函數的零點與方程的解

CCC

【解密高考】總結常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）

【題型一】函數零點所在區間的判定

【題型二】函數零點個數的判定

【題型三】根據函數的零點個數求參

【題型四】二分法

【題型五】等高線

【誤區點撥】點撥常見的易錯點

易錯點：對兩個計數原理理解混亂

解密高考

考情分析:1.理解函數的零點與方程的解的聯系.

2.理解函數零點存在定理，并能簡單應用

3.高考以選擇填空最后一題為主，難度較大

備考策略|

：深刻理解如下幾個概念

1.函數的零點與方程的解

（1）函數零點的概念

對于一般函數＞=式尤），我們把使Mx）=O的實數x叫做函數y=/（x）的零點.

（2）函數零點與方程實數解的關系

方程/（x）=0有實數解。函數y="x）有零點Q函數y=/（x）的圖象與無軸有公共點.

（3）函數零點存在定理

如果函數＞=兀0在區間伍，句上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有腦）昉）＜0,那么，函數＞=/（無）在區間

（。，6）內至少有一個零點,即存在ceg,b）,使得*。）=0,這個c也就是方程五尤）=0的解.

2.二分法

對于在區間伍，手上圖象連續不斷且觴）也）＜0的函數v=*尤）,通過不斷地把它的零點所在區間一分為二,

使所得區間的兩個端點逐步逼近雯點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

?題型特訓提分----------------

【題型一】函數零點所在區間的判定

【例1】函數"x）=2x+lnx-6的零點所在的區間是（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【答案】B

【分析】分析函數/（尤）的單調性，結合零點存在定理可得出結論.

【詳解】因為函數y=2x-6、y=lnx在（0,+8）上均為增函數，故函數/（x）在（0,+<?）上為增函數,

因為〃1）=T<。，/（2）=ln2-2<0,/⑶=ln3>0,貝廳（2）〃3）<0,

由零點存在定理可知，函數/（x）的零點所在的區間是（2,3）.

故選：B.

【例2】函數f（x）=入一4+xlogzX在區間［1,4）內有零點，則實數%的取值范圍為（）

A.[-4,1)B.(T,l]C.[-1,4)D.(-1,4]

【答案】D

【分析】令83=左+1唱》-土分析可知函數8（力=4+1鳴》/在［1,4）上為增函數,且該函數在區間［1,4）

XX

g⑴W。

內有零點,可得出,即可解得實數上的取值范圍.

g(4)>0

【詳解】當xe［l,4）時，由/（x）=b;-4+xlog2X=0可得左flog2x-3=0,

4

令g（x）=^+log2尤一一，

X

因為函數y=log/、>=左-"在［1,4）上均為增函數，

X

故函數g（x）=Z:+k）g2X-B在［1,4）上為增函數，

因為函數“X）在區間［1,4）內有零點，則函數g（x）在區間［1,4）內有零點,

K1)="440

所以,解得一1〈無V4,

g(4)=^+l>0

因此，實數％的取值范圍是（-1,4］.

故選：D.

【例3】(多選)下列函數圖象與x軸均有公共點，其中不能用二分法求零點的是()

【答案】ABD

【分析】利用二分法的使用條件，結合圖象即可得解.

【詳解】能用二分法求零點的函數必須在給定區間加上連續不斷,

并且有A、B中不存在/(x)<0,D中函數不連續.

故選：ABD.

(1)利用函數零點存在定理：首先看函數y=/U)在區間［a,切上的圖象是否連續；再看是否有五

若有，則函數y=A尤)在區間(a,b)內必有零點.

(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.

【變式1】已知定義在R上的函數/(x)滿足Vx,yeR,/(3xy-2)-/(x)=/(^)/(y)+3y-7,且

〃。)+,(--，設函數g⑴.叫「則()

A.g(x)只有1個零點，且該零點在(-2,-1)內

B.g(x)有2個零點，且2個零點分別在(-1,0)和(0,1)內

C.g(x)只有1個零點，且該零點在(0,1)內

D.g(x)有2個零點，且2個零點分別在(0,1)和(1,2)內

【答案】C

【分析】根據已知求得f(x)=3x-l,進而由解析式判斷g(x)的單調性，應用零點存在性定理判斷零點所在

區間，即可得答案.

【詳解】令x=y=0,得/(_2)-/(0)="(0)『-7,又/(0)+/(-2)=-8,

所以"(。)『+2/(0)+1=0,解得八0)=-1,所以/(-2)=-7,

令x=0,得f(_2)-/(0)=/(y)/(0)+3y-7,所以〃y)=3y-l,即〃x)=3x-l.

—X+1]

函數g（無）=/（尤）+II=3x-l+2-在R上單調遞增，且g(0)=--<0<g⑴=3.

故選：C

【變式2】已知函數/(x)=tan[x+]J-sinx

則在下列區間中，函數/（》）一定有零點的是（)

7171兀3兀3兀

A.B.D.

畤4922?TT,JI

【答案】D

【分析】根據函數圖象及零點存在定理判斷即可.

【詳解】在同一坐標系內，作〉=13口+1[,y=sinx圖象，如圖,

由圖象可排除AB選項,

.3兀7t42^3V2

-sin—=tan----------<------------<0,

412232

/（7i）=tan（7i+]）-sin7i=tang=g>0,

7137r37r

所以由零點存在定理及圖象可知，函數“X）在上無零點，在彳，兀上有零點，

所以C錯誤，D正確.

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：結合函數圖象可判斷函數只有一個零點，再由零點存在定理判斷零點所在區間.

【題型二】函數零點個數的判定

【例1】若函數y=/（x）（xwR）滿足/（x+2）=/（x）,且時，f（x）=l-x2,已知函數

則函數內)=—)在區間S內的零點個數為()

A.14B.13C.12D.11

【答案】C

【分析】根據函數的周期性畫出/(%)的圖象，結合指數函數，對數函數圖象畫出圖象數形結合得出交點個

數即可得出零點個數.

【詳解】V/(x+2)=/(%),

/.v=/(x)(xeR)是周期為2函數，

：時/(尤)=1-尤2,貝獨=/(尤)，g(x)=?甲的圖象如下：

［ex,x<0

xv0時g(x)￡(0,1)且遞增，0<%<1時g(x)G(0,+oo)且遞減,

x>1時gM￡(。,+8)且遞增,

又/(-6)=l>g(—6),/(l)=g(l)=0,/(6)=l>g(6),

如

產於)1尸g(x)

-6-5^3-1O\135~6x

由圖知：區間［-6,6］上函數交點共有12個.

故選：C.

【例2】若函數/(工)=%3+加+陵+(7有極值點占，%,且％</，〃%)=%，則關于尤的方程

3(〃x)y+24(x)+6=0的不同實根個數是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】求導數t(x),由題意知4，%是方程3/+2℃+6=0的兩根，從而關于〃司的方程

3(〃x)y+24(無)+6=0有兩個根，作出草圖，由圖象可得答案.

2

【詳解】f'(x)=3x+2ax+b,x1,9是方程3d+26+6=0的兩根，

由3(〃尤))~+24(無)+6=0，得了(力=%或/(")="，

即3(〃x)y+24(耳+6=0的根為/(》)=石或/(力=%2的解.

,.1%<%,/(%)=%,根據題意畫圖：

由圖象可知/(X)/有2個解，/(X)氣有1個解，因此3(〃無)y+24(x)+6=0的不同實根個數為3.

故選：A.

【點睛】本題主要考查函數零點的概念、以及對嵌套型函數的理解，考查數形結合思想，屬于中檔題.

【例3】已知是定義在R上的函數，且有〃x+l)=/(x)+l,當0<尤41時,f(x)=3x+l,則方程

〃x)=4的根的個數為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由已知，討論x的范圍，求出函數的解析式，畫出函數的圖象，然后判斷方程根的個數即可.

【詳解】/⑺是定義在R上的函數，且有/(尤+1)=〃力+1,

當0cxW1時，/(x)=3x+l,

貝時，0<x+lWl,貝！j/(x)=/(x+l)-l=3x+3,

1<%<2時，0<了一141,/(耳=/(尤一1)+1=3左一1,

2<xW3時，0<x—2W1,/1(尤)=/'(%—2)+2=3x—3,

3<xV4時，尤)=/(x-3)+3=3x-5,

畫出函數/(x)與函數y=4的圖象，

4

3

/1fl.IIII

/1TIII?

/I?II?

4O|~1234*

由圖象可知方程/(%)=4的根的個數為3.

故選：C.

IN

(1)直接法：令式無)=0,方程有多少個不同的實數根，則八勸有多少個零點.

(2)定理法：利用函數零點存在定理時往往還要結合函數的單調性、奇偶性等.

(3)圖象法：一般是把函數拆分為兩個簡單函數，依據兩函數圖象的交點個數得出函數的零點個數.

【變式1］(多選)函數/'(x)=lnx+ox2-4依的零點個數可能是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】BC

【分析】根據函數零點個數的問題等價于兩個函數交點個數的問題，將/("=0化簡得到兩個函數.討論兩

個函數的性質，并作出兩個函數圖像，即可得解.

［詳解］由/⑺=111?+依2_4依=0,XG(0,+oo),f#—=-a(x-4),

求函數/(力=hx+加-4依的零點個數等價于求函數y=產和y=的圖像的交點個數.

函數>=￥的導函數，=—三，當x?0,e)時y'>0；當xe(e,+e)時y'<0.

所以函數y=?在(0,e)上單調遞增，在(e,+力)單調遞減.

%=e時有最大值Lx=l時y=0,

e

%>1時y>0,龍f+8,y->0.

過定點(4,0)的直線y=-a(x-4),與函數丁=笥的圖像的交點數為1個或2個，如圖所示.

所以函數“X)的零點個數為1個或2個.

故選：BC.

【變式2】已知函數〃尤)=1,g(x)=f(x)-〃z,若相e(0,l),則g(x)的零點個數為()

2-x-1,x>l

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

1-3",x<0

【分析】根據已知有/(x)=3，-1,0<X<1并畫出函數大致圖象，數形結合確定g(x)的零點個數即可.

l-3r,x<0

【詳解】由題設/(x)=3To〈尤<1,函數大致圖象如下,

-,x>l

其中當X趨近于-?>時，當X趨近于+8時，->0,

判斷y=/(x)的圖象與直線y=m的交點個數：

由圖知，%e(o,l)時它們有3個不同的交點，

所以函數g(x)=/(x)-加的零點個數為3.

故選：B

【變式3】函數/(尤)=印的函數值表示不超過尤的最大整數，例如，[-3.5]=-4,[2.1]=2,則方程W-sinx=0

的零點個數為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】利用〃》)=[劃的定義，進行分段討論，找出與〉=011》圖象交點個數即可.

【詳解】由題，Lx]=sinx,故-lWx<0時，印=-1,與丫=$1月沒有交點,

當X<T時，HIV-2,與丫=5]11%沒有交點，

當0vx<1時,印=0,與y=sinx有一個交點，

當lVx<2時，W=l,與〉=5m》有1個交點，

當2W尤時，[%]>2,與丁=$山彳沒有交點，

故共有2個交點，

故選：C.

【題型三】根據函數的零點個數求參

【例1】已知函數/G）=sin笥+，皿5-也＞0）,xeR.若/（x）在區間（&2%）內沒有零點，則。的取

值范圍是.

【答案】HU!：

【分析】先把/（X）化成/（元）=］sin［。尤-弓］,求出/（x）的零點的一般形式為+）丘Z'根據了⑸

在區間（兀,2兀）內沒有零點可得關于左的不等式組，結合左為整數可得其相應的取值，從而得到所求的取值范

圍.

1-COSG%1.1<2.(兀、

【詳解】由題設有/（%）=----------------1--——=——sincox——

2222I4)

令〃x）=0,則有ox-==fai#eZ,即_^+4,7

4X—，/C￡/

①

因為/（X）在區間（兀,2兀）內沒有零點，

,71,5K

故存在整數%,使得竺Ng兀＜2兀＜竺五，

3CD

CO＞k+—

即，;，因為。＞0,所以發NT且％+工4幺+』，故左=—1或左=0,

/5428

［28

所以0＜GW工或

848

iiri5-

故答案為：0,—u—.

I5」l_4?_

x+2尤V0

【例2】（多選）已知函數”元）=［旭J：。，若方程/⑴-時⑴-1=0有4個不同的實數根，則下列選

項正確的為（）

A.方程/（x）=0有2個不相等實數根

B.函數/■（*）在（。,+8）上單調遞增

C.函數〃x）無最值

D.實數機的取值范圍為,0

【答案】AC

【分析】畫出函數圖象，根據圖象可以判斷ABC是否正確，對于D選項，將方程「（力-時（"一1=0是為

一元二次方程，利用韋達定理，結合分段函數的圖象性質，得到根的分布，進而求出參數的取值范圍.

x+2,x<0

【詳解】由函數〃x)=<解析式，可得函數圖象如圖:

|lgx|,x>0

由圖知方程/(尤)=0有2個的不相等實數根，函數/(%)沒有最值，故A、C正確；

函數f(x)在(0』)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，故B錯誤；

由于方程/⑺-對(x)T=0有4個不同的實數根，令f=/(x),

則產=0有2個不同的實數根，所以A=m2+4>0恒成立，

設產-加-1=0兩個不等的實根為k，<與)，由韋達定理知：?1+/2=m,r1?2=-l,

則卬L異號，由圖可知：匕<。，0<12<2,

即函數y=產一加一1有兩零點八?-p0),才2e(0,2]

3

22-2m-l>0,解得m(7，故D錯誤.

2

故選：AC.

(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式(組)，再通過解不等式確定參數(范圍).

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域確定參數范圍.

(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，然后利用數形結合法求解.

【變式1】(多選)設函數了(力=2%3-3依?+1,則()

A.當4=1時，“X)有兩個零點

B.當。<。時，*=。是/(》)的極大值點

C.當a=2時，點(1,7■⑴)為曲線y=〃尤)的對稱中心

D.當a>0時，y=f(尤)在區間上單調遞增

【答案】ACD

【分析】根據因式分解可得函數的零點，結合導函數的圖像去研究函數的極大值、對稱中心與單調性.

【詳解】已知/(%)=2城一3加+1,所以/(x)=6x?-6依=6x(x-。)，

當4=1時，2x3-3d+l=(x-l)(2x2-x-l)=(x-l)2(2x+l)=0,方程有兩個根，所以A正確，

當。<0時,1(x)=6x(x-“)>0的解集為(-co,a)50,+oo),r(x)=6x(x—a)<0的解集為(a,0),

所以/(x)在0)上單調減，在(0,+s)上單調增，所以/(x)在0處取極小值，所以B錯誤，

當a=2時，/(X)+/(2-X)=2X3-6X2+1+2(2-X)3-6(2-X)2+1=-6=2/(1),

所以4》)關于(11(1))中心對稱，所以C正確，

當a>0時，f'(x)=6x(x-a)>0的解集為(一?,0)□(a，+00)，而(~°°，-。)U(-°°,0),所以/(%)在上單

調遞增，所以D正確.

故選：ACD

【題型四】二分法

【例1】已知函數/(X)=/-2x-1,現用二分法求函數〃X)在(1,3)內的零點的近似值，則使用兩次二分法

后，零點所在區間為()

【答案】A

【分析】應用零點存在定理結合二分法，不斷把區間一分為二計算求解.

【詳解】由二分法可知，第一次計算/(2)=3>0,X/(l)=-2<0,f(3)=20>0,

由零點存在性定理知零點在區間(1,2)上，

所以第二次應該計算了［幻一在。，又〃2)>0,

所以零點在區間(|,2］上.

故選：A.

［例2］已知函數〃x)=x-er的部分函數值如表所示:

X10.50.750.6250.5625

“尤)0.6321-0.10650.277600897-0.0007

那么函數/(X)的一個零點的近似值(精確度為0.1)為()

A.0.55B.0.57C.0.65D.0.7

【答案】B

【分析】根據函數單調性結合零點存在性定理分析零點所在區間，再根據二分法可得結果.

【詳解】根據題干所給數據可知，/(0.625)>0,/(0.5625)<0,且函數/(x)=x—?一”在R上為增函數，

由零點存在定理可知，函數“X)的唯一零點在區間(0.5625,0.625)內，

區間長度為0.625-0.5625=0.0625<0.1,結合選項可知，其近似值為0.57.

故選：B.

【變式1】用二分法求方程3工=8-3》在(L2)內的近似解時，記/(x)=3*+3x-8,若

/(1)<0,/(1.25)<0,/(1.5)>0,/(1.75)>0,據此判斷，方程的根應落在區間內.

【答案】(1.25,1.5)

【分析】由題意可得了(125)/(1.5)<0,根據函數的零點存在定理以及單調性求得函數的零點所在的

區間.

【詳解】根據題意可得“X)在R上單調遞增，且〃1.25)/(1.5)<0,

所以函數/⑺的零點所在的區間為(125,1.5).

故答案為：(1.25,1.5).

【題型五】等高線

2-|x|,x<l

【例1】已知函數/(尤)=[]0。(二ur>1，且關于X的方程y(x)=a恰有四個不同的根，從小到大依次

為西,工2，兀3，工4，則()

A.?e[l,2)B.玉+%2+4%3+Z最小值為9

C./(/(力)一/(力=。恰有6個不同的根D.3k,使得了(/(x))=左恰有8個不同的根

【答案】ABD

【分析】畫出函數的圖象后可判斷A的正誤，由圖象的局部對稱性可判斷B的正誤，利用換元法可判斷CD

的正誤.

【詳解】/(X)圖像如下,

可知。目1,2)時，與V=a恰有四個不同交點，所以A正確:

由對稱性可知占+無2=。，而log2a-l)=~bg2(ZT)，所以(wTN-1)=1，

貝！11=1,所以4退+%=(4退1=4+1+—H->9,

X3X4I尤3X4)X3X4

3

當且僅當X3=/,%=3,。=1時等號成立，B成立：

對于/(/(x))-/(x)=0,令t=/(x),

則/?)=，有兩個不同根，％4/2?1,2),

“力士,/(龍)=馬各有四個不同根，共有八個不同根，所以C錯誤；

對于D,令/=/(%),/?)=左在左=2時有三個根：r1=0,r2G(l,2)J3>2,

而/(x)=0有2個不同根，〃力=/2有4個不同根，/(x)j有2個不同根，

共8個，所以D正確.

故選：ABD.

【點睛】思路點睛：嵌套方程的零點問題，一般刻畫出內外兩個方程對應函數的圖象，再根據外方程的解

判斷內方程的解，從而得到原方程的解的個數.

f2國+1Y<1

【例2】已知函數〃到=2/<j若"尤)=機有四個不等的實數解毛，Z，%，匕，下列說法正

x—4x+6,x21

確的是()

A.有最小值2B.機的取值范圍是2〈機W3

C.%+尤2+W+X4=4D.方程/=有4個不同的解

【答案】ACD

【分析】由題意作出函數/(x)的圖像，由圖像即可判斷AB；根據偶函數的性質及二次函數的對稱性，結

合圖象即可判斷C；令/(力=心數形結合即可判斷D.

【詳解】解：由題意作出函數“X)的圖像，如圖所示：

可得4(0,2),吊(1,3),C(2,2),0(3,3),

所以/(x)有最小值2,故A正確；

M有四個不等的實數解9，%,X4,可得2<〃Z<3,故B錯誤；

因為、=泗+1為偶函數，所以圖象關于y軸對稱，

又y=X2-4x+6的對稱軸為直線X=2,

所以由對稱性可知%+X?=0,x3+x4=4,可得玉+尤2+$+匕=4,故C正確；

令/(x)=/,則方程/(/(%))=|可化為方程/(0=|)

結合圖像得〃/)=■!有4個解”24W，且T<：<0,0<f2<1,l<t3<2,2<r4<3,

因為〃x)有最小值2,所以只有當2</<3時，〃x)=r有4個不同的x與之對應，

故方程/(〃司)=|有4個不同的解，故D正確，

故選：ACD.

【變式1】(多選)已知函數〃尤)='",令h(x)=f(x)-k,則下列說法正確的是()

[-2+Inx,x>0

A.函數的增區間為(0,+s)B.當〃(x)有3個零點時，丘《-3]

C.當左=-2時，，7(x)的所有零點之和為—1D.當上e(-s,T)時，人(無)有1個零點

【答案】BD

【分析】函數=結合二次函數和對數函數的圖象和性質，作函數/(x)的圖象，根據

[-2+Inx,x>0

圖象找出單調增區間即可判斷選項A；根據圖象觀察函數y=f(x)和y=上圖象有3個交點時上的取值范圍

即可判斷選項B；解方程/(為=-2即可判斷選項C；當左e(-叫-4)時，觀察函數丫=/口)和、=左的圖象的

交點個數即可判斷選項D.

【詳解】作出函數/'(工)」二十〃一3"：°的圖象如圖所示，/(_1)=_4)/(0)=-3,

-2+Inx,x>0

對于A選項，由圖象可知，函數/(x)的增區間為(-L0]和(0,+8),故A選項錯誤;

h(x)的零點是函數y=/(x)和y=左圖象交點的橫坐標，

對于B選項，由圖象可知，當力(無)有3個零點時，上e(T,-3],故B選項正確；

x>01W0_

對于C選項,由和入2,-3=-2得E或尤=一1一3,即當"一2時，3)有兩個零點,

—2+Inx=-2

-1-&和1,所有零點之和為-0,故c選項錯誤;

對于D選項,當左€(-8,-4)時，函數＞=/(尤)和'=左的圖象有1個交點，即〃(X)有1個零點，故D選項

正確.

故選：BD.

|2x-l|,x＜2

【變式2］已知函數”x)=3，若方程/(%)=〃有三個不同的實數根,則實數a的取值范圍是()

——,x＞2

—1

A.(1,3)B.(0,1)C.(0,2)D.[0,1]

【答案】B

【分析】根據給定條件，作出函數y=/(x)的圖象，將方程實根問題轉化為直線與函數圖象交點問題求解.

【詳解】方程〃x)=a有三個不同的實數根，即函數y=/(x)的圖象與直線y=a有三個不同交點,

作函數＞=/(無)的圖象如圖所示，/(2)=3,

觀察圖象，得當。＜。＜1時，函數y=/(x)的圖象與直線y=a有三個交點,

所以實數a的取值范圍是(0,1).

故選：B

誤區點撥

易錯點：數形結合以及作圖的規范

例1已知人是函數=de，+lnx的零點,則1。.In%=

【解析】由題可知，((x())=*e而+ln/=0,

nx

所以=-lnx0n/e*=-^°-J-inJ->Q,

X。兀0%0

令/(x)=xe\(x>0)，則/(x)單調遞增，且“無。)=/

,11,

所以x°=ln一,所以ex。=一

所以砂-111%=工(-天0)=-1.故答案為：_i

%

例2、函數/(x)=2sinxsin(x+0)—x2的零點個數為