第08講函數模型及其應用

目錄

模擬基礎練.....................................................................2

題型一：二次函數模型，分段函數模型............................................................2

題型二：對勾函數模型..........................................................................3

題型三：指數型函數、對數型函數'幕函數模型...................................................4

題型四：已知函數模型的實際問題................................................................5

題型五：構造函數模型的實際問題................................................................6

重難創新練.....................................................................7

真題實戰練....................................................................12

題型一：二次函數模型，分段函數模型

1.（2024?高三?四川巴中?期末）已知甲、乙兩個城市相距120千米，小王開汽車以100千米/時勻速從甲城

市駛往乙城市，到達乙城市后停留1小時，再以80千米/時勻速返回甲城市.汽車從甲城市出發時，時間x

（小時）記為0,在這輛汽車從甲城市出發至返回到甲城市的這段時間內，該汽車離甲城市的距離y（千米）

表示成時間x（小時）的函數為（）

fl00x,0<x<1.2

A.y=\

[80x,x>1.2

fl00x,0<x<1.2

B.y=5

[120-80x,x>1.2

100x,0<x<1.2

C.y=<120,1.2<x<2.2

120-80x,2.2<x<3.7

100x,0<x<1.2

D.y=<120,1.2<x<2.2

296-80x,2.2<x<3.7

2.汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.

剎車距離是分析交通事故的一個重要依據.在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現

情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現場勘查，測得甲車的剎車距離略超過6m,乙車的剎車距離略超

過10m.已知甲車的剎車距離sm與車速vkm/h之間的關系為S甲=擊丫2一吃丫，乙車的剎車距離sm與車速

vkm/h之間的關系為電=/v2-：v.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現象（）

A.甲、乙兩車均超速B.甲車超速但乙車未超速

C.乙車超速但甲車未超速D.甲、乙兩車均未超速

3.（2024?高三.浙江?開學考試）某地區居民生活用電分高峰和低谷兩個時段進行分時計價.

高峰時間段用電價格表：

高峰月用電量（單位：千瓦時）高峰電價（單位：元/千瓦時）

50及以下的部分0.568

超過50至200的部分0.598

超過200的部分0.668

低谷時間段用電價格表:

低谷月用電量（單位：千瓦時）低谷電價（單位：元/千瓦時）

50及以下的部分0.288

超過50至200的部分0.318

超過200的部分0.388

若某家庭7月份的高峰時間段用電量為250千瓦時，低谷時間段用電量為150千瓦時，則該家庭本月應付

電費為（）元

A.200.7B.207.7C.190.7D.197.7

題型二：對勾函數模型

4.如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報，它的印刷面積為72dm2（圖中陰影部分），上下空白各寬2dm,

左右空白各寬1dm,則四周空白部分面積的最小值是（）dm2.

C.120D.88

5.一家金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店內購買20g黃金，店員先將10g的祛碼放在

天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中，使天平平衡；再將10g的祛碼放在天平右盤中，再取出一些黃

金放在天平左盤中，使得天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.記顧客實際購得的黃金為xg,則無與

20的大小關系為（）

A.x<2QB.x>20

C.x=20D.無法確定

6.（2024.內蒙古呼和浩特.一模）小明在春節期間，預約了正月初五上午去美術館欣賞油畫，其中有一幅

畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠

處最合適呢？（單位：米，精確到小數點后兩位）己知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3

米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（）

A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45

7.某廠計劃建造一個容積為8m3,深為2nl的長方體無蓋水池.若池底的造價為120元每平方米，池壁的造價

為100元每平方米，則這個水池的最低造價為元.

8.某景區的平面圖如圖所示，其中AB,AC為兩條公路，Zfi4C=135°,P為景點，AP=10,AP±AC,

現需要修建一條經過景點P的觀光路線MN,M,N分別為A3,AC上的點，則AAMN面積的最小值

題型三：指數型函數、對數型函數、募函數模型

9.某食品的保鮮時間》（單位：小時）與儲存溫度x（單位：。C）滿足函數關系丁=/+"（e=2.718…為自

然對數的底數，k、b為常數）.若該食品在0℃的保鮮時間設計192小時，在22。。的保鮮時間是48小時,

則該食品在33℃的保鮮時間是一小時.

10.考古學家對四川廣漢“三星堆古墓”進行考古發據，科學家通過古生物中某種放射性元素的存量來估算古

生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為4200年（即：每經過4200年，該元素的存量為原來的一半），

已知古生物中該元素的初始存量為m經檢測古生物中該元素現在的存量為g,請推算古生物距今大約―

年（參考數據：lg2H）.3）.

11.某醫院開展某種病毒的檢測工作，第〃天時每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成平均耗時“〃）（單

<NQ

位：小時），/（"）=,a。,No為常數）.已知第16天檢測過程平均耗時為16小時，第64天和

第67天檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得到第49天檢測過程平均耗時為小時.（精確到1小

時）

12.測量地震級別常用里氏級，它是地震強度（即地震釋放的能量）的常用對數值.如日本1923年地震是

8.9級，舊金山1906年地震是8.3級，問日本1923年地震強度是舊金山1906年地震強度的

e.（lg2?0.3）

題型四：已知函數模型的實際問題

13.（2024.浙江紹興.模擬預測）人類已進入大數據時代.目前，數據量己經從TB（1TB=1O24GB）級別躍升

到PB（1PB=1024TB）,EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）級別.國際數據公司（IDC）的研究結果表明,

2008年全球產生的數據量為0.500ZB,2010年增長到1.125ZB.若從2008年起，全球產生的數據量P與年份

f的關系為「二雄廣,期，其中4，。均是正的常數，則2023年全球產生的數據量是2022年的倍.

14.科學家在研究物體的熱輻射能力時定義了一個理想模型叫“黑體”，即一種能完全吸收照在其表面的電磁

波（光）的物體.然后，黑體根據其本身特性再向周邊輻射電磁波，科學研究發現單位面積的黑體向空間

輻射的電磁波的功率B與該黑體的絕對溫度T的4次方成正比，即3=行為玻爾茲曼常數.而我們在

做實驗數據處理的過程中，往往不用基礎變量作為橫縱坐標，以本實驗結果為例，2為縱坐標，以廣為橫

坐標，則能夠近似得到（曲線形狀），那么如果繼續研究該實驗，若實驗結果的曲線如圖所示，試寫

出其可能的橫縱坐標的變量形式.

15.（2024.北京朝陽?二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力/滿足公式f=^pCSv2,其中。是

空氣密度，S是該飛行器的迎風面積，v是該飛行器相對于空氣的速度，C是空氣阻力系數（其大小取決于

多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率尸=力.當。,S不變，v比原來提高

10%時，下列說法正確的是（）

A.若C不變，則P比原來提高不超過30%

B.若C不變，則尸比原來提高超過40%

C.為使P不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使P不變，則C比原來降低超過40%

16.小微企業是推進創業富民、恢復市場活力、引領科技創新的主力軍，一直以來，融資難、融資貴制約

著小微企業的發展活力.某銀行根據調查的數據，建立了小微企業實際還款比例尸與小微企業的年收入尤（單

-0.968+Ax

位：萬元）的關系為尸=言麗時傳€1t）.已知小微企業的年收入為80萬元時，其實際還款比例為50%,

若銀行希望實際還款比例為40%,則小微企業的年收入約為（參考數據：ln3?1.0986,In2?0.6931）（）

A.46.49萬元B.53.56萬元C.64.43萬元D.71.12萬元

題型五：構造函數模型的實際問題

17.（2024?江西?二模）茶文化起源于中國，中國飲茶據說始于神農時代.現代研究結果顯示，飲茶溫度最

好不要超過6CTC.一杯茶泡好后置于室內，1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為80℃,68℃,給出三

個茶溫7（單位：。C）關于茶泡好后置于室內時間r（單位：分鐘）的函數模型：①T=H+b（。<0）；②

T=logj+仇?T=20+b-a\b>0,0<a<l）.根據生活常識，從這三個函數模型中選擇一個，模

擬茶溫7（單位：℃）關于茶泡好后置于室內時間單位：分鐘）的關系，并依此計算該杯茶泡好后到飲

用至少需要等待的時間為（參考數據lg2土0.301,館3。0.477）（）

A.2.72分鐘B.2.82分鐘

C.2.92分鐘D.3.02分鐘

18.（2024?福建?模擬預測）視力檢測結果有兩種記錄方式，分別是小數記錄與五分記錄，其部分數據如下

表：

小數記錄X0.10.120.15L11.21.52.0

五分記錄y4.04.14.2L55.15.25.3

現有如下函數模型：①y=5+lgx,②y=5+1lg1,X表示小數記錄數據，V表示五分記錄數據，請選擇

10x

最合適的模型解決如下問題：小明同學檢測視力時，醫生告訴他的視力為4.7,則小明同學的小數記錄數據

為（附10°3=2,5422=o.7,1O01=0.8）（）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.8

19.（2024?高三?云南?期中）在一段時間內，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數的倍增期（增加一倍所需的

時間）為21個月，則100只野兔增長到100萬只野兔需要（）個月.（記a=lg2,&=log212）

A.84〃B.—C.84Z?D.—

ab

20.（2024.云南昆明.模擬預測）飲酒駕車、醉酒駕車是嚴重危害《道路交通安全法》的違法行為，將受到

法律處罰.檢測標準：“飲酒駕車：車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml,小于

80mg/100ml的駕駛行為;醉酒駕車:車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml的駕駛行為

據統計，停止飲酒后，血液中的酒精含量平均每小時比上一小時降低20%.某人飲酒后測得血液中的酒精含

量為100mg/100ml,若經過eN*）小時，該人血液中的酒精含量小于20mg/100ml,貝！］”的最小值為（參

考數據：館2。0.3010）（）

A.7B.8C.9D.10

21.（2024?山西朔州?模擬預測）為研究每平方米平均建筑費用與樓層數的關系，某開發商收集了一棟住宅

樓在建筑過程中，建筑費用的相關信息，將總樓層數x與每平米平均建筑成本y（單位：萬元）的數據整理

成如圖所示的散點圖：

每平米平均建筑成本/萬元

20

15

10

5

01020,3040樓層數/層

則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費用y和樓層數1的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+be"

C.y…2

D.y=a+bx2

X

1.（2024.北京.三模）2024年1月17日我國自行研制的天舟七號貨運飛船在發射3小時后成功對接于空間

站天和核心艙后向端口，創造了自動交會對接的記錄.某學校的航天科技活動小組為了探索運動物體追蹤技

術，設計了如下實驗：目標尸在地面軌道上做勻速直線運動；在地面上相距7m的A,8兩點各放置一個傳

感器，分別實時記錄48兩點與物體尸的距離.科技小組的同學根據傳感器的數據，繪制了“距離-時間”函

數圖像，分別如曲線。，6所示.%和馬分別是兩個函數的極小值點.曲線0經過（0,和色,4）,曲線6

經過色,々）.已知物=r2t2,r1=4m,f2=4s,并且從7=0時刻到/=芍時刻P的運動軌跡與線段AB相交.分析曲

線數據可知，尸的運動軌跡與直線所成夾角的正弦值以及尸的速度大小分別為（）

B.色,色m/s

72

D.2,述m/s

72

2.（2024?湖南益陽?三模）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照

同款新車裸車價格，第一年汽車貶值20%,從第二年開始每年貶值10%.剛參加工作的小明打算買一輛約5

年的二手車，價格不超過8萬元.根據年限折舊法,設小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是皿加wN）萬,

則〃，=（）

A.13B.14C.15D.16

3.（2024?重慶?模擬預測）物理學家本?福特提出的定律：在》進制的大量隨機數據中，以“開頭的數出現

的概率為片（小二卜8,"1,應用此定律可以檢測某些經濟數據、選舉數據是否存在造假或錯誤.根據此定

n

律，在十進制的大量隨機數據中，以1開頭的數出現的概率大約是以9開頭的數出現的概率的（）倍（參

考數據:lg2=0.301,lg3=0.477）

A.5.5B.6C.6.5D.7

4.（2024?北京通州.二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間t（單位：

月）的關系式為S=（。＞0,且,圖象如圖所示.則下列結論正確的個數為（）

①浮萍每個月增長的面積都相等；

②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；

③浮萍面積每個月的增長率均為50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經過的時間分別是1,4，4，貝M+4=/3.

5.（2024?陜西西安?模擬預測）2023年10月31日，國務院新聞辦舉行“權威部門話開局”系列主題新聞發

布會的第28場發布會.會上提出蒙古國、中國，包括東北亞的日本、韓國，都是沙漠化的受害者，所以防沙治

沙、植樹造林符合本地區各國和人民當前及長遠利益.根據對中國國家整理的中國沙塵暴資料的分析，發現持

續時間大于r的沙塵暴次數N滿足N=A?l（y仍，目前經測驗A地情況氣象局發現，t=300時，次數

N=5,f=600時，次數N=3,據此計算N=4時對應的持續時間/約為（）

（參考數據：lg2?0.301,lg3?0.477）

A.389B.358C.423D.431

6.（2024.貴州遵義.一模）近年來，中國成為外來物種入侵最嚴重的國家之一，物種入侵對中國生物多樣

性、農牧業生產等構成巨大威脅.某地的一種外來動物數量快速增長，不加控制情況下總數量每經過7個

月就增長1倍.假設不加控制，則該動物數量由入侵的100只增長到1億只大約需要（坨2。0.3010）（）

A.8年B.10年C.12年D.20年

7.（2024.四川.模擬預測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現時速350km

自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內噪聲更小.如果用聲強/（單位：W/n?）表示聲音在傳播途

徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級L（單位：dB）與聲強/的函數關系式為L=41g（a/）,其中％為基

準聲強級，。為常數，當聲強/=、時，聲強級L=20dB.下表為不同列車聲源在距離20m處的聲強級:

聲源與聲源的距離（單位：m）聲強級范圍

內燃列車20[50,80]

電力列車20[20,50]

高速列車20{10}

設在離內燃列車、電力列車、高速列車20m處測得的實際聲強分別為4,A/，則下列結論正確的是（）

A.4=30B.>AC.Z2>10Z3D.A<100Z2

8.（2024?陜西商洛?三模）近年來商洛為了打造康養之都，引進了先進的污水、雨水過濾系統.己知過濾

過程中廢水的污染物數量N（mg/L）與時間r（小時）的關系為"=乂片"（N。為最初的污染物數量）.如

果前3小時消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要（）

A.2.6小時B.6小時C.3小時D.4小時

9.（多選題）（2024.遼寧?二模）半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數量的倍增期是兩年，

用/⑺表示從"0開始，晶體管數量隨時間，變化的函數，若/（0）=1000,則下面選項中，符合摩爾定律公

式的是（）

A.若，是以月為單位，貝4⑺=1000+甯f

B.若t是以年為單位，貝!]/?）=1000x（應y

C.若，是以月為單位，貝Ulg/⑺=3+黑/

D.若，是以年為單位，則igB?+i]

唔JJ2

10.（多選題）（2024.安徽蚌埠.模擬預測）科學研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規律的.如

果物體的初始溫度為4℃,空氣溫度穌。c保持不變，貝h分鐘后物體的溫度。（單位：℃）滿足：

，=4+（4-3若空氣溫度為該物體溫度從*c（90<^<100）下降到30。（2,大約所需的

時間為％,若該物體溫度從7（TC,50P下降到3（FC,大約所需的時間分別為￡明則（）（參考數據:

ln2?0.7,ln3?l.l)

A.々=20B.28%V30C.D.<6

11.（多選題）（2024.全國?模擬預測）小菲在學校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線.為了解自己記憶一

組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關數據，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間x（單位：天）之

7

---工+1,0＜工41

20

間的函數關系y==,.則下列說法中正確的是（

A.隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低

B.第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多

C.9天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%

D.26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%

12.（多選題）（2024?河南?模擬預測）1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式：k=Ae^（R和

A均為大于。的常數），人為反應速率常數（與反應速率成正比），T為熱力學溫度（T＞0）,在同一個

化學反應過程中紇為大于0的定值.已知對于某一化學反應，若熱力學溫度分別為刀和4時，反應速率常數

分別為左和內（此過程中A,R與紇的值保持不變），則（）

A.若工＞匕，則尤＞七

B.若工〉T?,則匕＜心

Ek

C.若n=37；,--^=M,則In^=-M

k22

Ek

D.若（=37；,--±=M,則Inf=-M

3

13.（2024?河南洛陽?模擬預測）在高度為3.6m的豎直墻壁面上有一電子眼A,已知A到天花板的距離為2.1m,

電子眼A的最大可視半徑為0.5m.某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個長度為0.2m的木棒

（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼A記錄到木棒通過的時間為s.（注意：位移與時間的

函數關系為s=gg〃，重力加速度g取lOm/s?）

14.（2024.上海長寧?二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運營的相關數據如下表：

甲乙丙

接單量f（單）783182258338

油費s（元）107150110264110376

平均每單里程女（公里）151515

平均每公里油費。（元）0.7

山工目左…訕如出租車沒有載客行駛的里程

出租車空駛率=出租車行駛的總里程;依據以上數據，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型

u=f{s,t,k,a）,并求得甲、乙、丙的空駛率分別為23.26%、21.68%、x%,貝!]x=（精確到0.01）

15.為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的

含藥量）（毫克）與時間〃小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與，的函數關系式為y=。為常數）.根

（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量v（毫克）與時間r（小時）之間的函數關系式為；

（2）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么藥物釋放開始,

至少需要經過小時后，學生才能回到教室.

16.（2024?北京朝陽?一模）某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力（戰斗單位數）隨時間的變化

=Xocosh（?^力）_、_丫0sinh

_了，其中正實數X。，總分別為紅、藍兩方初始

遵循蘭徹斯特模型：,

y⑺=4cosh（-J—X。sinh

兵力，r為戰斗時間；x?）,分別為紅、藍兩方f時刻的兵力;正實數。，6分別為紅方對藍方、藍方對

紅方的戰斗效果系數；coshx="二和sinhx=《]:分別為雙曲余弦函數和雙曲正弦函數.規定當紅、藍

兩方任何一方兵力為0時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習勝利，并記戰斗持續時長為?給出下列四個

結論：

①若X。〉毛且“則xQ）＞y"）（OW”T）；

②若X°＞乂且。=＞，則T=4n佟耳

xy

ayo~o

X。b

③若”＞一，則紅方獲得戰斗演習勝利;

匕a

④若與＞肥，則紅方獲得戰斗演習勝利?

Yo\a

其中所有正確結論的序號是.

1.（2015年全國普通高等學校招生統一考試文科數學（北京卷））某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表

記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.

加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）

2015年5月1日1235000

2015年5月15日4835600

注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程

在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為（）

A.6升B.8升C.10升D.12升

2.（2014年全國普通高等學校招生統一考試文科數學（北京卷））加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加

工總粒數的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數關系

p=at2+bt+c（a,b,c是常數），如圖記錄了三次實驗的數據，根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最

佳加工時間為

P

0.5

O345，

A.3.50分鐘B.3.75分鐘C.4.00分鐘D.4.25分鐘

3.（2020年全國統一高考數學試卷（文科）