第01講函數的概念及其表示

目錄

01考情透視?目標導航...........................................................................2

02知識導圖?思維引航...........................................................................3

03考點突破?題型探究...........................................................................4

知識點1：函數的概念...........................................................................4

知識點2：函數的三要素.........................................................................4

知識點3：函數的表示法.........................................................................5

知識點4：分段函數.............................................................................5

解題方法總結...................................................................................5

題型一：函數的概念.............................................................................6

題型二：同一函數的判斷........................................................................7

題型三：給出函數解析式求解定義域..............................................................8

題型四：抽象函數定義域........................................................................9

題型五：函數定義域的綜合應用..................................................................9

題型六：待定系數法求解析式...................................................................10

題型七：換元法求解析式.......................................................................U

題型八：方程組消元法求解析式.................................................................12

題型九：賦值法求解析式.......................................................................12

題型十：求值域的7個基本方法..................................................................13

題型十一：數形結合求值域.....................................................................16

題型十二：值域與求參問題.....................................................................16

題型十三：判別式法求值域.....................................................................17

題型十四：三角換元法求值域...................................................................18

題型十五：分段函數求值、求參數問題...........................................................18

題型十六：分段函數與方程、不等式.............................................................19

04真題練習?命題洞見..........................................................................20

05課本典例?高考素材..........................................................................20

06易錯分析?答題模板..........................................................................22

易錯點：錯求抽象函數的定義面.................................................................22

答題模板：求抽象函數的定義域.................................................................22

考情透視.目標導航

考點要求考題統計考情分析

(1)了解函數的含義，會

求簡單函數的定義域和值域.2023年北京卷第15題，5

高考對函數的概念及其表示的考查相對

(2)在實際情景中，會根分

穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化

據不同的需要選擇恰當的方法2022年浙江卷第14題，5

不大.高考對本節的考查不會有大的變化，

(如圖象法、列表法、解析法)分

仍將以分段函數、定義域、值域及最值為

表示函數.2021年浙江卷第12題，5

主，綜合考查不等式與函數的性質.

(3)了解簡單的分段函分

數，并會簡單的應用.

復習目標:

1、掌握函數的概念，了解構成函數的要素

2、會求常見函數的定義域和值域

3、掌握求函數解析式的方法

//二知識導圖?思維引航\\

---------------,一般地，給定非空數集42按照某個對應法則/,使得力中任意元素x,

函數的概念M都有5中唯一確定的y與之對應，那么從集合Z到集合5的這個對應，

-----------/叫做從集合Z到集合5的一個函數.

函數的三要素：定義域、對應關系、值域

函數的三要素Y如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全

一致，則這兩個函數為同一個函數

解析法

函數的表示

列表法

\若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾

個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數

者占突曲?題理探密

知識固本

知識點1:函數的概念

(1)■般地，給定非空數集A,B,按照某個對應法則f,使得A中任意元素x,都有6中唯一

確定的y與之對應，那么從集合A到集合6的這個對應，叫做從集合A到集合6的一個函數.記作：

Xfy=/(x),xeA.集合A叫做函數的定義域，記為D,集合｛用="x),xeA｝叫做值域，記為C.

(2)函數的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射.

【診斷自測】下列圖象中，y不是X的函數的是()

知識點2：函數的三要素

(1)函數的三要素：定義域、對應關系、值域.

(2)如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數為同一個函數.

【診斷自測】下列四組函數：?/(^)=x,g(x)=7?;②”尤)=x,g(x)=(網\③

/(x)=x2-2%+l,g(r)=r2-2z+l；④/(x)=l,g(x)=x°；其中表示同一函數的是()

A.②④B.②③C.①③D.③④

知識點3：函數的表示法

表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

2

【診斷自測】已知函數〃17）=V1_-V（XWO）,則〃/X\）=（）

11

-l(x^0)-1(x^1)

A.(xT『B.

44

-1(lw0)-1(x^1)

C.(1)2D.

知識點4：分段函數

若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分

段函數.

【診斷自測】（2024?吉林?模擬預測）已知若則實數。的值為（）

——,x>1.

I2

A.1B.4C.1或4D.2

解題方法總結

1、基本的函數定義域限制

求解函數的定義域應注意：

（1）分式的分母不為零；

（2）偶次方根的被開方數大于或等于零：

（3）對數的真數大于零，底數大于零且不等于1；

（4）零次幕或負指數次幕的底數不為零；

（5）三角函數中的正切y=tanx的定義域是｛x|xe氏且尤wfct+/上ez1；

（6）已知/（x）的定義域求解/[g（x）]的定義域，或己知/[g（明的定義域求“X）的定義域，遵循

兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應法則J下，括號內式子的范圍相同;

（7）對于實際問題中函數的定義域，還需根據實際意義再限制，從而得到實際問題函數的定義域.

2、基本初等函數的值域

（1）y=丘+。（女。0）的值域是尺.

（2）丫=利2+區+。（.工0）的值域是：當。＞0時，值域為{y|y14a；"}；當。＜（）時，值域為

I4ac-b2、

心fF}.

(3)>=4(4/0)的值域是{y|ywO}.

(4)y=a，(a>0且"1)的值域是(0,+8).

(5)y=logax(a>0且aW1)的值域是R.

題型一：函數的概念

【典例1-1]下列對應是從集合A到集合B的函數的是()

A.A=N,5=N,/:%—>=(%?)2B.A=N,5=N,/:xfy=±?

C.A=N,5=Q,/:xfy=」-D.A=R,B={y\y>0],f:x^y=\j(\

【典例1?2】已知/（可是定義在有限實數集A上的函數，且IGA,若函數〃力的圖象繞原點逆時針

旋轉30。后與原圖象重合，則了⑴的值不可能是（）

A.0B.BC.BD.73

32

【方法技巧】

利用函數概念判斷：（1）A,B是非空的實數集；（2）數集A中的任何一個元素在數集B中只有一個

元素與之對應，即“多對一”，不能“一對多”，而數集B中有可能存在與數集A中元素不對應的元素.

【變式1-1］（2024?高三?上海虹口?期中）若函數y=/（x）的圖像繞原點逆時針旋轉!■后與原圖像

重合，則在以下各項中，y=/（x）的定義域不可能是（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}

C.[-兀，兀]D.R

【變式1-2]將函數y=gsinx+x[xe的圖象繞著原點沿逆時針方向旋轉d角得到曲線「，已知

曲線「始終保持為函數圖象，則tan。的最大值為()

【變式1-3]存在定義域為R的函數/(尤)，滿足對任意xeR,使得下列等式成立的是(

A./(x2)=x3B./(cosx)=x

C.『(尤?+尤)=|尤|D./(|x|)=x2+l

題型二：同一函數的判斷

【典例2-1】下列各組函數相等的是(

A.f(x)=x2,g(x)=(6『B.f(x)=x-1,g(x)=i-l

D-小)=卬g(x)弋：;

C.=g(x)=x°

【典例2-2](多選題)下列各項不能表示同一個函數的是()

A.=與g(x)=x+lB.仆)=值_1與g(x)=xT

x-I

D./(x)=l與g(x)="：

【方法技巧】

當且僅當給定兩個函數的定義域和對應法則完全相同時，才表示同一函數，否則表示不同的函數.

【變式2-1](多選題)下列各組函數表示的是不同函數的是()

A./'(x)=與g(x)=x?

B.y(x)=|x|與g(x)=-7?

C.y(x)=x+l^g(x)=x+x°

D./(%)=?.Jx+1與g(x)=E+x

【變式2-2]以下四組函數中，表示同一個函數的是()

A./(x)=龍與g(x)=G'

B./(x)=Jl+x-Jl-x與g(x)=71-x2

C.y=x。與y=l

D./(x)=Jx+1-Jx-1與g(x)=&_]

/W

【變式2-3](多選題)(2024?高三?浙江金華?期末)已知函數g(x)=/(e'),/7(x)=e.()

A.若〃尤)=0,則g(x)=/z(x)=。

B.若/(尤)=國，貝Ug(x)=/z(x)

C.對于g(x)=/z(x),若“尤)=*。，則a=l

D.對于g(x)=〃(x),若/(x)=log"X(a>0,aHl),貝！|a=e

題型三：給出函數解析式求解定義域

【典例3-1](2024?北京通州?二模)已知函數〃x)=￡+lg(x_2)的定義域為.

【典例3-2】已知等腰三角形的周長為40cm,底邊長y(cm)是腰長x(由)的函數，則函數的定義域為(

A.(10,20)B.(0,10)C.(5,10)D.[5,10)

【方法技巧】

對求函數定義域問題的思路是：

(1)先列出使式子,(X)有意義的不等式或不等式組；

(2)解不等式組；

(3)將解集寫成集合或區間的形式.

【變式3-1】函數/'(x)=ln(x+l)+7i二工的定義域是.

【變式3-21(2024?北京懷柔?模擬預測)函數〃力=坨上三的定義域是

【變式3-3](2024?北京平谷?模擬預測)函數〃尤)=++ln(l-x)的定義域是

題型四：抽象函數定義域

【典例4-1】已知函數產/[1"+1]的定義域是[2,4],則函數g（無）.的定義域為（）

2yIn（x-

A.（2,3）B.（2,3]

C.（2,3）U（3,6]D.（2,3）U（3,4]

【典例4-2】已知/（尤）的定義域為[L3],則g（無）=華二3的定義域為（）

2x-3

35

A.1,|uB.

2939

35

c.D.

U2'3

【方法技巧】

1、抽象函數的定義域求法：（1）若/（尤）的定義域為（。，3，求/Ig（x）]中a<g（x）<6的解x的范圍，

即為/[g（x）]的定義域.（2）已知/[g（x）]的定義域，求/（無）的定義域，則用換元法求解.

2、若函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，其定義域為各基本函數定義域的交集，即先

求出各個函數的定義域，再取交集.

【變式4-1]（2024?高三?河北邢臺?期末）若函數/（3尤-2）的定義域為[-2,3],則函數/（2x+3）的

定義域為.

【變式4-2]已知函數了（爐）的定義域為（1,2）,求/（2x+l）的定義域.

【變式4-3]⑴已知函數/（x+2）的定義域為[1,3],則函數/⑴的定義域為

（2）已知函數/（x+1）的定義域為[3,8],則函數/（f）的定義域為一.

題型五：函數定義域的綜合應用

【典例5?1】已知函數/（力=^^—；的定義域為R,則實數〃的取值范圍為（）

ax-2ax+l

A.“卜〃弓

B.{daWO,或〃>1}

C.{a[O<a<l}D.{4a<0,或a21}

2『+i+a

【典例若函數/。)=

5-2]In(2*3+a的定義域為R,則實數。的取值范圍是()

A.(-2,+co)B.(-1,+co)C.(-2,-1)D.(-2,-l)u(-l,+oo)

【方法技巧】

對函數定義域的應用，是逆向思維問題，常常轉化為恒成立問題求解，必要時對參數進行分類討論.

Y4-1

【變式5-1](2024?高三?上海嘉定?期中)已知函數=~；的定義域為R,則實數”的

ax—2ar+l

取值范圍是.

【變式5-2]若函數無)=50犬+4辦+3的定義域為R，則實數。的取值范圍為一.

]

【變式5-3】當時，函數/(尤)=和g(x)=1幅[2/-(2a+3)x+2]有意義,則實

v2ax-lnx

數。的取值范圍是.

題型六：待定系數法求解析式

【典例6-1】一次函數在R上單調遞增，且/(/(x-l))=4x+5,則〃x)=—.

【典例6-2】已知二次函數/(元)滿足八0)=0,f(x-l)=f(x)+3x-5,則不等式〃x)>0的解集

為一

【方法技巧】

當已知函數的類型時，可用待定系數法求解.

【變式6-1】已知函數/(X)是一次函數，5.[/(%)]2-3/(x)=4x2-10x+4,則f(x)的解析式為

【變式6-2】已知二次函數〃x)="+6x+c(aw0),其圖象過點(1,-1),且滿足

〃x+2)=〃x)+4x+4,則/(x)的解析式為—.

題型七：換元法求解析式

【典例7-1】已知/0+!)=/+_1,則函數八無)=.

XX

【典例7-2】已知/(?+1)=X+2H,則〃力=()

A./(x)=x2B./(x)=x2-l(x>l)

C./(x)=x2-l(x>0)D./(x)=x2+l(x>l)

【方法技巧】

當已知表達式為/(g(x))時，可考慮配湊法或換元法.

【變式7-1】設〃尤)是定義在R+上的函數，且VaeR,/(x)=a有唯一解或無解，且對任意xeR+,

均有〃“〃耳+鼻=；,請寫出一個符合條件的外)=一

【變式7-2]若“X)是定義域為(0,+8)上的單調函數，且對任意實數xe(0,+8)都有

f=1+1，其中e是自然對數的底數，則/(ln3)=()

4

A.4B.-

3

C.e+2D.—

3

【變式7-3](2024?高三?江西?期中)設/(元)是定義在R上的單調函數，若

VxeR,/(/(%)-2r)=H,則不等式/(x)<7的解集為.

【變式7-4】設是定義在R上的單調增函數，且滿足"-L-x)+/(x)=-7,若對于任意非零實

數都有了f(-X)H---：-r-------X------F2=-4,貝葉(2024)=

x八)小)+3x

題型八：方程組消元法求解析式

【典例8-1】已知/⑺為奇函數，g(x)為偶函數,且滿足〃x)+g(x)=e，+x,則/(x)=()

2

【典例8?2】已知/(力+2/x("0),那么〃%)=

【方法技巧】

若已知成對出現/(X),/(l)或/(元)，X)等類型的抽象函數表達式，則常用解方程組法構造另一

個方程，消元的方法求出/(X).

【變式8-1](2024?高三?遼寧丹東?期中)若xe,函數/(X)滿足

f(sinx)+2f(cosx)=cos2x,

【變式8-2]已知/(x)滿足/(X)+2〃T)=X—5,則f(x)=—.

【變式8-3](2024?河南?模擬預測)已知函數Ax)對定義域｛Mx*0｝內的任意實數x滿足

f(2x)-2f(^]=4x,則〃x)=.

題型九：賦值法求解析式

【典例9-1】已知函數的定義域為R,且f(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),/(0)=1,請寫出滿

足條件的一個/(%)=—(答案不唯一).

【典例%2]已知函數y=〃x),xeR,且"0)=2,

W=2'『西=2'…，師而F=2'〃eN*,則函數y=/(x)的一個解析式為

【方法技巧】

若已知抽象函數表達式，則常用賦值法

【變式9-1】己知函數滿足/(x+2)=〃x)+l,則/⑺的解析式可以是(寫出滿足條件的

一個解析式即可).

【變式9-2](2024?高三?江蘇揚州?開學考試)寫出滿足/"7)=〃”+〃丫)-2孫的函數的解

析式.

【變式9-3】對Tx,yeR,函數都滿足：①〃0,y)=y+l；②/(x+l,0)=〃x,l)；③

〃x+l,y+l)=〃x,〃x+l,y))；則〃3,2023)=.

【變式M設偶函數於)滿足："1)=2,且當時孫一。時，〃歷7)=就叫，

貝廳(-5)=一

題型十：求值域的7個基本方法

【典例10-1]求下列函數的值域:

(I)y=3x2-x+2；

(2)y—V-x2-6x-5;

3x+l

(3)y=

x—2

(4)y=尤+4jl-x；

(5)y=x+Jl-d；

⑹V=|xT|+l%+4|；

2/—%+2

⑺,=

x2+x+1

2X2-X+1<

(8)y=2x-l[X>2)

【典例10-2］求下列函數的值域.

(Dy=?-2；

2

⑵，=X-X

尤2—X+1

(3)y=x-Jl-2x；

x?-4x+3

(4)y=

2x~-x—1

2.o

(5)y=三r=(X>1).

x-1

【方法技巧】

函數值域的求法主要有以下幾種

(1)觀察法：根據最基本函數值域(如VK),>0及函數的圖像、性質、簡單的計算、推理，憑

觀察能直接得到些簡單的復合函數的值域.

(2)配方法：對于形如y=Q2+"+c(°K0)的值域問題可充分利用二次函數可配方的特點，結合二

次函數的定義城求出函數的值域.

(3)圖像法：根據所給數學式子的特征，構造合適的幾何模型.

(4)基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等.

(5)換元法：分為三角換元法與代數換元法，對于形>=辦+》+4。7的值城，可通過換元將原函

數轉化為二次型函數.

(6)分離常數法：對某些齊次分式型的函數進行常數化處理，使函數解析式簡化內便于分析.

(7)單調性法：先確定函數在定義域(或它的子集)內的單調性，再求出值域.對于形如

y=-Jax+b+4cx+d^y=ax+b+4cx+d的函數，當ac>0時可利用單調性法.

【變式10-1】求下列函數的值域.

(1)求函數y二犬+J2x+］的值域.

(2)求函數yj3+4的值域.

X2+3X+4

(3)求函數y=(JI7^+7i[7+2)(Vi=”+1)，xe[0，l]的值域.

【變式10-2］求下列函數的值域:

7_o

(2)/(%)=Krp%￡(l,3)；

心(W

【變式10-3］求下列函數的值域

3+x

(1)y=~.—

4一九

5

(2)

2%2—4-x+3

(3)y=Jl—2%—x；

_x2+4x+3

(4)yx2+x~6，

(5)y=4-13+2%一/；

(6)y=x+\Jl-2x；

(7)y=Jx-3+<5-x；

y-yj-x2-6x-5

3x+l

(9)

,1八、2x2—x+1]

(10)y=------------(x>-).

2x-l2

題型十一：數形結合求值域

【典例11-11函數y=處三的值域為

cosx-2

【典例11-2】函數y=&一2x+5+&-4X+13的值域為.

【方法技巧】

根據所給數學式子的特征，構造合適的幾何圖形模型.

【變式114】函數y=的值域是—.

x+2

【變式11-2］函數/?。）=2%-3-，--+6彳-8的值域是

【變式11-3］函數y=&一2x+5-&一4x+13的值域為—.

【變式11-4］函數〃x）=正已％述的值域為.

題型十二：值域與求參問題

【典例12-1］若函數〃尤）=的值域為［-2,2］,則a的值為.

【典例12-2］若函數y=，ax2+4x+i的值域為［0,+8）,貝的取值范圍為（）

A.（0,4）B.（4,+oo）C.［0,4］D.［4,+（?）

【方法技巧】

值域與求參問題通常采用分類討論，數形結合，轉化化歸等方法解決.

【變式12-1］已知函數=二二+a,xe|m,m的值域為(m<"),則實數。的取值范圍為(

3j_

D.(一了。］

414

【變式12-2］定義min{a,6}=:若函數"x)=min{x2-3x+3,-|x-3|+3},則f(x)的最大值

3

為—；若“X)在區間［租,〃］上的值域為“2則”一m的最大值為.

x2-2x+2,x>0

【變式12-3］(2024?上海青浦?一模)己知函數y=<的值域為則實數。的取值

a八R,

x+—+3a9x<0

范圍為

題型十三：判別式法求值域

【典例13-1】函數戶r'X>0的值域為

x—6x+7

【典例13-2】函數〃x)=一1+xT的值域是

x+1

【方法技巧】

判別式法：把函數解析式化為關于尤的一元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，

形如J辦》x+c或尸裝+法+。的函數值域問題可運用判別式法(注意x的取值范圍必須

按+ex+f

為實數集H).

【變式13-1】已知&6￡R,<72+b2+ab=l,則匕的取值范圍是.

【變式13-2］已知。>0,函數/?(>)=，《_彳2的最大值為0,則實數。的值為

【變式13-3】函數—=￡一"+1的值域是_____.

\/-v-z-VIO

題型十四：三角換元法求值域

【典例14-11求函數y=無+，2無之—4x+6的值域.

【典例14-21（2024?高三?河南?期中）函數=1的值域為（）

x+2

A.12-2+B.［-C.|^2—5/3,24-5/6^D.j^—A/6,-s/sj

【方法技巧】

充分利用三角函數的有界性，求出值域.因為常出現反解出y的表達式的過程，故又常稱此為反解有

界性法.

【變式14-1]（2024?上海徐匯?模擬預測）函數y=-3+3的值域為

尤+1―

題型十五：分段函數求值、求參數問題

.’1

Sin7LX,x<—

2

f\^x+^<x<2,貝l」/(2024)=()

【典例15-1]（2024?全國?模擬預測）己知函數=4

/(x-2),x>2

A.-1B.0C.D.1

【典例15-2］已知函數"尤)=［：若/(。)=6,則”=()

5x+6,x<0

A.0B.2C.-3D.2或3

【方法技巧】

根據分段函數解析式求函數值，首先明確自變量的值屬于哪個區間，其次選擇相應的解析式代入解決.

logX+l,X>l/、

【變式15-1]（2024.全國.模擬預測）已知函數/（%）=7

x2x<l，若/(。)=2,則4的值為

)

A.2或-百B.2或0C.0或-應D.1或0

<X<12_

【變式15-21（2024?全國?模擬預測）設“x)=若/（祖）=/（機+1），貝！1/

m

)

A.14B.16C.2D.6

2*+2：尤43

【變式15-3]（2024?江蘇南通?二模）已知函數f（x）=,（樂>3,則川。&9）=<>

D1080-82

C.D.—

A.13~99

題型十六：分段函數與方程、不等式

x+l,x>0,

【典例16?。已知函數"%）=若“/⑷-〃-叨>0,則實數。的取值范圍是（）

—2%-1,x<0,

A.(2,+co)B.[-2,0)U(0,2]

C.(-8,-2]U[2,+OO)D.(-2,0)5。,2)

e"x<01

【典例16-2]（2024?福建福州?模擬預測）已知函數〃力=in二>。’則不等式〃上5的解集

是（）

A.(Y>,-ln2]U(0,回B.(-oo,-ln2)

C.(0,7e]D.(-oo,-ln2)U(0,Ve)

【方法技巧】