題型02函數(shù)的4大基本性質(zhì)解題技方

（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）

「技法01函數(shù)單調(diào)性的應用及解題技巧

|技法02函數(shù)奇偶性的應用及解題技巧

|技法03函數(shù)周期性的應用及解題技巧

|技法04函數(shù)對稱性的應用及解題技巧

|技法05函數(shù)4大性質(zhì)的綜合應用及解題技巧

技法01函數(shù)單調(diào)性的應用及解題技巧

喟3?常見題型解讀

在考查函數(shù)單調(diào)性時，如果能掌握同一定義域內(nèi)，單調(diào)性的運算，可以快速判斷函數(shù)的單調(diào)性；同時復

合函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)計算也是高考重點，常以小題形式考查.

知識遷移

1.同一定義域內(nèi)

①增函數(shù)（/）+增函數(shù)（/）=增函數(shù)/②減函數(shù)（\）+減函數(shù)（\）=減函數(shù)、

③/（x）為/,則一/（%）為、，嗯工為、

④增函數(shù)（/）—減函數(shù)（\）=增函數(shù)/

/（X）

⑤減函數(shù)（\）—增函數(shù)（/）=減函數(shù)、⑥增函數(shù)（/）+減函數(shù)（\）=未知（導數(shù)）

2.復合函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)f（x）=Mg（x））,設"=g（x）,叫做內(nèi)函數(shù)，貝/（X）=叫做外函數(shù),

'內(nèi)函數(shù)T,外函數(shù)復合函數(shù)T

內(nèi)函數(shù)J,外函數(shù)復合函數(shù)T任、人閂+的日什

'內(nèi)函數(shù)T,外函數(shù)復合函數(shù)右結(jié)論：町曾升減

、內(nèi)函數(shù)外函數(shù)復合函數(shù)J

02

跟我學?解題思維剖析

例1.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)/（彳）=爐一3,則“X）（）

A.是奇函數(shù)，且在（0,+s）單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞減

解題

技巧點撥

Mx）=必在定義域內(nèi)（0,+8）是增函數(shù)，g（x）=]在定義域內(nèi)（0,+8）是減函數(shù),

X

所以/（X）=三在（0,+⑹單調(diào)遞增

【答案】A

唁4人知識遷移強化

2

1.（2023?寧夏銀川?統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)/（x）=l--，則（）

A.f（x）是偶函數(shù)且是增函數(shù)B./（尤）是偶函數(shù)且是減函數(shù)

C.f（x）是奇函數(shù)且是增函數(shù)D.f（x）是奇函數(shù)且是減函數(shù)

2.（2021?內(nèi)蒙古包頭?統(tǒng)考一模）設函數(shù)〃x）=ln|3x+l|+ln|3x-],則〃尤）（）

A.是偶函數(shù)，且在,肛-j單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在卜巴-「單調(diào)遞減

3.（2023?全國?模擬預測）函數(shù)〃尤）=1°81（一尤2+%+6）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

技法02函數(shù)奇偶性的應用及解題技巧

哨高年?常見題型解讀

縱觀歷年考題，函數(shù)奇偶性是函數(shù)及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算,

則可提升解題速度，做到快速求解.

知識遷移

①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱(大前提)

②奇偶性的定義：

奇函數(shù)：/(-X)=-/(%),圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)：/(—x)=/(x),圖象關(guān)于y軸對稱

③奇偶性的運算

f(x)g(z)/O)+g(.T)/(])—g(x)

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

02k.

跟我學?解題思維剖析

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)若/(x)=(x-l)2+ax+sin]x+

例:為偶函數(shù)，則"=______

1技巧點撥o

由題知/=+ax+sin[x+g]=+or+cosx=/+(。-2)*+1+8$了為偶函數(shù)，定義域為R,

【法一】奇偶性的運算

〃元)=爐+(a-2)x+l+cosx

只需a—2=0即可

【法二】尋找必要條件(特值法)

7171

所以/—a+cosa+cos一，

22

睛條練?知識遷移強化

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）若〃尤）=（x+“）ln1|］為偶函數(shù)，則。=（）.

A.-1B.0C.yD.1

2.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知了（乃=資］是偶函數(shù)，則。=（）

A.-2B,-1C.1D.2

3.（2021?全國?高考真題）設了⑺是定義域為R的奇函數(shù)，且〃l+x）=〃-x）.若,_￡|=g,則/

4.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）若定義在R的奇函數(shù)/（x）在（-應。）單調(diào)遞減，且/（2）=0,則滿足對■（尤-1）20

的x的取值范圍是（）

A.[-1,1][3,+8）B.[-3,-1][0,1]

C.[7,0]31,+8）D.[-l,0]o[l,3]

5.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）若尤）=ln〃+1*-+匕是奇函數(shù)，則。=____,b=____

1—X

技法03函數(shù)周期性的應用及解題技巧

《魯考?常見題型解讀

縱觀歷年考題，函數(shù)周期性是函數(shù)及高考的重要考點，要熟悉周期性的定義，若能熟悉周期性的運算,

則可提升解題速度，做到快速求解.

知識遷移

①若/(x+a)=/(x),則/(x)的周期為：T=|?|

②若/(x+a)=/(x+b),則/(x)的周期為：T=\a-k\

③若/(x+a)=—/(x),則/(x)的周期為：T=\2a\(周期擴倍問題)

④若/(x+a)=±則/(x)的周期為：T=|2a|(周期擴倍問題)

02

跟我學?解題思維剖析

例3.(全國?高考真題)已知/。)是定義域為(-8,+8)的奇函數(shù),滿足尸(1-幻=f(1+X).若/⑴=2,則

/(1)+/(2)+/(3)+-+/(50)=

A.-50B.0C.2D.50

解題

技巧點撥o

因為/(X)是定義域為(3,+8)的奇函數(shù)，所以/(1—x)=—/(X—1),即/(x+l)=—/(x—1),所以周期為4

【答案】C

睛條練?知識遷移強化

1.(2023上?海南省?高三校聯(lián)考)已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且"1)=3,/(5-x)=-/(l-x),

貝廳(2024)+“2023)=()

A.-3B.0C.3D.6

2.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)〃%)的定義域為R,>/(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,則

22

￡f(k)=()

左=i

技法04函數(shù)對稱性的應用及解題技巧

需高?常見題型解讀

縱觀歷年考題，函數(shù)對稱性是函數(shù)及高考的重要考點，要熟悉對稱性的定義，若能熟悉對稱性的運算,

則可提升解題速度，做到快速求解.

知識遷移

軸對稱

①若f(x+a)=/(-x),則/(x)的對稱軸為x=m

②若f(x+a)=f(-x+b),貝U/(x)的對稱軸為x

點對稱

①若/(x+4)=—/(—x),則/(x)的對稱中心為o]

②若/(x+a)+f(-x+b)=c,貝U/(x)的對稱中心為

02

跟我學?解題思維剖析

例4-1.(全國?高考真題)下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)y=lnx的圖像關(guān)于直線％=1對稱的是

A.y=ln(l—x)B.y=ln(2一％)C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

解題

技巧點撥o

【法一】函數(shù)y=lnx過定點(I,0),(1,0)關(guān)于x=l對稱的點還是(1,0),只有y=ln(2-x)過此點.

故選項B正確

【法二】關(guān)于x=l對稱即/(I—x)=/(l+x),即F(x)=F(2-X)

【答案】B

例4-2.(2016?全國?高考真題)已知函數(shù)/QXxwR)滿足/(f)=2-/(x),若函數(shù)〉=匚Y+］與y=〃尤)圖

X

m

像的交點為。，%)，(無2，…,每，％)，則?%+%)=

i=\

A.0B.mC.2mD.4m

技巧點撥o

【詳解】［方法一］:直接法.

由/(㈤=2—/(x)得關(guān)于(0,1)對稱,

而y=±二=1+!也關(guān)于(0,1)對稱，

XX

團對于每一組對稱點％+%/=。x+yr=2,

mmtn

團2(%+%)=2為+2%=0+2.彳=m，故選B.

i=li=li=l'

［方法二］:特值法.

由〃-x)=2—〃x)得〃-x)V(x)=2

r_)_11

不妨設因為〃X)=X+1,與函數(shù)了=—1=1+［的交點為。,2),(-1,0)

回當m=2時，xx+yl+x2+y2=2=m,故選B.

［方法三］:構(gòu)造法.

設s(x)=/(x)—1,貝i］s(-x)=/(—x)-l=l-/(x)=—s(x),故S(x)為奇函數(shù).

設《無)=y-l=：,貝！］/(-x)=T(x),故《X)為奇函數(shù).

團對于每一組對稱點為+%'=oS］+4'=0.

將￥=%-1,代入，即得斗+%'=。％+%'=2

mmm

團2(%+%)=2>,+2%=0+23=機，故選B.

z=］i=li=l'

［方法四］:

由題意得，函數(shù)7(x)(尤eR)和/(-%)=2-/(x)的圖象都關(guān)于(0,1)對稱，

所以兩函數(shù)的交點也關(guān)于(0,1)對稱，

對于每一組對稱點(X”％)和(％,y.),都有玉+X：=0,%+y.=2.

從而W/占+%)=弓,2=機.故選B.

i=l2

【答案】B

例4-3.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且

22

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖像關(guān)于直線尤=2對稱，g(2)=4,則￡/(%)=(

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

解題

技巧點撥o

因為y=g。)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，

所以g(2-x)=g(x+2),

因為g(無)一/(尤一4)=7,所以g(x+2)-"x-2)=7,即g(尤+2)=7+/(無一2),

因為f(x)+g(2-x)=5,所以因x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+/(x-2)]=5,即/(尤)+f(x-2)=-2,

所以〃3)+〃5)++/(21)=(-2)x5=-10,

/(4)+/(6)++/(22)=(-2)x5=-10.

因為f(x)+g(2-尤)=5,所以f(0)+g(2)=5,即/1(0)=1,所以八2)=-2-〃0)=-3.

因為g(x)-f(尤-4)=7,所以g(x+4)-f(x)=7,又因為/(x)+g(2-元)=5,

聯(lián)立得，g(2-x)+g(x+4)=12,

所以V=g(x)的圖像關(guān)于點(3,6)中心對稱，因為函數(shù)g(x)的定義域為R,

所以g⑶=6

因為/Xx)+g(x+2)=5,所以〃l)=5-g(3)=T.

22

所以=/⑴+〃2)+[/(3)+/(5)+…+/(21)]+[/(4)+/(6)+.+/(22)]=-l-3-10-10=-24.

k=l

【答案】D

你來練?知識遷移強化

1-?r

1.（2023上?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習）已知曲線y=-d_3/+9x+9與曲線y=一交于點

x+1

n

4（%，%），&（孫力），…，4（%，%），則2（%+%）=（）

Z=1

A.-16B,-12C.-9D.-6

2.（2023?全國?模擬預測）已知定義在R上的函數(shù)/（元）滿足對任意實數(shù)尤有了（x+2）=/（x+l）-/（x）,若

123

y=f（2x）的圖象關(guān)于直線尤=；對稱，/'⑴=2,則\＞（左）=（）

2k=i

A.2B.1C.-1D.-2

3.（2023?湖南?湖南師大附中校聯(lián)考一模）（多選）已知函數(shù)〃尤）=cosx+」1，則（）

COSZX

A.的圖象關(guān)于直線了=兀軸對稱

B.的圖象關(guān)于點二,。］中心對稱

C.的所有零點為（2k+1）私左eZ

D./（x）是以兀為周期的函數(shù)

4.（2023?全國,模擬預測）（多選）已知函數(shù)/（力=型立+a立，則下列判斷正確的是（）

A.函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于原點對稱B.兀是函數(shù)的一個周期

C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線x對稱D.當母時，的最小值為1

技法05函數(shù)4大性質(zhì)的綜合應用及解題技巧

叫曾考?常見題型解讀

縱觀歷年考題，函數(shù)奇偶性是函數(shù)及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算,

則可提升解題速度，做到快速求解.

知識遷移

1.周期性對稱性綜合問題

①若/(a+x)=/(a—x),f(b+x)=f(b-x),其中aM,則/(x)的周期為：T=2|a-Z?|

②若/(a+x)=—/(a—x),/0+x)=——x),其中則/(x)的周期為：

T=2|a-Z?|

③若/(a+x)=/(a—x),f(b+x)^-f(b-x),其中則/(x)的周期為：

T=4|a-Z?|

2.奇偶性對稱性綜合問題

①已知/(x)為偶函數(shù)，/(x+為奇函數(shù)，則目(無)的周期為:T=4|a|

②已知/(x)為奇函數(shù)，/(x+a)為偶函數(shù)，則目(%)的周期為:T=4同

02

跟我學?解題思維剖析

例5.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)外”的定義域為R,“X+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為奇函數(shù),

貝U()

A.=0B./(-1)=0C