熱點(diǎn)07函數(shù)的應(yīng)用

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測(cè)

2024年分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)與方程的關(guān)系，函數(shù)分段函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

與方程的綜合運(yùn)用

2023年函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題

選擇合適的函數(shù)模型

2022年分段函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

熱點(diǎn)題型解讀

遜1函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

轆2函數(shù)與方程的綜合g用

函數(shù)的應(yīng)用

題型3分段函數(shù)的應(yīng)用

整4根據(jù)翅「誦選觸數(shù)理

題型1函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

1.求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法

(1)直接法：令人x)=0,方程有多少個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則人x)有多少個(gè)零點(diǎn).

(2)定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等.

(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的三種常用方法

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)(范圍).

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域確定參數(shù)范圍.

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合法求解.

1.(2023?上海)己知函數(shù)/。)=2-工+1,且g(x)=]乎(：+D'X對(duì)，則方程g(x)=2的解為.

【分析】分x20和x<0分別求解即可.

【解答】解：當(dāng)尤》0時(shí)，g(x)=2log2(x+1)=2,解得x=3；

當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=f(-x)=2'+1=2,解得尤=0(舍)；

所以g(x)=2的解為：x=3.

故答案為：x=3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算、指數(shù)的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2024?閔行區(qū)校級(jí)三模)已知函數(shù)y=sin尤+sin2x在(-“,°)上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最大值

為.

【分析】根據(jù)正弦的二倍角公式可得sinx=0或cosx=-g,進(jìn)而可得y=sin尤+sin2尤的零點(diǎn)情況，結(jié)合區(qū)

間(-a,a)即可確定。的最大值.

[解答]解：由y=sinx+sin2x=2sinxcosx+sinx,令2sinxcosx+sinx=0,可得

sinx(2cosx+1)=0,角軍得sinx=0或cosx=-；,

127r_27r

當(dāng)sinx=0,x=k7r,keZ,當(dāng)cosx=——時(shí)，x=-----^2左1或、=----卜2k九，keZ,

233

所以當(dāng)2%,2TT],>=sinx+sin2x的零點(diǎn)按從小到大排列有：-2冗,一?，一兀，,0,,

4%。

71，----，2兀，

3

故>=sinx+sin2x在(一見(jiàn)。)上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則這5個(gè)零點(diǎn)為-?，--—,0,—,兀、

故。的最大值為9.

3

故答案為：—.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，涉及二倍角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能

力，屬于中檔題.

mx,x<0

3.(2024?閔行區(qū)校級(jí)三模)已知函數(shù)/(》)=產(chǎn)，若函數(shù)〃(、)=/(%)+/(f)的零點(diǎn)一共有3個(gè)，則

—,x>0

、x

實(shí)數(shù)7"的取值為.

【分析】函數(shù)雙尤)的零點(diǎn)，即f(x)=-f(-x)的零點(diǎn)，由于〃0)=0,則〃(外零點(diǎn)一共有3個(gè)，即可轉(zhuǎn)化為x>0

時(shí)，/(%)=-/(-x)有一個(gè)根即可，整理成方程以J=M在x>0時(shí)有一個(gè)根，令〃(%)=三■，工>0,求/(X),

XX

判斷函數(shù)〃(X)的單調(diào)性及取值情況，即可得冽的取值.

【解答】解：久幻=/(%)+/(-X)的零點(diǎn)滿足〃(x)=/(%)+/(-x)=0，

即/(%)=-/(-X)的根，

mx,x<0

由于/00=,，八，

—,x〉0

所以/(0)=0,

則x=0是/(x)=-/(-x)的一個(gè)根；

所以/(%)=-/(-%)的根三個(gè)，則滿足當(dāng)x>0時(shí)，/(幻=-/(-幻有一個(gè)根即可，

又%>0時(shí)，一x<0,所以/(一工)=-mx,

所以J=在％>0時(shí)有一個(gè)根，即彳=加在x>0時(shí)有一個(gè)根，

XX

令〃(%)=彳/>0，

x

所以〃(x)=e"(xj2),

X

令"(x)=0,得％=2,

所以XE(0,2)時(shí)，h\x)<0,〃(%)在XE(0,2)上單調(diào)遞減；

xe(2,+oo)時(shí)，h\x)>0,/z(x)在X￡(2,+8)上單調(diào)遞增；

又x趨于0,〃(%)趨于+8；，比爐增長(zhǎng)的快，

所以X趨于+oo,h(x)趨于+00.

22

所以4(2)=卞=?=%.

2

故答案為：—e.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化思想及導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題.

4.(2024?普陀區(qū)模擬)已知aw及，若關(guān)于x的不等式a(x-2)"'-x>0的解集中有且僅有一個(gè)負(fù)整數(shù)，則

a的取值范圍是.

【分析】原式可化為。(x-2)>xe*,然后研究函數(shù)〃尤)=xe”的圖象，只需當(dāng)x<0時(shí)，y=a(x-2)在/(x)

下方時(shí)，只有一個(gè)負(fù)整數(shù)即可，構(gòu)造不等式組求解.

【解答】解：原不等式可化為：a(x-2)>xex,

令/(x)=xe*,f\x)-(x+l)ex,顯然尤<-1時(shí)，f\x)<0,/(x)遞減；x>-l時(shí)，f'(x)>0,/(x)遞增，

1y

所以/(x)欣,=/(-l)=一一，且x->-co時(shí)，xe*==-()-,

ee

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

(x-1)3,0令<2,

5.(2024?青浦區(qū)二模)對(duì)于函數(shù)>=/(x),其中/(x)=，若關(guān)于的方程/(%)=去有兩個(gè)

一2,龍》2

不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是.

【分析】結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的特征，作出函數(shù)的圖象，關(guān)于龍的方程/(X)區(qū)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)

化為y=/(x)與了=履有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.

【解答】解：①當(dāng)年2時(shí)，函數(shù)/(x)=4單調(diào)遞減可得：0<〃x)=4(；

xx

②當(dāng)0<x<2時(shí)，由函數(shù)〃x)=(x-l)3單調(diào)遞增可得:-1<f(x)<l,

作出函數(shù)/(x)的圖象，

由圖象可知：由0<2左<1,可得0<左<!，

2

故當(dāng)0〈人時(shí)，函數(shù)y=與y=/(x)的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，

.?.滿足關(guān)于x的方程/(幻=船有兩個(gè)不同的實(shí)根的實(shí)數(shù)4的取值范圍是(0,；).

故答案為：(0,1).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由方程根的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

題型2函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

1.對(duì)于二次函數(shù)零點(diǎn)分布的研究一般從以下幾個(gè)方面入手

I

(1)開(kāi)口方向；

(2)對(duì)稱軸，主要討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；

(3)判別式，決定函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；

I

(4)區(qū)間端點(diǎn)值.

2.對(duì)于復(fù)合函數(shù)歹=&(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，求解思路如下：

I

⑴確定內(nèi)層函數(shù)〃=g(x)和外層函數(shù)

(2)確定外層函數(shù)＞=/(〃)的零點(diǎn)〃=〃G=1,2,3,…，〃)；

(3)確定直線〃=%G=1,2,3,,,,,")與內(nèi)層函數(shù)〃=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為如的，…，a,則函數(shù)I

n1

y=/(g(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為a|+a2+a3^------

1.(2024?￡海『現(xiàn)定義如下：當(dāng)尤e+詞(〃wN),若/(x+1)=,則稱/(x)為延展函數(shù).現(xiàn)看,

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g(x)=，與力(x)=P均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論()

(1)存在y=fcr+6(左，bcR；k,6w0)與y=g(x)有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)

(2)存在y=fcr+6(左，beR；k,6w0)與y=〃(x)有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立

【分析】根據(jù)題意，對(duì)于①，由“延展函數(shù)”的定義，分析可得g(x)是周期為1的周期函數(shù)，結(jié)合一次函

數(shù)的性質(zhì)可得①錯(cuò)誤，對(duì)于②，舉出例子，可得②正確，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)xw(O,l)時(shí)，8仁)=1與力(》)=產(chǎn)均為延展函數(shù),

對(duì)于①，對(duì)于g(x)=e"g(x+1)=g'(x)=ex,

則g(x)是周期為1的周期函數(shù)，其值域?yàn)?l,e),

因?yàn)?片0,夕=依+6與y=g(x)不會(huì)有無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)，所以(1)錯(cuò)；

對(duì)于②，當(dāng)后=10!時(shí)，存在6使得直線》=履+6可以與雙幻在區(qū)間(9,10)的函數(shù)部分重合，因而有無(wú)窮個(gè)

交點(diǎn)，所以(2)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及函數(shù)的圖象，關(guān)鍵理解“延展函數(shù)”的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2025,上海?模擬預(yù)測(cè))關(guān)于x的方程住-1|+|無(wú)-苫|=兀-1的解集為.

【答案】［1,句

【分析】根據(jù)x的取值范圍去絕對(duì)值，分類討論解方程即可.

X-l+X-7t,X>7t2x-1-兀/27i

【詳解】|X-I|+|K-n-l,l<x<n

\—X+Tt—X,X<\l+7t-2x,x<l

當(dāng)X、兀時(shí),令2x-l—7l=Tl-1得X=兀；

當(dāng)1<%<兀時(shí)，|'一1|+|兀一、|=兀一1恒成立；

當(dāng)時(shí)，令1+兀一21=兀一1得x=l.

綜上所述，方程+|兀7|=兀-1的解集為［1,句.

故答案為：［1,句.

3.(2024?上海普陀?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于正整數(shù)力，設(shè)x”是關(guān)于x的方程"/+2》-〃=0的實(shí)數(shù)根，記

a?=［(〃+1)X?］(77>2),其中卜］表示不超過(guò)實(shí)數(shù)X的最大整數(shù)，貝Ij+。3+…+?2026)=.

【答案】2025

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)廣(%)>0可得“X)為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理找到方程內(nèi)3+2x-〃=0的實(shí)數(shù)

根%的取值范圍，代入%=［(〃+1)苞/(〃22),即可得出通項(xiàng)公式，由等差數(shù)列求和公式即可求出答案.

【詳解】令/(x)=^+2x-",則/'(》)=3加+2>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

因?yàn)?(0)=-?<0,/(1)=2>0,故方程內(nèi)3+2x-〃=0存在唯一的實(shí)數(shù)根%e(0,1),

又〃22時(shí)，-/A+〃+1=-(〃-口+—<0,

+2x-----n=------7-〃2+〃+1)<0,

H+1(〃+1)3

YI

因此可得：——-<xn<1,所以"<("+l)x"<"+1,

因?yàn)?[(?+l)x?](?>2),其中[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，

所以，

結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得：*(2+/+???+。2期)=七x(2+202；>2°25=2025.

故答案為：2025.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)零點(diǎn)存在性定理找到方程"3+2》-〃=0的實(shí)數(shù)根取值范圍，得到

-^-<xn<l,再由題意得到

n+l

4.(2022?上海)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,現(xiàn)有兩種對(duì)〃x)變換的操作：夕變換：。

變換：+其中/為大于0的常數(shù).

(1)設(shè)/'(x)=2:t=\,g(x)為/(x)做/變換后的結(jié)果，解方程：g(x)=2；

(2)設(shè)〃x)=f,〃(x)為〃x)做。變換后的結(jié)果，解不等式：f(x)^h(x)；

(3)設(shè)/(x)在(-oo,0)上單調(diào)遞增，/(x)先做夕變換后得到"(x),"(x)再做。變換后得到似x)；“X)先

做0變換后得到v(x),V(x)再做夕變換后得到陽(yáng)無(wú)).若/式x)=〃2(x)恒成立，證明：函數(shù)/(X)在R上單調(diào)

遞增.

【分析】(1)推導(dǎo)出g(x)=/(x)-/(x-l)=2'-2i=2i=2,由此能求出x.

(2)推導(dǎo)出X，|(x+-x?|=|2tr+『|,當(dāng)xW-；時(shí)，(無(wú))恒成立；當(dāng)x>-g時(shí)，+由

此能求出的解集.

(3)先求出M(X)=f(x)-f(x-t),從而\(x)=|f(x+/)-/(x)-[/(x)-f(x-/)]|,先求出

v(x)=|/(x+Z)-/(x)|,從而h2(x)=|f(x+/)-/(x)|-1/(x)-/(x-f)I>由％(x)=〃2(x)，得

\f{x+0-〃x)-[〃X)-T)]|="(x+1)-〃x)I-"(x)--(I,再由〃x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，能

證明函數(shù)〃x)在尺上單調(diào)遞增.

【解答】解:⑴???〃x)=2"仁1,g(x)為做0變換后的結(jié)果，g(x)=2,

g(x)=/(x)-/(x-1)=2:=2-=2,

解得x=2.

(2)v/(x)=x2,〃(x)為/(x)做。變換后的結(jié)果，f(x)^h(x),

x2?j(x+f)~—|-12tx+產(chǎn)],

當(dāng)xW-g時(shí)，/(無(wú))》〃(x)恒成立；

當(dāng)x>--時(shí)，2tx+，

2

解得+或在(1-血》,

綜上，不等式：的解集為(-8,(1-拒加IJK1+后)乙+◎?

(3)證明：/(x)先做夕變換后得到"(x),w(x)再做。變換后得到4(x),

U(x)=f(x)-f(x-t),%(x)=|f(x+0-/(x)-[/(X)-f(x-Z)]|,

/(x)先做(D變換后得到v(x),v(x)再做<p變換后得到h2(x),

v(x)=|f(x+t)-f(x)\,%(x)=|f(x+/)-/(x)

%(x)=生(X),/(x)在(-oo,0)上單調(diào)遞增，

??.If(x+0-7(x)-[/(x)-f(xT)]1=1f(x+0-f(x)\-\f(x)-f(x-t)\,

'f(x+t)-/(x)>/(X)-f(x-t)

</(x+/)-/(x)>0對(duì)/>0恒成立，

J(x)>f(x-t)

函數(shù)y(x)在滅上單調(diào)遞增.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查方程、不等式的解的求法，考查函數(shù)是增函數(shù)的證明，考查函數(shù)變換的性質(zhì)、抽象函數(shù)

性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

5.(2024?上海)記Af(a)={t\t=f{x)-f(a),x^a},L(a)={t\t=f{x}~f(a),x^a].

(1)若〃x)=/+l,求M(1)和/(1)；

(2)/(x)=x3-3x2,求證：對(duì)于任意aeR,都有V(a)c[-4,+co),且存在a,使得-4eM(a).

(3)已知定義在及上/(x)有最小值，求證"/(x)是偶函數(shù)“的充要條件是“對(duì)于任意正實(shí)數(shù)c,均有

M(-c)=L(c)”.

【分析】(1)根據(jù)條件，直接求出〃(1)和4(1)即可；

(2)由題意知，M(a)-{t\t=x3-3x2-a3+3a2,無(wú)》a},記g(x)=丁-3x?+3/,判斷g(x)的單調(diào)

性，求出極值，再對(duì)。分類討論，進(jìn)一步證明結(jié)論成立即可；

(3)必要性：若/(x)為偶函數(shù)，貝！IM(-c)="I/=/(x)-/(-c),x》-c},L(c)/(x)-/(c),

x?}，結(jié)合條件，得到M(-c)=￡(c)即可；充分性：若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)c,均有“(-c)=￡(c),其中

M(-c)={t\t=/(x)-/(-c),x2-c},L(c)={t\t=f(x)-f(c),x《c},由7(x)有最小值，不妨設(shè)了

(a)=fmin=m,進(jìn)一步證明/(x)是偶函數(shù)即可.

【解答】解：(1)由題意，得M(1)={t\t=x2+1-2,x?l}=[0,+oo)；

L(X)—t-x1+1—2,xW“=[—1,+℃).

(2)證明：由題意知，M(a)={/1=x3-3x2-a3+3a2,x^a},

t己g(x)-x3-3x2-a3+3a2,貝!Jg，(x)=3x2-6x=0nx=0或2.

X(-8,0)0(0,2)2(2,+s)

g'(x)正0負(fù)0正

g(x)/極大值極小值/

現(xiàn)對(duì)Q分類討論，當(dāng)磋2,有￡=工3_3工2一〃3+3〃2,%》。為嚴(yán)格增函數(shù),

因?yàn)間(a)=0,所以此時(shí)M(a)=[0,+co)o[-4,+8)符合條件；

2

當(dāng)<2時(shí),t—X1—3%2—/+3an,x^d先增后減，tmin=g(2)=—ci+3tz—4,

231

因?yàn)椤?+3/=6Z(3—Q)20(Q=0取等號(hào))，所以tmin—g(2)=—a+3a—42—4,

則此時(shí)M(a)=[-/+3Q2—4,+oo)o[-4,+8)也符合條件；

當(dāng)a<0時(shí)，t=x3-3x2-a3+3a2,x^a,在[Q,0)嚴(yán)格增，在[0,2]嚴(yán)格減，在[2,+oo)嚴(yán)格增,

32

tmin=mm{g(tz),g(2)}=min^0,-a+3a-4j,

因?yàn)椤?a)=一〃3+3〃2-4,當(dāng)〃<0時(shí)，h'(a)=-3tz2+6tz>0,貝(a)>/z(0)=-4,

則此時(shí)Af(a)=[tmin,+oo)o[-4,+8)成立；

綜上可知，對(duì)于任意都有〃(a)o[-4,+oo],且存在Q=0,使得(a).

(3)證明：必要性：若/(%)為偶函數(shù)，

則Af(-c)={力=/(%)—/(-c),x^-c},L(c)={t\t=f(x)-f(c),x^c},

當(dāng)x2—c,t=f(x)-f(-c)=f(-x)-f(c),因?yàn)椤獂《c,故M(—c)=￡(c)；

充分性：若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)c,均有M(-c)=￡(c),

其中Af(-c)={力￡=/(%)-/(-c),x^-c},L(c)={t\t=(c),x^c}9

因?yàn)?(x)有最小值，不妨設(shè)/(a)=fmin=m,

由于。任意，令。?則aw[-c,c],所以Af(-c)最小元素為/(a)-f(-c)=m-f(-c).

L(c)中最小元素為機(jī)-/(c),又M(-c)=L(c)=>/(c)=/(一0)對(duì)任意。)|〃|成立，

所以/(a)=f(-a)=m,

若Q=0,則/(c)=/(-c)對(duì)任意c20成立=>/(x)是偶函數(shù)；

M(-c)最小元素是/'(同)-/(-研\(zhòng)

若Qw0,此后取cw(-1qaI)

“-C)最小元素乏(T4)-/(c)J

綜上，任意c20,f(c)=/(—c),即/(x)是偶函數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，充分必要條件的證明，函數(shù)的奇偶性與集合間的

關(guān)系，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬難題.

6.(2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椤＃瑢?duì)于區(qū)間/=[a,b](IcD),若滿足以下兩個(gè)

性質(zhì)之一，則稱區(qū)間/是＞=/(%)的一個(gè)“好區(qū)間”.

性質(zhì)①：對(duì)于任意x()e/,都有/(%o)e/；性質(zhì)②：對(duì)于任意x()e/,都有/每)青/.

(1)已知函數(shù)/(x)=-x2+2x,xeR.分別判斷區(qū)間[0,2],區(qū)間[1,3]是杳為y=〃x)的“好區(qū)間”,

并說(shuō)明理由；

(2)已知加>0,若區(qū)間[0,詞是函數(shù)/口)=；/一/-3》+12,xw及的一個(gè)''好區(qū)間”，求實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍；

(3)已知函數(shù)了=/(無(wú))的定義域?yàn)镽,其圖像是一條連續(xù)的曲線，且對(duì)于任意a<6,都有/(a)-f

(b)>b-a,求證：y=/(x)存在“好區(qū)間”，且存在x°eR,m為不屬于y=〃x)的任意一個(gè)“好區(qū)

間”.

【分析】(1)由“好區(qū)間”的定義判斷即可；

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，根據(jù)“好區(qū)間”的定義可判斷出y=/(x)上滿足性質(zhì)②，再由

[0,m]p|[/(m),12]=0,求解即可；

(3)由題意可得y=/(x)在任意區(qū)間[a,6]上對(duì)應(yīng)的函數(shù)值區(qū)間長(zhǎng)度必大于從而可得在任意區(qū)間

I=[a,可上都不滿足性質(zhì)①，且在R上單調(diào)遞減，即有即存在了(%),分/(%)>/，f(x0)<x0,證

明即可.

【解答】解：(1)/(X)=-/+2X=-(X-1)2+1,

當(dāng)xe[0,2]時(shí)，/(x)e[0,2],滿足性質(zhì)①，

所以[0,2]是y=/(x)的“好區(qū)間”；

當(dāng)xe[l,3]時(shí)，/(x)e[-3,2],

既不滿足性質(zhì)①，也不滿足性質(zhì)②，

所以[1,3]不是〉=/(x)的“好區(qū)間”；

(2)f'(x)=X2^2X-3=(X-3)(X+1),

X0(0,3)3(3,+與

f\x)-0+

“X)12單調(diào)遞減極小值3單調(diào)遞增

若y=/(x)在區(qū)間[0,"“上滿足性質(zhì)①，則〃0)=12e[0,m],加212,

[fij-m=———m2-4m+\2--(zn-3)(/H2-12)>0,f(m)g[0,m],

所以y=/(x)在區(qū)間[0,m]上不滿足性質(zhì)①

若〉=/(x)在區(qū)間y=f(x)上滿足性質(zhì)②，

當(dāng)機(jī)<3時(shí)，/(x)M'(w)>f(3)=3,

所以[0,[/(;?),12]=0,

當(dāng)加23時(shí)，因?yàn)閥(3)=3,所以不符合；

綜上所述，實(shí)數(shù)小的取值范圍是(0,3)；

(3)證明：因?yàn)槿我?<6,都有/(a)-f(b)>b-a.

所以了=/(x)在任意區(qū)間[a,可上對(duì)應(yīng)的函數(shù)值區(qū)間長(zhǎng)度必大于8-a,

即y=/(x)在任意區(qū)間/=[a,b]上都不滿足性質(zhì)①，

因?yàn)閷?duì)于任意。<6,都有f(a)-f(b)>b-a>0,

所以y=/(x)在五上單調(diào)遞減，

所以y(x)=x不恒成立，即存在了(/)HX。，

若/(%)>%，

取a<b<Xo，則[(a)>f(b)>/(x0)>x0>b>a,

y=/(x)在區(qū)間[a,可上對(duì)應(yīng)函數(shù)值的區(qū)間(b),/(a)],

[/(b),f(a)]Q[?,b]=0,

所以[a,6]是一個(gè)“好區(qū)間”；

若/(%)</，

取6>Q〉X。，

則/(b)<f(a)</(x0)<x0<a<b,

y=/(x)在區(qū)間[a,切上對(duì)應(yīng)函數(shù)值的區(qū)間[/(b),/(a)],

[/(b)，f(a)]p|[?,b]=0,

[a,6]是一個(gè)“好區(qū)間”；

所以y=/(X)存在“好區(qū)間”；

記g(x)=/(x)-x,

因?yàn)閥=/(X)在R上單調(diào)遞減，所以y=g(x)在尺上單調(diào)遞減；

又了=/(x)圖像是一條連續(xù)的曲線，

所以y=g(x)圖像也是一條連續(xù)的曲線，

先證明y=g(x)有零點(diǎn)，

設(shè)g(0)=/(0)=t,

若:0,貝廿=g(x)有零點(diǎn)為x=0,

若/>0,則/(/)</(0)w0,g(t)=f(t)-t<0,g(0)=t>0,y=g(x)在區(qū)間(0J)上有零點(diǎn);

若t<0,貝U/(7)>/(0)#0,g(Z)=/(Z)-?>0,g(0)=t<0,y=g(x)在區(qū)間億0)上有零點(diǎn);

所以y=g(x)必有零點(diǎn)，記為端，

即/(x；)=x0>=f(x)的“好區(qū)間”/都滿足性質(zhì)②，

所以/，不屬于任意一個(gè)“好區(qū)間”.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新概念題，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用、分類討論思想，理解定義是關(guān)鍵，屬于中檔題.

7.(2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模)設(shè)函數(shù)y=/(x)定義域?yàn)閆.若整數(shù)s、I滿足,則稱s與/“相

關(guān)”于7?

(1)設(shè)“x)=|x+l|-2,xwZ,寫出所有與2“相關(guān)”于/?的整數(shù)；

(2)設(shè)y=/(x)滿足：任取不同的整數(shù)s、?e[l,10],s與/均“相關(guān)”于求證：存在整數(shù)加e[l,

8],使得m、〃?+1、m+2都與2024“相關(guān)”于/；

(3)是否存在實(shí)數(shù)0,使得函數(shù)〃x)=(l+ax)e*+(a+l)x-l,xeZ滿足：存在^eZ,能使所有與天

“相關(guān)”于/的非零整數(shù)組成一個(gè)非空有限集？若這樣的。存在，指出/(%)和0的大小關(guān)系(無(wú)需證明),

并求出“的取值范圍；若這樣的。不存在，說(shuō)明理由.

【分析】(1)直接根據(jù)定義解不等式即可；

(2)根據(jù)定義可以確定/(1),f(2),/(10)中至多有兩個(gè)非零數(shù)，再直接推知結(jié)論；

(3)對(duì)命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后使用分類討論方法即可確定a的取值范圍，并得到/(x0)<0.

【解答】解：(1)若要整數(shù)x與2“相關(guān)”于/,即(2)W0，

由于/(2)=1,故這等價(jià)于/(x)，0,即|x+l《2,

得到滿足條件的全部x為-3,-2,-1,0,1.

(2)由題意知，f(1),f(2),/(10)這十個(gè)數(shù)中，任取其中兩個(gè)，其乘積都不為正數(shù)，

這意味著，這十個(gè)數(shù)中至多有一個(gè)正數(shù)，也至多有一個(gè)負(fù)數(shù)，

所以這十個(gè)數(shù)中至多有兩個(gè)數(shù)不等于零.

假設(shè)/(1),f(2),f(3)不全為零，

f(4),f(5),f(6)不全為零，

f(7),f(8),f(9)也不全為零.

那么這十個(gè)數(shù)中已經(jīng)出現(xiàn)了三個(gè)不為零的數(shù)，矛盾.

所以必定存在整數(shù)加w{l,4,7}c[1,8],使得/(小)=/(加+1)=/(加+2)=0,

此時(shí)/(m)/(2024)=f(m+1)/(2024)=f[m+2)/(2024)=0,

所以加，m+\,m+2都與2024"相關(guān)”于f.

(3)原條件等價(jià)于下列兩個(gè)命題之一成立：

①存在％eZ使得/(x0)>0且集合4={xeZ|/(x)W0，尤*0}是非空有限集；

②存在x°eZ使得〃/)<0,且集合&={xeZ"(x)》0,x#0}是非空有限集.

設(shè)(p{x}=(1-x)ex-1,貝!J(p\x)=-xex,

從而當(dāng)x<0時(shí)0（x）>0,當(dāng)x>0時(shí)（p（x）<0，

所以0(x)在(-8,0］上遞增，在［0,+8)上遞減，從而9(x)(0(0)=0.

對(duì)/(%)=(1+辦)優(yōu)+(Q+1)%-1求導(dǎo)可得f\x)=(Q+1+ax)ex+Q+1.

若貝!J當(dāng)工<」一時(shí)，由。<0且％<0知，

x+1

/(x)=(1+ax)ex+(a+l)x-1>(tz+l)x-1>0；

當(dāng)時(shí)，有/(%)=(1+ax)ex+(a+l)x-1<(1-x)ex-一1<0,

所以3N,A>o(—co,---)0Z，

、/a+111

從而4，人都不是非空有限集，故此時(shí)命題①和②都不成立；

若-<———，

e+1

則當(dāng)在0時(shí)，得

/(x)=(1+ax)ex+(a+V)x-l=ex+x-i+ax(ex+1)(靖+x-l-x(ex+1)=(1-x)ex-1=e(x)<0；

9Pi—p

當(dāng)時(shí)，由2。+1<—++1=—<0有，

e+1e+1

/'(x)=(Q+1++Q+1<(2Q+l)e"+Q+1<(2Q+l)e+a+1

1、1e(2e+1)1e2+2e+l-2e2-e-e2+e+1-22+3+1_

=(2e+l)a+e+l<------+e+l=-----------------=----------<----------=0,

e+le+le+le+l

所以/(x)在［I,+8)上遞減，

從而對(duì)有f(x)((I)=(I+d)e+a+1-1=a(e+1)+e<———?(e+1)+e=0,

e+l

所以對(duì)任意XEZ都有從而命題①不成立；

而同時(shí)這意味著4包含一切非零整數(shù)，所以命題②不成立；

若———^a<0,則當(dāng)時(shí)，由Q2——

e+le+l

f(x)—(I+QX)/+(Q+l)x—\=cx+x-1+4x(/+x-I_x{cx+1)=(I—x)/—I=e(x)<0;

7

當(dāng)%>——時(shí)，由0》e*?(p(-x)=ex((l+x)e~x一I)=I+x-，知x^ex-l,

a

從而f(x)=(I+ax)ex+(a+l)x-l=ex-l+x+ax(ex+l)W2(e"-l)+ax(ex+1)<(2+ax)(ex+1)<0,

o

故總屋［-從而4一定是有限集.

而'f(I)=(I++a+1—I=+1)+e2------(e+1)+e=0,

e+l

因?yàn)镮wO,leZ,所以從而力》一定是非空有限集.

同時(shí)，上面已經(jīng)證明了(-1)(0,所以此時(shí)命題②成立；

若,則當(dāng)x<0時(shí)，有/(x)=(1+ax)ex+(Q+V)x-1=(ex-1)+x(aex+tz+l)<0+0=0；

當(dāng)x〉0時(shí)，有/(x)=(1+ax)ex+(tz+l)x-1=(ex-1)+x(aex+Q+1)>0+0=0.

所以4江-N*,4衛(wèi)N*,從而4,4都不是非空有限集，故此時(shí)命題①和②都不成立.

綜上，。的取值范圍是［-一—,0),且此時(shí)存在x°wZ使得

e+1

且集合&={X￡Z|/(X)2O,xwO}是非空有限集.

這表明對(duì)每個(gè)滿足條件的a,都有/(/)<0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了函數(shù)思想.屬于難題.

8.(2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬)已知。為實(shí)數(shù)/(x)=(x+0歷(x+1).對(duì)于給定的一組有序?qū)崝?shù)(左,加)，若對(duì)任

意X］,x2G(-1,+00),都有的一/(再)+刈［優(yōu)一/(%2)+刈》0，則稱(左，⑼為/(X)的“正向數(shù)組

(1)若。=-2,判斷(0,0)是否為/(%)的“正向數(shù)組”，并說(shuō)明理由；

(2)證明：若(后，加)為/(%)的“正向數(shù)組”,則對(duì)任意%>-1,都有+聯(lián)0；

(3)已知對(duì)任意%>-1,(/'(%),/(%)-//'(%))都是/(x)的“正向數(shù)組”，求〃的取值范圍.

【分析】(1)代入有/(x)=(x-2)歷(x+1),根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到/(x)的正負(fù)時(shí)不同取值情況即可；

(2)假設(shè)存在%>-1,使得Ax-7(x)+機(jī)>0,通過(guò)正向數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對(duì)任意x>-l,Ax-/(x)+加20恒

成立，設(shè)尸(x)=(x+a)ln{x+l)-kx-mf再利用函數(shù)的性質(zhì)即可證明假?zèng)]不成立：

(3)代入有f\xQ)x-/(x)+/(x0)-x0/(x0)20恒成立或f(x0)x-/(x)+/(x0)-Wo)40恒成立，設(shè)

g(x)=/(x)-/'(%o)x，求出冢/)是g(x)的最大值或最小值時(shí)［的取值范圍即可.

【解答】(1)解：若〃=-2,f(x)=(x-2)ln(x+l),

對(duì)(左,冽)=(0,0),即［何-/(再)+加］［如-/(%2)+加］=/(再)，/(%2)，

而當(dāng)國(guó)￡(0,2),x2G(2,+oo)時(shí),

/(國(guó))=(石一2)歷(西+1)<0,f(x2)=(x2-2)ln(x2+1)>0,

即/(%>/(%)<0，不滿足題意，

所以(0,0)不是/(X)的“正向數(shù)組”；

(2)證明：假設(shè)存在使得Ax-/(x)+冽>0,

???伊,⑼為/(%)的“正向數(shù)組”，

.二對(duì)任意/>-1,都有內(nèi)：o-/(%)+旬?［優(yōu)-/(/)+河)0，

.?.對(duì)任意》>-1,Ax-/(%)+加20恒成立，

令產(chǎn)(x)=(x+a)ln{x-i-V)-kx-m,則F(x)^0在(一1,+8)上恒成立,

尸'(％)=ln(x+1)+x+a-k=ln(x+1)+——-+(1—左)，

x+1x+1

n—1

設(shè)G(x)=F'(x)=ln(x+1)+--+(1-左)，

x+1

則當(dāng)a>l時(shí)，G〃(x)在(-l,a-2)上為負(fù),在(0-2,+8)上為正,

所以G(x)=F\x)在(-1,。-2)上單調(diào)遞減，在(a-2,+oo)上單調(diào)遞增，

若尸(a-2)<0,當(dāng)x—>-1,F\x)—>+co,當(dāng)x—>+oo,F\x)->+oo,

即存在廠(藥)=尸(%)=0,使7(x)在(一1,玉)上為正，在區(qū)，%)上為負(fù)，在(%,+◎上為正，

所以尸(x)在上單調(diào)遞增，在(%，%)上單調(diào)遞減，在(尤2，+功上單調(diào)遞增，

又當(dāng)/(x)--co,當(dāng)x->+co,/(%)一+00,則尸(%)的值域?yàn)镽,

若尸(a-2)》0,尸(x)》尸(a-2)》0,尸(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

又當(dāng)F(x)->-co,當(dāng)x->+co,F(x)-?+oo,則尸(x)的值域?yàn)镽,

當(dāng)被1時(shí)，G(X)="+2-；》o,60)=尸(幻在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

(x+1)

又當(dāng)xfF(x)-?+C0,當(dāng)尤->+co,F(x)->+<x>,則尸(x)的值域?yàn)閇/(占)，+C0),

由值域可看出，與尸(x)W0在(-1,+?)上恒成立矛盾.

.?.對(duì)任意x>-l,都有fcr-yXxH：”，。；

(3)?.?(/(%),/(%))都是/(X)的“正向數(shù)組”，

對(duì)任意X],x2e(-l,+oo),都有[r(%)網(wǎng)-/(占)+/(%)-%/?)][廣(超應(yīng)+,

則/Xx0)x-/(%)+/(%)-恒成立或r(x0)x-/(x)+/(xo)-xo/,(^oKO恒成立，

即/(X)-f'(x0)x4qf(x0)-f'(x0)/恒成立或/(x)-f'(x0(x0)-f'(x0)%恒成立，

設(shè)g(x)=/(x)-f'(x0)x=(x+a)ln(x+1)-f\x0)x,

則〃Xo)-f'(x0)x0=g(x0),

即g(xo)是g(x)的最大值或最小值，

g'(x)=r(x)-f'(x0)=ln(x+1)+弋-/'(%)=ln(x+1)+㈡+[1-r(％)],

x+1x+1

且g'(x°)=/'(x。)-〃％)=o，

當(dāng)a>l時(shí),由(2)可得，8(X)=0：+砌歷0+1)-八/攵=尸。)+加的值域?yàn)槌?無(wú)最大值或最小值，

Z/—1

當(dāng)"1時(shí)，g'(x)=ln(x+1)+—+[1-r(x)]在(-l,+00)上單調(diào)遞增，

x+10

又8'@)=/'(工())-/'(%)=0，則g(x)在(-1用)上為負(fù)，在(%,+8)上為正,

所以8。)=〃刈-/6)》在(-1,%)上單調(diào)遞減，在(尤0,+oo)上單調(diào)遞增，

則g(x0)是g(x)的最小值，滿足g(x)=/(x)-f\x0)x^f(x0)-f'(x0)x0,

此時(shí)對(duì)任意X],x2e(-l,+oo),都有

[/'(%-/(Xj)+/(x0)-xof'(xo)][/(x0)x2-/(x2)+f(x0)-xof\xo)]>0,

。的取值范圍是(-℃,1].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)新定義，屬

于難題.

題型3分段函數(shù)的應(yīng)用

一電T

i.(i)分段函數(shù)求值的方法

①先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.

②然后代入該段的解析式求值.當(dāng)出現(xiàn)煙⑹)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(2)已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注意檢驗(yàn)函

數(shù)解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解.

⑶若分段函數(shù)的自變量含參數(shù)，要考慮自變量整體的取值屬于哪個(gè)范圍，從而根據(jù)對(duì)應(yīng)的解析式整體代入，

轉(zhuǎn)化為方程或不等式問(wèn)題.

2.分段函數(shù)圖象的畫法

(1)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，1

再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏.

(2)對(duì)含有絕對(duì)值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函

數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象.

3.分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

(1)當(dāng)目標(biāo)在不同區(qū)間有不同的計(jì)算表達(dá)方式時(shí)，往往需要用分段函數(shù)模型來(lái)表示兩變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而

分段函數(shù)圖象也需要分段畫.

(2)分段函數(shù)模型應(yīng)用的關(guān)鍵是確定分段的各分界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間，對(duì)每一個(gè)區(qū)間進(jìn)行分類討

論，從而寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式.

1.(2024?上海)已知/(x)=r,g(x)=|"X),珍。，求名⑴血-苫的x的取值范圍________.

n),x<0

【分析】根據(jù)已知求得g(x)=[,再分x20以及x<0分別求解即可.

[一x<0

【解答】解：根據(jù)題意知g(x)=(,

I-%<0

所以當(dāng)x20時(shí)，g(x)^2-x=>x2+x-2^0,解得xe[0,1]；

同理當(dāng)x<0時(shí)，g(x)(2—xn——+x-2^0,解得xw(-oo,0)；

綜上所述：xe(-00,1].

故答案為：(-00,1].

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，考查不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

"2

ax-1x<0

2.(2022?上海)若函數(shù)/(x)=<x+ax>0,為奇函數(shù)，求參數(shù)a的值為.

0x=0

【分析】由題意，利用奇函數(shù)的定義可得/(-x)=-/(x),故有〃_1)=-/(1),由此求得a的值.

-2

ax-1x<0

【解答】解：?.?函數(shù)/(x)=X+Qx>0,為奇函數(shù)，「./(—x)=—/(x),

0x=0

2

/(-1)=-/(1),-a-1=-(?+1),即a(a-l)=0,求得a=0或a=l.

—1,x<0

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=<0,x=0,不是奇函數(shù)，故awO；

>0

x-l,x<0

當(dāng)4=1時(shí)，/(X)=<0,x=0,是奇函數(shù)，故滿足條件，

x+l,x>0

綜上，Q=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的定義和性質(zhì)，屬于中檔題.

3.(2024?楊浦區(qū)二模)若函數(shù)8(刈=[‘為奇函數(shù)，則函數(shù)了=f(x)，尤e(0,+oo)的值域?yàn)開(kāi)________.

[/(x),x>0

【分析】根據(jù)題意，當(dāng)運(yùn)0時(shí)，g(x)=2"-l,求出此時(shí)g(x)的值域，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)xWO時(shí)，g(x)=2*-l,

當(dāng)x<0時(shí)，有0<2，<2°=1,則有-l<g(x)<0,

又由g(x)為奇函數(shù)，則xe(0,+8)時(shí)，y=/(x)為值域?yàn)?0,1).

故答案為：(0,1).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.

2，,無(wú)》0,

4.(2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬)若加eR,/(x)=，1，則滿足/(加-2)品(加+3)的m的最大值為_(kāi)______.

——,x<0

12一

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，判斷出“X)在R上先減后增，結(jié)合“