2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末考試

高二數(shù)學(xué)試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共19小題，共150分，考試時(shí)

間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

第I卷（共58分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S”="+1,則"6的值為（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】D

【解析】

【分析】利用4=二。C求解即可.

[Sn-Sn^,n>2

【詳解】4=62+1=37,$5=52+1=26,

故4=毛-$5=37-26=11.

故選：D

2已知函數(shù)/（%）及其導(dǎo)函數(shù)/'（力滿足/（x）=lnx—?jiǎng)t廣⑴=（）

111

A.-B.0C.；D.-

423

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，對(duì)原式進(jìn)行求導(dǎo)，然后令x=l,代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?則/（力=工—3/'（1）

X-

令x=l,則/''（I）=1—3/'。），解得廣⑴二；

故選:A

3.已知｛4｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S“，且q=2,品=%+18,則4=（）

A.54B.45C.23D.18

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為2,依題意由等差數(shù)列求和公式及通項(xiàng)公式求出2,從而得解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

因?yàn)閝=2,S3=%+18,

所以3x2+3d=2+d+18,解得d=7,

所以%=q+3d=2+3x7=23.

故選：C

4.已知S“是正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且q+%=82,4a4=81，則工=（）

A.212B.121C.168D.186

【答案】B

【解析】

【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求出％,生，再列方程求出數(shù)列的公比4,利用等比數(shù)列求和公式可求項(xiàng).

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,因?yàn)閿?shù)列｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以q>0,

因?yàn)椋ァ?=4。5,又。2。4=81，所以％%=81,

=816Zi—1

因?yàn)椤?+〃5=82,所以｛或｛,

〃5=1=81

a.=81｛a=811

若<―貝叫]4/解得。i=81,q=-,

。5=1a、q—13

60-081x0一

所以§5=△-4=—<廣4"=121,

”qi-l

3

%a,==811'則|—1

若4O1，解得。I=1,9=3,

axq=81

%(1—4。1x(1—243)]?]

所以原=

i—q1-3

綜上工=121.

故選：B.

5.若％=1是函數(shù)〃力=(%2+依—1)L1的極值點(diǎn)，則/(%)的極大值為()

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)極值點(diǎn)，求出參數(shù)。，再據(jù)此求導(dǎo)，討論單調(diào)性，求得最大值.

【詳解】因?yàn)?。)=(/+以—1把1,

故可得了'(無(wú))=(2x+a)e*T+(%2+ax-l)e*T=e*T[無(wú)？+(a+2)尤+a—i],

因?yàn)閤=l是函數(shù)/(月=(/+奴—De-的極值點(diǎn)，故可得了'(1)=0,

即2a+2=0,解得a=—1.

此時(shí)((x)=e*T(J+x_2)=e*T(x+2)(x-l)

令/'(x)=0,解得石=—。彳2=1，

由/'(尤)>0可得無(wú)<一2或1>1；由/'(x)<0可得一2<X<1,

所以/(力在區(qū)間(-*-2)單調(diào)遞增，在(-2,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增，

故/(%)的極大值點(diǎn)為x=—2.

則/(%)的極大值為/(-2)=(4+2-l)e-3=5e-3.

故選：C.

6.已知函數(shù)/(%)=。d—111%在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的最小值為()

.011

A.e~B.2e02C.D.—

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)單調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了'(x)=ae-工20在(2,3)上恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)

g(x)=朧”,]?2,3),利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性得最值求解.

【詳解】由于/(%)=g,—111%在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增，故/'(力=”1—工20在(2,3)上恒成立，顯然

X

〃>0,所以xe'N—，

a

設(shè)g(x)=AeX,x?2,3),所以g'(x)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(2,3)上單調(diào)遞增，

g(x)〉g(2)=2e?,故2e2z：,即。之力，即。的最小值為，.

故選：C.

7.已知直線/:近―y—2左+2=0恒過(guò)定點(diǎn)A,點(diǎn)8為圓。：(%—1)2+(丁—3)2=18上的動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，則VAOB面積的最大值為()

A.10B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出直線過(guò)定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出圓心坐標(biāo)與半徑，求出|。4|及直線Q4的方程，再求出圓

心到直線Q4的距離，從而求出點(diǎn)B到直線距離的最大值，從而得解.

【詳解】由乙一y—2k+2=0,整理為左(x—2)+(—y+2)=0,

x—2=0x=2/、

令<解得彳_2,所以直線/恒過(guò)定點(diǎn)4(2,2),

-y+2=o

圓C:(x—1)2+(y—3)2=18的圓心3),半徑r=3夜,

如圖，|。叫=2拒，直線。4的方程為丁=不

|1-3|I-

則圓心C到直線0A的距離d="+(1)2=72,

則點(diǎn)B到直線OA距離的最大值為圓心C到直線的距離d+廠=夜+3近=40，

111

所以NAOB面積的最大值為一x2J2義4J2=8.

2

故選：D

8.已知實(shí)數(shù)。/滿足e〃+a=lnb+b+2,則下列選項(xiàng)中一定正確的是()

A.b>eaB.b<eaC.b<a+lD.b>a+l

【答案】B

【解析】

【分析】AB選項(xiàng)，令/(x)=x+Inx+2,在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，由于⑸=/(efl)-2</(ea)得到b<ea;

CD選項(xiàng)，舉出反例得到CD錯(cuò)誤

【詳解】對(duì)于AB,令/(x)=x+lnx+2,則/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由e"+a=lnb+b+2可得lnb+Z?+2=lne"+e"，即FS)=F(e")-2</(e"),

b<ea>故A錯(cuò)誤，B正確；

對(duì)于C,取a=—3,則/。)=/(e")—2=e"+a=e-3—3<0,且/(l)=3>0,

又在(0,+8)上單調(diào)遞增，故0<)<1,止匕時(shí)>>。+1,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,取a=O,則/0)=3+。=1,且/(1)=3>1,

又/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故0<6<1,止匕時(shí)〃<。+1,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造/(x)=x+lnx+2,得到/S)=/(e°)—2</(e"),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到

b<ea，通過(guò)對(duì)。賦值舉反例即可推得CD錯(cuò)誤.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算正確的是()

A.(ln2)f=1B.02—」=2X+4

/\V/

C.(xe,=(x+l)e*D.[sin5J=cosg

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】選項(xiàng)A,因?yàn)閘n2是常數(shù)，所以(In2)'=。，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,根據(jù)基本初等函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則知，=2x+±，選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C,根據(jù)基本初等函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則知，=ex+xex=(x+l)ex＞選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知，fsin^=-cos^,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

I22

故選：BC.

22

10.己知橢圓C：土+匕=1的左、右焦點(diǎn)為耳，歹2,點(diǎn)尸在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點(diǎn)重合，則

63

下列關(guān)于片鳥(niǎo)的說(shuō)法正確的有()

A.耳心的周長(zhǎng)為2(#+6)

B.歸耳卜|。耳|的最大值為4

C.當(dāng)/百尸居=60。時(shí)，APHK的面積為出

D.橢圓上存在6個(gè)不同的點(diǎn)P,使得APKK為直角三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)已知求出a,b,c的值，結(jié)合橢圓的定義，即可判斷A選項(xiàng)；由基本不等式結(jié)合橢圓的定義，

即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式得出面積，即可判斷C選項(xiàng)；設(shè)|P耳|=相，求出滿足

/耳尸8=90。的尸點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可判斷D項(xiàng).

22

【詳解】對(duì)于A,由上+二=1得。=6力=6,。=百，

63

AP耳耳的周長(zhǎng)為2(痛+6)，故A正確；

對(duì)于B,忙耳卜怛耳歸㈤叫=a2=6,故B錯(cuò)誤；

I2J

ZTQO

對(duì)于C,APK6的面積為〃tan與-=3tan3O°=JL故C正確;

對(duì)于D,設(shè)存在點(diǎn)。使得/耳產(chǎn)工=90。，

設(shè)歸耳|=根，根據(jù)橢圓的定義有加，

因?yàn)?耳產(chǎn)工=90。，所以歸片「+歸與「=閨閭2,

即加2+（2#一加）=（2班），

整理可得rn2—2y/6m+6=0，解得m=屈■

如上圖，當(dāng)點(diǎn)?位于短軸頂點(diǎn)時(shí)有忸娟=，2+°2=R,

所以，當(dāng)/耳尸8=90。時(shí)，點(diǎn)尸為橢圓的上下兩頂點(diǎn)，則P點(diǎn)有2個(gè)；

分別過(guò)點(diǎn)耳，瑪，作X軸的垂線，此時(shí)與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，

即滿足NPF[F2=90°以及NPFzR=90°的p點(diǎn)有4個(gè).

綜上所述，橢圓上有且僅有6個(gè)點(diǎn)。使得與耳為直角三角形，故D正確.

故選：ACD.

11.若首項(xiàng)為1的數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S,+i=2S.+2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛邑+2｝為等比數(shù)列B.數(shù)列｛4｝不是等比數(shù)列

C.Sn=2an-2D.｛4｝中存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列

【答案】AB

【解析】

【分析】由己知得出｛邑+2｝是以2為公比的等比數(shù)列，得出S“和a,,再分別判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,由S〃+i=2S.+2得,S?+1+2=2(S?+2),

所以｛S,+2｝是以2為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)為1+2=3,故A正確；

對(duì)于B,由A知S“+2=3-2"T,即S,=3-2'T—2,

n2n2

當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-=3-2-'-2-(3-2"--2)=3-2-,

1,H=1

所以a.=〈cc"2c，故B正確；

3-2n-2,n>2

對(duì)于C,當(dāng)〃=1時(shí)，51=1,2q—2=0,顯然2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,取加、“、pGN*,且1(根<“<p,

假設(shè)存在am,an,ap能構(gòu)成等差數(shù)列，則2an=am+ap,

則有2?3?2"-2=3-2m-2+3?2。-2，即2"-1=2m-?+2P-2>

所以2"f+i—2人"=1，

〃一"2+1=0

因?yàn)?1一2°=1，所以<八，與1<機(jī)<〃<"矛盾；

p—m=0

m2

假設(shè)存在1,4,an能構(gòu)成等差數(shù)列，則2am=l+an,即2.3?29=3.2"-+1，

則3(2"i—2"-2)=1,即2戊一1—2"一2=；,顯然當(dāng)加,〃eN*時(shí)無(wú)解，

所以｛4｝中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤；

故選：AB.

第II卷(共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.已知等差數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和為S“，若名>。，?6+?u<0,則S“取得最小值時(shí)〃的值為

【答案】8

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得到。8<0,公差d>0，｛4｝為遞增數(shù)列，從而得到當(dāng)〃=8時(shí)，S,取得最

小值

【詳解】由已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，則&+41=/+。9<0，又。9〉°，所以。8<0,

所以d=%-小〉0，數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，

則當(dāng)〃<8時(shí)，氏,當(dāng)〃N9時(shí)，>0，

所以當(dāng)〃=8時(shí)，5〃取得最小值.

故答案：8.

22

13.若雙曲線與—2T=1（。＞0,/?>0)與直線〉=3工無(wú)交點(diǎn)，則離心率e的取值范圍是

a2b2

【答案】(i,Vio]

【解析】

【分析】

根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求得。*的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，即可容易求得離心率范圍.

【詳解】???若雙曲線]—斗=l(a〉01〉0)與直線y=3x無(wú)公共點(diǎn),

ab

bb

等價(jià)為雙曲線的漸近線y=一%的斜率一,,3,即人<3〃，

aa

即/<9片，即02一口2<9〃2,即段,10〃2,則G,麗4，則6M,

Qe>1,「?離心率滿足1<g,JTU，

故答案為：(1,^0].

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的范圍，涉及直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)范圍，屬綜合基礎(chǔ)題.

兀兀

14.若函數(shù)/(x)=cos2x+Qsmx在上存在單調(diào)減區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是________

_36

【答案】(f),2)

【解析】

TTTT

【分析】求出尸(%)=C0sM—4sinx+a),由已知可得/'(%)<。在xe有解，即a<4sinx在

36

7171

xe有解，即可求得實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

36

［詳解】因?yàn)閒f(x)=-2sin2x+acosx=Tsinxcosx+acosx=cosx(Tsinx+a),

7171

而工￡時(shí)，函數(shù)/(x)存在單調(diào)減區(qū)間，

_3o

jrjr

所以/'(%)<。在］￡—有解，

36

即(一4sinX+Q)cosxvO有解，

r7i7i

因?yàn)閏osx>0,所以Tsinx+avO,即〃<4sinx在X￡有解，

36

W］

又因?yàn)?---<sinx<—，所以一2百44sin%(2，所以〃<2.

22

故答案為：(30,2).

四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.己知函數(shù)/(X)=/-3x+a(aeR).

(1)求函數(shù)/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(九)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值.

【答案】(1)1)和(1,+。)

⑵±2

【解析】

【分析】(1)令/'(%)>。并求出x的范圍，即可求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)根據(jù)函數(shù)/(力有兩個(gè)零點(diǎn)，利用函數(shù)極大值等于零或極小值等于零列方程即可求實(shí)數(shù)。的值.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?(x)=x3-3x+a(aeR),

所以/'(X)=3X2_3=3(X+1)(X_1),

令尸(x)>0,則X<—1或x>l,

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為-1)和(1,+。).

【小問(wèn)2詳解】

由(l)得“力的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,T)和(1,+8).

令/'(x)<0可得—1<X<1,/(光)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—1,1),

當(dāng)天=—1時(shí)，“X)取得極大值/(—l)=a+2；

當(dāng)％=1時(shí)，/(%)取得極小值/⑴=a—2.

所以若“力有兩個(gè)零點(diǎn)，則。+2=0或a—2=0,

解得a=±2.

所以a=±2.

16.在①S“=〃2+2〃；②％=70+綜=18；③q=3,S5=35這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題

中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.

問(wèn)題：已知等差數(shù)列｛a'｝,S”為其前”項(xiàng)和，若.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)"=二一(〃eN*),求證：數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和4<L

anan+l3

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)an=2n+l

(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】(1)選①由%與S”的關(guān)系求解即可；選②③由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求解即可；(2)由

(1)可得2==二-丁二，利用裂項(xiàng)相消法證明即可.

2〃+12〃+3

【小問(wèn)1詳解】

若選①：在等差數(shù)列｛4｝中，q=S]=3,

22

當(dāng)"之2時(shí)，an-Sn—Sn_x~n+2n-(n-l)-2(n-l)=2n+l,

%也符合，

a”=2〃+1；

若選②：在等差數(shù)列｛%｝中,

“3=7

V,

Cl?+。6=18

+2d=7fa=3

C-1。，解得《c

2q+6d=18[d=2

an=+(n—1)J=3+2(〃-1)=2〃+1；

若選③：等差數(shù)列｛%｝中,

q=3

4=3

解得'

d—2

an=ax+(n—1)<7=3+2(〃—1)=2〃+1；

【小問(wèn)2詳解】

211

證明：由⑴得'7"=(2〃+1)(2〃+3)

2n+lIn+3

11111

所以]二-----H——L------------------------------<_

"35572n+12n+332〃+33

17.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為「直線/過(guò)點(diǎn)尸(2,1),交拋物線于A、B兩點(diǎn).

(1)若P為AB中點(diǎn)，求/的方程;

⑵求|A同+忸同的最小值.

23

【答案】(1)y=2x—3(2)—

4

【解析】

【分析】(1)方法一：利用點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦所在直線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果；注意驗(yàn)證所求直線與拋物

線有兩個(gè)交點(diǎn)；

方法二：設(shè)中點(diǎn)弦所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求中點(diǎn)弦所在直線

斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果；注意考慮中點(diǎn)弦直線斜率不存在的情況是否滿足題意；

(2)由拋物線的定義轉(zhuǎn)化|A4+忸同=%+/+0,方法一：設(shè)直線/：y-l=k(x-2),與拋物線方

程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及二次函數(shù)性質(zhì)求最值，注意比較直線斜率不存在的情況|人司+忸目的值；方法

二：設(shè)直線/：x-2=t(y-l),與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及二次函數(shù)性質(zhì)求最值，此種設(shè)法

已包含直線斜率不存在的情況.

【詳解】解：⑴方法一：設(shè)A（XQJ,B（x2,y2）,Xj*%2,則城=4菁,

,,y,-y4

—%,化簡(jiǎn)得9

因?yàn)锳B的中點(diǎn)為P（2,l）,%+%=2,

，左AB=K=2,..?/的方程為y—l=2（x—2）,即y=2x—3.

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

方法二：設(shè)A&,%）,53%），

當(dāng)斜率不存在時(shí)，顯然不成立.

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線/：y-l=k（x-2）,顯然左wO,

由<,「1=左（》—2）得上2彳2_（4左2_2左+4）x+（2左一Ip=0

、yx

曰/rrtAC\4k2—2左+4

易知A>0,xx+x2-------------,

K

因?yàn)锳B的中點(diǎn)為P（2,l）,.?.%+々=4,即絲一手上=4,

解得左=2,；./的方程為y=2x—3

（2）方法一：由拋物線的定義可知|人尸|+忸同=%+%+。

當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線/：x=2,.?.|AF|+忸同=6

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線/：y-l=k(x-2),顯然左wO,

由,y~1=k^X~2\^k2x2-(4k2-2k+4)x+(2k-l)2=0,

、yx

易知A>0,

,%+%2+〃=

.j=4時(shí)，|4司+忸司的最小值為

23

綜上，|AF|+忸周的最小值為才

方法二：由拋物線的定義可知|Ab|+忸同=%+/+0

顯然直線/不平行于x軸，設(shè)直線/：x-2=t(y-\),

x—2=%(y—1)9/\

由,241/得y_4療+4?_2)=0,

易知△>(),二%+為=4/,%%=々-8,

,Y+Y+〃_弁+第+2_5+%)2—2乂%+2

..X十X。十〃——---1----rZ----------------rZ

]-444

=4產(chǎn)—2/+6=4(.—11

123

.」=1時(shí)，|A同+忸司的最小值為j

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系；考查數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論以及函數(shù)方程等數(shù)

學(xué)思想；考查邏輯推理、直觀想象以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

、伉,+1,“為奇數(shù)

18.已知數(shù)列｛(4｝滿足％=l,a.+i=｛小便將■

[2%,“為偶數(shù)

(1)記2=4”,寫(xiě)出片也也也，并猜想數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明(1)中你的猜想；

(3)若數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，求邑，.

【答案】(1)4=2也=5也=11也=23,猜想〃=3X2"T—1

(2)證明見(jiàn)解析⑶$2'=3x2"+i-3〃-6

【解析】

【分析】⑴根據(jù)｛??｝的遞推關(guān)系式及首項(xiàng)，寫(xiě)出4，%，%，L,小，進(jìn)而求得久,瓦力3力4，根據(jù)推導(dǎo)過(guò)程及各項(xiàng)

即可猜想其通項(xiàng)公式；

⑵因?yàn)?=。2“，所以找到。2.+2和。2”的關(guān)系，即%與口的關(guān)系，對(duì)式子進(jìn)行配湊，可發(fā)現(xiàn)也+1｝是以3為

首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,即可得｛勿｝的通項(xiàng)公式；

⑶根據(jù)=2aa*，可得a2n_x=2b,i，將S2”寫(xiě)為(6+%---。24-1)+(4+%----)，再將

=包代入，可得S2“=3(4+4+…+*)+4+4,將a=3X2"T_I代入,再利用等比數(shù)

列的求和公式即可得昆,「

【小問(wèn)1詳解】

由您知4“+]=，c斗＞便料，

、2a〃,“為偶數(shù)

因?yàn)?=1,所以4=g=%+1=2,

%=2a2=4,4=%=%+1=5,

=a

a5—2%=10也6=4+1=11，

%—2a6=22,d=cig=%+1=23,

綜上:偽=2也=5也=11也=23,

猜想a=3X2"T-1

【小問(wèn)2詳解】

由題意，知。2.+1=，。2"+2=。2"+1+1，代入得。2"+2=242”+1,

于是。2”+2+1=2a2"+2,即bn+1+1=2（b"+1）,

因?yàn)?+1=3,所以也+1｝是以3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

故么=3x2"T—1.

【小問(wèn)3詳解】

a

因?yàn)?,1=2（?-i）+i=2a2（”-i）=2bti_i,

+Ct

S2n=(4+g+?一+。2"-1)+(。24H^一+fl2?)

=(4+絞+2打+…+2優(yōu)-i)+(4+b2H—+優(yōu))

=3伯+b2+---+bn_l)+bn+q

=3(3X2°+3X21+---+3X2,J-2-(H-1))+3X2,!-1-1+1

=3(3X2°+3X21+-..+、3X2"-2-(H-1))+3X2,!-1-1+1

(n-1)+3X2"T

7

=3x2,!+1-3/7-6.

19.設(shè)函數(shù)/(尤)=ln(x+l)—ta,aeR,曲線y=/(x)在原點(diǎn)處的切線為x軸,

(1)求。的值；

V2

(2)求方程/(X)=—二―的解;

x+2

(2024V023-5

(3)證明:<6<[2023J

2022

【答案】(1)a=l

(2)x=Q

(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可知/(%)在％=0處的導(dǎo)數(shù)值為0,解方程即可；

2x

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(x+l)———,利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性，再通過(guò)觀察法得尤=0是g(x)的零點(diǎn),

x+2

從而得解；

202411(11

(3)利用(2)中結(jié)論證明In——>---------,再構(gòu)造函數(shù)〃(x)=lnx——x——,利用導(dǎo)數(shù)證得

20232023.52(x

20231

，從而賦值證得In<---------由此得證.

20222022.4

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?(x)=ln(x+1)-or(%>-1),

所以/‘(x)=」——a,

x+1

因?yàn)榍€y=/(x)在原點(diǎn)處的切線為x軸，所以尸(0)=1-。=0,即。=1.

【小問(wèn)2詳解】

1*22無(wú)

方程/(%)=—可化為ln(x+1)---------=0,

x+2x+2

2T

令g(%)=ln(x+l)--------(x>-1),

x+2

則g，(x)=J______J=22)2-…)=

>0,

x+1(