax^+bx+e

形如y:---------或y=-----------------（Q,C至少有一個(gè)不為零）的函數(shù)，求其值域可用此法

cx+dcx+d

+hx+C

6、判別式法：主要用于含有二次的分式函數(shù)，形如：y------------

dx-+ex+j

將函數(shù)式化成關(guān)于x的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)y的取值范圍，即得函數(shù)的值域。應(yīng)用判

別式法時(shí)必須考慮原函數(shù)的定義域，并且注意變形過程中的等價(jià)性。另外，此種形式還可使用分離常數(shù)法

解法。

7、導(dǎo)數(shù)法：對(duì)可導(dǎo)函數(shù)/（x）求導(dǎo)，令/（%）=0,求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性:

如果定義域時(shí)閉區(qū)間，額函數(shù)的最值一定取在極值點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)處;

如果定義域是開區(qū)間且函數(shù)存在最值，則函數(shù)最值一定取在極值點(diǎn)處。

1.（24-25高三上?山東荷澤?月考）函數(shù)y=2x+Jl-3x的值域是（）

225225

A.—oo—B.——,+。C.—,+ooD.—(X?,——

324324

2.（24-25高三上?江蘇南通?開學(xué)考試）函數(shù)=?+的值域是（）

A.[0,2]B.[1,2]C.[0,1]

V+l(01

3.（24-25高三下?山西?開學(xué)考試）已知函數(shù)〃x）=-------------<X<>/2,則〃尤)+/的最小值為（）

2-x22X

7

A.1B.2C.2A/2D.4

5

x—2%H—,xW1,

2的值域?yàn)槿齽t實(shí)數(shù)。

4.（24-25高三上?甘肅酒泉?期末）已知函數(shù)/（%）=<O,D1,+cok

a11

XH-----1,X>I

X

的取值范圍是（）

5255

A.B.—00,—C.——,+00D.—,+00

展4164

【題型3函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用】

判斷函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）的常用方法

①定義法：先求定義域，再根據(jù)取值、作差、變形、定號(hào)的順序得出結(jié)論。

②圖象法：若函數(shù)是以圖象形式給出的，或者函數(shù)的圖象可以作出，可由圖象的升、降判斷它的單調(diào)性或

寫出單調(diào)區(qū)間。

③復(fù)合函數(shù)法：根據(jù)“同增異減”判斷，即內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，為增函數(shù)，內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性

不同時(shí)，為減函數(shù)。

④導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）。

⑤性質(zhì)法：a.在公共定義域內(nèi)，增+增=增，減+減=減，增一減=增，減一增=減

1.（24-25高三下?四川雅安?開學(xué)考試）函數(shù)f（x）=（lgx）2-21gx的單調(diào)遞增區(qū)間是

2.（24-25高三下?河北衡水?開學(xué)考試）已知函數(shù)〃司=尤則不等式//+3）+/（-2/+—1）＞0的解集

為.

3.（24-25高三下?湖北荊州?月考）已知函數(shù)"X）=-6x+5在區(qū)間（d『）上單調(diào)遞增,則。的取值范圍

為（）

A.B.（-oo,3]C.[3,+oo）D.[5,+oo）

2a—3

3%H-------------]

4.（24-25高三上?遼寧大連?期末）已知函數(shù)元）=x'一，若對(duì)任意的玉＜9，都有

2x+（a-l）e'T,尤＜1

〃西）-/伍）＜2菁-2%，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是（）

A.B.C.f-|,2D.（1,2]

【題型4函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用】

1、求函數(shù)值或函數(shù)解析式：利用奇偶性將所求值對(duì)應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間，代入已知的解析

式，然后利用函數(shù)的奇偶性求解即可.

2、求參數(shù)：由定義或定義的等價(jià)關(guān)系式/（%）+/（-尤）=0（奇函數(shù)）與/（無）-/（-%）=0（偶函數(shù)）得到恒等

式，再利用系數(shù)相等構(gòu)造方程（組）求解.

1.（24-25高三下?河南信陽?開學(xué)考試）已知函數(shù)尤）=公_,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

A.y=f(x-l)B.y=/(x+l)C.y=f(x)-lD.y=/(x)+l

2.（24-25高三下?四川巴中?一模）若函數(shù)〃尤）=咨二為奇函數(shù)，貝心=（）

A.0B.1C.2D.無解

3.（24-25高三下?福建泉州?一模）已知函數(shù)/（x）=sinx+（x+a）（x+l）,若"?—2,0）,/（—*）=—〃x），則

a的值可以是（）

A.—5B.—3C.3D.5

4.（24-25高三下?廣東廣州?月考）已知/⑺為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/（x）=ln（e，+l）』i]f（-ln2）=.

【題型5函數(shù)的周期性與對(duì)稱性應(yīng)用】

函數(shù)周期性的常用結(jié)論及應(yīng)用（。是不為0的常數(shù)）

(1)若〃X+Q)=〃X),則T=〃；(2)若/(x+a)=/(1—.),則T=2a；

(3)若〃X+Q)=—/(X),則T=2〃；(4)右/(1+〃)=/()，則T=2〃；

(5)若/(x+〃)=—~f\~J，則T=2〃；(6)若/(X+Q)=/(X+Z?),則丁=|〃一。|

1.（24-25高三上?安徽安慶?月考）已知函數(shù)是定義域?yàn)椋▂,+8）的奇函數(shù)，滿足〃1+力=〃1-”,

若"1)=2,則/(1)+〃2)+〃3)+…+〃2024)=

2.（24-25高三下?湖南?月考）設(shè)函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,“X+D為奇函數(shù)，/（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)xw[l,2]

2025

時(shí)，f（x）=ax2+2.^/（-y-）=（）

3.(24-25高三下?廣東深圳?月考)(多選)函數(shù)y=/(x),y=g(x)的定義域均為R,且對(duì)任意xeR均滿足

/(x)-g(2-x)=-2,g(x)+f(x-2)=4,g(x)+g(6-x)=4,則下列選項(xiàng)正確的是()

A.g⑶=2B.g(2025)=2020C./(2024)=2025D./(-2025)=-2023

4.(2025?黑龍江哈爾濱?一模)(多選)已知函數(shù)y=/(2x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，函數(shù)y=/(x+l)的

圖象關(guān)于直線尤=1對(duì)稱，則下列說法正確的為()

A.4是的一個(gè)周期B.〃尤)是偶函數(shù)

2025

c.Z/(k)=lD./(l+^)+/(l-x)=0

k=\

【題型6抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用】

1、抽象函數(shù)的賦值法：賦值法是求解抽象函數(shù)問題最基本的方法，復(fù)制規(guī)律一般有以下幾種:

(1)……-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解；

(2)通過/(%)—/(&)的變換判定單調(diào)性；

(3)令式子中出現(xiàn)“X)及/(-%)判定抽象函數(shù)的奇偶性；

(4)換x為x+T確定周期性.

2、判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：

(1)湊：湊定義或湊已知，利用定義或已知條件得出結(jié)論；

(2)賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.

①若給出的是“和型”抽象函數(shù)+y)=…，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：

fM-/(%1)=/((X2-工)+/)-/(占)或/(%2)-/(%1)=/(%2)-〃(匹-9)+%)；

②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，(孫)=…，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：

(\f、

/(%)-/(再)=/再二-/(占)或/(%)-/(石)=/(%)-/^2-

1.(24-25高三下?青海海南?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)滿足/&)=￥，且Vx，yeR，

/(x+y)=/(%)/(l-y)+/(y)/(l-%),則/(2025)=.

2.(24-25高三下?黑龍江吉林?模擬預(yù)測(cè))(多選)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,

了―)“H小+；/(0)^0,則下列說法正確的是()

A./(D=2B./(0)=-2C./W=2

D./(x)是偶函數(shù)

3.（24-25高三下?海南?三模）（多選）己知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)镽,且"2）=6,若

/（x）=/（x-y）+/（y）+初（x-y）,則下列說法正確的是（）

A./（1）=2B./（X）是奇函數(shù)

C./（4x）=/（x）+16x3D.若〃eN*,則"w）=；〃3+g”

4.（24-25高三上?江蘇?期末）（多選）定義在R上的函數(shù)“X）滿足/（x+y）=/（x）+/（y）,當(dāng)x<0時(shí),

/（無）>0,且"1）=2則下列說法正確的是（）

A./（0）=1

B.“X）是奇函數(shù)

C./（x）在R上單調(diào)遞減

D.不等式/（尸1）-〃3-2力〈7的解集為［2,+8）

考點(diǎn)二：指數(shù)、對(duì)數(shù)、幕函數(shù)

?4核心提煉?查漏補(bǔ)缺

知識(shí)點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)丁=優(yōu)（。>°且叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)尤是自

變量，定義域是R，。是指數(shù)函數(shù)的底數(shù).

2、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0<(2<1

%

圖象

在X軸的上方，過定點(diǎn)（0,1）

圖像特征

當(dāng)X逐漸增大時(shí)，圖象逐漸上升當(dāng)X逐漸增大時(shí)，圖象逐漸下降

定義域R

值域(0,+oo)

單調(diào)性在H上是增函數(shù)在1?上是減函數(shù)

奇偶性非奇非偶函數(shù)

性質(zhì)

當(dāng)x<0時(shí)，0<y<l；當(dāng)x<0時(shí)，y>l；

范圍

當(dāng)龍>0時(shí)，y>l；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<l；

3、指數(shù)函數(shù)的常用技巧

(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“。>1”和“0<。<1”兩種情況討論；

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較

如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y="；(2)y^bx；(3)丁=。￡；(4)y=d*的圖象,

底數(shù)a,b,c,d與1的之間的大小關(guān)系為c>d>l>a>6；

規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大。

(3)指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

(1)定義：函數(shù)y=iog.尤(。>0,且。彳1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中％是自變量，定義域?yàn)?o,+“).

(2)特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)

①常用對(duì)數(shù)函數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y=lgx.

②自然對(duì)數(shù)函數(shù)：以無理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx.

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<l

|r.x=\

圖象

0u*

o然⑼：

y=log#

定義域：(0，+oo)

值域：R

當(dāng)x=l時(shí)，y=0,即過定點(diǎn)(1,0)

性質(zhì)

當(dāng)OVxVl時(shí)，yVO；當(dāng)OVxVl時(shí)，y>0；

當(dāng)x>l時(shí)，y>0當(dāng)x>l時(shí)，yVO

在(0,+oo)上為增函數(shù)在(0,+oo)上為減函數(shù)

3、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的常用結(jié)論

(1)函數(shù)yulogj與y=Zogy的圖象尤軸對(duì)稱；

a

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的關(guān)系

y=logax

如圖，作直線y=l,則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)產(chǎn)log產(chǎn)

--戶］

故0<c<d<l<a<A

r=iog*

由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.廠log產(chǎn)

知識(shí)點(diǎn)3基函數(shù)及其性質(zhì)

1、幕函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=K叫做事函數(shù)，其中尤是自變量，a是常數(shù).

(1)嘉函數(shù)的特征：d的系數(shù)是1；犬的底數(shù)x是自變量；狀的指數(shù)a為常數(shù).

只有滿足這三個(gè)條件，才是累函數(shù).對(duì)于形如丫=(2尤)。，y=2V,>=y+6等的函數(shù)都不是事函數(shù).

(2)幕函數(shù)的圖象：同一坐標(biāo)系中，幕函數(shù)y=x,y=x2-,y=xi,y=x~l,y=x5的圖象(如圖).

2、募函數(shù)的性質(zhì)

(1)所有的事函數(shù)在(0,+oo)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)；

(2)如果a>0,那么基函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+oo)上單調(diào)遞增；

(3)如果a<0,那么幕函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí),

圖象在y軸右方無限接近y軸，當(dāng)龍從原點(diǎn)趨向于+oo時(shí)，圖象在x軸上方無限接近無軸；

(4)在(1,+oo)上，隨幕指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸.

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分_____________

【題型1指對(duì)累代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值】

指數(shù)暴運(yùn)算的一般原則

(1)指數(shù)塞的運(yùn)算首先將根式統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)累，以便利用法則計(jì)算；

(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)基化成正指數(shù)哥的倒數(shù)；

(3)底數(shù)為負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)為小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù);

(4)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)包含根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)。

1.(24-25高三下?廣東揭陽?開學(xué)考試)若/=3,貝『

a'+ax

2.(24-25高三上?安徽淮南?月考)若logjj,卬=5,則用a、b表示logg28=.

3

3.(24-25高三上?重慶?月考)計(jì)算:(log5+log5)xlog2-2%

485+酊

4.(24-25高三下?安徽阜陽?開學(xué)考試)(多選)已知。=坨2,b=lg3,貝I]()

B.占Tbg/0

A.1()2"+〃=7

2a+b1-Q

c.log12=D.*5=

54a+3b2a+2b

【題型2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

1、指數(shù)函數(shù)的圖象需要注意以下幾個(gè)特征：

(1)指數(shù)函數(shù)的圖象所過的關(guān)鍵點(diǎn)為(La)，(0,1),(-1,-)；

a

(2)函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置；

(3)函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性。

2、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

(1)形如y=于(ax)(a>0,且akl)的函數(shù)求值域

換元法：令a，=t,將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求/?)的值域，但要注意“新元廣’的范圍

(2)形如y=(a>0,且aAl)的函數(shù)求值域

換元法：令〃=/(%),先求出〃=/(%)的值域，再利用y=a"的單調(diào)性求出y=的值域。

1.(24-25高三上?山東?月考)函數(shù)〃力=心+2)+1的圖象恒過的定點(diǎn)是()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(0,2)D.(-2,2)

2.(24-25高三上?內(nèi)蒙古?月考)函數(shù)丁=優(yōu)-，|(。>0,且。工1)的圖象可能是()

3.(24-25高三上?內(nèi)蒙古?月考)設(shè)〃=xeR,那么/'(x)是()

A.奇函數(shù)且在(F,0)上是增函數(shù)B.偶函數(shù)且在(—,0)上是減函數(shù)

C.奇函數(shù)且在（-8,0）上是減函數(shù)D.偶函數(shù)且在（f,o）上是增函數(shù)

4.24-25高三上?遼寧?月考）已知函數(shù)"x）=oE（“>0且awl）在區(qū)間［2,3］上單調(diào)遞增，則。的取值范圍

為（）

【題型3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

1、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法

（1）在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)（與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、

最低點(diǎn)等）排除不符合要求的選項(xiàng)；

（2）一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

2、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

（1）形如y=/（logax）（a〉0,且a2l）的函數(shù)求值域

換元法：令log°x=f,先求出log。x=t的值域，再利用y=的單調(diào)性，再求出y=的值域。

（2）形如y=log。/（X）（?>0,且a2l）的函數(shù)的值域

換元法：令〃=/（x）,先求出〃=/（x）的值域，再利用y=log,〃的單調(diào)性，求出y=loga/（x）的值

域。

1.（24-25高三上?河北?月考）已知函數(shù)〃》）=1嗚卜3-8+叫（a>0且"I）的圖象過定點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐

標(biāo)為.

2.（24-25高三下?湖南?月考）若函數(shù)〃x）=M（尤+a）|在（0,+向上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

3.（24-25高三下?陜西寶雞?二模）若函數(shù)〃x）=log2J——a-6（a,6eR）為奇函數(shù)，則/=（）

Z-X

A.且B.—C.8D.16

216

4.（24-25高三下?安徽?一模）若函數(shù)〃耳=1。8/+豌“+仍是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.

【題型4塞函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

對(duì)于籍函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x=l,y=l,y=x所分區(qū)域.根

據(jù)a<0,0<a<l,a=l,a>l的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

1.（24-25高三上?河南濮陽?月考）當(dāng)xe（O,4w）時(shí)，塞函數(shù)y=（療-機(jī)-1）?/時(shí)3為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)%的值

為.

2.（24-25高三上?廣東潮州?月考）已知函數(shù)〃x）=（x-2）",〃eN*,則“〃=「'是"/（力是增函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（23-24高三上?湖南邵陽?月考）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)》=尤"（。*0）和〉=亦-1的圖象可能是（）

4.（24-25高三上?江西新余?月考）已知事函數(shù)〃x）=（9療-3b"'的圖象過點(diǎn)則下列說法正確的

是（）

,2口3巫

A.m=—B.n=二~-

34

c.“X）為偶函數(shù)D."X）定義域?yàn)椋?■（）｝

【題型5指對(duì)暴函數(shù)比較大小】

指對(duì)塞比較大小的常見方法

1、單調(diào)性法：當(dāng)兩個(gè)數(shù)都是指數(shù)基或?qū)?shù)式時(shí)，可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)或基函數(shù)的函數(shù)值，

然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較；

2、作差法、作商法：

（1）一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對(duì)數(shù)比大小；

（2）作差或作商的難點(diǎn)在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法；

3、中間值法或1/0比較法：比較多個(gè)數(shù)的大小時(shí)，先利用作為分界點(diǎn)，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)

的性質(zhì)比較大小；

4、估值法：（1）估算要比較大小的兩個(gè)值所在的大致區(qū)間；

（2）可以對(duì)區(qū)間使用二分法（或利用指對(duì)轉(zhuǎn)化）尋找合適的中間值；

5、構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性比較：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時(shí)候三個(gè)數(shù)比較大小，可能某一個(gè)數(shù)會(huì)被可以的隱藏了“同構(gòu)”規(guī)律，

所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個(gè)數(shù)規(guī)律

（1）對(duì)于抽象函數(shù)，可以借助中心對(duì)稱、軸對(duì)稱、周期等性質(zhì)來“去除f（）外衣”比較大小；

（2）有解析式函數(shù)，可以通過函數(shù)性質(zhì)或者求導(dǎo)等，尋找函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性，比較大小。

6、放縮法:

（1）對(duì)數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

（2）指數(shù)和嘉函數(shù)結(jié)合來放縮；

（3）利用均值不等式的不等關(guān)系進(jìn)行放縮；

（4）“數(shù)值逼近”是指一些無從下手的數(shù)據(jù)，如果分析會(huì)發(fā)現(xiàn)非常接近某些整數(shù)（主要是整數(shù)多一些），那么

可以用該“整數(shù)”為變量，構(gòu)造四舍五入函數(shù)關(guān)系。

1.（24-25高三下?陜西寶雞?二模）若2"=3=log〃3,r_4,則實(shí)數(shù)6、c的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

2.（24-25高三下?天津?月考）已知a=b=lg4,c=2,則（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

107

3.（24-25高三下?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）已知57>3%4>7.^?=log47,&=21og72+log73,c=log925,

則（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

4-（24-25高三下?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知〃=罌和=.，c=sin1則四，。的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b

【題型6指對(duì)塞函數(shù)綜合應(yīng)用】

1.（24-25高三上?江西宜春?期末）已知f為實(shí)數(shù)，函數(shù)/（x）=21ogo（2x—r-2）,g（x）=log/,其中0<a<l.

⑴若函數(shù)研彳）=8（/+1）-質(zhì)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)人的值；

⑵設(shè)/=4,當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=|/（x）|的值域?yàn)閇0,2],若〃-機(jī)的最小值為:，求實(shí)數(shù)。的值.

2.（24-25高一上?吉林白城?期中）已知累函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)后

⑴求的解析式.

⑵設(shè)函數(shù)g（x）=4/（x）+j".

①判斷g（x）的奇偶性；

②判斷g（x）在（0,2）上的單調(diào)性，并用定義加以證明.

3.（24-25高三上?山東德州?模擬測(cè)試）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)"x"U7是奇函數(shù).

⑴求6的值；

(2)判斷函數(shù)/■(*)在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

⑶若士e[0,6],使/伍-/)+/(2產(chǎn)-6/)>0成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

4.(24-25高三上?山東濟(jì)南?模擬測(cè)試)已知函數(shù)/(x)=log。二不，“為常數(shù)，函數(shù)g(x)=2'+%2T.

x—1

(1)若/'(X)為奇函數(shù)，求。的值.

⑵若函數(shù)g(x)在[0,8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

(3)在第⑴問的條件下，當(dāng)m=0時(shí)，叫,々目1,小)，函數(shù)y=〃g(x))在區(qū)間民,9]上的值域?yàn)?/p>

[log2??g(無2)+2-3f),log2(f?g(石)+2-3川，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

考點(diǎn)三：函數(shù)與方程

■核總提煉：查漏補(bǔ)缺_____________

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)與方程的解

1、函數(shù)零點(diǎn)的定義

(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)>=/&)(尤G。)，把使五x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yfxXxe。)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系

方程犬x)=0有實(shí)數(shù)根。函數(shù)y=/(x)的圖象與無軸有交點(diǎn)。函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

【注意】函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)y=/U)的圖象與尤軸的交點(diǎn)，而是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

也就是說函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)數(shù).

2、函數(shù)零點(diǎn)存在定理

(1)定理：如果函數(shù)>=/(無)在區(qū)間[。，切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有黃。)五匕)<0,

那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,力內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,b),使得五c)=0,

這個(gè)c也就是方程人無)=0的根.

(2)兩個(gè)重要推論

推論1：函數(shù)“X)在區(qū)間可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且/(%)具有單調(diào)性，

則函數(shù)“X)在區(qū)間(。力)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).

推論2：函數(shù)“X)在區(qū)間［a,句上的圖象是一條連