查漏補缺02：函數(shù)與導數(shù)

題型01指對募代數(shù)式的化簡求值

題型02瞰函數(shù)的圖象與性質(zhì)

題型03對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

題型04幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

題型05指對尋函數(shù)大小

題型06指對嘉函數(shù)綜管應用

題型01函數(shù)零點所在區(qū)間問題

題型02函數(shù)零點個數(shù)的判斷

題型03已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)

^^01利用導數(shù)求曲線的切線

基本初等函數(shù)的導數(shù)公式遜02根據(jù)切線情況求參數(shù)

題型03利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

。考點四導數(shù)及其應用

費的運算法則遜04構(gòu)造函數(shù)解不等式

題型05利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

懿與函數(shù)單調(diào)性的關系題型06利用導數(shù)研究函數(shù)的最值

導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值獻極值的定義題型07利用導數(shù)研究榜式成立問題

級最值的定義

■郭考點大過頭

考點一：函數(shù)的概念與性質(zhì)

?核心提煉?查漏補缺

知識點1函數(shù)的有關概念

1、函數(shù)的三要素:

(1)在函數(shù)y=/(x),xeA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;

(2)與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏x)|尤GA｝叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合2

的子集.

(3)函數(shù)的對應關系：y=/(x),xeA.

2、相等函數(shù)與分段函數(shù)

(1)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的

依據(jù).

(2)分段函數(shù)：在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量*取值的不同區(qū)間，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)稱為

分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。分段函數(shù)雖然是由幾個部分

構(gòu)成，但它表示的是一個函數(shù)，各部分函數(shù)定義域不可以相交。

知識點2函數(shù)的單調(diào)性

1、單調(diào)函數(shù)的定義

設函數(shù)式尤)的定義域為I.如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值I],%，

當王</時，都有/'(匹)</(%2)，那么就說函數(shù)#尤)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。

當西<%2時，都有/(再)>/(%)，那么就說函數(shù)加。在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。

2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

若函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=/k)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D

叫做y=/次)的單調(diào)區(qū)間.

3、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

若函數(shù)/(乃與g(x)在區(qū)間。上具有單調(diào)性，則在區(qū)間。上具有以下性質(zhì)：

(1)/(x)與/(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

(2)/(x)與—/(%)的單調(diào)性相反.

(3)當a>0時，/(X)與/(x)單調(diào)性相同；當。<0時，/(X)與單調(diào)性相反.

(4)若/(幻沙，則/(%)與具有相同的單調(diào)性.

(5)若/(%)恒為正值或恒為負值，則當a>0時，/(x)與，^具有相反的單調(diào)性；

/(x)

當。<0時，/(%)與」一具有相同的單調(diào)性.

/(%)

(6)/(x)與g(x)的和與差的單調(diào)性(相同區(qū)間上)：

簡記為：/+/=/;(2)、+'=';(3)/-、=/；(4)

(7)復合函數(shù)的單調(diào)性：對于復合函數(shù)y=/[g(x)],

若f=g(尤)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)函數(shù)，且在區(qū)間(g(a),g(b))或(g(6),g(a))上是單調(diào)函數(shù)

若f=g(?與>=式。的單調(diào)性相同，則y=/[g(現(xiàn)為增函數(shù)

若f=g(x)與y=/)的單調(diào)性相反，則y=/[g(x)]為減函數(shù).簡稱“同增異減”.

知識點3函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個無，都

偶函數(shù)關于y軸對稱

有/(_x)=/(x),那么函數(shù)於(是偶函數(shù)

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有

奇函數(shù)關于原點對稱

/(-%)=-/(X),那么函數(shù)/(X)是奇函數(shù)

2、函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論

(1)/(x)為奇函數(shù)=/(x)的圖象關于原點對稱；/(x)為偶函數(shù)=/(x)的圖象關于y軸對稱.

(2)如果函數(shù)/Q)是偶函數(shù)，那么y(x)=/(N).

(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即/Q)=0,xG。，其中定義域。是關于原點對稱的非

空數(shù)集.

(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

(5)偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關于

原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù).

知識點4函數(shù)的周期性

1、周期函數(shù)的定義

對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有/(x+T)=/(x)，那

么就稱函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

2、最小正周期：如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的

最小正周期.

知識點5函數(shù)的對稱性

1、關于線對稱

若函數(shù)y=/(x)滿足/(a+x)=/S-x),則函數(shù)y=/(x)關于直線了=巴心對稱，特別地，當。=6=0時，

2

函數(shù)y=F(x)關于y軸對稱，此時函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù).

2、關于點對稱

若函數(shù)y=f(x)滿足/(2a-%)=2Z>-/(x),則函數(shù)y=/(x)關于點(a,6)對稱，特別地，當a=0,b=0時，

/(x)=-/(-x)，則函數(shù)y=/(x)關于原點對稱，此時函數(shù)/(x)是奇函數(shù).

?題型特訓?精準提分

【題型1求函數(shù)的定義域】

求函數(shù)定義域的依據(jù)：函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍

1、分式的分母不能為零.

2、偶次方根的被開方數(shù)的被開方數(shù)必須大于等于零，即依（其中〃=2左，左eN*）中xNO,

奇次方根的被開方數(shù)取全體實數(shù)，即祗（其中〃=2左+l#eN*）中，x&R.

3、零次幕的底數(shù)不能為零，即x°中XH0.

4、如果函數(shù)是一些簡單函數(shù)通過四則運算復合而成的，那么它的定義域是各個簡單簡單函數(shù)定義域的交集。

【注意】定義域用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示熟記，不能用“或”連接，而應用并集符號“U”連接。

2

1.（24-25高三上?山東?月考）函數(shù)>=后不二同的定義域是（）

A.（TIO）B.（-10,4）C.（-w,-4）U（10,4^o）D.[-4,10]

【答案】A

【解析】由題意可得7—|無一3|>0,即一7〈元一3<70一4<尤<10,

所以函數(shù)的定義域為（Y,10）.故選：A.

2.（24-25高三下?全國?開學考試）下列集合中，與集合{尤I尤20}不相等的是（）

A.{x\y=4x}B.{y|y=?}

C.{y|y=er}D.{yIy=ln（x2+1）}

【答案】C

【解析】對于A,由募函數(shù)y=6的定義域需滿足尤NO可知，{x|y=4}={x|x'O},即A正確；

對于B,由幕函數(shù)y=?的值域可知，{y|y=&}={x|尤20},即B正確；

對于C,由指數(shù)函數(shù)值域可知{yly=e，}=（0,y），可得C錯誤；

對于D,由對數(shù)函數(shù)值域可知{yly=ln（f+l）2lnl=0}={x|xN0},可得D正確.故選：C

3.（24-25高三下?遼寧?月考）已知〃x）=lnx,則函數(shù)〃打了⑺]}的定義域為（）

A.（O,e）B.（e,+e）C.（0,1）D.（1,+十）

【答案】B

【解析】因為/（x）=lnx的定義域為（0,+功,

所以/[〃x）]>0nln/（x）>0n/（x）>l,即lnx>lnx>e.

所以所求函數(shù)的定義域為（e,+8）.故選：B

4.（24-25高三下?江蘇哈格測試）已知函數(shù)y=/（x）的定義域為[0』，則函數(shù)y=的定義域為（）

A.[1,2]B.[-1,0]

c.D.m.:。）

【答案】C

【解析】因為y=〃x）的定義域是[0』，所以0VXV1,根據(jù)抽象函數(shù)定義域求法,

[OWx+l<l]

在函數(shù)>=△_^中，c,八，解得TWxWO且XH-二

2x+l[2尤+1W02

則定義域為-L-1]uf-1,o.故選：C.

【題型2求函數(shù)的值域】

求函數(shù)值域的七種方法

1、單調(diào)性法：如果一個函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則由定義域結(jié)合單調(diào)性可快速求出函數(shù)的最值（值域）.

2、圖象法：作出函數(shù)圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會考慮進行數(shù)形結(jié)合.

3、配方法：主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)，要特別注意自變量的取值范圍.

4、換元法：換元法是將函數(shù)解析式中關于x的部分表達式視為一個整體，并用新元f代替，將解析式化歸

為熟悉的函數(shù)，進而解出最值（值域）.

5、分離常數(shù)法：主要用于含有一次的分式函數(shù)，

形如y=絲二2或丁=絲―”一（。，C至少有一個不為零）的函數(shù)，求其值域可用此法

cx+dcx+a

nx~+bx+c

6、判別式法：主要用于含有二次的分式函數(shù)，形如：y=-------------

ax~+ex+f

將函數(shù)式化成關于x的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)y的取值范圍，即得函數(shù)的值域。應用判

別式法時必須考慮原函數(shù)的定義域，并且注意變形過程中的等價性。另外，此種形式還可使用分離常數(shù)法

解法。

7、導數(shù)法：對可導函數(shù)/（x）求導，令/'（x）=0,求出極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性：

如果定義域時閉區(qū)間，額函數(shù)的最值一定取在極值點處或區(qū)間端點處；

如果定義域是開區(qū)間且函數(shù)存在最值，則函數(shù)最值一定取在極值點處。

1.（24-25高三上?山東荷澤?月考）函數(shù)y=2x+Jl-3x的值域是（）

A.-二252

B.——,+ooC.D.生

243I24.

【答案】D

_____|_產(chǎn)

【解析】設"V/iFz>0,則％=L_L,

二匚I、I2-2『2224.燈+”

所以y=--------+t=——t+t+~=

333314J24

所以當t=?3時，＞取最大值為2三5,

424

即函數(shù)的值域為1-8,II].故選：D.

2.（24-25高三上?江蘇南通?開學考試）函數(shù)=?+H7的值域是（）

A.[0,2]B.[1,2]C.[0,1]D.[72,2]

【答案】D

【解析】〃力=4+萬I,先求定義域，即2-尤？0,且轉(zhuǎn)0,即xe[0,2].

函數(shù)式子兩邊平方，即"（x）f=2+2衣啟.

當0VxV2,由二次函數(shù)性質(zhì)知道y=-x2+2x的值域為[0,11.

則[/（x）]2=2+2d-X2+2x的范圍為[2,4].

開方得f（x）=?+萬^的值域為[也2].故選：D.

x2+l（忘1

（高三下?山西?開學考試）已知函數(shù)/（%）=V2，則〃X)+/

3.24-252----<X<的最小值為（

2-X(2X

7

A.1B.2C.2&D.4

【答案】D

【解析】外加”，（卜碧,所以后+尚=1

設"心==T+J由旦x<0,可得：0<2-x2<1,

22

則『3＞2,所以—小…—2x2-1。’則

小)+0『—tt(r-l)2+2(^-l)+l

=r-l+—+2>2+2=4,

t-1

當且僅當―1=1,即r=2,即尤=1時等號成立.故選：D.

爐—2xH—,%W1,

4.（24-25高三上?甘肅酒泉?期末）已知函數(shù)〃尤）=<的值域為。,，則實數(shù)a

a[1

XH----1,X〉I

X

的取值范圍是（

5

—00——,+00

44

【答案】C

【解析】當X41時，〃到=/-2尤+|=（尤一1）2+,在（-8,1］上單調(diào)遞減，此時“無）6|,+8

當%>1時，f（x）=x-\----1.

①若aVl,則〃力=%+￡—1在上單調(diào)遞增，此時了（%）￡（〃,口）,

又函數(shù)〃力的值域|,+^,不合題意；

②若。>1,則〃耳=%+三一>2&-1,當且僅當無=后>1時，等號成立，

__3

.「3、2-\/a—1>—25

又函數(shù)/（X的值域。a,貝葉2,解得就孑.

2）yfla>.116

綜上所述：aw三.故選：C.

【題型3函數(shù)的單調(diào)性及應用】

判斷函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）的常用方法

①定義法：先求定義域，再根據(jù)取值、作差、變形、定號的順序得出結(jié)論。

②圖象法：若函數(shù)是以圖象形式給出的，或者函數(shù)的圖象可以作出，可由圖象的升、降判斷它的單調(diào)性或

寫出單調(diào)區(qū)間。

③復合函數(shù)法：根據(jù)“同增異減”判斷，即內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)，內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性

不同時，為減函數(shù)。

④導數(shù)法：先求導，再利用導數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）。

⑤性質(zhì)法：a.在公共定義域內(nèi)，增+增=增，減+減=減，增一減=增，減一增=減

1.(24-25高三下?四川雅安?開學考試)函數(shù)f(x)=(?)2-21gx的單調(diào)遞增區(qū)間是.

【答案】[10,+8)(或(10,+功)

【解析】函數(shù)/⑴的定義域為(0,+8),

令f=lgx在定義域上為增函數(shù)，貝仃=〃-2/=?-1)2-1在[1,+8)上單調(diào)遞增，

由復合函數(shù)單調(diào)性的同增異減原則可得，當t=lgr21,即X210時，函數(shù)/(尤)單調(diào)遞增，

即函數(shù)/(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[10,包).

2.(24-25高二下.河北衡水.開學考試)已知函數(shù)=則不等式/(/+3)+/(_2f2+-1)>0的解集

為.

【答案】(一1,2)

【解析】因為=定義域為(-x,0)u(0,+e),定義域關于原點對稱，

4

又/(—%)=—%+—=—/(%),所以/漢)為奇函數(shù).

X

由/，2+3)+/(-2/+”1)>0,

得/?02+3)>―/卜2產(chǎn)+1),即/任+3)>/(2戶T+1),

又產(chǎn)+3>0,2z2—t+1=2,(t—]H—>0,

I4J8

4

且「(龍)=1+7>0,所以f(x)在(0,+?)上單調(diào)遞增，

所以產(chǎn)+3>2產(chǎn)T+1,解得

所以不等式的解集為(-1,2).

3.(24-25高三下?湖北荊州?月考)已知函數(shù)/(尤)=Ji一6x+5在區(qū)間(。,收)上單調(diào)遞增,則。的取值范圍

為()

A.(-oo,l]B.(-oo,3]C.[3,+00)D.[5,+oo)

【答案】D

【解析】由爐-6尤+520,可得xWl或x25,

即函數(shù)的定義域為(f[]U[5,+⑹，

又因為/=*一6元+5在叵+8)上單調(diào)遞增，在(…』]上單調(diào)遞減，

y=VF在[0,+°°)上單調(diào)遞增，

由復合函數(shù)的單調(diào)性可知/(x)=77二6%15在區(qū)間［5,+8)上單調(diào)遞增，425.故選：D.

C2Q—3

3xH------,x>l

4.(24-25高三上?遼寧大連?期末)已知函數(shù)〃尤)=<1X,若對任意的為<工2，都有

2x+(°-1),x<l

〃石)一/伍)<2e一2%，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.尺B.卜，1C(5,2_D.(1,2］

【答案】D

【解析】/(石)一/伍)<2%-2々n/(%)—2石</(三)一2%，

設.(x)=/(x)—2x,則尸&)</(%),

因為玉<%,所以尸⑺=/⑺-2^在R上單調(diào)遞增，

2Q—3

/\x-\------,x>1I

其中方(%)={X,

需滿足y=(a-l)e-1在(一叫1)上單調(diào)遞增,y=工+^^在口，+8)上單調(diào)遞增,

且(a—l)e°W1+2a-3,

由(a-l)e。W1+2a-3得,

根據(jù)y=(a-l)eXT在(Y),1)上單調(diào)遞增,得到。-1>0,故a>l,所以a>l,

當2a—3<0,即l<a<g時，產(chǎn)工+生匚在卜+⑹上單調(diào)遞增，

2x

當2a—3=0,即a=］時，丁=工在［1,+8)上單調(diào)遞增，

3

當2a-3>0,即〃時，由對勾函數(shù)性質(zhì)得，

2

y=x+"p在(伍與+可上單調(diào)遞增，故需滿足而二？<1,解得aW2,

3

所以,

綜上，實數(shù)a的取值范圍是(1,2］.故選：D

【題型4函數(shù)的奇偶性及應用】

1、求函數(shù)值或函數(shù)解析式：利用奇偶性將所求值對應的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間，代入已知的解析

式，然后利用函數(shù)的奇偶性求解即可.

2、求參數(shù)：由定義或定義的等價關系式/(%)+/(-x)=0(奇函數(shù))與"x)-/(r)=0(偶函數(shù))得到恒等

式，再利用系數(shù)相等構(gòu)造方程(組)求解.

1.(24-25高三下?河南信陽?開學考試)已知函數(shù)則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.y=f(x-l)B.y=/(x+l)C.y=f(x)-\D.y=f(x)+l

【答案】C

【解析】對于A,7(%一1)=號二，定義域為R,

貝1(一犬一1)=含==-/(x-l),即y=/(x—l)不是奇函數(shù)；

對于B,f(x+l)=|^-,定義域為R,

則，(一十+1)=券即＞=/(%+1)不是奇函數(shù)；

對于C,〃"-1=匯-1=白|，定義域為R,

一「W=H=一即y=〃x)T為奇函數(shù)，C正確；

對于D,—+1=浮^+1=3：3"+1,定義域為R,

〃_"+]=3；二；即y=〃x)+l不是奇函數(shù)，故選：C

2.(24-25高三下?四川巴中?一模)若函數(shù)〃尤)=巴蓑匕為奇函數(shù)，貝心=()

A.0B.1C.2D.無解

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，函數(shù)〃.)="；+2…京=。+2-,則〃f)=a+2個

若/(x)為奇函數(shù)，貝I〃力+=2a+21+=0,

即。=-(2-工+2工)，。的值不是常數(shù)，即無解.故選：D

3.(24-25高三下?福建泉州?一模)已知函數(shù)〃x)=sinx+(x+a)(x+l),若上e(-2,0),/(-x)=—,則

。的值可以是()

A.-5B.-3C.3D.5

【答案】B

【解析】由題意得，sin(—x)+(—x+a)(—x+l)=-sinx—(x+a)(x+l),整理得a=—d,

因為xe(-2,0),則一爐e(-4,0),ae(~4,0).故選：B.

4.(24-25高三下?廣東廣州?月考)已知為奇函數(shù)，當x>0時，

【答案】-ln3

【解析】因為為奇函數(shù)，所以〃-ln2)=-〃ln2)=-ln(eS2+l)=-ln3.

【題型5函數(shù)的周期性與對稱性應用】

函數(shù)周期性的常用結(jié)論及應用(。是不為。的常數(shù))

(1)若〃X+Q)=/(%),則T=a；(2)若/(x+a)=/(%—〃)，則T=2a；

(4)若/(x+a)=y^y,則T=2a；

⑶若〃x+a)=—〃x),則T=2a；

(5)若/(x+a)=—則T=2a；(6)若/(x+a)=/(x+/?),則丁二,一可(awZ?)

1.(24-25高三上?安徽安慶?月考)已知函數(shù)是定義域為(--+e)的奇函數(shù)，滿足/(1+/=/(1—力,

若"1)=2,則八1)+/(2)+/(3)+…+/(2024)=.

【答案】0

【解析】因為/(x)是定義域為(一叫+8)的奇函數(shù)，貝I]/(-無)=一/(尤)且/(0)=0,

又因為〃1+尤)=〃1一”，

貝ij/(x+2)=/[(x+l)+l]=/[l-(x+l)]=/(-%)=-/(%),

可得/(x+4)=/[(x+2)+2]=-〃x+2)=-[-/(%)]=/(x),

可知函數(shù)〃x)的一個周期為4,

由—/(X)可得/(x+2)+/(x)=0,

則八3)+/⑴=0，〃4)+〃2)=0,即〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=0,

所以/⑴+/(2)+f(3)+L+7(2024)=506x0=0.

2.（24-25高三下?湖南?月考）設函數(shù)的定義域為R,7（x+1）為奇函數(shù)，/（尤+2）為偶函數(shù)，當xe[l,2]

時，/(》)=/+2.則/(亍)=()

A.2B.』C.-2D.二

2242

【答案】B

【解析】〃龍+1)為奇函數(shù)，故x+l)=—〃x+l),

又/(尤+2)為偶函數(shù)，故f(-x+2)=f(x+2),

/(一元+2)=/(尤+2)中，令x-1代替x得/(-X+3)=/(x+1),

結(jié)合/(—x+l)=—/(x+1)得，(一x+l)=-/(-x+3),

即/(x)=-/(x+2),又/(x+2)=—〃x+4),

故〃x)=/(x+4),/(x)的一個周期為4,

又xe［l,2］時，/(X)=ox2+2,且/(-X+l)=-/(X+1),

則，(1)=一/(1)，則/(1)=0,則。+2=0,。=一2,

貝Ijxe口,2］時，/(^)=-2X2+2,

故/(管)7(4x253+./出=一噌/卜'叔+2>|.故選：B

3.(24-25高三下?廣東深圳?月考)(多選)函數(shù)y=f(x),y=g。)的定義域均為R,且對任意xeR均滿足

/(x)-g(2-x)=-2,g(x)+/(x-2)=4,g(x)+g(6-x)=4,則下列選項正確的是()

A.g(3)=2B.§(2025)=2020C./(2024)=2025D./(-2025)=-2023

【答案】AC

【解析】對于g(x)+g(6-x)=4,令》=3可得g(3)+g(6-3)=4,解得g(3)=2,故A正確；

由g(x)+/(尤一2)=4得g(x+2)+f(x)=4,又f(x)-g(2-x)=-2,

所以g(x+2)+g(2-x)=6,所以g(x)+g(4-x)=6,結(jié)合g(x)+g(6-x)=4,

所以g(4-x)=g(6-x)+2,所以g(x+2)=g(x)-2,

令x=l得g(3)=g(l)-2,即g⑴=4,再令x=-1得g(l)=g(-1)-2,即g(-l)=6,

對于g(x)+g(4-x)=6,令x=2得g(2)=3,

由g(x+2)=g(x)-2得g(2025)=g(2023)-2=g(2021)-4=g(2019)-6=.?.=g(3)-2022=-2020,

故B錯誤；

由g(x)+/(尤一2)=4得/(2024)=4—g(2026),

由g(x+2)=g(無)-2得g(2026)=g(2024)-2=g(2022)-4=g(2020)-6=…=g(2)—2024=-2021,

所以/(2024)=4+2021=2025,故C正確；

由g(x)+-2)=4得/(-2025)=4-g(-2023),

由g(x)=g(x+2)+2得g(—2023)=g(-2021)+2=g(-2019)+4=g(-2017)+6=…

=g(—1)+2022=2028,

所以/(-2025)=4-2028=-2024,故D錯誤.故選：AC

4.(2025?黑龍江哈爾濱?一模)(多選)己知函數(shù)y=〃2x+l)的圖象關于點(1,0)對稱，函數(shù)y=〃x+l)的

圖象關于直線尤=1對稱，則下列說法正確的為()

A.4是〃*)的一個周期B.“X)是偶函數(shù)

2025

c.Z/伏)=1D./(l+^)+/(l-x)=0

【答案】ABD

【解析】因為函數(shù)y=/(2x+i)的圖象關于點(1,0)對稱，

所以〃2x+l)+([2(2—尤)+1]=0,即〃2x+l)+〃5—2x)=0,

用x代換上式中的2x可得〃x+l)+〃5-x)=0,所以關于點(3,0)對稱，

因為函數(shù)y=/(x+l)的圖象關于直線x=l對稱，

所以函數(shù)的圖象關于直線x=2對稱，即〃尤+1)=〃3-同，

又〃x+l)+/(5-x)=0,

所以/(3-x)+〃5-x)=。，所以/[3-(3-耳]+/[5-(3-耳]=0,

所以〃2+x)=—〃x),所以/(4+x)=—〃2+x)=/(x),

所以函數(shù)〃x)的周期為4,故A正確；

因為〃耳=_/(2+力,所以/(一力=一/(2-力，

因為函數(shù)/(%)的圖象關于直線x=2對稱，所以/(x+2)=〃2r),

所以=所以/⑺是偶函數(shù)，故B正確；

因為/(2+x)=—/(x),所以〃l+x)=—1),

即/(l+x)+/(l-x)=0,故D正確；

因為/(x)關于點(3,0)對稱，f(2)+/(4)=0,

因為〃2+x)=—〃x),令尤=1可得"1)=—“3),

又/(X)關于直線元=2對稱，所以/。)=/(3)=0,

所以/(1)+〃2)+/(3)+/(4)=0,

2025

所以伏)=4x506+1=〃1)=0,故C不正確.故選：ABD.

k=1

【題型6抽象函數(shù)的性質(zhì)應用】

1、抽象函數(shù)的賦值法：賦值法是求解抽象函數(shù)問題最基本的方法，復制規(guī)律一般有以下幾種:

(1)……-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解；

(2)通過/(%)—/(%)的變換判定單調(diào)性；

(3)令式子中出現(xiàn)/(%)及/(-%)判定抽象函數(shù)的奇偶性；

(4)換x為無+T確定周期性.

2、判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：

(1)湊：湊定義或湊已知，利用定義或已知條件得出結(jié)論；

(2)賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關系.有時可能要進行多次嘗試.

①若給出的是“和型”抽象函數(shù)f(x+y)=---,判斷符號時要變形為：

fM-=〃(%-%)+玉)-/(占)或/(%2)-/(%1)=/(%2)-〃(再-%)+%)；

②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，(孫)=…，判斷符號時要變形為：

/、/、

/(^2)-/(^l)=/XjZ一/(九1)或/(%)—/(%)=/(%)—/^2—?

1.(24-25高三下?青海海南?模擬預測)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/]()=￥，且

〃x+y)=/(x)/(l—y)+/(y)/(l—x),貝I]/(2025)=.

【答案】1

【解析】令戶戶；，得/⑴=/1卜[1]+/1卜1卜，

令％=y=0,得/(。)=/(0)/(1)+/(。)〃1)，所以"0)=0.

將y=i代入，可得/(X+1)=/(1—X).

令尸一無，得〃0)=〃x)〃l+x)+〃r)〃l-x),

又因為VxeR,〃x+l)=/(l-x)恒成立，且不恒為0,

所以〃x)+〃f)=O,從而為奇函數(shù)，

又由〃x+l)=/(l-x),可得〃x+2)=〃r)=—/(x),

所以/(x+4)=〃x),所以4為〃x)的周期，

M/(2025)=/(506x4+l)=/(1)=1,故答案為：1.

2.(24-25高三下?黑龍江吉林?模擬預測)(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,

f(x+y)-f(x-y)=f^X+^f^y+^,/(O)NO,則下列說法正確的是()

A./(D=2B./(0)=-2C.U=2D./(x)是偶函數(shù)

【答案】ABD

【解析】令x=y=o,可得〃。)-/=解得/，]=。，故c錯誤；

令x=o,yeR,貝(-=+=由偶函數(shù)的定義知，是偶函數(shù)，故

D正確；

令%=_恭=4,則/(—1)-/(。)=〃。卜〃0),

由/(X)是偶函數(shù)，則/(I)—/⑼=〃0)?"0)①，

令x=.y=W，則/(0)寸(1)=/。)"(0)②,

①+②可得0="0)[〃0)+/⑴],

又/(0)20,則/(1)=一/(0),代入①可得/(0)=_2,/(1)=2,故AB正確；故選：ABD.

3.(24-25高三下?海南?三模)(多選)已知函數(shù)的定義域為R,且"2)=6,若

/(力=〃尤-y)+/(y)+孫(x-y),則下列說法正確的是()

A./。)=2B./(X)是奇函數(shù)

C./(4x)=/(x)+16x3D.若〃eN*,則”〃)=；〃3+g〃

【答案】ABD

【解析】對于A,令x=2,y=l可得：/(2)=/(2-1)+/(1)+2(2-1),所以7(1)=2,正確;

對于B,令尤=0,可得:/(O)=/(-y)+/(y),

令x=y=0可得：/(0)=/(0)+/(0),即/(0)=0,

所以。=〃-y)+〃y),即是奇函數(shù)，正確；

對于C：令一x=y,可得〃X)=〃2X)+〃T)-2X3,

由B可得：/(2x)=2f(x)+2x3,

所以〃4x)=2〃2x)+16/=2[2〃尤)+2x3]+16x3=4/(x)+20x3,C錯誤；

對于D,令x=y+l,可得：〃y+l)=/⑴+/(y)+(y+l)y,

所以/(y+i)-/(y)=y2+y+2

所以“2)-〃l)=F+3,/(3)-/(2)=22+4,/(4)-/(3)=32+5L

/(n)-/(M-l)=(M-l)2+n+l,